基于插值和周期圖法的高動態信號載波頻偏粗估計

摘 要： "針對衛星通信系統中接收信號載波動態范圍大、信噪比低造成的信號載波同步困難的問題進行了研究。基于聯合插值和頻域移位平均周期圖法的載波頻偏估計算法，通過對半符號周期頻域移位平均周期圖法中各并行支路輸出的功率譜峰值波形進行雙譜線插值，以進一步降低載波頻偏變化率估計誤差，進而改善原算法捕獲概率。仿真結果顯示，當比特信噪比為2.5 dB時，相比于半符號周期頻域移位平均周期圖法，該算法只增加了一次插值計算就可以實現將載波頻偏變化率估計誤差降低27%。在同等估計精度和參數設置下，相比于半符號周期頻域移位平均周期圖法和帶補零頻域移位評價周期圖法，基于聯合插值和周期圖法的載波頻偏粗估計算法可達到更高的捕獲概率。

關鍵詞： "頻偏估計； 載波同步； 頻域移位； 插值估計； 高動態

中圖分類號： "TN927+.23 """文獻標志碼： A

文章編號： "1001-3695（2022）02-038-0548-04

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2021.07.0303

Coarse carrier offset estimation of high dynamical signal based on

interpolation and periodogram algorithm

Wei Miaomiao1，2， Liu Zhoufeng1， Li Chunlei1， Sun Jun1，2

（1.School of Electronics amp; Information， Zhongyuan University of Technology， Zhengzhou 450007， China； "2.School of Information Enginee-ring， Zhengzhou University， Zhengzhou 450001， China）

Abstract： "In satellite communication systems，the received signal usually has the characteristics of high dynamic range and low signal-to-noise ratio（SNR） ，which leads to difficulty of carrier synchronization.The carrier estimation algorithm based on interpolation and frequency domain shifted average periodogram method could reduce the estimation error of frequency offset derivative，and increase the acquisition probability by bispectrum interpolation on the peak waveform of power spectrum output by parallel branches in the semi-symbol frequency domain shifted average periodogram method.The simulation results show that when bit SNR is 2.5 dB，compared with the semi-symbol frequency domain shifted average periodogram method，the estimation error of the frequency offset derivative can be reduced by 27% with only one interpolation calculation added.With the same accuracy requirement and parameter setting，compared with semi-symbol frequency domain shifted average periodogram method and zero-padding frequency domain shifted average periodogram method，the proposed algorithm reaches a higher probability of acquisition.

Key words： "frequency bias estimation； carrier synchronization； frequency domain shift； interpolation estimation； high dynamics

0 引言

面對近年來日益增高的衛星應用需求，實現超遠距離下的可靠通信是保證空間探測系統有效運行的關鍵，但是有效載荷通信信號普遍存在運動速度極高、信噪比極低的特點，以火星等深空探測活動為例，接收信號比特信噪比可低至2 dB以下，并伴有復雜運動情況［1］，致使載波頻偏參量不僅包含頻率偏差，而且還有更高階分量［2～4］。因此在建立信號模型時，不僅要考慮載波頻率偏差，而且需要了解其變化率分量。

載波粗同步算法是接收信號同步處理過程的第一步驟。目前針對高動態線性調頻信號的粗同步算法主要包括三類。a）基于最大似然準則的載波估計［5～7］。該類算法基于統計信號檢測中的最大似然估計理論，可以實現極低信噪比下未知頻偏的精確估計，但是所需運算量巨大，特別是對于線性調頻信號。b）基于譜估計理論的載波同步算法［8～11］。其根據高動態信號頻譜近似直線沖擊函數的特點，通過并行積分操作可實現在低信噪比下高動態信號的時頻聚集，提高信號多普勒頻偏及變化率估計精度的提高，但時頻域計算并行進行使得算法復雜度太高而難以在工程上應用。c）基于傅里葉變換的載波估計算法［12，13］，利用傅里葉變換實現時域和頻域表示方式的轉換，獲得信號特性的頻域表達，可以簡化載波頻偏估計問題，實現載波頻偏的直接估計。其中基于插值的傅里葉變換算法［14］直接在頻譜上進行插值可以進一步提高頻偏估計精度，但是沒有涉及關于頻偏變化率的處理。分數階傅里葉變換［15，16］是通過將信號時頻面坐標軸扭轉形成易于捕獲的單峰沖激波形，來實現信號參數估計的一種算法。延遲自相關傅里葉變換［17］利用信號自身的自相關特性和正弦信號的傅里葉變換特點，以實現線性調頻信號的頻偏和頻偏變化率估計。以上算法可以利用傅里葉變換簡化估計過程，但是在應對極低信噪比問題時表現不佳［18］。針對這一問題，文獻［19］提出帶補零頻域移位平均周期圖法，通過對信號序列進行整數倍補零操作可實現頻率分辨率的提高以及頻偏估計精度的改善。此外，該算法利用頻域移位性質實現不同時間段信號的頻譜累加，可以有效解決低信噪比環境下的載波同步問題，同時利用并行匹配支路方法，可以實現低信噪比大動態環境下的載波同步。文獻［20］提出的半符號周期頻域移位平均周期圖法，以半符號周期為傅里葉變換長度可以實現算法捕獲性能的進一步提高。雖然該算法可以改善頻偏及頻偏變化率的估計精度，但是殘留的頻偏變化率仍然會對后續信號處理過程產生影響。插值估計理論是一種廣泛應用于頻偏估計過程的算法優化方式，可以用來緩解信號頻譜中的柵欄效應［12］，以解決直接的FFT運算難以獲得精確頻率估計的問題。

本文通過分析頻域移位平均周期圖法中并行支路的變化率匹配過程存在著步進間隔問題，類似于柵欄效應，提出了聯合插值和頻域移位平均周期圖法的載波頻偏估計算法，可以在幾乎不增加運算量和捕獲時間的同時提高頻偏變化率的估計精度，進一步提高信號捕獲概率。

1 信號模型

在衛星通信等高動態應用場景下，由于收發信號雙方的相對運動速度過高，接收信號運動情況相對復雜，在建立接收信號模型時，需要充分考慮載波頻偏的高階分量，但是二階以上分量的引入會導致載波估計參數維度的增長。為了簡化后續參數估計算法結構，通常將接收信號簡化為線性調頻信號［3］。

Δ f=f d+ at 2 """（1）

相應接收信號表達式為

r（t）=Ag（t） e j［2 π （f d+ at 2 ）t+θ k］+n（t） ""（2）

其中： A 表示信號幅值； g（t） 是寬度為 T 的門函數；載波相位偏差為 θ k=［2q k+（1+（-1）M/2）/2］ π /M+θ 0，q k∈{0，1，…， M-1} 為MPSK調制相位； f d 為載波頻偏； a 為頻偏變化率； n（t） 為服從 N（0，σ2） 的高斯白噪聲。接收信號的傅里葉變換為

R T（f）=AT· sinc（ 2π（ f-（f d+ aT 2 ））T 2 ）+N T（f） ""（3）

其中： T 為觀測時間； R T（f） 表示接收信號傅里葉變換； a 表示所包含的頻偏變化率； N T（f） 表示噪聲分量的傅里葉變換。其對應離散傅里葉變換為

R（K）=AN ·sinc （ （K-（f d+ aN 2 ））N 2 ）+N（K） ""（4）

其中： N 表示采樣點數。經化簡后接收信號功率譜可約為

|R（K）|2≈（AN）2·| sinc （ （K-（f d+ aN 2 ））N 2 ）|2+|N（K）|2 "（5）

2 頻偏變化率對信號頻偏估計影響

載波頻偏變化率是指線性調頻信號中的系數項，在時域，其代表著頻率偏差的增長速度，在頻域，其代表著相鄰時間段信號功率譜沿頻率軸移動的速度。其估計精度對頻偏估計的精度有著決定性影響。較高的頻偏變化率會使載波頻率偏差隨時間不斷增長，間接導致載波頻偏估計誤差的增加。為了具象化表示兩者關系，本章將對不同頻偏變化率下頻域移位平均周期圖法中各支路頻譜峰值位置的變化進行仿真，同時為了減少噪聲信號的影響，選擇信噪比為13 dB時不同殘留頻偏變化率下周期圖法的載波頻偏估計誤差進行觀察，結果如圖1所示。對比圖1中誤差結果可知，系統殘留頻偏變化率與頻偏估計誤差存在著正相關性，頻偏估計誤差會隨著殘留頻偏變化率估計誤差的減小而減小。當殘留頻偏變化率 a =20 Hz/s時，頻偏估計誤差在12～17 Hz；而當可殘留頻偏變化率 a =0 Hz/s時，頻偏估計誤差可降到2 Hz以下。由此可見，在載波粗同步估計過程中減少頻偏變化率估計誤差有助于降低頻偏估計誤差，進而提高系統捕獲性能。

3 半符號周期頻域移位平均周期圖法

半符號周期頻域移位平均周期圖法［19］是利用頻域移位操作實現時域頻偏變化率補償的載波粗同步算法。該算法以半個符號周期的采樣數據進行信號功率譜計算，采用并行匹配支路的形式，每條支路對應不同的頻偏變化率，通過多次的功率譜計算、頻域移位和累加操作實現功率譜峰值累積過程，最后通過比較選擇峰值所在的支路及對應的頻譜位置作為載波頻偏和頻偏變化率的估計結果。

根據式（5）列寫第 r 條支路的平均周期圖功率譜：

|R（K，l r）|2≈ 1 MN ∑ M-1 m=0 {（AN）2·| sinc （ （K-f d）N 2 + （a-l r）mN2 4 ）|2+ |N（K，l r）|2} ""（6）

其中： M 表示累計次數； N≤（1/2）×f s/r b 可以減弱調制信息對頻譜的影響； f s 表示信號采樣速率； r b 表示符號速率； l r 表示第 r 條支路的頻譜反向移位步進數； a-l r 表示該支路信號頻譜沿頻率軸的單位移動速度。由式（6）可知，在采樣點數 N 確定的情況下，當 a-l r 最小時，對應支路上不同時間段的頻譜距離最小，頻譜分布最為密集，根據sinc函數特性，經過 M 次累加后得到的頻譜峰值最大，由此可進行頻偏及頻偏變化率估計。各支路單次功率譜峰值計算過程和功率譜累加求頻偏及頻偏變化率過程如圖2所示。

圖2中： m=1，2，…，M 為累計次數； （K 1，P 1），… ， （K r，P r），… ， （K R，P R） 分別表示各支路的功率譜峰值及頻域位置； K r max 為功率譜最大值所在頻域位置， 即頻偏估計值； r max 為功率譜最大值所在支路數； k 為補零倍數，為使單次移位最小的匹配支路每次可移位一個頻率分辨率［11，19］，需滿足 （k+1）/R≈（f s/N）2/（a max-a min）；l 1，l 2，…，l R 為各匹配支路單位循環移位數，分別對應于頻偏變化率 a 1，a 2，…，a R 。兩者對應關系為［9］

l r= a rN f s（f s/（（k+1）·N）） =a r（（k+1）·N2）/f 2 s r=1，2，…，R ""（7）

其中：信號系統采樣率 f s 需滿足采樣定理，即 f s≥2（f d max-f d min），f d max、f d min 分別對應頻偏估計范圍的最大值和最小值。

通過頻域移位實現頻偏變化率的補償需要確保并行支路中移位步進最小支路中的移位步數至少大于1，這樣移位才能實現，因此有

a r（（k+1）·N2） f 2 s ≥1 ""（8）

但這同時會造成頻偏變化率估計值只能取整數，而實際情況中往往存在非整數情況，因此頻偏變化率的估計值存在一定的峰值譜線偏移。為了解決這一問題，本文提出了對頻偏變化率進行雙譜線插值優化估計。

4 基于插值和頻域移位平均周期圖法的載波粗估計

4.1 雙譜線插值估計理論

在頻域移位平均周期圖法中僅利用峰值譜線來進行載波頻偏和頻偏變化率估計，估計精度受限于頻偏分辨率和并行匹配支路頻偏變化率步長，且峰值估計位置只能是整數量，但是在實際通信環境中譜線的真實峰值位置往往分布于譜線之間。因此采用頻域移位平均周期圖法的估計結果與真實值之間存在一個小數差值。為此，雙譜線插值可以利用與峰值相鄰的兩條譜線所包含的載波頻偏信息和頻譜函數sinc形式的波性特征，實現對Δ ξ ""^ "峰值的精確估計，從而縮小載波頻偏估計誤差。雙譜線插值計算公式［20］為

Δ ξ "^ "= |Ω（ξ "^ "+1）|-|Ω（ξ "^ "-1）| |Ω（ξ "^ "+1）|+|Ω（ξ "^ "-1）| """（9）

其中：Δ ξ ""^ "表示Δ ξ ""^ "的估計值； "ξ "^ ""表示頻譜峰值對應的譜線位置； Ω（ξ "^ "+1）和Ω（ξ "^ "-1） "分別表示峰值兩側的頻譜值。

由式（9）可以得到載波頻偏估計校正公式為

ξ "^ nbsp;=ξ "^ "+ Δ ξ "^ """"（10）

4.2 算法原理

基于插值和頻域移位平均周期圖法的載波粗估計算法將并行支路估計頻偏變化率過程視做離散化估計過程，通過對半符號頻域移位周期圖法的頻偏變化率估計結果進行插值計算可以得到小數估計值，以減少頻偏變化率估計誤差。

如4.1節所述，在頻域移位平均周期圖法中，對頻偏變化率的估計采用并行匹配支路的形式，每條支路對應不同的頻偏變化率。當完成各并行支路的頻譜累加和峰值檢測后只保留峰值點，且此時頻偏估計值是已知值，和頻偏變化率呈一一對應關系。這一過程等價于將二維參數估計問題轉換為兩次一維參數估計問題。此時可以將功率譜函數看做頻率固定，以頻偏變化率為變量的函數形式，可得到關于頻偏變化率的功率譜表達式為

|R（l r）|2≈ 1 MN ∑ M-1 m=0 {（AN）2·| sin "c（ （K r max-f d）N 2 - （a-l r）mN2 4 ）|2+ |N（K r max ）|2} "（11）

同樣，為了清晰觀察功率譜函數波形特征，以信噪比13 dB為條件進行算法仿真，得到各支路功率譜峰值波形如圖3所示。

從圖3可看出，雖然受噪聲干擾和平方操作的影響，但功率譜峰值變化情況仍保留sinc函數的基本波形特征，且可從峰值左右兩側的功能譜值的非對稱性推知當前峰值位置與真實頻偏變化率間存在誤差。設 l r max 為圖3中功率譜峰值最大值點所在支路對應的頻偏變化率，采用雙譜線插值估計公式對頻偏變化率進行優化估計，將式（12）代入式（10）可得

Δ "= |R（l r max+1）|2-|R（l r max-1）|2 |R（l r max+1）|2+|R（l r max-1）|2 """（12）

然后使用頻偏變化率校正值Δ ""更新半符號頻域移位平均周期圖法的估計結果，可得到最終頻偏變化率估計值。

4.3 算法實施步驟

a）首先對接收信號進行載波剝離，濾波得到只包含載波頻偏及其變化率的中頻輸入信號并緩存。

b）根據中頻信號的正交、同相支路數據，組合得到復中頻輸入信號：

s′（t）= cos（2πΔ ft+θ）+j "sin（2πΔ ft+θ） ""（13）

c）對 N點s′（t） 采樣數據進行 k 倍補零并作 N（k+1） 點FFT，然后計算模平方值，可得到 N（k+1） 點信號功率譜。

d）根據頻偏變化率步進和估計范圍計算每條支路對應頻偏變化率為 a r=a min+a step（r-1），r=1，2，…，R 。

e）由 a r 計算第 r 條支路循環移位數 l r ，并以 l r 為步進，對功率譜數據作逆向循環移位。

f）重復執行步驟b）～e） M 次，實現對所有支路的 M 次功率譜計算、移位和累加，得到噪聲抑制后的信號功率譜，然后求得各支路的功率譜峰值最大值 R（K r max，a r） 及對應的頻率值 K r max ， 再次比較各支路峰值得到峰值最大值 R（K r max，a r max） ，則該最大值所對應支路的頻偏變化率 a r max 即為頻偏變化率估計值， 而該支路頻譜最大值所對應的頻率值 K r max 即為頻偏估計值。

g）根據雙譜線插值計算原理，利用各支路功率譜峰值最大值左右兩側頻譜值進行插值，求得小于1的Δ r max ，最終實現對小于頻偏變化率步進的頻偏變化率估計。

h）由以上結果可得

=a min+a step·（r max +Δ r max-1） ""（14）

f "^ "= K r max·f s N（k+1） """（15）

5 仿真結果

5.1 仿真條件

載波頻偏動態仿真模型采用火星探測器EDL（entry，descend and landing）階段動態模型［1］，頻偏 f d ∈（-300，300）kHz，頻偏變化率 a ∈（-800，800）Hz/s， 信噪比變化范圍 E b/N 0 ∈（0，3.5）dB。

頻偏變化率估計精度對比實驗仿真條件：假設符號速率 r b 為20 bps，采樣率 f s 為800 kHz，精度估計指標 a pre 為30 Hz/s、 f pre 為25 Hz。進行算法參數設計：頻率變化率步進 a step 為50 Hz/s，并行支路數 R 為32，單次采樣點數 N 為20 000，補零倍數 k 為31，累計次數 M 為56。其中頻偏變化率步進需滿足 a step≤2a pre 。

5.2 仿真結果

首先觀察在比特信噪比 E b/N 0 為2 dB時，插值前后頻偏變化率估計誤差仿真結果（圖4）。由圖4可知，經過插值后頻偏變化率估計誤差得到明顯改善， 這種改善不僅表現在估計誤差幅度上，也表現在誤差波動幅度上。在有限次仿真過程中以估計誤差最大處為例，頻偏變化率估計誤差從35 Hz/s以下降至12 Hz/s以下，性能改善達60%以上。而波動范圍也從2～35 Hz/s縮減到1～11 Hz/s。為了評價算法估計性能，比較三種同類算法在不同信噪比下所得估計結果的均方根誤差。

由表1可知，當比特信噪比 E b/N 0 =1～2 dB，與半符號周期頻域移位平均周期圖法相比，基于插值和頻域移位平均周期圖法的聯合算法頻偏估計均方根誤差改善并不明顯，這是由于信噪比過低造成的。但是，此階段內兩者的均方根誤差僅約為帶補零頻域移位平均周期圖法均方根誤差的30%。隨著信噪比的增加，基于插值和頻域移位平均周期圖法的聯合算法較之半符號周期頻域移位平均周期圖法的性能改善會隨之提高，當比特信噪比 E b/N 0 =2.5～3.5 dB時，算法估計誤差改善比較明顯，可減少27%～43%。而相比于帶補零的頻域移位平均周期圖法，聯合算法的均方根估計誤差僅為其19.6%，半符號周期頻域移位平均周期圖法的均方根估計誤差僅為其28.1%。可見這兩種算法的均方根誤差均遠小于帶補零的頻域移位平均周期圖法。圖5給出了在1～3.5 dB之間插值前后頻偏變化率平均估計誤差對比，可以更直觀地觀察到插值操作對原算法估計性能的改善，而由于同等條件下帶補零的頻域移位平均周期圖法的估計誤差過大，故未在此圖中列出。

另測試不同信噪比情況下聯合插值周期圖法、半符號周期圖算法和帶補零的頻域移位平均周期圖法的捕獲概率，結果如圖6所示。圖6中給出了不同信噪比下不同補零倍數和累積次數三種算法捕獲概率的仿真結果。對比分析可知，在同等FFT點數（ N×k ）下，聯合算法的捕獲概率高于其他兩種算法。增加補零倍數和累計次數可以提高捕獲概率，但算法計算復雜度也隨之增長，而且增加累計次數并不能確保捕獲性能的改善。以補零倍數 k=31 ， 累加次數 M=80 為例，使用插值矯正可以有效改善該種情況的下算法捕獲概率。在 E b/N 0 =0～3.5 dB， N=20 000， k=31，M=56 時聯合算法和半符號周期頻域移位平均周期圖法與 N=40 000，k=15，M=28 時帶補零頻域移位平均周期圖法的參數設置等價，此時三種算法所需樣本點數一樣、捕獲時間相同、計算復雜度相當，但是基于插值和頻域移位平均周期圖法的聯合算法的捕獲概率均優于半符號周期頻域移位平均周期圖法和帶補零頻域移位平均周期圖法，隨著信噪比的增加，與半符號周期頻域移位平均周期圖法相比，聯合算法的捕獲概率改善更為明顯。而與帶補零頻域移位平均周期圖法相比，聯合算法和半符號周期頻域移位平均周期圖法在 E b/N 0 =0～3.5 dB受信噪比影響較小，算法穩定度更高。

5.3 計算復雜度分析

單次功率譜計算需要進行一次 N（k+1） 點FFT運算，求功率譜過程需要復數乘法 N（k+1）次。R條支路M 次移位累加操作需要 M 次功率譜計算和 R（M-1）次N（k+1） 點的復數加法運算。根據帶補零頻域移位平均周期圖法和半符號頻域移位平均周期圖法預設參數計算，共計需要復數加法11.26億次，復數乘法3.58 億次。本文算法只需在此基礎上增加一次插值計算，包括2次加法運算和1次乘法運算，相較于原算法運算量，可以忽略不計。

6 結束語

通過分析半符號周期頻域移位平均周期圖法中采用并行匹配支路進行頻偏變化率估計的原理以及各支路頻譜峰值的分布規律，本文提出了基于插值和頻域移位平均周期圖法的載波粗估計算法，該算法通過對半符號頻域移位平均周期圖法的頻偏變化率估計結果進行雙譜線插值估計，提高了頻偏變化率估計精度，降低了殘留頻差對后續信號處理的影響。需要指出的是本文未對頻偏估計結果進行插值計算，這是因為半符號周期圖法中的時域補零操作等價于頻域插值操作，已經實現頻偏估計誤差的降低。

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