籃球運動員投球命中率預測與仿真

曹 蕾，張志強

(長春工業大學 數學與統計學院，吉林 長春 130012)

0 引 言

在籃球運動項目中，投球命中率是衡量籃球運動員表現的重要指標，為籃球經理人考慮球員轉會提供了參考[1]。用上賽季投球命中率預測下賽季投球命中率是直觀的想法，然而James W等[2]指出,p維正態總體(協方差矩陣是單位陣)的樣本均值是非容許估計[3],即收縮估計的風險函數小于極大似然估計的風險函數。同時考慮身高、體重等因素對投球命中率的影響，文中采用雙水平收縮估計方法[4]對籃球運動員投球命中率進行預測，并用Matlab軟件實現。

1 收縮估計方法及實現

1.1 數據結構

文中選取2017-2018賽季和2018-2019賽季籃球運動員的數據，該數據是從新浪體育中國籃球CBA專欄整理的。首先進行數據清洗：

1)2017-2018賽季和2018-2019賽季都參加的球員；

2)運動員在兩個賽季投球數都大于15次，最終選取255個數據。

球員數據包括身高(x1j，cm)、體重(x2j,kg)、總籃板數(x3j)、出場數(x4j)、助攻(x5j)、搶斷(x6j)、蓋帽(x7j)、罰中球數(x8j)、兩分球命中數(Yi1)、兩分球總數(Ni1)。j=1,2分別代表2017-2018賽季和2018-2019賽季。2017-2018賽季部分球員篩選數據見表1。

表1 2017-2018賽季運動員數據

1.2 雙水平收縮估計方法

2017-2018賽季共有255個籃球運動員，同時考慮一些協變量對籃球運動員投籃命中率的影響，如身高、體重、出場數、總籃板數、助攻、搶斷、蓋帽、罰中球數等一些協變量因素。在層次模型第二層中加入新的協變量，采用雙水平收縮估計方法，但文獻[4]處理的是連續型隨機變量，文中數據處理的是離散型數據，要對數據進行變換。

假設

Yij～Binomial(Nij,pi),

i=1,2,…,n0,j=1,2，

式中：i——代表每一個運動員；

j——賽季，j=1代表2017-2018賽季，j=2代表2018-2019賽季；

Nij——第i個運動員第j個賽季的兩分球投球總數；

Yij——第i個運動員第j個賽季的兩分球投中球數；

pi——第i個運動員的命中率。

假設2017-2018賽季和2018-2019賽季的投球命中率不變，可以得到

則Xij近似分布

(1)

先驗分布中考慮了8個協變量的因素，

θi=β0+β1x11+β2x21+…+β8x81，

β0～N(0,λ),

β1～N(0,λ),

β2～N(0,λ),

?

β8～N(0,λ)，

假設β0,β1,…，β8都獨立。j=1代表2017-2018賽季數據，文中用2017-2018賽季數據來預測2018-2019賽季的投球命中率。其中x11，x21，…，x81分別代表第1個賽季的身高、體重、總籃板數、出場數、助攻、搶斷、蓋帽、罰中球數，則

收縮估計是

(2)

(3)

風險函數式(3)的無偏估計為

(4)

(5)

1.3 風險函數無偏估計最小化的Maltab實現

對風險函數無偏估計式(4)通過Matlab實現[5-7]，考慮后衛、前鋒、中鋒和全體籃球運動員,以全體籃球運動員數據為例進行編程。具體流程如圖1所示。

具體編程如下：

CBA1=xlsread('18zongti.xlsx');%導入數據集

p=CBA1(:,1)./CBA1(:,2);%極大似然估計

H=1./(CBA1(:,2).*p.*(1-p));

X=log(CBA1(:,1)./(CBA1(:,2)-CBA1(:,1)));

G=1+((CBA1(:,3)-mean(CBA1(:,3)))./std(CBA1(:,3))).^2+((CBA1(:,4)-mean(CBA1(:,4)))./std(CBA1(:,4))).^2+((CBA1(:,5)-mean(CBA1(:,5)))./std(CBA1(:,5))).^2+((CBA1(:,6)-mean(CBA1(:,6)))./std(CBA1(:,6))).^2+((CBA1(:,7)-mean(CBA1(:,7)))./std(CBA1(:,7))).^2+((CBA1(:,8)-mean(CBA1(:,8)))./std(CBA1(:,8))).^2+((CBA1(:,9)-mean(CBA1(:,9)))./std(CBA1(:,9))).^2+((CBA1(:,10)-mean(CBA1(:,10)))./std(CBA1(:,10))).^2;

h=H./G;

q=1./H;

程序中p表示球員賽季命中率，H表示Xi1的近似方差，X表示變換后的連續性數據。x11,x21,…,x81的單位是不同的，所以對x11,x21,…,x81進行了單位化。CBA1(:,3)代表身高，CBA1(:,4)代表體重，CBA1(:,5)代表出場數，CBA1(:,6)代表總籃板數，CBA1(:,7)代表助攻，CBA1(:,8)代表搶斷，CBA1(:9)代表蓋帽，CBA1(:,10)代表罰中球數，所以G也需要相應的單位化，即

式中：std——標準差。

lamda0=var(X);

x0=[20 100];

L=length(G);

global G H lamda0 L;

camel= @(x,y) 1./(sum(q)).*(sum((q.*(h.^2.*(X-x).^2))./((y+h).^2)+(y-h)./(y+h)));

loss=@(xo_sa) camel(xo_sa(1),xo_sa(2));

options1 = struct(...

'CoolSched',@(T) (.95*T),...

'InitTemp',10^7,...

'MaxConsRej',10^5,...

'MaxSuccess',10^4,...

'MaxTries',10^5,...

'StopVal',10^(-5),...

'Verbosity',1);

[xo_sa,fo_sa]=anneal1(loss,x0,options1);

這部分程序的任務是最小化風險函數的無偏估計，從而得到超參數的估計。風險函數的無偏估計是一個非常復雜的函數，采用梯度的最優算法和Nelder算法[8]無法實現式(4)的最小化，所以采用模擬退火[9-10]方法進行最小化。

anneal1是模擬退火程序。鑒于篇幅原因，文中不展示模擬退火程序。

得到超參數的估計后，根據式(5)得到收縮估計。為了評價收縮估計方法的好壞，采用預測誤差(WPE),

SURE收縮估計方法[11]文中也是采取加權平方損失函數。因此可以根據WPE的大小來判斷雙水平收縮估計和SURE收縮估計的好壞，WPE越小，收縮估計越精準。

2 結果分析

數據經過預處理后，文中認為身高、體重、出場數、總籃板數、助攻、搶斷、蓋帽、罰中球數這些協變量與命中率密切相關。按照位置不同，考慮后衛、前鋒、中鋒和所有球員的兩分球命中率。WPE結果見表3。

表3 WPE結果對比

從表3可以得出結論，即考慮協變量對預測誤差改善是有幫助的。雙水平收縮估計方法考慮了協變量，SURE收縮估計方法沒有考慮協變量，對于后衛、前鋒、中鋒、所有球員，雙水平收縮估計方法的WPE都小于SURE方法的WPE。

3 結 語

根據2017-2018賽季數據預測2018-2019賽季投球命中率，采用雙水平收縮估計方法和SURE收縮估計方法[11]進行預測。雙水平收縮估計方法是處理連續隨機變量，而投球數是離散型數據，進行變換后得到連續型變量。最小風險函數的無偏估計是比較有挑戰的工作，因為常用梯度的最優算法和Nelder算法無法實現式(4)的最小化，所以采用模擬退火方法實現風險函數無偏估計的最小化。因為雙水平收縮估計方法的WPE小于SURE收縮估計方法的WPE，所以雙水平收縮估計方法比SURE收縮估計方法好。SURE收縮估計方法沒有雙水平收縮估計方法好的原因是SURE收縮估計方法沒有考慮協變量因素(身高、體重等)。

綜上所述，文中對2018-2019賽季籃球運動員數據進行分析，對投球命中率進行預測，雙水平收縮估計方法的預測誤差非常小，希望對籃球運動員轉會提供一定的參考作用。