懸索橋基準索股調整計算的改進方法

鄧小康，孫 杰

(武漢科技大學 汽車與交通工程學院，湖北 武漢 430081)

0 引 言

懸索橋主纜索股架設線形控制是懸索橋施工控制的關鍵環節[1]，主纜索股架設完成后，其在鞍槽內不動點位置就完全固定下來[2]，后續施工中不動點間的無應力長度無法再進行調整，故對主纜線形存在的誤差應盡量在索股架設階段加以消除[3-5]。

主纜索股架設線形調整計算的核心是確定無應力索長調整量(ΔS)與垂度偏差量(Δf)之間的關系。文獻[6]提出基于拋物線理論的基準索股調整計算方法，該方法計算簡便、精確度較高，但其采用拋物線來擬合主纜線形，與實際情況并不相符。文獻[7-8]提出基于懸鏈線理論的基準索股調整計算方法，該方法采用了與實際情況最為接近的懸鏈線來擬合主纜線形，但需通過反復迭代來確定主纜線形和無應力長度，計算繁瑣，不便于現場調索操作[9-10]。

筆者在對懸索橋主纜線形和主纜變形與受力關系分析基礎上，提出了一種懸索橋基準索股調整計算的改進方法。該方法基于懸鏈線理論，采用泰勒公式將主纜線形方程在目標空纜狀態處展開，求解展開后的方程即可獲得索長調整量與主纜跨中矢高變化量之間關系，該方法計算簡便、精度高。此外，筆者還分別討論了該方法在等高主塔和不等高主塔情況下的應用。

1 計算方法提出

主纜計算示意如圖1。圖1中：以最低點A為原點，y軸豎直向上，左邊x軸水平向左，右邊x軸水平向右建立坐標系。令：q為沿索長均勻分布的主纜自重，H為索段上任一點的水平分力，z為任一點的斜率。

圖1 主纜計算示意Fig. 1 Schematic diagram of main cable

文獻[11]已求出不考慮彈性伸長對主纜自重荷載集度影響時的主纜線形斜率參數方程和有應力長度。故圖1中主纜線形方程如式(1)～式(3)：

(1)

(2)

(3)

圖1中的最低點左側主纜(或右側主纜)，其任意兩點間主纜有應力長度如式(4)：

(4)

式中：zj為索段高點j的斜率；zi為索段低點i的斜率。

為計算簡便，筆者在進行調索計算時，對當前狀態和目標空纜狀態的主纜長度均采用有應力索長。文獻[12]研究表明：這樣處理造成的誤差很小。

2 等高主塔基準索股調整計算

等高主塔基準索股的調整計算可歸納為：已知在考慮各種施工誤差情況下的主纜計算跨徑為L，主纜在調索前的垂度為f(假定此時跨中標高高于目標狀態Δf)，沿索長均勻分布的主纜自重為q(圖2)，求主纜的索長調整量。

圖2 等高主塔基準索股調整示意Fig. 2 Adjustment diagram of datum cable strand of constant heightmain tower

2.1 主纜調索方程構建

由于主塔等高，最低點A位于跨中位置，且此時A點往左右兩邊的斜率均為0。令調索前主纜頂端的斜率為z1，主纜水平分力為H。代入式(1)、式(3)可得式(5)、式(6)：

(5)

(6)

式(5)、式(6)為二元非線性方程組，方程組包含兩個未知數，即主纜的水平分力H和頂端的斜率z1，只需求出兩個未知數，調索前的主纜線形和內力即可完全確定。式(6)除以式(5)得式(7)：

(7)

構建函數如式(8)：

(8)

式(8)即為對稱主塔的主纜調索方程，其僅包含頂端斜率z1一個未知數。對式(8)求導得式(9)：

(9)

對式(8)求二階倒數，有式(10)：

(10)

式(10)恒大于0，g(z1)為凹函數，如圖3。

2.2 運用泰勒一階展開式計算調索量

目標空纜狀態下主纜長度S0和主塔頂端主纜斜率z0為已知量，均可由成橋狀態分析得到[13]。

圖3 g(z1)函數示意Fig. 3 Schematic diagram of g(z1)

由于調索前空纜狀態和目標空纜狀態主纜線形差別不大，z0應在式(8)的解附近，將g(z1)在z0處一階展開，得式(11)：

(11)

式中：O(z1)為高階微量。

忽略高階微量，則式(11)變為式(12)：

g(z)=C1+C2(z1-z0)=0

(12)

求解式(12)即可求得z1，如式(13)：

(13)

通過文中算例發現：采用泰勒一階展開求出的z1存在較大誤差，對結果按照式(13)進行二次修正后即可得到滿足精度要求的z1。

將z1代入式(5)可求得調索前空纜狀態主纜的水平分力H，如式(14)：

(14)

將求得的H和z1代入式(4)，即可得到有應力長度S。需注意的是，目標空纜狀態的主纜長度S0也應采用不考慮變形前后q變化時的有應力長度，將S和S0相減，即得索長調整量，如式(15)：

ΔS=|S-S0|

(15)

2.3 運用泰勒二階展開式計算調索量

將g(z1)在z0處二階展開，有式(16)：

(16)

式中：O(z1)為高階微量。

忽略高階微量，則式(16)變為式(17)：

(17)

式中：C1、C2同2.2節。

求解式(17)，即可求得z1，如式(18)：

(18)

將式(18)代入式(5)，即可求出H。

已知z1和H即可參照2.2節方法求出當前狀態下主纜長度S，并由式(15)得到索長調整量ΔS。

3 不等高主塔基準索股調整計算

為滿足地形和線路走向要求，在某些情況下懸索橋會采用主塔不等高的設計[14]。不等高主塔會造成主纜線形改變和內力重分布[15]，其調索計算方法也會發生改變。

不等高索塔基準索股的調索計算可歸納為：已知在考慮各種施工誤差情況下的主纜計算跨徑為L，主纜在調索前的左右垂度分別為f1、f2(假定此時主纜最低點標高高于目標狀態Δf)，沿索長均勻分布的主自重為q，求主纜索長的調整量，如圖4。

圖4 不等高索塔基準索股調整示意Fig. 4 Adjustment diagram datum cable strand of unequal height tower

令調索前左、右主纜頂端斜率分別為z1、z2，則主纜水平分力為H。由式(5)、式(6)可得式(19)～式(21)：

(19)

(20)

(21)

由式(19)除以式(20)、式(20)除以式(21)，可得式(22)、式(23)：

(22)

(23)

對式(22)進行調整，有式(24)：

(24)

對式(23)進行調整，有式(25)：

(25)

目標空纜狀態下主纜長度S0和主塔頂端主纜斜率z10、z20為已知量，均可由成橋狀態分析得到。

由于調索前空纜狀態和目標空纜狀態主纜線形差別不大，z10、z20應在式(24)、式(25)的解附近。將m(z1,z2)和n(z1,z2)在(z10,z20)處一階展開，得式(26)～式(31)：

(26)

z20)+O2(z1,z2)

(27)

令：

(28)

(29)

(30)

(31)

式中：O1、O2分別為高階微量。

將z1=z10、z2=z20代入式(28)～式(31)，即可得到泰勒展開式的各項系數，忽略高階微量，式(26)、式(27)可寫為式(32)、式(33)：

m(z10,z20)+C1(z1-z10)+C2(z2-z20)=0

(32)

n(z10,z20)+C3(z1-z10)+C4(z2-z20)=0

(33)

求解式(32)、式(33)，即可求得z1、z2，如式(34)、式(35)：

(34)

(35)

為提高精度，可將求得的z1、z2再次代入式(34)、式(35)進行二次修正，修正后的z1、z2作為最終結果。

將z1、z2代入式(19)，可求得主纜水平分力H，如式(36)：

(36)

已知z1、z2和H后即可參照第2節方法求出當前狀態下的主纜長度S，再用|S-S0|即可求得索長調整量。

4 算 例

4.1 算例1

某等高主塔懸索橋，主纜沿弧長的自重線荷載為q=0. 2117 kN/m，已通過成橋狀態線形分析得到主纜索股有應力長度為1 129.020 m，在考慮索塔偏位和索鞍預偏量情況下，實測索股兩端水平距離為1 105. 622 m，目標空纜狀態參數見表1。

表1 目標空纜狀態參數Table 1 Parameters of target empty cable status

對跨中標高高于目標狀態(即垂度小于目標空纜狀態)0.2、0.4、0.5、0.6、0.8、1.0 m情況，通過懸鏈線索長計算程序得到當前狀態精確索長及索長精確調整量(與文獻[8]對比，其索長誤差小于0.001%)，再按照文中提出的改進方法和基于拋物線理論的調索公式分別計算主跨索長調整量，將這3者對比，結果如表2。

通過表2可看出：同精確解相比，基于拋物線理論調索公式計算結果誤差為3.24%～4.35%；而采用文中基于泰勒公式一階展開式(不進行二次修正)進行調索計算時，計算結果誤差為8.70%～25.54%，誤差較大；進行二次修正后，計算調索量誤差降為0～1.09%，精度大為提高；采用文中提出的基于泰勒公式二階展開式進行調索計算時，計算調索量誤差為0～1.09%，索長調整量計算精度較高。

表2 等高索塔索長調整量比較Table 2 Comparison of cable length adjustment of equal height cable tower m

4.2 算例2

某不等高主塔懸索橋跨度L=888 m，主纜恒載集度q=54 kN/m，取f1=60 m，f2=61 m。對跨中標高高于目標狀態(即垂度小于目標空纜狀態)0.2、0.4、0.5、0.6、0.8、1.0 m的情況，通過懸鏈線索長計算程序得到當前狀態精確索長及索長精確調整量，再按照文中提出改進方法的調索公式計算主跨索長調整量，將二者對比，結果如表3。

由表3可知：當主塔不等高時，同精確值相比，采用文中提出的泰勒公式一階展開式(二次修正)進行調索時，計算調整量誤差為0～0.32%，索長調整量計算精度較高。

表3 不等高索塔索長調整量Table 3 Cable length adjustment of unequal height cable tower m

5 結 論

筆者提出了一種懸索橋基準索股調整計算的改進方法。該方法以筆者前期研究過程中提出的主纜線形斜率參數方程和索長計算方法為基礎，將當前狀態主纜線形方程采用泰勒展開式展開，求解展開后的方程即可得到調索前主纜長度，進而獲得索長調整量。

算例1結果表明：等高索塔采用泰勒公式一階展開式(不進行二次修正)計算時，得到的索長調索量誤差較大；采用泰勒公式一階展開式(二次修正)或泰勒公式二階展開式進行調索計算時，索長調整量與精確值基本一致。算例2結果表明：不等高索塔采用泰勒公式一階展開式(二次修正)進行調索計算時，索長調整量與精確值基本一致。