考慮動態平衡裝卸的點對點取送貨車輛路徑優化

收稿日期：2021-12-06；修回日期：2022-01-18

基金項目：國家自然科學基金資助項目（71971220，71371193）;中南大學中央高校基本科研業務費專項資金資助項目（1053320214499，1053320214607）

作者簡介：張英貴（1984-），男（通信作者），安徽金寨人，教授，博導，博士，主要研究方向為貨物裝載布局優化（ygzhang@csu.edu.cn）；盛麗寧（1997-），女，山東濟寧人，碩士研究生，主要研究方向為貨物裝載布局與車輛路徑優化；張云麗（1969-），女，山西運城人，副教授，博士，主要研究方向為交通運輸管理.

摘 要：針對點對點取送貨車輛路徑優化問題，引入動態平衡、后進先出、三維裝載等約束，以總路徑最短為優化目標，構建多車多客戶應用場景下的動態平衡裝卸點對點取送貨車輛路徑優化模型；基于研究問題的特征，采用啟發式插入法確定路徑初始方案，設計節點交換和重新定位算子，構造路徑鄰域方案，并將動態平衡裝卸納入路徑迭代過程，運用多重指標定序策略和三分空間策略，設計客戶動態平衡裝卸檢算算法，并提出基于禁忌搜索的點對點取送貨車輛路徑優化算法，制訂多車多客戶取送貨車輛路徑方案的同時編制動態平衡裝載方案。最后，通過標準算例驗證方法的有效性，計算表明：所提方法能高效解決帶動態平衡約束的點對點取送貨車輛路徑優化問題；在多車多客戶應用場景下具有更強的尋優能力，求解效率更高。

關鍵詞：物流工程； 點對點取送貨車輛路徑優化； 動態平衡； 三維裝載； 混合啟發式算法

中圖分類號：U116.2"" 文獻標志碼：A

文章編號：1001-3695（2022）06-017-1700-05

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2021.12.0627

Optimization on point-to-point pickup and delivery vehicle routing with

dynamic balanced loading and unloading constraints

Zhang Yinggui， Sheng Lining， Zhang Yunli

（School of Traffic amp; Transportation Engineering， Central South University， Changsha 410075， China）

Abstract：According to optimization problem of point to point pickup and delivery vehicle routing， this paper introduced the dynamic balanced， last-in-first-out and three-dimensional loading constraints. Taking the minimum of total path length as the optimization objective， this paper established the point to point pickup and delivery vehicle routing problem optimization model with three-dimensional and dynamic balanced loading constraints（3BL-PDVRP） under the application scenario of multi-vehicle and multi-customer（ASMM）. Considering the characteristics of research question， this paper used the heuristic insertion method to generate initial path plan. Then it constructed the node-switching and repositioning operators to optimize the path neighborhood structure， while incorporated the dynamic balanced loading into the path iteration process. Based on the multi-index sequencing strategy and three-space strategy， this paper designed the dynamic balanced loading and unloading checking algorithm of multi-customer. Furthermore， it proposed the point-to-point pickup and delivery routing optimization algorithm based on taboo search to make the pickup and delivery vehicle routing and dynamic balanced loading layout scheme under the ASMM at the same time. Finally， the calculation results of the standard example show that the proposed method can effectively solve the 3BL-PDVRP and have stronger optimization ability and higher solving efficiency under the ASMM.

Key words：logistics engineering; optimization on point to point pickup and delivery vehicle routing; dynamic balance; three-dimensional loading; hybrid heuristic algorithm

帶動態平衡裝卸的點對點取送貨車輛路徑問題是指多輛空載貨車從配送中心出發，如何安排貨車走行路徑及其在各取、送貨點的動態平衡裝載方案，確保多個客戶的貨物從特定取貨點安全、高效地送至各自的送貨點，并最終空車返回中心，是經典車輛路徑問題的一個擴展。

在國外，Parragh等人［1］構建了基于點對點的取送貨車輛路徑優化模型；Cordeau等人［2］研究了帶一維裝載約束的取送貨旅行商問題；Cté等人［3］研究了一維裝載約束下的單車取送貨問題；Zachariadis等人［4］將裝載約束拓展至二維，并提出了相應的求解方法；Pinto等人［5］針對二維裝載約束下的取送貨車輛路徑問題，設計了變鄰域搜索算法;Ropke等人［6］分析了三維裝載對取送貨車輛路徑的影響，但并未構建具體的三維模型;Bortfeldt［7］將三維裝載約束引入經典的車輛路徑問題，在此基礎上，Mnnel等人［8，9］運用長方體對貨物進行描述，采用大鄰域搜索算法進行求解。在國內，該領域的研究起步較晚，且側重于路徑優化層面。王超等人［10］采用模擬退火和局部搜索方法優化路徑，設計了離散布谷鳥算法［11］；邊展等人［12］設計了基于列生成與啟發式規則的CGA混合算法；陳希瓊［13］、張烜熒［14］等人分別設計了蟻群算法、超啟發式分布估計算法對帶時間窗的取送貨車輛路徑問題求解；彭碧濤等人［15］將三維裝載約束納入取送車車輛路徑問題，但并未涉及客戶節點的動態平衡裝載。縱觀研究現狀，既有研究注重取送貨車輛路徑優化層面，較少涉及節點的三維裝載，尤其是動態平衡裝卸的考慮甚少。

基于此，以面向多車多客戶的點對點取送貨車輛路徑問題為研究對象，引入動態平衡、后進先出、三維裝載等約束，構建考慮動態平衡裝卸的點對點取送貨車輛路徑優化模型，設計基于禁忌搜索的混合啟發式算法求解模型。

1 模型構建

研究基于以下前提：配送中心只有一個，每輛貨車僅執行一條路徑的取送貨任務；每個客戶點僅被訪問一次，且取送屬性唯一，空載貨車能滿足單一客戶需求；貨物具備均質、長方體外形特征。不妨設某點對點取送貨車輛運輸網絡為G（N，E）。其中， N={0，1，…，n，n+1，…，2n}為客戶節點集合，0表示配送中心， P={1，…，n}和D={n+1，…，2n}表示取貨點和送貨點集合；對于節點i，j∈N（i≠j），E是節點i、j的有效路徑集合，兩者之間的距離為dij（km）。R表示同質貨車集合，空車重量為c0（kg），額定載重為c（kg），前后軸最大承載重量為c1、c2（kg），前后軸距離、允許重心橫向偏移量分別為g、β（m），貨車有效裝載空間的長、寬、高分別為L、W、H（m），面向車頭的右下前為貨車有效裝載空間的三維坐標系原點，貨車長寬高分別平行于坐標系x、y、z軸；Nr表示貨車r訪問的節點集合；Ii={Ii1，Ii2，…，Iimi}表示客戶i的貨物集合，Mi={1，2，…，mi}，vik、bik、aik、Δaik和fik分別表示客戶i的第k件貨物Iik的體積（m3）、重量（kg）、底面積（m2）、重疊面積（m2）和易碎性，易碎貨物用fik=0表示，否則fik=1，貨物長、寬、高用lik、wik、hik表示；uri表示節點i被貨車r訪問的順序，qri表示貨車r在節點i裝卸前后貨物重量的變化程度（kg），Qri表示貨車r離開節點i時的實際載貨總重量（kg）。決策變量xijr=1表示第r輛貨車依次訪問節點i及其相鄰的節點j，否則xijr=0；（xrik，yrik，zrik）、（xrik′，yrik′，zrik′）分別表示貨物Iik、Iik′在貨車r的實際裝載位置，其裝載的xy、xz二維投影如圖1所示。圖1中：

x1=max（xrik′，xrik），x2=min（xrik′+lrik′，xrik+lrik）

y1=max（yrik′，yrik），y2=min（yrik′+wrik′，yrik+wrik）

z1=max（zrik′，zrik），z2=min（zrik′+hrik′，zrik+hrik）

考慮多輛貨車服務多個客戶的點對點取送貨車輛路徑優化，引入動態平衡、后進先出、三維裝載等約束，以貨車總走行路徑最短為優化目標，構建考慮動態平衡裝卸的點對點取送貨車輛路徑優化模型：

min f=∑r∈R∑i∈N∑j∈N（dijxijr）（1）

s.t." ∑r∈R∑j∈Nxijr=1 i∈p（2）

∑j∈Nxijr－∑j∈Nxn+i，jr=0 i∈P，r∈R（3）

∑j∈Nx0jr=1 r∈R（4）

∑j∈Nxijr－∑j∈Nxjir=0 i∈P∪D，r∈R（5）

∑i∈Nxi0r=1 r∈R（6）

∑i，j∈N（dijxijr）≤s r∈R（7）

（ur，n+igt;uri）∩（∑r′∈Rxir′+xi+n，r′=2） i∈P，r′∈R（8）

∑i，j∈Nrxijr≤Nr－1 r∈R（9）

Qjr≥（Qir+qj）xijr i，j∈N，i≠j，r∈R（10）

∑i∈Nr∑k∈Mibik≤c r∈R（11）

∑i∈Nr∑k∈Mivik≤L×W×H r∈R（12）

（max（xrik′，xrik）≥min（xrik′+lrik′，xrik+lrik））∪

（max（yrik′，yrik）≥min（yrik′+wrik′，yrik+wrik））∪

（max（zrik′，zrik）≥min（zrik′+hrik′，zrik+hrik））=1

i∈Nr，k，k′∈Mi，r∈R（13）

max（zrik′，zrik）=min（zrik′+hrik′，zrik+hrik）

i∈Nr，k，k′∈Mi，r∈R（14）

（xrik+lrik≤L）∩（zrik+hrik≤H）∩（yrik+wrik≤W）=1

i∈Nr，k∈Mi，r∈R（15）

Qr，n+i=Qri－qri i∈P，r∈R（16）

（urigt;urj）∩（ur，i+nlt;ur，j+n）=1 i，j∈P，r∈R（17）

∑Δaik≥θaik k∈Mi，i∈Nr（18）

（fik′=1）∪（（fik′=0）∩（fik=0））=1 k，k′∈Mi，i∈P（19）

∑i∈Nr∑k∈Mibik×xrik+lik2≥g×∑i∈Nr∑k∈Mibik－g×c1 r∈R（20）

∑i∈Nr∑k∈Mibik×xrik+lik2≤g×c2 r∈R（21）

∑i∈Nr∑k∈Mibik×yik+wik2+c0×W2∑i∈Nr∑k∈Mibik+c0-W2≤β r∈R（22）

其中：式（1）表示最小化貨車的總走行路徑；式（2）表示每個客戶只能被訪問一次；式（3）表示某一客戶的取送貨點被同一輛貨車訪問；式（4）～（6）用來保證每輛貨車路徑的起止點均為配送中心；式（7）表示某一貨車運行里程的上限約束；式（8）表示每個客戶的取貨點的訪問順序優先于其送貨點；式（9）表示避免貨車走行子回路約束；式（10）用來保證裝載變量的一致性；式（11）（12）分別表示每輛貨車所裝貨物總重量和總體積不超過其額定載重和有效裝載體積；式（13）表示貨物裝載時位置不能重疊；式（14）表示貨物裝載時不能懸空；式（15）表示貨物不能超過貨車的有效裝載空間；式（16）（17）表示后進先出的約束；式（18）是確保三維裝載穩定的支撐面約束，若貨物下方是車廂，支撐面即為貨物底面，若貨物下方是其他貨物，支撐面即為該貨物與其他貨物在水平面上的重疊面積之和， θ為支撐面比例；式（19）是三維裝載的脆弱性約束，易碎貨物上方只能放易碎貨物，非易碎貨物上方貨物無要求；式（20）（21）表示貨車縱向軸重約束;式（22）表示貨物橫向重心偏移約束。

2 算法設計

考慮動態平衡裝卸的點對點取送貨車輛路徑優化模型的求解涉及兩個層面，即取送貨車輛路徑、貨物在不同客戶取送點的三維動態平衡裝卸。因此，將貨物裝卸納入路徑優化的檢算環節，將動態平衡裝卸的可行性判斷集成到路徑優化過程中，設計客戶動態平衡裝卸檢算算法，提出基于禁忌搜索帶動態平衡裝卸的點對點取送貨車輛路徑優化算法。

2.1 初始和鄰域路徑方案構造方法

根據最遠距離原則選擇一對取送貨節點構造第一條運輸路徑，如式（23）所示。

max di=d0，i+di，n+i+dn+i，0 i∈P（23）

采用啟發式插入法和貪婪策略來構造路徑的初始方案。在第一條運輸路徑中插入路徑長度節約值（專門為該節點對新增一條新的運輸路徑和將其插入現有路徑產生的最小距離增加值的差）最大的節點對，若滿足取送節點訪問順序、避免子回路等約束，則將取送貨節點對插入該條路徑中（如圖2（a）所示）；否則為該節點對構造一條新的運輸路徑（如圖2（b）所示）。如此循環迭代，直至所有客戶節點全部安排，進而獲得路徑的初始方案S0。

基于路徑內部、不同路徑之間，設計獨立并行的節點交換和重新定位算子構造鄰域方案。

a）路徑內節點交換算子。選擇一條運輸路徑，將其中兩個客戶的取送貨節點對進行交換（圖3），若交換后的節點滿足取送節點訪問順序、避免子回路等約束，則進行交換，否則取消交換，恢復其原始位置。

b）路徑節點重新定位算子。選擇一條運輸路徑，將其中50%客戶節點存放于臨時集合當中，選擇臨時集合中的客戶節點對重新插入該條路徑（圖4），若有多個位置能夠滿足取送節點訪問順序、避免子回路等約束，則選擇路徑長度最小的位置插入節點，否則恢復其原始位置。

c）路徑間節點交換算子。選擇兩條運輸路徑，在兩條路徑中各選擇一對客戶節點，將其插入另一條路徑（圖5），若有多個位置能夠滿足取送節點訪問順序、避免子回路等約束，則選擇路徑長度最小的位置插入節點，否則恢復其原始位置。

d）路徑間節點重新定位算子。選擇一條運輸路徑，將其中50%的客戶節點存放于臨時集合，用于插入其他運輸路徑中（圖6），若有多個位置能夠滿足取送節點訪問順序、避免子回路等約束，則選擇路徑長度最小的位置插入節點，否則恢復其原始位置。

2.2 客戶動態平衡裝卸檢算算法

客戶動態平衡裝卸檢算的關鍵在于貨車有效裝載空間和貨物匹配，本文通過設計多重指標定序策略和三分空間策略來實現。多重指標定序策略是指分別按貨物體積、底面積、質量由大到小的基本原則，并優先裝載非易碎貨物，以此確定客戶貨物裝載序列；三分空間策略是指將貨物裝載后的有效裝載空間劃分成三個子空間，以內接長方體表示，按“由前至后、由下至上、由左至右”的原則選擇下一件貨物的裝載空間，如圖7所示。

基于上述兩種策略設計客戶動態平衡裝卸檢算算法，具體如下：

a）記當前車廂內貨物裝載方案集為B，剩余空間集為F，客戶i的貨物集為Ii；客戶i的貨物裝載方案集為bi，初始化bi=。

b）依據多重指標定序策略將Ii中的貨物分別按照重量、體積、底面積由大到小和易碎程度由小到大排序，得到四種裝載序列集e={e1，e2，e3，e4}，轉步驟c）。

c）將貨物按照裝載序列集中的第一個序列進行裝載，記該裝載序列中的貨物集為ei={Ii1，Ii2，…，Iik}，如果此時所有序列已全部被嘗試，即e=，轉步驟g），否則將此序列從集合e中刪除，更新集合e，轉步驟d）。

d）基于三分空間策略對此貨物序列集ei中的第一件貨物進行裝載，如果此時該序列所有貨物全部被裝載，即ei=，轉步驟f），否則，轉步驟e）。

e）若此件貨物成功放入裝載空間且滿足裝載約束，則此件貨物裝載成功，將其從集合ei中刪除，更新貨物序列集ei，更新此時客戶i的貨物裝載方案集bi和剩余空間集F，轉步驟d）；否則認定裝載失敗，嘗試下一裝載序列，轉步驟c）。

f）對已裝載貨物進行平衡裝載檢測，若滿足平衡裝載約束，則認定客戶i的貨物成功裝載，更新車廂內貨物裝載方案集B和剩余空間集F，轉步驟g），否則轉步驟c）。

g）若此時bi=，表示客戶i的貨物未能成功裝載，輸出裝載失敗;否則，輸出客戶i貨物裝載后車廂內貨物整體裝載方案集B以及剩余空間集F。

2.3 點對點取送貨車輛路徑優化算法

算法1 基于禁忌搜索的考慮動態平衡裝卸的點對點取送貨車輛路徑優化算法

輸入：客戶集合N、貨物集合Ii、額定載重D、車廂長寬高L、W、H等。

輸出：當前最優解Sbest、目標函數值f。

a）采用初始路徑方案構造方法生成初始路徑方案S0，初始路徑方案集對應的初始裝載方案集B=，設初始路徑方案和裝載方案共同構成臨時解Stmp，初始化禁忌表TL=1、禁忌長度len、最大迭代次數tmax、迭代次數t=0、當前最優解Sbest=Stmp。

b）運用路線內節點交換算子、路線內節點重新定位算子、路線間節點交換算子、路線間節點重新定位算子，生成路徑鄰域方案集SN。

c）調用客戶動態平衡裝卸檢算算法對路徑鄰域方案中的各路徑各客戶進行裝卸檢驗。若能夠完成路徑中所有節點的貨物裝載，滿足三維平衡裝載約束，則此路徑通過客戶動態平衡裝卸檢驗，得到裝載方案B，路徑方案和裝載方案共同構成鄰域解，轉步驟d）；若未通過檢驗，則刪除對原路徑的節點交換或重新定位，轉步驟b）。

d）運用解的評價準則，即目標函數值最小對鄰域解進行排序。如果最優鄰域解符合特赦準則，即最優鄰域解路徑長度小于當前臨時解的路徑長度，則將最優鄰域解賦值給Stmp；否則當前臨時解保持不變。

e）若當前臨時解的目標函數值優于當前最優解，則將其置為當前最優解，即Sbest=Stmp，并將Stmp對應的禁忌對象添加到禁忌表中，更新禁忌表，更新迭代次數t=t+1。

f）判斷是否滿足迭代次數終止規則，若tgt;tmax，則算法終止，輸出當前最優解Sbest和目標函數值f；否則，繼續執行步驟b）～f）。

3 算例分析

采用Mnnel等人于2016年公開的54個測試算例驗證方法的合理性和有效性。表1表示標準算例的數據分布情況，RAND、CLUS、CPCD分別表示節點位置隨機分布、混合節點聚類分布、單純取送節點聚類分布；同質貨車的長寬高分別為6 m、2.5 m、3 m，額定載重45 000 kg；前后軸的承重均為22 500 kg，允許重心橫向偏移量為0.75 m［16］。

采用Java語言進行編程實現上述方法，其運行環境為IntelCoreTMi5 4200M@ 2.50 GHz CPU，8.0 GB內存的PC；初始禁忌長度len=50，最大迭代次數tmax=500。結果取10次計算平均值，采用GAP值（百分比差距，GAP=（xLNS－xTS）/min（xLNS，xTS）×100%）對比分析計算的結果，其中GAP為正表示采用本文方法（TS）獲得的結果更優，反之文獻［8］中變體2的大鄰域搜索算法（LNS）更優。具體計算結果如表2所示。

從表2可以看出，針對客戶規模為50的算例，相較于LNS算法，TS算法在90%的算例中取得的總路徑長度更短，平均路徑長度減少3.9%；19組算例的求解效率更高，平均求解用時減少2.3%。表中部分算例的求解用時較長，其主要原因是引入動態平衡裝卸約束嚴苛地限制了貨物的裝載位置，裝載迭代次數增加，造成求解用時增加，為了驗證TS算法的求解效率，將不考慮動態平衡裝卸約束下的TS和LNS算法進行對比，得到TS算法在求解用時上具有較強優勢，且動態平衡裝卸約束的引入增加了求解用時，由此可推斷：若將動態平衡裝卸約束增加至LNS算法，其求解用時將會增加，此時考慮動態平衡裝卸約束的TS算法求解速度優勢會進一步增大。綜上可得，在客戶規模為50的算例中，TS算法具有更強的尋優能力。進一步對客戶規模為75和100的算例進行計算，得到不同客戶規模下路徑長度和運行時間的GAP值，如圖8所示。從圖8可以看出，路徑長度的GAP值曲線基本位于0軸上方；運行時間的GAP值曲線波動較大，但大部分曲線位于0軸上方且數值較大。因此，對于不同客戶規模的算例，TS算法的路徑優化效果更好，多數算例結果優于LNS算法，在求解效率上同樣處于優勢。

由于上述趨勢圖上下浮動范圍較大，考慮到原始算例數據存在著節點分布特征的差異，或是造成計算結果起伏的原因，所以針對不同節點分布特征，分析路徑長度和運行時間的GAP值曲線，如圖9、10所示。從圖9可以看出，在CPCD分布特征下，TS算法在各組算例中取得的路徑長度更短，路徑優化效果最好，全部優于LNS算法，在RAND和CLUS分布特征下，TS算法的路徑優化結果部分優于LNS算法。從圖10可以看出，CLUS分布特征下，TS算法在多組算例的求解用時更少，求解效率優于LNS算法，其次是在CPCD、RAND分布特征下的求解效率浮動較大。綜上所述，不同節點分布特征對運算結果存在影響。對TS算法的求解穩定性進行分析，不同客戶規模下路徑長度的標準差σ如圖11所示。

從圖11可以看出，TS算法求解穩定性能良好，主要受客戶規模大小和節點分布特征的影響，客戶規模為50的算例求解穩定性最強，在CLUS節點分布特征下的計算結果最為穩定，客戶規模為75和100的算例求解穩定性稍有下降，但依舊保持較為穩定的狀態。給定一組案例，其包含53個客戶，106件貨物，客戶取送節點的坐標分布如圖1所示。在路線方案中，用數字i，i+53（1lt;ilt;53）來表示客戶i的取貨點和送貨點，0表示配送中心。根據計算結果可知，該組客戶需要三輛貨車進行取送貨服務，具體的服務結果如表3所示。

如表3所示，貨車總走行路徑長度值f=841.22+399.21+280.39=1 520.82 km 。各車輛的行駛路線如下：

車輛1路線：0-3-9-4-57-62-56-11-12-33-47-1-19-41-94-72-54-100-17-16-39-35-38-91-88-92-69-70-49-32-45-98-85-102-42-31-5-8-61-58-84-95-86-65-64-43-50-103-96-48-24-77-101-0

車輛2路線：0-37-14-13-66-67-90-36-23-22-7-60-75-46-28-15-20-21-30-83-74-73-51-44-53-106-97-104-10-27-80-63-68-81-99-76-89-25-29-82-78-0

車輛3路線：0-34-6-2-55-26-18-52-40-93-105-71-65-59-87-0

以車輛1為例，其實際路線方案如圖12所示，服務過程中貨物裝載體積最大時的裝載情況如圖13所示。運用本文方法對仿真實例進行求解，完成所有客戶的取送貨任務，貨車總走行路徑為1 520.82 km。由此驗證了本文方法的實際應用效果。

4 結束語

本文引入動態平衡、后進先出、三維裝載等約束，從運輸安全和動態裝卸層面對傳統的取送貨車輛路徑問題提出了新的要求，所構建的帶動態平衡裝卸的點對點取送貨車輛路徑優化模型能夠準確刻畫多車多客戶實際應用場景的點對點取送貨車輛路徑問題。設計的基于禁忌搜索的點對點取送貨車輛路徑優化算法的尋優能力強、求解的穩定性好、求解效率高，所提方法能夠為物流企業點對點取送貨車輛路徑規劃和動態裝載決策提供有力的技術支撐。

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