具有數(shù)據(jù)包丟失的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的估計問題

韓 笑，亓慶源，紀志堅

(青島大學(xué)自動化學(xué)院，山東 青島 266071)

0 引言

網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(NCSs)是空間分布式系統(tǒng)，其中傳感器、控制器和執(zhí)行器通過共享的網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)通信[1-2]。因為NCSs具有成本低、重量輕、結(jié)構(gòu)簡單和提高系統(tǒng)可靠性的優(yōu)點，所以被廣泛應(yīng)用于遠程手術(shù)，無人機，人工智能等領(lǐng)域[3-5]。然而，在網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)信息傳遞過程中，網(wǎng)絡(luò)通信帶寬有限、網(wǎng)絡(luò)擁塞和網(wǎng)絡(luò)連接中斷等現(xiàn)象都會導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生數(shù)據(jù)包丟失的問題[6]。由于丟包的存在，系統(tǒng)的狀態(tài)信息不能精確得到，只能依賴接收到的量測信息來對系統(tǒng)進行分析，使得系統(tǒng)的估計狀態(tài)有效的跟蹤實際狀態(tài)，具有重要的實際意義[7]。對于具有數(shù)據(jù)包丟失的NCSs，經(jīng)典的卡爾曼濾波失去了有效性，不能直接用來設(shè)計估計器[8-9]。因此，估計器可以通過量測過程zk推導(dǎo)出來。

近幾十年來，對具有數(shù)據(jù)包丟失的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)進行研究已經(jīng)成為一個熱門的話題。Nahi考慮了具有數(shù)據(jù)包丟失的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的估計器，并得到了線性最小均方差估計器(LMMSE)[10]。然而，在文獻[11]中LMMSE是次優(yōu)的。文獻[12]利用時間戳技術(shù)，在隨機過程γk的條件下推導(dǎo)出了間歇卡爾曼濾波器。Imer提出了具有不可靠通信信道的線性時不變系統(tǒng)的最優(yōu)控制[13]。對于UDP網(wǎng)絡(luò)的最優(yōu)控制，雖然控制具有雙重效應(yīng)，但它們給出了一個最優(yōu)估計器。然而，估計器是否是最優(yōu)的并沒有得到證明。Qi考慮了具有數(shù)據(jù)包丟失的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的最優(yōu)測量反饋控制和鎮(zhèn)定性[14]。Zhang等提出了一種次優(yōu)估計量[15]，它可以看作是LMMSE與間歇卡爾曼估計器的折中。

本文在之前工作的基礎(chǔ)上擴展了有關(guān)的內(nèi)容，給出了UDP情況下的最優(yōu)估計器，得到的結(jié)果可以在將來解決相關(guān)的最優(yōu)輸出反饋控制問題。本文通過嚴格的計算，運用遞推的方法得到兩種不同情形下系統(tǒng)的最優(yōu)估計(基于條件期望)和協(xié)方差矩陣。但是，在大的有限域下，這種方法變得困難。所以為了簡單的使用，本文開發(fā)了一個次優(yōu)估計器，這對研究在大的有限域下含有丟包的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)有所幫助。

主要符號說明：Rn表示n維Euclidean空間；AT意味著矩陣A的轉(zhuǎn)置；E[·]是數(shù)學(xué)期望；E[·|Zk]是對Zk的條件期望；δkl表示Kronecker Delta函數(shù)，當k=l時，δkl=1；否則δkl=0；P(A)是事件A發(fā)生的概率，P(A|B)描述條件概率；I{A}是指示函數(shù)，表示當元素ω∈A時，I{A}=1,否則I{A}=0；N(μ,Σ)表示具有均值為μ，協(xié)方差為Σ的正態(tài)分布。

1 經(jīng)典卡爾曼濾波

卡爾曼濾波(Kalman filtering)是一種利用線性系統(tǒng)狀態(tài)方程，通過系統(tǒng)輸入輸出觀測數(shù)據(jù)，對系統(tǒng)狀態(tài)進行最優(yōu)估計的算法。由于觀測數(shù)據(jù)中包括系統(tǒng)中的噪聲和干擾的影響，所以最優(yōu)估計也可看作是濾波過程。

1.1 系統(tǒng)模型

考慮以下經(jīng)典的動態(tài)系統(tǒng)：

(1)

假設(shè)1在整個論文中，做出如下假設(shè)：

1)假設(shè)ek和vk是獨立的，均值為0的高斯白過程。

(2)

2)進一步假設(shè)初始狀態(tài)x0是一個具有均值為μ和協(xié)方差為E[(x0-μ)(x0-μ)T]=P0的高斯隨機變量，它與{ek}和{vk}相互獨立。

確定估計器和相關(guān)的誤差協(xié)方差矩陣：

(3)

(4)

(5)

1.2 主要結(jié)果

引理1[23]考慮經(jīng)典的動態(tài)系統(tǒng)：

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

2 具有丟包的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)

網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的通信通道通常使用以下兩種協(xié)議之一：傳輸控制協(xié)議(TCP)或用戶數(shù)據(jù)報協(xié)議(UDP)。兩者的區(qū)別之一是數(shù)據(jù)在網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中傳輸時，是否發(fā)生丟包的行為是可知還是未知的。若是可知的，稱之為TCP情形下的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，反之，則稱之為UDP情形下的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)。

為了基于量測過程{z0,z1,…,zk}來估計系統(tǒng)狀態(tài)xk，在給出最優(yōu)估計器之前，首先介紹如下的引理。

引理2[24]假設(shè)X,Y為任意聯(lián)合分布的隨機變量，則當隨機變量Y取值為y時，對隨機變量X的最小均方差估計可以如式(11)計算:

(11)

2.1 系統(tǒng)丟包過程γk可知

假設(shè)γk在每一個k時刻都能夠直接觀測到，隨機過程γk與量測數(shù)據(jù)zk在估計器設(shè)計中都是可知的。考慮動態(tài)系統(tǒng)：

(12)

其中，xk∈Rn是狀態(tài)過程，zk∈Rn是量測信息，A∈Rn×n，H∈Rn×n是給定的確定性矩陣，γk∈{0,1}描述了數(shù)據(jù)從執(zhí)行器傳輸?shù)娇刂破鞯膩G包過程。

假設(shè)2γk是獨立同分布(i.i.d)的Bernoulli隨機變量，其中P(γk=1)=p,P(γk=0)=q=1-p。

確定估計器和相關(guān)的誤差協(xié)方差矩陣：

(13)

(14)

(15)

其中，Zk表示集合{z0,z1,…,zk}。

定理1在假設(shè)1與假設(shè)2的條件下，對于給定的動態(tài)系統(tǒng)(12)，最優(yōu)估計可計算為：

(16)

(17)

Σk/k=I{zk=0}Σk/k-1+I{zk≠0}[Σk/k-1-KkHΣk/k-1]

(18)

Σk+1/k=AΣk/kAT+R

(19)

最優(yōu)估計器與文獻[12]中所得的結(jié)果一致。

其中,γk是獨立同分布的伯努利隨機變量，概率為P(γk=1)=p。

證明：

(20)

fx0|z0(x|z)是條件概率密度函數(shù)。

(21)

其中,fx0,z0是(x0,z0)的聯(lián)合密度函數(shù)，fz0(z)是z0的概率密度函數(shù)。

1)當z0=0時，x0,z0相互獨立，f(x0,z0)=f(x0)f(z0)。

(22)

(23)

2)當z0≠0時，

x0/0=E[x0|z0=Hx0+υ0]

(24)

(25)

因此，在這種情況下，x0是條件為z0的高斯隨機向量，可以得到以下式子

(26)

Σ0/0=P0-P0HT(HP0HT+Q)-1HP0

(27)

定義K0=P0HT(HP0HT+Q)-1，因此，

(28)

(29)

由于系統(tǒng)噪聲{ek}和{γk}是相互獨立的，由公式(12)可得

(30)

(31)

由于z1是以z0為條件的，所以

(32)

(33)

應(yīng)用于基本的結(jié)果，可以得到在z0和z1條件下x1的均值為

(34)

協(xié)方差為

Σ1/1=Σ1/0-Σ1/0HT(HΣ1/0HT+Q)-1HΣ1/0

(35)

因此，

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

Σk/k=I{zk=0}Σk/k-1+I{zk≠0}[Σk/k-1-KkHΣk/k-1]

(41)

(42)

證畢。

2.2 系統(tǒng)丟包過程γk未知

本節(jié)中考慮隨機過程γk不能直接被觀測到的情形，其中僅知道γk的概率分布。

系統(tǒng)的動態(tài)方程為

(43)

其中，xk∈Rn是狀態(tài)過程，zk∈Rn是量測信息，A∈Rn×n，H∈Rn×n是給定的確定性矩陣。

假設(shè)3{γk}是獨立同分布(i.i.d)的Bernoulli隨機變量，其中，P(γk=1)=p,P(γk=0)=q=1-p。另外，γk不能在系統(tǒng)中觀測到。

定理2在假設(shè)1和假設(shè)3的情況下，系統(tǒng)(43)的最優(yōu)濾波可以通過迭代的方法推得

(44)

(45)

(46)

(47)

(48)

Σk+1/k=AΣk/kAT+R

(49)

證明：

(50)

其中,fx0|z0(x|z)是條件概率密度函數(shù)，

(51)

fx0,z0是(x0,z0)的聯(lián)合密度函數(shù)，fz0(z)是z0的概率密度函數(shù)。

1)當γ0=0時，

fz0(y)=fυ0(y)，fx0,z0(x,y)=fx0(x)fυ0(y)

2)當γ0≠0時，

其中，

(52)

(53)

Fx0,Hx0+υ0(x,y)=P(x0≤x,Hx0+υ0≤y)

Fx0,υ0(x,y)=P(x0≤x,υ0≤y)

(54)

(55)

進而得到，

(56)

(57)

由于x1=Ax0+e0，所以

(58)

(59)

則最優(yōu)估計

(60)

定義fx1,z0,z1(x,y,z)=Δ1,fz0,z1(y,z)=Δ2，

(61)

Δ2=p2fHx0+υ0,Hx1+υ1(y,z)+p(1-p)fυ0,Hx1+υ1(y,z)+p(1-p)fHx0+υ0,υ1(y,z)+(1-p)2fυ0,υ1(y,z)

(62)

(63)

(64)

(65)

以此類推，可以得到：

(66)

(67)

(68)

(69)

Σk+1/k=AΣk/kAT+R

(70)

證畢。

由于求得的最優(yōu)濾波太復(fù)雜，難以實際應(yīng)用，因此，為了更簡單的使用，需要給出一個次優(yōu)近似估計器。這種情況考慮的基本模型中沒有量測噪聲，不包括任何量測噪聲的理由是假設(shè)傳感器和控制器之間的通信發(fā)生在網(wǎng)絡(luò)層，其中發(fā)送的數(shù)據(jù)包是接收或丟失的。或者，也可以認為傳感器和控制器通過具有無限容量的二進制擦除信道連接，即沒有狀態(tài)的量化或編碼。

(71)

定理3對于系統(tǒng)(70)，基于量測過程{z0,…,zk}的次優(yōu)估計器可以表示為

(72)

(73)

證明：具體證明過程參考文獻[14]。

3 數(shù)值算例

在本節(jié)中，將進行數(shù)值仿真模擬來進一步說明理論結(jié)果。一方面，通過圖1展示在網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中經(jīng)典卡爾曼濾波的最優(yōu)性。另一方面，對于具有數(shù)據(jù)包丟失的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，本文給出定理1最優(yōu)估計與定理3次優(yōu)估計的仿真實例，并且分別與線性最小均方差誤差估計(LMMSE)進行比較。

3.1 卡爾曼濾波

假設(shè)經(jīng)典動態(tài)系統(tǒng)(1)的參數(shù)：A=1，H=0.2，ek～N(0,1)，vk～N(0,1)，時域N=200。由圖1可以看出，對于經(jīng)典的動態(tài)系統(tǒng)，系統(tǒng)觀測值與真實值的誤差比較大，而卡爾曼濾波的結(jié)果與系統(tǒng)真實值的誤差較小，能有效跟蹤系統(tǒng)的狀態(tài)。

3.2 最優(yōu)估計

由于在具有數(shù)據(jù)包丟失的NCSs當中，經(jīng)典的卡爾曼濾波失去有效性，因此，本文通過量測過程推導(dǎo)出系統(tǒng)的最優(yōu)估計器。首先對于隨機過程γk能直接被觀測到的情形，針對定理1，假設(shè)線性離散隨機系統(tǒng)(12)的參數(shù)：A=1.01，H=1，ek～N(0,1)，vk～N(0,1)，μ=0，P0=1，p=0.4，時域N=100。

從圖2可以明顯看出本文得出的最優(yōu)估計器與系統(tǒng)真實值之間誤差較小，而LMMSE與系統(tǒng)的真實狀態(tài)誤差較大，因此驗證了本文定理1的有效性。

圖1 系統(tǒng)的真實狀態(tài)，觀測值與卡爾曼濾波之間的比較

圖2 系統(tǒng)的真實狀態(tài)，最優(yōu)估計與LMMSE之間的比較

圖3 系統(tǒng)的真實狀態(tài)，次優(yōu)估計與LMMSE之間的比較

3.3 次優(yōu)估計

對于隨機過程γk不能直接被觀測到的情形，由于求得的最優(yōu)濾波太復(fù)雜，不能實際應(yīng)用，所以本文只考慮次優(yōu)估計器的數(shù)值算例。因此，針對定理3，假設(shè)系統(tǒng)(71)的參數(shù)為：A=1.02，H=0.8，ek～N(0,1)，μ=0，P0=1，p=0.4，時域N=100。

從圖3中可以明顯看出本文給出的次優(yōu)估計器與系統(tǒng)的真實值的誤差比較小，而LMMSE與系統(tǒng)的真實值誤差比較大，由此證明本文提出的方法是可靠的。

4 結(jié)論

本文對具有丟包的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的估計問題進行了研究，當量測方程帶有噪聲時，由于經(jīng)典的卡爾曼濾波失效，針對不同的情形采用遞推的方法求出了系統(tǒng)的最優(yōu)估計(條件期望)和協(xié)方差矩陣。同時，為進一步研究大的有限域下的網(wǎng)絡(luò)控系統(tǒng)的問題，開發(fā)了一個次優(yōu)估計器，具有實際應(yīng)用價值。最后，通過數(shù)值模擬驗證了文中提出的估計器能有效跟蹤系統(tǒng)的狀態(tài)，并且比LMMSE的性能更好，本文提出的方法是可行的。因此，研究具有數(shù)據(jù)包丟失的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的估計問題具有重要的理論和現(xiàn)實意義。