混合哈里斯鷹算法求解作業(yè)車間調(diào)度問(wèn)題

收稿日期：2021-11-21；修回日期：2022-01-20" 基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（62163034）

作者簡(jiǎn)介：劉小寧（1997-），男，新疆昌吉人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)橹悄芩惴?、生產(chǎn)調(diào)度；魏霞（1977-），女（通信作者），新疆烏魯木齊人，副教授，碩導(dǎo)，主要研究方向?yàn)楣I(yè)大數(shù)據(jù)技術(shù)、電力監(jiān)控系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)安全防護(hù)等（xjuweix@xju.edu.cn）；謝麗蓉（1969-），女，新疆烏魯木齊人，教授，博導(dǎo)，主要研究方向?yàn)榭刂葡到y(tǒng)優(yōu)化、新能源發(fā)電、負(fù)荷預(yù)測(cè)等．

摘 要：針對(duì)哈里斯鷹算法（HHO）求解作業(yè)車間調(diào)度問(wèn)題（JSP）時(shí)存在尋優(yōu)能力差、易陷入局部最優(yōu)等缺點(diǎn)，提出了混合哈里斯鷹算法（HHHO）。首先，在種群初始化階段引入混沌理論增加種群多樣性；其次，在HHO搜索前期采用能量非線性遞減和量子計(jì)算增強(qiáng)算法全局探索能力，在搜索后期采用鄰域搜索算法增強(qiáng)算法局部開(kāi)發(fā)能力；最后，選取了FT和LA系列算例測(cè)試了算法的性能，并與其他先進(jìn)元啟發(fā)式算法對(duì)比，驗(yàn)證了HHHO在求解JSP時(shí)的有效性和優(yōu)越性。

關(guān)鍵詞：作業(yè)車間調(diào)度問(wèn)題；哈里斯鷹算法；混沌理論；量子計(jì)算；鄰域搜索

中圖分類號(hào)：TP301.6"" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1001-3695（2022）06-012-1673-05

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2021.11.0640

Hybrid Harris eagle algorithm for Job-Shop scheduling problem

Liu Xiaoning，Wei Xia，Xie Lirong

（School of Electrical Engineering，Xinjiang University，Urumqi 830047，China）

Abstract：Aiming at the shortcomings of Harris eagle algorithm （HHO） in solving Job-Shop scheduling problem （JSP），such as poor optimization ability and easy to fall into local optimization，this paper proposed a hybrid Harris eagle algorithm（HHHO）.Firstly，the algorithm used chaos theory to increase population diversity in the population initialization stage.Secondly，in the early stage of HHO search，the algorithm used nonlinear energy decline and quantum computing to enhance the global exploration ability of the algorithm.In the later stage of search，the algorithm adopted neighborhood search algorithm to enhance the local development ability of the algorithm.Finally，the algorithm selected FT and LA basic examples to test the performance of the algorithm，and compared with other advanced meta heuristic algorithms to verify the effectiveness and superiority of HHHO in solving JSP.

Key words：Job-Shop scheduling；Harris eagle algorithm；chaotic mapping；quantum computing；neighborhood search

0 引言

作業(yè)車間調(diào)度是調(diào)度問(wèn)題中最經(jīng)典、最重要的分支，該問(wèn)題作為許多實(shí)際加工生產(chǎn)線的簡(jiǎn)化模型，具有很廣泛的應(yīng)用范圍，并且和實(shí)際工業(yè)有著最密切的聯(lián)系，同時(shí)它作為一個(gè)NP難問(wèn)題就更具有研究?jī)r(jià)值［1］。目前，該領(lǐng)域的專家學(xué)者采用智能算法來(lái)求解這些問(wèn)題。姚遠(yuǎn)遠(yuǎn)等人[2]對(duì)灰狼算法（GWO）進(jìn)行反向?qū)W習(xí)初始化種群、進(jìn)化動(dòng)態(tài)種群和最優(yōu)個(gè)體變異等改進(jìn)，通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)證明改進(jìn)的GWO收斂精度和收斂速度都有了明顯提升。閆旭等人［3］提出的量子鯨魚(yú)優(yōu)化算法（QWOA），加入量子計(jì)算增加算法搜索能力，仿真實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)該算法在解決JSP時(shí)有一定優(yōu)勢(shì)。董君等人［4］提出的新型教學(xué)與同伴學(xué)習(xí)粒子群算法（HTLBPSO），在教學(xué)階段和同伴學(xué)習(xí)階段分別加入鄰域搜索和混合學(xué)習(xí)策略，較好地解決了局部最優(yōu)、收斂速度、尋優(yōu)能力等問(wèn)題。鄭小操等人［5］提出的基于鄰域搜索的改進(jìn)人工蜂群算法（ABCNS），采用混沌理論初始化種群、鄰域搜索和新的交叉操作優(yōu)化蜜源，實(shí)驗(yàn)證明了ABCNS的有效性。Liu等人［6］提出的改進(jìn)哈里斯鷹算法（IHHO），在全局搜索過(guò)程中，鷹根據(jù)種群中最好的幾只鷹的位置移動(dòng)，從而提高IHHO的收斂速度、穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性。姜天華［7］提出的混合灰狼優(yōu)化算法（HGWO），通過(guò)鄰域搜索和遺傳算子加強(qiáng)了算法的局部和全局搜索能力，仿真實(shí)驗(yàn)證明了HGWO在求解柔性作業(yè)車間調(diào)度方面的優(yōu)越性。

HHO是Heidari等人于2019年提出的一種優(yōu)化策略，因其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、參數(shù)少、求解效率高的特點(diǎn)，得到了普遍的應(yīng)用。Moayedi等人［8］提議使用Harris hawks優(yōu)化器和k-fold交叉驗(yàn)證預(yù)測(cè)邊坡穩(wěn)定性。Bui等人［9］建議使用Harris hawks優(yōu)化器評(píng)估滑坡敏感性。Chen等人［10］提出使用具有混沌漂移的Harris hawks優(yōu)化器來(lái)解決光伏電池和組件的參數(shù)識(shí)別問(wèn)題。張翠軍等人［11］提出了基于HHO的SLAM閉環(huán)檢測(cè)方法。Gharehchopogh等人［12］提出了一種高效的HHO求解旅行商問(wèn)題。肖劍等人［13］提出了改進(jìn)HHO的螺紋鋼絲頭中徑測(cè)量方法。雖然HHO應(yīng)用廣泛，但在求解作業(yè)車間調(diào)度問(wèn)題方面還是有待大量開(kāi)發(fā)。本文提出了混合哈里斯鷹算法，算法主要改進(jìn)如下：

a）在種群初始化階段引入混沌映射來(lái)增加初始解的質(zhì)量。

b）在算法搜索前期使獵物能量非線性遞減以增加算法全局探索能力，通過(guò)量子計(jì)算增加工序多樣性進(jìn)一步增加算法探索能力。

c）在算法搜索后期加入鄰域搜索算法尋找最優(yōu)工序附近更優(yōu)工序，增加算法的局部開(kāi)發(fā)能力。

1 JSP描述

JSP可描述為：給定每個(gè)工件每道工序的機(jī)器使用情況和各個(gè)機(jī)器上的加工時(shí)間，安排一種工件加工順序，使p個(gè)待加工工件在q臺(tái)機(jī)器上加工，以滿足某種指標(biāo)的最優(yōu)。本文選取最大完工時(shí)間，為性能指標(biāo)，JSP一般需滿足如下約束條件：

a）機(jī)器正常運(yùn)行且從t=0時(shí)進(jìn)行加工。

b）各臺(tái)設(shè)備在某一個(gè)時(shí)刻最多處理一道工序。

c）工件的加工順序必須嚴(yán)格執(zhí)行，一旦開(kāi)始處理不可中斷，直到這道工序被處理完畢。

d）每個(gè)工件的加工工藝固定，不允許改變。

本文采用整數(shù)規(guī)劃模型對(duì)JSP進(jìn)行描述［2］：

目標(biāo)函數(shù)：

min（max（cik）） 1≤k≤m 1≤i≤n（1）

約束條件為

cik-pik+M（1-aihk）≥cih（2）

cjk-cik+M（1-xijk）≥pjk（3）

cik≥0（4）

aihk=1若機(jī)器h先于機(jī)器k加工工件i0非上述情況 （5）

xijk=1若工件i先于工件j在機(jī)器k上加工0非上述情況 （6）

其中：式（1）表示最大完工時(shí)間最??；式（2）為每個(gè)工件的工序約束；式（3）為每個(gè)工件的機(jī)器約束；cik表示工件i在機(jī)器k上的完成時(shí)間；pik表示開(kāi)始時(shí)間；M是一個(gè)足夠大的整數(shù)；aihk和xijk是兩個(gè)變量。

2 混合哈里斯鷹算法

2.1 基本哈里斯鷹算法

HHO是Heidari等人［14］受哈里斯鷹捕獵時(shí)的行為啟發(fā)所提出的一種智能優(yōu)化算法。具體模型為

x（t+1）=xrand（t）-r1|xrand（t）-2r2x（t）|q≥0.5

（xrabbit（t）-xm（t））-r3（LB+r4（UB-LB））qlt;0.5（7）

其中：x（t+1）是下一代迭代過(guò)程中鷹的位置向量；xrabbit（t）是獵物的位置；x（t）是當(dāng)前鷹的位置向量；r1、r2、r3、r4和q是（0，1）中的隨機(jī)數(shù)；LB、UB是變量的下限和上限；xrand是當(dāng)前種群中隨機(jī)選擇的鷹的位置；xm（t）表示第t次迭代時(shí)鷹種群的平均位置。

xm（t）=1N∑Ni=1xi（t）（8）

在搜索階段，獵物能量E線性遞減來(lái)調(diào)控HHO的搜索能力，其定義式為

E=2E0（1-tT）（9）

其中：E表示獵物逃逸的能量；T是最大迭代次數(shù)；E0是其能量的初始狀態(tài)。隨著HHO的迭代，E0在（-1，1）內(nèi)隨機(jī)變化。當(dāng)逃逸能量|E|≥1時(shí)，HHO算法探索全局；當(dāng)|E|lt;1時(shí)，算法嘗試開(kāi)發(fā)探索階段時(shí)解的鄰域。

HHO算法通過(guò)因子β∈［0，1］的大小產(chǎn)生了四種情況：

Case1：硬圍捕。當(dāng)β≥0.5且|E|lt;0.5時(shí)， E較小，直接被鷹捕獲，其位置表達(dá)式為

x（t+1）=xrabbit-E|Δx（t）|（10）

Case2：軟圍捕。當(dāng)β≥0.5且|E|≥0.5時(shí)，E較大并嘗試逃離圍捕，但最終失敗被捕獲，則鷹的位置更新為

x（t+1）=Δx（t）-E|Jxrabbit（t）-x（t）|（11）

其中：Δx（t）=xrabbit-x（t）表示在進(jìn)行第t次迭代，獵物與鷹的位置差；J=2（1-r5）表示獵物嘗試逃離時(shí)的能量強(qiáng)度，r5∈（0，1）為一個(gè)隨機(jī)數(shù)。

Case3：逼近式硬圍捕。當(dāng)βlt;0.5且|E|lt;0.5時(shí)， E較小，此時(shí)鷹逐漸逼近獵物以減小它們之間的距離。位置更新式為

x（t+1）=Y：xrabbit（t）-EJxrabbit（t）-xm（t）if F（Y）F（x（t））Z：Y+S×LF（D）if F（Z）F（x（t）） （12）

Case4：逼近式軟圍捕。當(dāng)βlt;0.5且|E|≥0.5時(shí)， E較大且可能逃離，但鷹仍按最優(yōu)方式逼近獵物，其位置更新式為

x（t+1）=Y：xrabbit（t）-EJxrabbit（t）-x（t）if F（Y）F（x（t））Z：Y+S×LF（D）if F（Z）F（x（t）） （13）

其中：D表示維度大??；S表示隨機(jī)行向量；LF為文獻(xiàn)［14］中的Lévy函數(shù)；表示更優(yōu)。

2.2 編碼與解碼

本文采用基于工序的編碼，假設(shè)一種基于工序的編碼為（1 2 2 3 2 1 3），數(shù)字1、2、3代表工件編號(hào)，數(shù)字個(gè)數(shù)代表工序個(gè)數(shù)，數(shù)字順序代表加工順序。編碼的長(zhǎng)度即總工序數(shù)。

2.3 logistic映射初始化

HHO求解JSP時(shí)尋優(yōu)能力差、易陷入局部最優(yōu)，這和初始解的質(zhì)量有很大關(guān)系。

混沌系統(tǒng)有隨機(jī)、無(wú)序等特點(diǎn)［15，16］。在種群初始化階段結(jié)合混沌理論可使種群個(gè)體隨機(jī)的分布在解空間內(nèi)，從而提高種群多樣性。本文選用混沌系統(tǒng)中的logistic映射。方程式如下：

X（k+1）=u×X（k）×［1-X（k）］（14）

其中：X（k）是混沌個(gè)體，它的取值是（0，1）；當(dāng)u=4時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入完全混沌狀態(tài)。初始化步驟如下：

a）隨機(jī)生成6個(gè)混沌個(gè)體，如表1所示。表1中總工序數(shù)為6，所以隨機(jī)生成6個(gè)混沌個(gè)體與工序?qū)?yīng)。

b）將混沌個(gè)體序列從小到大排列。

c）將排序前混沌個(gè)體對(duì)應(yīng)的工序隨混沌個(gè)體排序后移動(dòng)，如混沌個(gè)體0.66與工序O11對(duì)應(yīng)，0.66排列后位置為5，所以工序移動(dòng)到位置5。

d）將重新生成的工序序列轉(zhuǎn)換為工序碼進(jìn)行加工。

經(jīng)過(guò)上述操作就可以產(chǎn)生一個(gè)工序碼，將混沌序列經(jīng)過(guò)式（14）轉(zhuǎn)換為新的混沌序列，繼續(xù)上述步驟生成第2個(gè)工序序列和工序碼，依此類推，完成種群初始化。

2.4 能量非線性遞減策略

HHO中，獵物能量E的大小決定了HHO將進(jìn)行全局搜索還是局部開(kāi)采?；竟锼国椝惴ㄖ蠩按從大到小線性遞減，算法搜索能力較差。本文采用余弦函數(shù)使獵物能量E非線性遞減［17］，其定義式為

E=2E0（1-tT）×cos（（2k+12）πtT）（15）

其中：k=0，1，2，…表示獵物能量E的遞減周期數(shù)，經(jīng)實(shí)驗(yàn)確定k=4時(shí)算法全局探索和局部開(kāi)采性能最好。

2.5 量子計(jì)算

由于HHO在求解JSP時(shí)存在收斂精度低、尋優(yōu)能力差等缺點(diǎn)，所以將量子計(jì)算［18］的思想加入基本哈里斯鷹算法。其中單量子比特的疊加狀態(tài)可表示為

|φ〉=α|0〉+β|1〉（16）

|α|2+|β|2=1（17）

量子計(jì)算中最基礎(chǔ)的是量子邏輯門(mén)，主要對(duì)量子狀態(tài)進(jìn)行邏輯變換，常用的量子們有Hadamard門(mén)、相位門(mén)、量子旋轉(zhuǎn)門(mén)等。量子旋轉(zhuǎn)門(mén)表達(dá)式為

R（θ）=cos（θ）-sin（θ）sin（θ）cos（θ）（18）

量子旋轉(zhuǎn)門(mén)的更新表達(dá)式為

α～β～=R（θ）αβ（19）

其中：θ為旋轉(zhuǎn)角度且θ=rand×2×π；α～β～為更新后的概率幅。

由式（17）可知，β=1-α2，則量子旋轉(zhuǎn)門(mén)的更新表達(dá)式為

α～=α×cos（θ）-1-α2×sin（θ）（20）

在更新過(guò)程中對(duì)工序序列進(jìn)行量子優(yōu)化，則工序序列經(jīng)過(guò)單鏈編碼量子旋轉(zhuǎn)門(mén)變換后表達(dá)式為

QX（t）=X（t）×cos（θ）-1-X（t）2×sin（θ）（21）

2.6 鄰域搜索

鄰域搜索是解決JSP時(shí)一種簡(jiǎn)單有效的算法，本文主要對(duì)工序進(jìn)行交換、倒置、插入等操作，挖掘出該工序附近更加優(yōu)異的工序，避免算法陷入局部最優(yōu)，采用以下四種鄰域操作：

a）鄰域操作N1：隨機(jī)選擇兩道工序進(jìn)行交換，選擇的工序不能相同。

b）鄰域操作N2：隨機(jī)選擇兩道工序進(jìn)行交換且它們彼此相鄰，若選擇的第一道工序是最后一道工序則重新選擇第一道工序。

c）鄰域操作N3：隨機(jī)選擇兩道不同工序，將這兩道工序之間的工序完全倒置。

d）鄰域操作N4：在工序O中隨機(jī)選擇一個(gè)工序P，將其取出生成O1，之后將P插入O1中所有能插入的位置，產(chǎn)生多個(gè)工序序列，計(jì)算最優(yōu)序列。

以上操作按順序進(jìn)行，如果采用鄰域操作N1生成的序列優(yōu)于當(dāng)前序列，則用新序列取代當(dāng)前序列，繼續(xù)采用鄰域操作N1尋找更優(yōu)序列，設(shè)置一個(gè)閾值，超過(guò)閾值仍沒(méi)有更優(yōu)的序列時(shí)進(jìn)行鄰域操作N2。

2.7 算法流程

引入量子計(jì)算、鄰域搜索的HHO在求解車間調(diào)度問(wèn)題時(shí)，種群初始化階段結(jié)合混沌理論，增加了種群多樣性。編碼方式采用基于工序的編碼，通過(guò)量子計(jì)算增加工序多樣性，增強(qiáng)算法全局搜索能力。采用四種鄰域操作來(lái)挖掘出當(dāng)前序列附近更優(yōu)的序列，提高算法局部開(kāi)采能力。算法基本流程如下：

a）設(shè)置參數(shù)，包括工件數(shù)、機(jī)器數(shù)、迭代次數(shù)，采用2.3節(jié)中的方法初始化種群，求出最優(yōu)工序序列。

b）搜索階段，對(duì)所有工序序列重復(fù)以下步驟：

（a）采用2.4節(jié)中能量非線性遞減來(lái)調(diào)控算法的全局探索能力和局部開(kāi)采能力。

（b）采用2.5節(jié)中量子計(jì)算進(jìn)一步優(yōu)化工序序列。

c）開(kāi)發(fā)階段，對(duì)最優(yōu)工序序列重復(fù)以下步驟：

（a）選擇搜索階段中的最優(yōu)序列。

（b）采用2.6節(jié)鄰域搜索挖掘出序列附近的優(yōu)質(zhì)序列。

d）設(shè)置一個(gè)閾值，如果一個(gè)序列超過(guò)閾值還沒(méi)有改進(jìn)，則返回初始化種群。

e）判斷是否達(dá)到最大迭代次數(shù)，是則終止算法，輸出最優(yōu)序列，否則返回步驟b）。

HHHO算法流程如圖1所示。

3 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

本文選用MATLAB2019a編程語(yǔ)言進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，仿真實(shí)驗(yàn)環(huán)境：Windows 10操作系統(tǒng)，IntelCoreTM i5-7300HQ CPU@ 2.50 GHz處理器，8 GB內(nèi)存，本文選取車間調(diào)度標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試問(wèn)題庫(kù)［19］中的FT、LA系列基本算例FT06、FT10、LA01、LA05、LA06、LA11、LA16、LA21、LA26、LA36共計(jì)10個(gè)進(jìn)行求解并與其他算法比較，從而測(cè)試混合哈里斯鷹算法求解JSP的性能。

3.1 HHO、GWO和WOA仿真對(duì)比

為了保證算法的可對(duì)比性，幾種智能算法參數(shù)選擇一致，即種群規(guī)模PAR_NUM=200，迭代次數(shù)GEN_NUM=100，各算法獨(dú)立運(yùn)行20次，仿真結(jié)果如表2所示。

從表2可看出，在各個(gè)參數(shù)相同的情況下，HHO、GWO［20］和WOA［21］在FT06、LA01、LA05、LA06等算例中均可搜索到已知最優(yōu)解，HHO在FT06和LA05算例中在平均值和最優(yōu)解個(gè)數(shù)上有一定優(yōu)勢(shì)，但在LA01、LA06和LA11算例中GWO效果比較好，甚至可在LA11算例中找到最優(yōu)解。在大規(guī)模算例中，三種算法均找不到最優(yōu)解，在平均值方面也無(wú)明顯差距。

仿真結(jié)果表明，HHO能有效解決車間調(diào)度問(wèn)題，但相對(duì)于GWO和WOA無(wú)明顯優(yōu)勢(shì)，因此對(duì)HHO進(jìn)行改進(jìn)和混合，以求得更好的效果。本文用HHHO對(duì)以上算例求解，部分甘特圖如圖2～4所示。

3.2 HHHO、iHHO和HHO仿真對(duì)比

用HHHO對(duì)上述算例求解，參數(shù)設(shè)置如下：種群規(guī)模PAR_NUM=200，迭代次數(shù)GEN_NUM=100，量子旋轉(zhuǎn)角θ=rand×2×π，各算法獨(dú)立運(yùn)行20次，仿真結(jié)果如表3所示。

從表3可看出，在各個(gè)參數(shù)相同的情況下，HHHO相比iHHO［6］和HHO在各個(gè)算例中的效果有了大幅度提升，在FT06、LA01、LA05、LA06、LA11算例中均可找到最優(yōu)解且FT06和LA05算例尋優(yōu)成功率達(dá)到了100%，LA01、LA06和LA11算例的尋優(yōu)成功率也在50%以上。在FT10、LA16、LA21、LA26和LA36算例中雖然未能找到已知最優(yōu)解，但最優(yōu)解相比iHHO和HHO更加逼近已知最優(yōu)解，平均解相比iHHO和HHO也更小。

3.3 算法收斂性能對(duì)比

圖5展示了上述10個(gè)算例的尋優(yōu)曲線對(duì)比圖。對(duì)于10種測(cè)試算例，HHHO在尋優(yōu)性能和收斂速度上相比其他四種算法有了很大提高。

從圖5（a）（c）（d）可看出，對(duì)于比較簡(jiǎn)單的算例FT06、LA01和LA05，HHHO在尋優(yōu)性能上優(yōu)勢(shì)明顯，均能找到最優(yōu)解。對(duì)于其他復(fù)雜算例，從圖5（b）（f）～（j）可看出，HHHO在收斂速度、初始解和尋優(yōu)性能上也有明顯優(yōu)勢(shì)。從10幅圖可看出，HHHO在搜索前期初始解就比其他算法好，這主要是由于加入了混沌映射增加了種群多樣性進(jìn)而得到了更優(yōu)初始解，隨著迭代次數(shù)的增加，HHHO對(duì)于簡(jiǎn)單算例大概迭代20次左右就找到了最優(yōu)解，這主要是量子計(jì)算和能量非線性遞減增強(qiáng)了算法探索能力。對(duì)于復(fù)雜算例，如FT10和LA36，HHHO在迭代過(guò)程中最優(yōu)解不斷更新，主要是由于鄰域搜索算法不斷開(kāi)發(fā)最優(yōu)解附近的更優(yōu)解。

綜上分析：本文提出的HHHO在初始解的質(zhì)量、探索能力和開(kāi)發(fā)能力上對(duì)比其他算法都有一定優(yōu)勢(shì)，這主要是由于本文根據(jù)HHO在求解JSP上的不足進(jìn)行了三個(gè)方面的改進(jìn)和混合。

4 結(jié)束語(yǔ)

HHO是目前比較新穎的一種元啟發(fā)式智能算法，對(duì)于解決JSP這樣的離散組合優(yōu)化問(wèn)題，還有待開(kāi)發(fā)，本文提出的HHHO求解JSP時(shí)得出以下結(jié)論：

a）在種群初始化階段采用logistic映射增加了種群多樣性。

b）在算法搜索前期采用能量非線性遞減和量子計(jì)算增加了算法探索能力。

c）在搜索后期對(duì)最優(yōu)序列通過(guò)鄰域搜索進(jìn)一步開(kāi)發(fā)了最優(yōu)序列附近更優(yōu)序列。通過(guò)對(duì)10個(gè)測(cè)試算例的仿真實(shí)驗(yàn)，證明本文提出的HHHO能有效求解作業(yè)車間調(diào)度問(wèn)題，具有較強(qiáng)的魯棒性、較好的尋優(yōu)性能和較快的收斂速度。

在下階段的研究中，將在更復(fù)雜的車間調(diào)度問(wèn)題中應(yīng)用HHHO，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)一步改進(jìn)算法。

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