飛行器棲落機動軌跡可達域分析

杜昕，黃江濤，章勝

（中國空氣動力研究與發展中心空天技術研究所，綿陽621000）

0 引 言

超短距起降固定翼飛機具有飛行速度快、運載能力強、環境適應性好等優點，這些特點是普通直升機所不具備的。因此，超短距起降固定翼飛機適用于驅護艦，可以取代并拓展大多數的直升機任務與使用模式，同時具有更低的使用成本和高可靠性。固定翼飛機的艦上起飛尚可以通過彈射實現，但是如何在驅護艦上狹小的空間內實現安全降落，是一個亟待解決的關鍵技術問題。

棲落機動是解決該問題的有效途徑之一。棲落機動是指飛機利用大迎角產生高阻力從而實現超短距離減速和著艦，是一種超機動飛行方式，其靈感來源于鳥類的定點著陸方式。

關于棲落機動的相關研究，國外起步較早，約2000 年左右就開展了一系列較為充分的研究，主要集中于需求與概念論證、棲落過程的大迎角非定常氣動力建模、棲落軌跡優化、棲落機動標稱軌跡跟蹤控制等方面。由于小型滑翔機只有一個控制變量，且重量輕，容易實現大迎角機動，早期被廣泛用來開展相關研究。但是小型滑翔機裝載容量與重量十分有限，無法安裝慣導系統，為了解決這個問題，麻省理工大學的研究人員采用光學定位手段來確定飛行器的位置、速度與姿態信息，并在室內開展了小型滑翔機的定點棲落試驗。為了解決大迎角棲落末端機身的固定問題，斯坦福大學的研究人員設計了一種帶有鉤爪的小型固定翼飛機，當機載超聲波裝置探測到離墻面的距離足夠近時，鉤爪伸出釘入墻面將飛機固定，鉤爪松開后飛機可由墻面實現起飛。棲落軌跡優化研究主要關注優化軌跡的分段、優化指標的選擇以及優化策略的對比分析。在棲落軌跡跟蹤控制方面，現有的軌跡跟蹤控制算法經過適應性改進都可以應用到棲落問題中來。由于棲落過程的大迎角非線性特性，許多線性控制方法不能直接使用，因此出現了分段線性控制、線性二次型調節樹等方法，而非線性方法則有動態逆解耦、非線性最優控制等。

國內關于飛行器棲落機動的研究起步較晚，研究較少，南京航空航天大學的何真團隊近年來開展了一些研究，主要集中在氣動參數辨識、軌跡優化以及軌跡跟蹤控制等方面?？偟恼f來，現有的研究缺少對棲落任務總體方案的研究與分析。

本文在前人有關棲落軌跡優化的相關研究的基礎上，從總體設計的角度出發，研究飛行器棲落軌跡的可達域（Reachable Set，簡稱RS）。首先對棲落軌跡可達域進行定義并給出數學描述，然后建立可達域計算的軌跡優化模型，最后采用高斯偽譜法求解可達域的邊界軌跡。

1 飛行器棲落機動建模

飛行器棲落機動的縱向動力學模型如式（1）～式（6）所示。

式中：

V

為飛行器縱向飛行速度；

γ

為飛行航跡角（飛行速度與水平面的夾角，向上為正）；

α

為迎角；

q

為俯仰角速度；

x

為水平飛行距離；

h

為飛行高度；

T

為飛行器推力；

L

為升力；

D

為阻力；

M

為俯仰力矩；

I

為縱向轉動慣量；

m

為飛行器質量；

g

為重力加速度（這里可以設為常值

g

=9.8 m/s）。

升力、阻力及俯仰力矩的計算公式如式（7）～式（9）所示。

式中：

C

、

C

和

C

分別為升力系數、阻力系數和俯仰力矩系數；

ρ

為大氣密度；

S

為參考面積；

c

為平均氣動弦長。本文采用微型無動力滑翔機模型，故

T

=0，飛行器的相關參數如表1 所示。

表1 飛行器參數［19］Table 1 Perching UAV physical constants［19］

棲落機動涉及大迎角氣動力建模問題，關于這方面的研究有很多。本文采用的氣動模型詳見文獻［22］，它是以大迎角氣動特性的理論模型為基礎，通過大迎角飛行實驗數據辨識得到氣動系數關于迎角的擬合函數。

式中：

δ

為飛行器升降舵偏角，是無動力滑翔機棲落機動的唯一控制量。

2 棲落軌跡可達域求解方法

2.1 棲落軌跡可達域問題數學描述

可達域與可控域是一組數學概念，本文首次將其引入飛行器棲落機動軌跡的研究。如果某一飛行器初始狀態確定，那么飛行器能夠滿足棲落條件的所有終端狀態的集合就是該飛行器棲落機動的可達域。反過來，如果飛行器終端條件確定并滿足棲落條件，那么飛行器所有能夠達到這一終端條件的初始狀態集合就是飛行器棲落機動的可控域。分析清楚可達域與可控域，對于棲落機動任務的總體設計、棲落位置的選擇、進入狀態的約束等等，都有著十分重要的指導作用，為標稱軌跡的離線設計和在線軌跡規劃提供清晰的理論依據。本文研究針對可達域，對于可控域的研究可在后續開展。

飛行器的狀態量定義為

飛行器的初始狀態記為

x

(

t

) =

x

(0) =

x

，飛行器在時刻

t

的狀態為

式中 ：

δ

[0，

t

]為從 0 時刻到

t

時刻的 升降舵偏角剖面。

δ

[ 0，

t

]的容許集

U

(

t

)可寫成如下形式：

式中：

C

[0，

t

]為在時間區間[0，

t

]上一階可導的連續函數。若

φ

(

x

) ＜0 為飛行器狀態需要滿足的不等式約束，定義：

當飛行速度小于給定值

V

，并且迎角大于給定值

α

時，認為飛行器達到棲落終端條件，定義棲落終端狀態域

G

?

X

為

可行的棲落軌跡是指升降舵偏角函數在其容許集

U

(

t

)內，滿足飛行器狀態約束，且終端狀態在

G

內的軌跡。可達域

RS

(

x

) ?

G

是指從初始狀態

x

出發的可行軌跡所能達到的終端狀態的集合，表示為

這樣得到的可達域是一個包含六個狀態量的集合，而實際需要的可達域是指飛行器終端的位置（即水平位置和高度）。因此，本文定義棲落軌跡可達域為

RS

(

x

)在高度

h

和水平位置

x

組成的二維平面上的投影。

2.2 優化模型與求解策略

計算飛行器棲落軌跡可達域實質是計算可達域的邊界。對于無動力棲落軌跡來說，軌跡終端狀態不存在高度的下邊界，因此需要根據任務實際情況，人為規定一個終端高度的下邊界

h

。而終端高度的上邊界

h

需要優化計算得到。假設初始時刻高度為0，初始狀態確定，優化的目標函數為

優化計算得到終端高度上邊界之后，再加上人為給定的終端高度下邊界，就可以在終端高度的上邊界和下邊界之間選取一系列離散點，在這些點上優化計算終端水平位置的最大值和最小值，相應的優化模型如下。

假設初始時刻水平位置為0，計算最小終端水平位置時，目標函數為

式中：

x

為給定的終端水平位置最大值，計算時一般給定一個較大的值。

此時，終端高度約束變為等式約束：

式中：

h

為終端高度上下邊界之間的某個值。

高度離散點取的越多，計算出的可達域邊界就越精確，計算耗時也更長。

因為可達域的求解需要計算很多條邊界軌跡，計算量較大，而高斯偽譜法的特點就是計算精度高且速度快，故本文采用高斯偽譜法來求解上述所有優化問題。

3 可達域求解結果與分析

棲落機動初始狀態如表2 所示，飛行器狀態的路徑約束如表3 所示。

表2 飛行器初始狀態Table 2 Initial state of perching UAV

表3 飛行器狀態路徑約束Table 3 Path constraints of perching UAV state

飛行器初始速度為12 m/s，設定終端速度小于2 m/s 達到棲落終端速度條件，即

V

=2 m/s。升降舵偏角范圍設定為-30°≤

δ

≤30°。終端高度下邊界設定為

h

=-2 m，終端高度上邊界采用高斯偽譜法計算得

h

=1.34 m。在[

h

，

h

]的終端高度范圍內選擇離散點如下：-2.00，-1.50，-1.00，-0.50，0，0.50，1.00，1.34 m。然后計算每個終端高度處的水平位置最大值和最小值。終端高度約束

h

=

h

時的軌跡優化結果如圖1～圖2 所示，可以看出：終端水平位置最大和最小時的軌跡幾乎重合，由于飛行器控制能力有限，飛行器要在終端以大迎角姿態爬升到

h

的高度，軌跡的可調余量很小。

圖1 上邊界軌跡的空間位置曲線（hf=hup）Fig.1 Position profile of boundary trajectory（hf=hup）

圖2 上邊界軌跡的速度變化曲線（hf=hup）Fig.2 Velocity profile of boundary trajectory（hf=hup）

終端高度約束

h

=0 時的軌跡優化結果如圖3～圖4 所示，可以看出：終端水平位置最大的軌跡曲線是先爬升后下滑，速度下降率是先快后慢；而終端水平位置最小的軌跡曲線是先下滑后爬升，速度下降率是先慢后快。

圖3 上邊界軌跡的空間位置曲線（hf=0）Fig.3 Position profile of boundary trajectory（hf=0）

圖4 上邊界軌跡的速度變化曲線（hf=0）Fig.4 Velocity profile of boundary trajectory（hf=0）

終端高度約束

h

=

h

時的軌跡優化結果如圖5～圖6 所示，可以看出：終端水平位置最大的軌跡曲線是先爬升后下滑，速度下降率是先快后慢，但速度并不是全程單調遞減的，中間有一段速度不變甚至輕微增大的歷程；而終端水平位置最小的軌跡曲線同樣是先下滑后爬升，下滑段較長而爬升段較短，速度下降率依然是先慢后快。

圖5 下邊界軌跡的空間位置曲線（hf=hlow）Fig.5 Position profile of boundary trajectory（hf=hlow）

圖6 下邊界軌跡的速度變化曲線（hf=hlow）Fig.6 Velocity profile of boundary trajectory（hf=hlow）

可達域邊界軌跡的迎角變化曲線如圖7 所示，可以看出：迎角都是在軌跡末段加速增加，且終端迎角都大于40°，表明飛機最終是以大迎角姿態棲落。

圖7 迎角隨水平位置的變化曲線（邊界軌跡）Fig.7 Angle of attack profile of all boundary trajectories

可達域邊界軌跡的俯仰角變化曲線如圖8所示。

圖8 俯仰角隨水平位置的變化曲線（邊界軌跡）Fig.8 Pitch angle profile of all boundary trajectories

棲落軌跡可達域計算結果如圖9～圖10 所示，可以看出：無動力飛行器縱向棲落軌跡可達域整體為上窄下寬的不對稱區域，且左右邊界曲線線性度較好；如果

h

取值更小，則可達域下邊界會更寬。

圖9 邊界軌跡的空間分布Fig.9 Boundary trajectories

圖10 可達域Fig.10 Reachable set

本文選取8 個高度離散點，總共需要計算16條邊界軌跡，計算程序采用MATLAB 語言，在普通計算機上完成計算共耗時100 s。取點的密集度越大，計算耗時會相應增加，可達域也會更加精確。

4 結 論

本文將數學中的可達域概念引入到飛行器棲落機動任務中，給出縱向二維空間可達域的定義及其數學描述，建立其軌跡優化數值模型，并采用高斯偽譜法進行求解。在給定終端高度下邊界的情況下，無動力飛行器縱向棲落軌跡可達域為上窄下寬的不對稱區域，且左右邊界曲線線性度較好。

棲落軌跡的可達域分析可以為著艦落區評估、方案篩選等著艦任務的總體設計提供參考。未來，可進一步開展棲落軌跡的可控域、棲落軌跡在線規劃等研究。