激光復混沌系統構建及其點乘函數投影同步

方 潔，姜明浩，安小宇，鄧 瑋

(1.鄭州輕工業大學電氣信息工程學院，鄭州 450002；2.河南省信息化電器重點實驗室，鄭州 450002)

0 引言

混沌是非線性動力系統的固有特性，是非線性系統普遍存在的現象。牛頓確定性理論能夠充分處理的多為線性系統，而線性系統大多是由非線性系統簡化來的。因此，在現實生活和實際工程技術問題中，混沌是無處不在的。目前，混沌理論已經在數學、生物學、信息技術、經濟學、工程學、物理學、等眾多科學學科中得到廣泛應用[1-5]。

在現代通信技術特別是全光網絡高速發展的趨勢下，光學混沌及其保密通信技術以其獨特的優勢受到了國內外的廣泛關注。半導體激光器是光纖通信中最常用的光源之一，通過引入附加自由度可以產生豐富的非線性動力學行為，如果選擇合適的控制參數，可輸出高維混沌光信號[6-9]。混沌光信號具有不可長期預測性和類噪聲特性，特別適用于混沌保密通信中。隨著各種激光混沌系統的提出與驗證，混沌光通信己經成為一種能夠克服數值計算加密安全性低的實用通信技術[10-12]。

相對于實混沌系統，復混沌系統將混沌系統的狀態變量從實數域擴展到復數域上，增加了系統狀態變量的數目，使得混沌系統具有更加復雜的動力學行為。復混沌系統深厚的物理背景及更加不可預測和隨機的狀態變量的特性使得其在保密通信領域有著巨大的應用潛力，吸引了很多學者對復混沌動力學系統進行研究，并取得了一系列進展。文獻[13]研究了一個三維混沌復系統的基本性質，實現了系統的自適應混沌同步和參數識別。文獻[14]針對含未知參數的異結構超混沌復系統，基于自適應控制及Lyapunov穩定性理論，提出一種新的自適應廣義組合復同步方法。文獻[15]研究了時滯復Lorenz系統的動態特性及時滯因數的影響，并基于非線性反饋控制方法實現了復Lorenz系統的自時滯混沌同步。文獻[16]基于自適應控制方法研究了具有已知或未知參數的復混沌系統的修正函數投影同步。文獻[17]基于滑模控制方法研究了具有未知參數和外界干擾的分數階復混沌系統的完全同步。文獻[18]基于非線性控制策略研究了具有參數擾動的分數階復混沌系統的雙重相同步和反相同步。文獻[19]以超混沌復系統為載體，研究了該系統的動力學行為，通過將脈沖注入控制參數中來增強該混沌系統的隨機性，并將其應用于彩色圖像加密中。文獻[20]構建了一個新的復混沌系統，分析了其動力學行為，實現了3個復混沌系統的組合函數投影同步。已有復混沌系統及其同步研究大都是基于復混沌電路，目前還鮮有關于激光復混沌系統的有關報道。

本文在上述研究的基礎上，基于四維激光實混沌系統模型，構建出一個新的具有蝴蝶型混沌吸引子的激光復混沌系統，基于非線性動力學理論對其耗散性、平衡點、Lyapunov指數譜、相圖、分叉圖等動力學特性進行了分析，驗證了系統的混沌行為。然后，在向量點積運算的基礎上，提出了一種點乘函數投影同步方式，基于Lyapunov穩定性定理，設計具有積分環節的滑模面和自適應滑模控制器，實現了蝴蝶型激光復混沌系統的點乘函數投影同步。研究成果為激光復混沌系統應用于光保密通信等領域奠定了基礎。

1 多翼蝴蝶型激光復混沌系統模型

四維激光實超混沌系統的模型為[4]：

(1)

式中f0,f1,f2,Ω為實常數。當f1=0.01，f1=0.01，f2=0.01，0.45<Ω<0.98或Ω>0.22時，系統有兩個正的Lyapunov函數，為超混沌狀態。

(2)

當f0=1，f1=0.01，f2=0.01，Ω=0.6時，該系統相圖具有蝴蝶型混沌吸引子，如圖1所示。采用雅閣比方法計算系統的Lyapunov指數，得到LE1=0.119 665，LE2=0.074 812，LE3=0，LE4=-0.100 009，LE5=-0.059 122，LE6=-0.162 011，LE7=-0.147 536，其Lyapunov指數仿真結果如圖2所示。混沌系統的一個典型特征就是其Lyapunov維數為分數維。計算該系統的Lyapunov維數為DL=3.456 266 35，進一步說明在此參數下系統是混沌的。

圖1 混沌吸引子相圖

圖2 Lyapunov指數譜

2 激光復混沌系統動力學特性

2.1 耗散性分析

該激光復混沌系統的向量場散度

(3)

2.2 平衡點及穩定性分析

記：

E0=[2Af2(A-f1)/B,0.5B/f1,A,-f1,0,-D,0]

E1=[2Af2(A-f1)/B,0.5B/f1,A,-f1,0,D,0]

為了分析系統在平衡點E0處的穩定性，對系統(2)進行線性化得其Jacobian矩陣：

顯然有λ1<0。當0

在平衡點E1處的Jacobian矩陣為：

選取參數f0=1，f1=0.01，f2=0.01，計算出J1的特征值和J0完全相同，因此隨著B在0≤B=1+sin(Ωt)≤2范圍內取值變化，平衡點E1也是不穩定的焦點或不穩定的鞍點。

2.3 Lyapunov指數譜及分岔圖

隨著參數的改變，系統平衡點的穩定性將會發生變化，從而使系統處于不同的狀態。用Lyapunov指數譜及分岔圖可以對照分析系統參數改變對系統動力學行為的影響。下面分別分析參數Ω和f1在一定范圍內改變時，系統動力學行為的變化。

1)固定參數f0=1，f1=0.01，f2=0.01，改變Ω，Ω∈(0,10)。激光復混沌系統的Lyapunov指數譜及分岔圖如圖3所示。由圖3可知，當Ω∈(0,0.3)時，系統的Lyapunov指數有4個正值，3個負值，系統是超混沌的；當Ω∈(0.3,4.4)時，系統的Lyapunov指數有3個正值，4個負值，系統超混沌的；Ω∈(4.4,10)時，系統的Lyapunov指數有3個正值，1個零值，3個負值，是超混沌的。

圖3 Ω∈(0,10)，隨參數Ω變化的系統圖

2)固定參數f0=1，f2=0.01，Ω=0.6，改變f1，f1∈(0.003,1)。激光復混沌系統的Lyapunov指數譜及分岔圖如圖4所示。由圖4可知，當f1∈(0.003,0.17)時，系統的Lyapunov指數有2個正值，1個零值，4個負值，系統是超混沌的；當f1∈(0.17,0.3)時，系統的Lyapunov指數有2個正值，5個負值，系統是超混沌的；當f1∈(0.3,1)時，系統的Lyapunov指數有1個正值，6個負值，系統是混沌的。

圖4 f1∈(0.003,1)，隨參數f1變化的系統圖

3 激光復混沌系統的點乘函數投影同步

3.1 問題描述

同步系統由兩個混沌驅動系統和一個混沌響應系統組成，第一個混沌驅動系統定義為

(4)

另一個混沌驅動系統定義為

(5)

混沌響應系統定義為

(6)

(7)

則稱驅動—響應系統實現了點乘函數投影同步。

3.2 滑模控制器設計

設計滑模面如式(8)：

(8)

其中，si(t)∈R為滑模面函數；滑模面參數λi(t)>0,i=1,2,…,n為合適的正常量。

設計如式(9)的滑模到達律：

(9)

由式(7)可得同步系統的動態誤差為

(10)

為了確保誤差系統軌跡到達已設定的滑模面，并保持在滑模面上，可設計如式(11)的滑模同步控制器。

(11)

定理1對于同步誤差動態系統(10)，在滑模同步控制器(11)的作用下，可以使得同步誤差軌跡快速進入設定的滑模面內，并始終保持在滑模面上。

證明：選擇正定的Lyapunov泛函為

(12)

對其求導可得：

(13)

根據式(8)和式(10)可得：

(14)

將式(11)代入式(14)可得：

(15)

3.3 數值仿真

為了驗證上述方案的正確性，將激光復混沌系統(2)分別作為驅動系統和響應系統進行仿真實驗。第一個驅動系統的初始值取為(x1(0),x2(0),x3(0),x4(0),x5(0),x6(0),x7(0))=(-3,2,-0.6,0.5,-2,3,0.8)；第二個驅動系統的初始值取為(y1(0),y2(0),y3(0),y4(0),y5(0),y6(0),y7(0))=(-0.3,2,0.6,5,-0.9,3,1)；響應系統的初始值取為(z1(0),z2(0),z3(0),z4(0),z5(0),z6(0),z7(0))=(0.3,2,1.5,1,-0.8,1,2)；函數比例因子為m(t)=2+sin(t)；取λi=ρi=5,i=1,2,…,n。驅動系統與響應系統的同步狀態曲線如圖5所示，同步誤差e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7隨時間t的變化曲線如圖6所示。由仿真結果可知，在控制器的作用下，驅動系統與響應系統的狀態曲線趨于一致，同步誤差e逐漸趨近于零，即驅動系統和響應系統通過滑模控制實現了點乘函數投影同步。

圖5 驅動系統與響應系統的同步狀態曲線

圖6 同步誤差隨時間t的變化曲線

4 結論

本文在激光實混沌系統的基礎上構建了一個蝴蝶結型激光復混沌系統，利用耗散性、平衡點、Lyapunov指數譜、相圖及分叉圖等對其基本動力學特性進行了分析。隨著參數變化，該系統呈現復雜的混沌、超混沌現象，非常適用于混沌加密領域。進一步，以向量點積運算為基礎，定義了一種新的點乘函數投影同步方式，基于滑模控制思想，實現了兩個驅動系統和一個響應系統的點乘函數投影同步。以新構造的激光復混沌系統為例的仿真實驗驗證了理論方法的有效性。研究成果為激光復混沌系統的光保密通信應用提供了理論基礎。