具有激活機(jī)制的多頭反向串聯(lián)算術(shù)優(yōu)化算法

摘 要： 為提高算術(shù)優(yōu)化算法（AOA）的全局勘探和局部開(kāi)發(fā)性能，提出具有激活機(jī)理的多頭反向串聯(lián)算術(shù)優(yōu)化算法（SFG-AOA）。激活機(jī)理策略是建立在算子位置更新層級(jí)的一種基于sigmoid函數(shù)的概率進(jìn)化機(jī)制，通過(guò)引入激活因子在保證算子在繼承父代位置信息的同時(shí)動(dòng)態(tài)調(diào)整算子尋優(yōu)步長(zhǎng)而擴(kuò)展新解多樣性和全局勘探性能。引入基于適應(yīng)度優(yōu)化的反向?qū)W習(xí)與灰狼信息反饋機(jī)制改進(jìn)算法開(kāi)發(fā)階段以提高尋優(yōu)精度。適當(dāng)修正非線性收斂曲線系數(shù)MOP構(gòu)建隨機(jī)調(diào)整策略。最后通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證不同策略改進(jìn)效果差異，并在CEC2014函數(shù)上進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)全面驗(yàn)證改進(jìn)算法性能。

關(guān)鍵詞： 算術(shù)優(yōu)化算法； sigmoid函數(shù)； 均值反向?qū)W習(xí)； 灰狼優(yōu)化算法

中圖分類號(hào)： TP301"" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

文章編號(hào)： 1001-3695（2022）01-027-0151-06

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2021.07.0243

Multi-head reverse series arithmetic optimization algorithm with activation mechanism

Yang Wenzhena， He Qingb

（a.College of Big Data amp; Information Engineering， b.Guizhou Provincial Key Laboratory of Public Big Data， Guizhou University， Guiyang 550025， China）

Abstract： In order to improve the global exploration and local development performance of the arithmetic optimization algorithm （AOA） ， this paper put forward a multi-head inverse series arithmetic optimization algorithm （SFG-AOA） with activation mechanism . The activation mechanism strategy was a probabilistic evolution mechanism based on the sigmoid function based on the operator position update level. The activation factor was order to ensure that the calculation was inherited from the parent’s position information while dynamically adjusting the operator optimization step length to expand new solutions and global exploration performance. It introduced the backward learning and gray wolf information feedback mechanism based on fitness optimization to improve the algorithm development stage， and improved the optimization accuracy. It appropriately modified the nonlinear convergence curve coefficient MOP to construct a random adjustment strategy. Finally， numerical experiments show that the differences in the improvement effects of different strategies.

Key words： arithmetic optimization algorithm; sigmoid function; mean reverse learning; grey wolf optimization algorithm

0 引言

隨著工業(yè)技術(shù)的發(fā)展，科學(xué)計(jì)算規(guī)模呈現(xiàn)日益漸增的趨勢(shì)，傳統(tǒng)優(yōu)化算法存在對(duì)初值敏感、參數(shù)多且依賴梯度信息以及難以實(shí)現(xiàn)等缺陷，近幾十年，元啟發(fā)式算法由于參數(shù)少易實(shí)現(xiàn)、求解效率高得到廣泛關(guān)注和研究。

元啟發(fā)式算法由于實(shí)現(xiàn)機(jī)理的不同，可大致分為基于遺傳進(jìn)化算法、基于生物群體的算法以及特定物理/數(shù)學(xué)實(shí)現(xiàn)機(jī)制算法［1］三類?；谶z傳進(jìn)化算法的如遺傳算法（GA）［2］;基于生物群體的算法通過(guò)模擬自然界生物捕食行為實(shí)現(xiàn)函數(shù)尋優(yōu)如蟻獅算法（ALO）［3］、樽海鞘算法（SSA） ［4］等；基于物理實(shí)現(xiàn)機(jī)制的算法有多元宇宙算法（MVO）［5］、萬(wàn)有引力搜索算法［6］等。鑒于元啟發(fā)式算法普遍存在收斂精度不高和易陷入局部最優(yōu)的問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外研究人員針對(duì)元啟發(fā)式算法展開(kāi)研究工作以期針對(duì)不同算法特點(diǎn)進(jìn)行優(yōu)化，進(jìn)而在工業(yè)應(yīng)用投入使用。Li等人［7］提出一種基于信息熵和博弈論的混合遺傳算法，使用信息熵初始化種群，博弈論應(yīng)用于基因操作產(chǎn)生的新群體，種群劃分為三個(gè)子組各自使用標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法、局部遺傳算法、標(biāo)準(zhǔn)局部混合遺傳算法豐富種群多樣性，防止算法早熟。于建芳等人［8］使用萊維飛行機(jī)制對(duì)蟻獅算法的位置更新進(jìn)行變異操作以及引入黃金正弦算法改進(jìn)精英蟻獅的尋優(yōu)方式獲得更佳尋優(yōu)性能以及開(kāi)發(fā)能力。Yildiz等人［9］混合精英反對(duì)派學(xué)習(xí)（EOBL）［10］在蝗蟲(chóng)優(yōu)化算法探索階段后使用提高算法探索搜索域能力以及尋優(yōu)效率，在蝗蟲(chóng)優(yōu)化算法位置更新后使用EOBL計(jì)算其相反位置，然后新舊位置適應(yīng)度競(jìng)爭(zhēng)對(duì)比擇優(yōu)選擇，提高了算法本地開(kāi)發(fā)能力。

算術(shù)優(yōu)化算法（AOA）［11］是Abualigah等人在2021年新提出的一種基于群體的新算法，與其他元啟發(fā)式算法相似，AOA函數(shù)求解過(guò)程主要分為探索（多樣化）和開(kāi)發(fā)（強(qiáng)化）機(jī)制，前者指的是使用算法搜索代理來(lái)廣泛覆蓋搜索空間以避免出現(xiàn)局部最優(yōu)解決方案，后者在開(kāi)發(fā)階段獲取解的更高精度。相對(duì)于其他元啟發(fā)式算法，算術(shù)優(yōu)化算法在兩個(gè)階段通過(guò)使用數(shù)理知識(shí)中的算術(shù)運(yùn)算符實(shí)現(xiàn)加（+）、減（-）、乘（×）、除（÷），該算法能夠在不計(jì)算其導(dǎo)數(shù)的情況下解決優(yōu)化問(wèn)題，使得AOA在其他學(xué)科中的應(yīng)用將是一個(gè)有價(jià)值的貢獻(xiàn)，即神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、特征選擇、云計(jì)算中的任務(wù)調(diào)度等實(shí)際問(wèn)題。為優(yōu)化標(biāo)準(zhǔn)AOA的迭代尋優(yōu)性能，本文提出一種具有激活機(jī)制的多頭反向串聯(lián)改進(jìn)算術(shù)優(yōu)化算法（SFG-AOA），激活機(jī)理策略是建立在算子位置更新層級(jí)的一種基于sigmoid函數(shù)的概率進(jìn)化機(jī)制，引入sigmoid激活因子在保證算子在保留父代位置信息的同時(shí)動(dòng)態(tài)調(diào)整算子尋優(yōu)步長(zhǎng)而擴(kuò)展新解多樣性以提升全局勘探性能。引入基于適應(yīng)度優(yōu)化的反向?qū)W習(xí)與灰狼信息反饋機(jī)制優(yōu)化算法開(kāi)發(fā)階段以提高尋優(yōu)精度。適當(dāng)性修正非線性收斂曲線系數(shù)MOP構(gòu)建隨機(jī)調(diào)整策略。最后通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證本文優(yōu)化算法在尋優(yōu)精度以及魯棒性改進(jìn)的有效性。

4 時(shí)間復(fù)雜度分析

時(shí)間復(fù)雜度是體現(xiàn)算法尋優(yōu)性能的關(guān)鍵指標(biāo)，它反映了算法尋優(yōu)效率。文獻(xiàn)［11］對(duì)算術(shù)優(yōu)化算法進(jìn)行了復(fù)雜度分析，本文采用相似原理對(duì)SFG-AOA進(jìn)行復(fù)雜度分析。

在標(biāo)準(zhǔn)AOA中，設(shè)置種群大小為N，空間維度為D，參數(shù)設(shè)置時(shí)間為ε0，產(chǎn)生均勻隨機(jī)數(shù)時(shí)間為ε1，求解適應(yīng)度時(shí)間為f（n），適應(yīng)度排序時(shí)間為ε2，因此SFG-AOA在算法初始時(shí)間復(fù)雜度與標(biāo)準(zhǔn)AOA一致，其時(shí)間復(fù)雜度為

O（ε0+N（D×ε1+f（n）））=O（N×D+f（n））

分析SFG-AOA步驟，假設(shè)改進(jìn)MOP和修正因子的時(shí)間分別為x2和x3，計(jì)算基于適應(yīng)度的反向?qū)W習(xí)與灰狼新候選解所需時(shí)間分別為x4和x5，執(zhí)行種群逐維位置移動(dòng)時(shí)間為x6，則在算法改進(jìn)階段時(shí)間復(fù)雜度為

O（N（ε2+x2+x3+x4+x5+x6×D））=O（N×D）

位置更新后進(jìn)行適應(yīng)度對(duì)比，使用貪婪算法擇優(yōu)更新后結(jié)合種群初始化階段時(shí)間復(fù)雜度為

O（2×（N×D+f（n）））=O（N×D+f（n））

與標(biāo)準(zhǔn)AOA相比，本文改進(jìn)算法時(shí)間復(fù)雜度沒(méi)有發(fā)生變化，運(yùn)行效率并未降低。

5 數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證FGAOA的尋優(yōu)性能，本章仿真實(shí)驗(yàn)主要分為三部分：a）標(biāo)準(zhǔn)AOA算法、蟻獅算法（ALO）［3］、樽海鞘算法（SSA）［4］、GWO［12］與SFG-AOA算法在八個(gè)測(cè)試函數(shù)上作性能比較驗(yàn)證SFG-AOA較強(qiáng)的尋優(yōu)性能;b）對(duì)不同改進(jìn)策略的改進(jìn)算法進(jìn)行獨(dú)立運(yùn)行實(shí)驗(yàn)，證明不同改進(jìn)策略對(duì)標(biāo)準(zhǔn)AOA的優(yōu)化效果;c）將SFG-AOA與尋優(yōu)機(jī)制相似的最新改進(jìn)算法在高維環(huán)境下對(duì)比，證明在尋優(yōu)難度增加的高維情況下SFG-AOA相對(duì)于其他新改進(jìn)算法仍具有競(jìng)爭(zhēng)性。

實(shí)驗(yàn)環(huán)境在Intel CoreTM i5-6500 CPU @ 3.20 GHz，8 GB內(nèi)存的PC機(jī)上的MATLAB R2016a仿真軟件下編程實(shí)現(xiàn)。以八組測(cè)試函數(shù)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，具體函數(shù)信息如表1所示，其理論值均為0。其中：F1～F5為單峰函數(shù)，用于測(cè)試算法局部開(kāi)發(fā)能力以及收斂速度;F6～F8為復(fù)雜多峰函數(shù)，用于測(cè)試算法全局搜索能力和尋優(yōu)效率。各組測(cè)試函數(shù)獨(dú)立運(yùn)行30次，實(shí)驗(yàn)中種群規(guī)模N和最大迭代次數(shù)T均設(shè)置為30和500，實(shí)驗(yàn)搜索空間維度分為高維200以及低維30。

5.1 收斂性低維對(duì)比

5.1.1 不同智能算法對(duì)比

為驗(yàn)證本文算法SFG-AOA尋優(yōu)有效性，利用表1所示測(cè)試函數(shù)選擇標(biāo)準(zhǔn)AOA算法、ALO、SSA、GWO作對(duì)比實(shí)驗(yàn)，算法之間共同參數(shù)設(shè)置一致，ALO和SSA算法的其他參數(shù)與本文一致。該實(shí)驗(yàn)部分測(cè)試函數(shù)空間維度設(shè)置為30，各測(cè)試函數(shù)組均獨(dú)立運(yùn)行30次，并將30次函數(shù)運(yùn)行結(jié)果的平均值（mean）、標(biāo)準(zhǔn)差（std）以及p-value作為算法性能評(píng)價(jià)指標(biāo)，詳細(xì)數(shù)據(jù)如表2所示。

表2中N/A表示尋優(yōu)效果無(wú)較大差異以及最佳算法不能與自身進(jìn)行比較，R為顯著性判斷結(jié)果，-表示判斷結(jié)果不與自身比較。從表中數(shù)據(jù)分析可知，這32組實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)結(jié)果p-value均小于0.01，R大部分為+，表示以上優(yōu)化算法SFG-AOA的優(yōu)越性在統(tǒng)計(jì)上是顯著的。平均值反映算法收斂速度以及尋優(yōu)精度，標(biāo)準(zhǔn)差反映算法尋優(yōu)穩(wěn)定性和魯棒性。本文算法在mean、std指標(biāo)上均明顯優(yōu)于其他四種對(duì)比算法，例如SFG-AOA在F1～F4、F6、F8函數(shù)均尋到最優(yōu)值情況下，其他四種對(duì)比算法均未尋到最優(yōu)解，驗(yàn)證了SFG-AOA具有較好的收斂速度以及尋優(yōu)穩(wěn)定性。將表2數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為單峰、多峰函數(shù)上的迭代曲線對(duì)全局搜索和局部開(kāi)發(fā)開(kāi)展作進(jìn)一步分析。

由圖2分析可知，在八組測(cè)試函數(shù)下五種對(duì)比算法隨著迭代時(shí)期尋優(yōu)進(jìn)度各異，迭代后期差異漸顯。SFG-AOA在算法迭代前期收斂速度較對(duì)比算法有明顯優(yōu)勢(shì)，全局搜索性能優(yōu)異，隨著算法次數(shù)增加，局部開(kāi)發(fā)能力在函數(shù)求解最優(yōu)值中顯得尤為重要。在未達(dá)到T時(shí)，SFG-AOA收斂精度已顯著領(lǐng)先于其他對(duì)比算法幾個(gè)甚至幾百個(gè)，在除F5外其他測(cè)試函數(shù)迭代次數(shù)300以內(nèi)已尋到最優(yōu)解，在算法后期對(duì)比算法陷入局部最優(yōu)的情況下，SFG-AOA仍保持較強(qiáng)局部開(kāi)發(fā)能力跳出局部極值（如F5），直觀地驗(yàn)證了改進(jìn)算法優(yōu)異的全局搜索和局部開(kāi)發(fā)能力。

綜合以上分析，SFG-AOA在收斂速度和精度上領(lǐng)先于其他四種對(duì)比算法，保持較強(qiáng)的局部開(kāi)發(fā)能力，驗(yàn)證了改進(jìn)算法具有優(yōu)越的尋優(yōu)能力以及局部極值分辨力，有效提高了標(biāo)準(zhǔn)AOA的總體尋優(yōu)性能。

5.1.2 分策略收斂性對(duì)比

為保證實(shí)驗(yàn)對(duì)比公平性，本節(jié)算法參數(shù)設(shè)置與5.1.1節(jié)一致，為比較不同改進(jìn)策略的有效性，將標(biāo)準(zhǔn)AOA、SFG-AOA與將MOP調(diào)整后的算術(shù)優(yōu)化算法（CAOA）、引入sigmoid函數(shù)的算術(shù)優(yōu)化算法（SAOA）以及加入對(duì)立適應(yīng)灰狼搜索機(jī)制的算術(shù)優(yōu)化算法（FGAOA）作對(duì)比實(shí)驗(yàn)。

1）非線性曲線（CAOA）與AOA CAOA策略在算法前期使用改進(jìn)后非線性調(diào)節(jié)因子MOP使得算法前期個(gè)體分散分布以快速遍歷搜索空間，為后期局部開(kāi)發(fā)足夠時(shí)間以及更多的位置信息反饋以避免誤判局部極值，并在算法后期以較大步長(zhǎng)避免個(gè)體出現(xiàn)分布集中導(dǎo)致算法停滯的現(xiàn)象。改進(jìn)效果如圖3中迭代曲線對(duì)比，單峰和多峰函數(shù)各選取一組測(cè)試函數(shù)。由圖3分析可知，不管是單峰函數(shù)F1還是多峰函數(shù)F6，改進(jìn)策略CAOA收斂精度及速度與標(biāo)準(zhǔn)AOA相比優(yōu)勢(shì)明顯，驗(yàn)證新MOP收斂曲線在算法不同迭代時(shí)期發(fā)揮了其優(yōu)化作用。

2）基于sigmoid函數(shù)的修正因子（SAOA）與AOA 為提高算法收斂速度，增加種群個(gè)體間位置信息之間的交流與反饋，提出一種基于sigmoid函數(shù)的新位置更新公式如2.2節(jié)所示，避免算法在理論值附近因?yàn)椴介L(zhǎng)過(guò)大而未挖掘到潛力理論值而降低收斂精度的情況，收斂曲線如圖4所示。

由圖4分析可知，F(xiàn)2、F7函數(shù)分別在423、329代收斂到理論值，與原始算法相比提高了35～62個(gè)精度，改進(jìn)策略SAOA對(duì)收斂速度優(yōu)化效果在算法迭代后期與AOA相比逐漸凸顯，有效避免了在迭代后期由于策略CAOA步進(jìn)過(guò)長(zhǎng)而導(dǎo)致偏離理論值進(jìn)而收斂精度降低的情況發(fā)生，有利于引導(dǎo)種群逐步向最優(yōu)值接近，增加候選解多樣性，幫助算法跳出局部極值從而提高算法收斂精度。

3）對(duì)立適應(yīng)灰狼搜索機(jī)制（FGAOA）與AOA 由于標(biāo)準(zhǔn)AOA的螺旋搜索機(jī)制存在隨機(jī)性概率高且過(guò)于依賴個(gè)體位置優(yōu)劣情況，提出一種新的多頭搜索機(jī)制即灰狼機(jī)制，通過(guò)多通道搜索機(jī)制，提取更多位置信息特征。實(shí)現(xiàn)效果與標(biāo)準(zhǔn)AOA收斂曲線對(duì)比如圖5所示。由圖5分析可知，由于加入多通道位置更新機(jī)制，在擅長(zhǎng)局部開(kāi)發(fā)的多頭灰狼搜索機(jī)制中加入基于適應(yīng)度均值的反向?qū)W習(xí)增強(qiáng)其全局搜索能力，候選解多樣性得到有效提升，在算法迭代前后期改進(jìn)策略FGAOA都表現(xiàn)了其優(yōu)勢(shì)顯著的尋優(yōu)性能，候選解之間使用貪婪算法擇優(yōu)選擇最優(yōu)解更新，有效提高了算法收斂速度以及精度。

綜上所述，通過(guò)算法整體、分策略與標(biāo)準(zhǔn)算法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)比較，改進(jìn)算法整體收斂精度與收斂速度比單策略更具有競(jìng)爭(zhēng)性，充分發(fā)揮了各分策略在算法不同階段的優(yōu)勢(shì)，說(shuō)明各分策略通過(guò)合理的構(gòu)造達(dá)到算法尋優(yōu)更高性能的實(shí)現(xiàn)，驗(yàn)證SFG-AOA在收斂精度以及收斂速度上改進(jìn)的有效性。

5.2 收斂性高維性能對(duì)比

為近一步驗(yàn)證算法尋優(yōu)性能，由于AOA提出時(shí)間較短，可對(duì)比改進(jìn)算法較少且篇幅有限，將最近與標(biāo)準(zhǔn)AOA搜索機(jī)制相似的改進(jìn)算法，即SCAOA［16］、ISCA［17］進(jìn)行高維度的單模函數(shù)、高維度多模函數(shù)中部分函數(shù)的收斂曲線對(duì)比實(shí)驗(yàn)。六組測(cè)試函數(shù)單獨(dú)運(yùn)行30次取其均值作對(duì)比實(shí)驗(yàn)，如圖6所示。

從圖6收斂曲線分析，與其他改進(jìn)算法對(duì)比，在算法不同搜索階段，SFG-AOA均顯示其優(yōu)越的全局優(yōu)化性能，在求解精度以及尋優(yōu)效率上得以體現(xiàn)。如F1、F8，在SCAOA與ISCA存在收斂停滯陷入局部最優(yōu)時(shí)，SFG-AOA只需要較少次的迭代次數(shù)就能尋到全局最優(yōu)解，在F8函數(shù)中尋到最優(yōu)值0，但數(shù)學(xué)理論上無(wú)法對(duì)0去對(duì)數(shù)，因此用MATLAB軟件作圖時(shí)在迭代次數(shù)30以后曲線無(wú)法顯示。SFG-AOA在六組測(cè)試函數(shù)中有五個(gè)測(cè)試函數(shù)尋到全局最優(yōu)值，并且尋優(yōu)結(jié)果穩(wěn)定且高效，雖然在F7未尋到全局最優(yōu)值，但其搜索精度以及收斂精度遠(yuǎn)優(yōu)于SCAOA與ISCA。

綜上所述，在高維環(huán)境下，不管是單模還是多模函數(shù)，本文改進(jìn)算法SFG-AOA相對(duì)于目前較新的改進(jìn)AOA與SCA仍具有較強(qiáng)的競(jìng)爭(zhēng)力，在函數(shù)最優(yōu)值求解中表現(xiàn)出良好的搜索性能。

5.3 CEC2014基準(zhǔn)函數(shù)檢驗(yàn)測(cè)試

為進(jìn)一步驗(yàn)證SFG-AOA的有效性和穩(wěn)定性，本文在CEC2014優(yōu)化函數(shù)中選取單峰、多峰、混合和復(fù)合類型的函數(shù)進(jìn)行理論值求解，選取的部分函數(shù)如表3所示。

為保證算法對(duì)比實(shí)驗(yàn)公平性，算法規(guī)模一致設(shè)置為30，迭代次數(shù)為1 000，函數(shù)獨(dú)立運(yùn)行30次取平均值和標(biāo)準(zhǔn)差，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表4所示。

表4中記錄各函數(shù)運(yùn)行結(jié)果平均值和標(biāo)準(zhǔn)差，由于CEC2014函數(shù)復(fù)雜性高、尋優(yōu)難度較高，SFG-AOA在單峰函數(shù)上的方差均略高于標(biāo)準(zhǔn)AOA，在CEC10、CEC18、CEC24、CEC26、CEC29上，不管是均值還是方差均小于標(biāo)準(zhǔn)AOA，在CEC24上雖然方差略小于AOA，但理論值的均值優(yōu)化效果較明顯，因此本文SFG-AOA在求解復(fù)雜優(yōu)化問(wèn)題時(shí)仍具有競(jìng)爭(zhēng)性。

6 結(jié)束語(yǔ)

為提高AOA的全局勘探和局部開(kāi)發(fā)性能，提出了一種改進(jìn)搜索機(jī)制的多通道位置更新的改進(jìn)算術(shù)優(yōu)化算法及SFG-AOA，修改MOP以平衡算法前后期全局與局部搜索，在位置更新公式中引進(jìn)基于sigmoid函數(shù)的修正因子避免算法因MOP調(diào)整后步進(jìn)過(guò)大而錯(cuò)失最優(yōu)值，導(dǎo)致收斂精度降低的情況發(fā)生，引入基于適應(yīng)度均值的對(duì)立灰狼優(yōu)化算法提取更多位置信息特征，為尋找最優(yōu)值提供更多解決方案，最后設(shè)置高低維數(shù)值實(shí)驗(yàn)以及CEC2014進(jìn)行詳細(xì)性能對(duì)比實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了SFG-AOA的全局搜索與局部開(kāi)發(fā)均得到有效提升，且收斂精度與速度、魯棒性優(yōu)化效果明顯。

參考文獻(xiàn)：

[1]趙世杰，高雷阜，徒君，等.耦合橫縱向個(gè)體更新策略的改進(jìn)MVO算法［J］.控制與決策，2018，33（8）：1422-1428.（Zhao Shijie， Gao Leifu， Tu Jun， et al. Improved MVO algorithm coupled with horizontal and vertical individual updating strategies［J］.Control and Decision，2018，33（8）：1422-1428.）

［2]Goldberg D E. Genetic algorithms in search， optimization and machine learning［M］.New York：Addison-Wesley，1989：41.

［3]Zhang Yixi， Ma Jian， Zhao Xuan， et al. Unscented Kalman filter estimator of vehicle states and parameters based on ant lion optimization algorithm［J］.Journal of China Highway，2020，33（5）：165-177.

［4]張達(dá)敏，陳忠云，辛梓蕓，等.基于瘋狂自適應(yīng)的樽海鞘群算法［J］.控制與決策，2020，35（9）：2112-2120.（Zhang Damin， Chen Zhongyun， Xin Ziyun， et al. Based on crazy adaptive slap swarm algorithm［J］. Control and Decision，2020，35（9）：2112-2120.）

［5]Mirjalili S， Mirjalili S M， Hatamlou A. Multi-verse optimizer： a nature-inspired algorithm for global optimization［J］.Neural Computing and Applications，2016，27（2）： 495-513.

［6]Rashedi E， Nezamabadi-Pour H， Saryazdi S. GSA： a gravitational search algorithm［J］.Information Sciences，2009，179（13）：2232-2248.

［7]Li Jiacheng， Li Lei. A hybrid genetic algorithm based on information entropy and game theory［J］.IEEE Access，2020，8：36602-36611.

［8]于建芳，劉升，王俊杰，等.融合萊維飛行與黃金正弦的蟻獅優(yōu)化算法［J］.計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究，2020，37（8）：2349-2353.（Yu Jianfang， Liu Sheng， Wang Junjie， et al. Ant lion optimization algorithm combining Lévy flight and golden sine［J］.Application Research of Computers，2020，37（8）：2349-2353.）

［9]Yildiz B S， Pholdee N， Bureerat S， et al. Enhanced grasshopper optimization algorithm using elite opposition-based learning for solving real-world engineering problems［J/OL］.Engineering with Compu-ters.（2021-06-07）.https：//doi.org/10.1007/s00366-021-01368-w.

［10]Zhou Yongquan， Wang Rui， Luo Qifang. Elite opposition-based flo-wer pollination algorithm［J］.Neurocomputing，2016，188：294-310.

［11]Abualigah L， Diabat A， Mirjalili S， et al. The arithmetic optimization algorithm［J］.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，2021，376：113609.

［12]Mirjalili S， Mirjalili S M， Lewis A. Grey wolf optimizer［J］.Advances in Engineering Software，2014，69：46-61.

［13]Long Wen， Jiao Jianjun， Liang Ximing， et al. An exploration-enhanced grey wolf optimizer to solve high-dimensional numerical optimization［J］.Engineering Applications of Artificial Intelligence，2018，68：63-80.

［14]Saxena A， Kumar R， Das S. β-chaotic map enabled grey wolf optimizer［J］.Applied Soft Computing，2019，75：84-105.

［15]Gupta S， Deep K. A novel random walk grey wolf optimizer［J］.Swarm and Evolutionary Computation，2019，44：101-112.

［16]Xu Yipeng， Tan Jingwen， Zhu Dingju， et al. Model identification of the proton exchange membrane fuel cells by extreme learning machine and a developed version of arithmetic optimization algorithm［J］.Energy Reports，2021，7（12）：2332-2342.

［17]Wang Meng， Lu Guizhen. A modified sine cosine algorithm for solving optimization problems［J］.IEEE Access，2021，9：27434-27450.