考慮多樣化需求的診療設備維護和患者調度聯合優化研究

摘 要： 針對診療設備維護和住院患者候診難以有效協調的問題，建立了聯合優化模型。首先，假設設備具有離散的劣化狀態，將設備的劣化過程建模為連續時間馬爾可夫鏈；其次，考慮到患者對診療設備的不同功能頻率需求，以及不同劣化狀態對患者治療時間、費用的影響，以患者就診順序、檢查策略、修復策略為決策變量建立了設備維護和患者調度模型；最后，采用改進后的非支配排序遺傳算法對多目標問題進行了求解。實驗結果驗證了設備維護與患者調度聯合優化模型的有效性。改進后的算法提高了整體和局部的搜索能力，且具有魯棒性。

關鍵詞： 維護計劃； 患者調度； 改進NSGA-Ⅱ； 多目標優化

中圖分類號： TP391.7"" 文獻標志碼： A

文章編號： 1001-3695（2022）01-035-0199-07

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2021.06.0224

Research on joint optimization of medical equipment maintenance and patient scheduling considering diversified demands

Zhang Ning， Liu Qinming， Li Jiaxiang

（Business School， University of Shanghai for Science amp; Technology， Shanghai 200093， China）

Abstract： In order to solve the problem that it was difficult to effectively coordinate the maintenance of diagnosis and treatment equipment and inpatient waiting， this paper established a joint optimization model. Firstly， assuming that the equipment had discrete deterioration state， it modeled the deterioration process of the equipment as a continuous time Markov chain. Se-condly， considering the different functional frequency requirements of patients for diagnosis and treatment equipment and the impact of different deterioration states on patients’ treatment time and cost， it established the equipment maintenance and patient scheduling model with patients’ treatment order， inspection strategy and repair strategy as decision variables. Finally， this paper used the improved non dominated sorting genetic algorithm to solve the multi-objective problem. The experimental results verify the effectiveness of the joint optimization model of equipment maintenance and patient scheduling. The improved algorithm improves the overall and local search ability， and has robustness.

Key words： maintenance planning; patient scheduling; improved NSGA-Ⅱ; multi-objective optimization

0 引言

在醫院運作過程中，大型診療設備的劣化受到許多因素的影響，是一個十分復雜的多因素影響下的劣化過程。在眾多因素中，功能頻率是其中最關鍵的因素之一，診療設備的功能頻率高低與診療設備的劣化速度和使用壽命有著密切的關聯。而診療設備的劣化速度又與診療設備預防性維護和部件更換有著緊密聯系，診療設備使用時的功能頻率越高，往往意味著設備的劣化速度越快，預防性維護和更換的頻率更高，并且設備在高頻率運轉時帶來能耗以及設備的運轉成本增加，給醫院及相關部門縮減運營成本帶來了巨大的壓力。設備的劣化并非一種連續過程，而是在多重因素影響下的一個曲線衰退過程，設備管理科往往無法預計設備的劣化狀態，只能定期進行檢查，根據得到的檢查結果制定下一步的措施。

現如今，越來越多的學者將生產調度和維護聯合起來考慮，因為兩者之間聯系緊密，聯合優化是解決兩者共存時的最佳選擇。提出的模型可以分為兩類，第一類包括使用機器的年齡和壽命信息來表示機器狀況的模型，其中故障時間遵循一定的概率分布。例如，Yang等人［1］在單機集成調度問題上調度可變維護活動時考慮了役齡對機器狀況的影響；Liu等人［2］提出了一種基于健康狀態和虛擬年齡的方法來建模具有維護活動的單機集成調度問題；Salmasnia等人［3］還解決了一個單機集成調度問題，并使用虛擬年齡因子來模擬故障和維護策略對機器年齡的影響；成國慶等人［4］假設劣化過程為Gamma過程，構建了多決策變量下的視情維護模型，最后通過蒙特卡羅仿真進行快速求解；甘婕等人［5］針對可檢測健康狀態的生產系統采取非完美視情維修策略，通過預防性維修閾值的設定和加工次序的改變使得系統生產成本顯著降低。第二類包括將機器狀態表示為離散多狀態劣化過程的模型，在該過程中，機器狀態之間的轉換遵循一定的概率分布。機器有一個新狀態、一個故障狀態和一個或多個介于兩者之間的狀態，這些狀態表示機器在新狀態之后和故障狀態之前的狀態。Sloan等人［6］研究了單個退化機器調度問題，并提出了一個離散多狀態系統來建模機器的退化；Bajestani等人［7］將流水車間環境中機器的退化過程建模為離散多狀態退化過程，使用連續時間馬爾可夫鏈來說明每臺機器的退化過程，并且提出了一種分解方法，將集成維護和生產調度分解為維護計劃和生產調度兩個子問題，最后使用仿真模型用于解決分解問題；Fitouhi等人［8］考慮一個具有有限緩沖能力的兩機連續流制造系統，提出了一種方法來分析預防性維護和緩沖區對系統性能的影響；Sharifi等人［9］考慮了完全退化和隨機故障兩種故障模式，并且設計了機器的劣化閾值用于優化維護活動，結果證明該模型可以顯著降低系統的總成本；甘婕等人［10］考慮了兩部件系統的機會維護，通過劣化狀態劃分以及多種維修組合的概率分析構建了聯合優化模型，最終通過算例驗證了聯合優化的有效性。

在先前對于離散狀態設備劣化模型的研究中，大多數學者假設設備經過預防性維護后恢復全新或是恢復至某一擬定劣化水平，而事實證明預防性維護的修復程度也與時間有關。例如在醫院設備科對于微波治療儀的維護，由于采取的是類似6S管理法，對于維護計劃有詳細的維護步驟［18～20］;并且由于該設備是一個復雜多部件合集，在不考慮部件相關性的前提下，預防性維護的修復程度近似與執行的維護步驟數有關，從而與時間有關。本文考慮采取不同的維護措施對設備進行預防性維護，將設備的劣化程度提升至不同等級或是當設備損壞時進行緊急修復，將設備恢復至全新狀態，根據醫院設備科對微波治療儀的日常維護措施，設備經過預防性維護后恢復達到的劣化狀態與預防性維護的時間有關；同時，針對患者對于特定診療設備具有多種不同需求功能頻率這一特點，借用加速劣化模型模擬了設備在不同頻率運轉下具有不同的運轉成本;最后，以設備維護及檢查成本、患者超額治療時間、設備運轉及緊急修復成本為目標構建多目標優化模型。

1 問題描述與模型假設

針對一臺診療設備，在工作時間段內，n位事先進行預約的住院患者等候就診，患者對診療設備具有不同的功能頻率需求。設備的劣化狀態可以通過患者就診間隔期內進行設備檢查時進行測定，在每一次設備檢查時均有機會開展預防性維護，由設備管理人員決策是否進行檢查以及維護策略。不進行設備檢查則無法進行預防性維護，每次預防性維護對設備的更新程度取決于預防性維護開展的時間長度。當設備出現故障，即設備的可靠度達到0時進行設備的緊急修復，使設備恢復全新。

診療設備的劣化程度被量化成m個離散的劣化狀態，劣化狀態數值越小表示劣化狀況越嚴重。在患者進行治療時，設備運行經過每一個時間間隔t會劣化到下一個劣化狀態，劣化狀態是有限的，設備最多可以劣化達到故障狀態（即完全劣化，劣化狀態為0）。劣化狀態的轉移可以是跳躍的，但是在非預防性維護和完全修復情況下，劣化狀態等級低的狀態無法跳躍至劣化狀態等級高的狀態。設備的劣化狀況越差，對于患者的就診時間和就診時設備運轉費用的影響越大。在劣化狀態為k時，設備有m－k種不同的維護策略，可以將設備的劣化狀態等級提升至不超過m的任意水準。診療設備的退化過程為馬爾可夫過程。本文將這一過程建模為連續時間馬爾可夫鏈。

當診療設備具有多種不同運行狀態下的功能頻率時，考慮到不同功能頻率勢必會對設備的運轉成本造成影響，引入加速失效模型。不同于以往加速失效模型對于劣化狀態的刻畫，本文中將其作為度量不同功能頻率下設備的運行成本，即設備的運行成本根據設備的不同功能頻率產生變化。當患者需求的功能頻率較高時，設備的運行成本呈指數級增加。

2 符號說明

i表示患者序列；j表示患者就診次序；k表示設備所處的劣化狀態；l表示診療設備不同的功能頻率；m表示設備劣化狀態數量；n表示就診患者數量；ti表示患者i的治療時間；tki表示考慮設備劣化后患者i實際的治療時間；ci表示治療患者i所需的費用；cki表示考慮設備劣化狀態為k時患者i實際治療所需費用；ckl，i表示在設備使用頻率pl下治療患者i所需的費用；α表示診療設備老化導致的治療時間增量因子；β表示診療設備老化導致的治療費用增量因子；γ表示加速失效影響因子；λk表示設備處于狀態k時的轉移速率；Skj表示在第j位次的患者就診時設備處于劣化狀態k的概率；ti表示考慮設備故障的患者i治療時間；ci表示考慮設備故障的患者i治療費用；TI表示診療設備健康狀況的檢查時間；TR表示設備維護時間；CI表示設備檢查費用；CR表示設備維護費用系數；CT表示設備運行成本系數；Ti表示患者i預期就診完成時間；Ti表示考慮了設備維護時間、設備檢查時間以及預測的設備劣化狀態后患者i的就診完成時間；Tmax表示患者治療時間閾值；τi表示在患者i就診期間出現設備故障的次數；cer表示設備故障后緊急修復費用；tr表示預防性維護時間系數；Ski表示在位置i的患者就診之前設備處于狀態k的概率。

5 算法測試與算例分析

5.1 多目標算法評價指標

為了綜合評價改進后算法的性能，選取標準測試函數集ZDT ［13］中的ZDT1、ZDT2、ZDT3、ZDT6進行測試，評價指標選用世代距離（GD）［14］和分散性指標（SP）［15］。對于實際模型的算例，采用超體積指標（HV）［16，17］分別對NSGA-Ⅱ和INSGA-Ⅱ關于本文模型的運行結果進行評價。

a）世代距離（GD）。通過計算算法求解出的非支配解集到真實Pareto前沿的平均最小歐氏距離，從而評估解集的收斂性。GD值越小表示收斂性更佳。

b）分散性指標（SP）。分散性指標［15］反映的是非支配解集分布的均勻程度和廣泛程度，它衡量的是目標空間中個體間的相對距離。SP指標值越小，代表種群中個體的分布越均勻，算法的多樣性越好。

c）超體積指標（HV）。HV ［16］表示解集中的個體與選定的參考點在目標空間中所構成的超立方體的體積，它不依托于參考集，在Pareto前沿未知情況下也同樣適用，這就導致它在實際優化問題中被廣泛采用。同時，HV指標能同時對解集收斂性、均勻性以及分布廣泛性作出一個綜合的評價，較其他單一性能評價指標具有更全面的優點。

5.2 模型參數設置

為了達到多次測試的目的，測試不同規模下的目標函數值以及算法性能，設置了多組不同規模的患者就診問題。患者人數的規模n分別為{10，20，30，40，50，80，100}；患者i的需求就診時間ti服從U（10，30）的均勻分布，患者i就診的設備運轉費用ci=ti+U（5，20）。假設有兩種患者需求的微波治療儀功能頻率，分別為{20，30}，并且由這兩種頻率隨機生成對應每一位患者的需求功能頻率。假設設備的劣化狀態m分為{3，2，1，0}四個等級，m=3，轉移速率為{0.02，0.04，0.03}。診療設備老化導致的治療時間增量因子α=0.5，診療設備老化導致的設備運轉費用增量因子β=0.8，加速失效影響因子γ=1.1，診療設備健康狀況的檢查時間TI=10，設備檢查費用CI=300，設備維護費用因子CR=50，設備運行成本系數CT=10，設備故障后緊急修復費用cer=2 000，預防性維護時間系數tr=8。

5.3 實驗結果及分析

采用經典NSGA-Ⅱ和改進后的INSGA-Ⅱ分別對設計的模型進行求解，兩種算法的參數設置為：種群規模為100，交叉概率為0.8，變異概率為0.1，最大迭代次數為200，交叉分布指數φc=1，變異分布指數φm=1，另外，INSGA-Ⅱ的精英個體規模增長系數ηk∈［0.2，0.8］，慣性權重為0.1，個體學習因子為0.8，社會學習因子為0.8。 ZDT1、ZDT2、ZDT3、ZDT6測試函數的決策變量規模均為30，每種測試函數進行30次計算，測試結果如圖4～7所示。

從GD、SP指標對比（表1）可以看到，改進后的INSGA-Ⅱ在GD和SP指標上均優于經典NSGA-Ⅱ，并且具有較小的標準差，說明算法具有較強的魯棒性，INSGA-Ⅱ的穩定性明顯優于NSGA-Ⅱ。值得一提的是，在ZDT6函數的測試中，經典NSGA-Ⅱ算法在運行了該迭代次數的部分情況下并不能很好地形成非支配解集，故無法得到測試后的SP指標，對此種測試結果予以剔除。在綜合了GD和SP的評估結果后，得出INSGA-Ⅱ在這些測試集中的表現優于NSGA-Ⅱ的結論。

對于本文模型的運行仍然采用上述算法參數設置，針對不同問題規模n={10，20，30，50，80，100}，每種規模分別用經典NSGA-Ⅱ和改進后的INSGA-Ⅱ各運行10次，得到兩種算法運行后的結果如表2、3所示。對于HV的計算采用統一量綱的操作，由算法運行得到的最大最小值選定區間進行歸一化運算，參考點的選擇為（1，1，1）。由于HV的值與參考點的選擇有較大關聯，比較不同問題規模下的HV值并無意義，該值僅用于比較相同問題規模下不同算法的性能差距。

從表2可以看出，在問題規模n較小時，兩種算法在不同目標函數上的均值互有優劣，這是因為問題規模較小，得到的解集規模較小，而且種群分布的不均勻導致均值出現較大波動；而當問題規模增大，得到的Pareto解集規模較大，種群分布更廣泛、更均勻，此時的INSGA-Ⅱ在不同目標上的均值均優于經典NSGA-Ⅱ。因此得出結論，在問題規模越大越復雜時，INSGA-Ⅱ具有更加優秀的Pareto解集質量。

表3對比了兩種算法在不同問題規模下的HV值，在多次實驗中，INSGA-Ⅱ求得解集的HV指標的均值、最大值、最小值均大于NSGA-Ⅱ，同時，前者的HV指標標準差小于后者，顯示出得到的結果較為穩定，在綜合考慮了解集分布的廣泛性、收斂性、前沿的均勻性后，INSGA-Ⅱ要優于NSGA-Ⅱ。

以患者人數的規模n=30為例，分別用經典NSGA-Ⅱ和改進后的INSGA-Ⅱ運行，對比結果如圖8所示。從圖8中可以看出，改進后的INSGA-Ⅱ相較于NSGA-Ⅱ具有更廣泛分布的種群，求得的Pareto解的數量遠大于后者且分布均勻，收斂性更佳。

進而比較單一目標優化與聯合優化，仍然以患者人數的規模n=30為例。當只取目標1（設備正常維護的費用和設備檢查成本）最優而不考慮其他目標時，得到結果（f1，f2，f3）=（0，526.83942，19727.6454），該結果以忽略設備的預防性維護及設備的就診前檢查為前提，導致的結果是設備的較多次損壞以及由設備損壞導致的就診時間延長，顯然這并非是一種良性的結果; 當只取目標2（超額就診時間）最優而不考慮其他目標時，得到結果（f1，f2，f3）=（2480，430.798664，17453.9228），該結果以適當的預防性維護以及就診前的設備檢查確保了患者在就診過程中設備的可靠性，但同時在設備運轉費用方面仍然具有改進空間；當只取目標3（患者就診時設備運轉成本）最優而不考慮其他目標時，得到結果（f1，f2，f3）=（16500，709.988717，7501.5559），該結果在頻繁進行設備預防性維護和設備檢查的前提下確保了設備在就診時期最小的故障概率，但同時另外兩個目標的數值卻大大增加。顯然，這三種方案并非是理想方案。而當考慮了多目標聯合優化后，取所有方案中的折中解得到（f1，f2，f3）=（4140，440.860609，15465.7494），該結果在給予適當的預防性維護和設備檢查以確保就診期間設備的故障率較低的同時，對于患者就診時間也有良好的控制。顯然，對于該類問題，采用聯合優化的方式更有助于醫患雙方的利益得到均衡協調。

5.4 靈敏度分析

為了分析各目標函數與算例設置的參數之間的變化規律，需要針對設置的各成本函數進行靈敏度分析。靈敏度分析的方法采用控制單一變量的方法，只改變測試的參數，固定其余參數保持不變。需要進行測試的參數有診療設備老化導致的治療時間增量因子α、診療設備老化導致的治療費用增量因子β、加速失效影響因子γ、診療設備健康狀況的檢查時間TI、設備檢查費用CI、設備維護費用系數CR、設備運行成本系數CT、設備故障后緊急修復費用cer和預防性維護時間系數tr在一般情況下，參數之間的關系滿足γ≥1，CRgt;CT，cergt;CI。在測試中，γ取四個定值，其余參數的變化幅度為-50%～+50%。仍然以患者人數的規模n=30為例，取折中解，連續運行10次得到的平均值匯總如表4所示。

分析表4中數據可知：

a）設備維護及檢查成本f1對治療時間增量因子α、治療費用增量因子β、設備維護費用系數CR、設備故障后緊急修復費用cer和預防性維護時間系數tr較為敏感。α和β的增加會致使診療設備管理方提供更高可靠度的設備用來治療患者，并且由此增加設備的檢查和維護；CR和tr的增加會直接導致維護成本的上升；cer的增加會促使設備管理方注重減少設備故障次數，從而增加預防性維護和設備檢查的投入。

b）超額就診時間f2對治療時間增量因子α、診療設備健康狀況的檢查時間TI和預防性維護時間系數tr較為敏感。α的增加使得患者在設備可靠度較低情況下所需的治療時間延長；TI和tr的增加直接促使患者就診延誤時間增加。

c）設備運轉成本f3對加速失效影響因子γ、設備檢查費用CI、設備運行成本系數CT和設備故障后緊急修復費用cer較為敏感。γ增加時，對于需求高頻功能頻率的患者設備運轉成本大大增加；CI的增加使得設備管理方適當減少設備檢查的次數，在欠缺維護的情況下致使設備損壞率有所上升；CT的增加直接影響到設備運轉成本的增加；cer的增加一定程度上能使設備管理方重視設備檢查與預防性維護，但是仍然會導致設備運轉成本中緊急修復成本的增加。

6 結束語

本文提出了一種基于離散劣化狀態下的設備維護與就診患者調度聯合優化模型，針對無法進行實時健康監測的設備，將設備的劣化過程劃分為多種不同狀態，構建了離散劣化狀態下的轉移模型。采取設備檢查策略來決定是否獲取設備當前的劣化狀態，并根據設備不同的劣化狀態采取不同的維護措施。同時，考慮了患者對于就診設備不同功能頻率的要求以及設備在不同功能頻率下運轉的成本變化，以設備維護及檢查成本、患者超額治療完成時間以及設備預防性維護及緊急修復成本為目標進行維護調度聯合優化。對于經典NSGA-Ⅱ求解該問題時種群分布廣泛性和收斂性不足進行改進，設計了改進后的INSGA-Ⅱ。在最后的算例分析中，首先驗證了算法改進的有效性，算法在標準測試集和本文模型下均有良好表現；通過對比各目標單一優化的結果與聯合優化的折中解驗證了本文聯合優化模型的有效性；最后，通過參數敏感性分析得到了各參數對目標函數的影響關系，并且為實際設備維護管理工作提供了參考。本文研究的是單設備多患者的全預約就診調度問題，而在實際生活中，這種全預約的情境不一定實現，往往會有臨時患者插隊進行急診，并且由于復雜設備多部件之間的影響，設備的劣化以及維護工作將會變得更加錯綜復雜。未來的研究會在此基礎上考慮半預約情境下的診療設備維護與患者預約調度聯合優化問題以及聚焦診療設備的多部件機會維護，為設備維護方案提供更加可靠的參考。

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