基于停滯檢測的雙向搜索灰狼優化算法

收稿日期：2021-11-11；修回日期：2021-12-28

基金項目：國家自然科學基金資助項目（52178468）；廣西自然科學基金聯合資助培育項目（2019GXNSFAA245037）；廣西青年創新人才科研專項資助項目（桂科AD19245012）；廣西“嵌入式技術與智能系統”重點實驗室開放基金資助項目（2019-02-08）；桂林理工大學博士啟動基金資助項目（GUTQGJJ2019042，GUTQDJJ2019041）

作者簡介：張大明（1978-），男，遼寧遼陽人，副教授，碩導，博士，主要研究方向為資源信息與決策、軟件工程；徐嘉慶（1998-），男（通信作者），江蘇徐州人，碩士研究生，主要研究方向為智能優化算法（1044667922@qq.com）；趙彥清（1998-），男，江西樟樹人，碩士研究生，主要研究方向為智能優化算法；丁俊杰（1999-），男，湖南株洲人，碩士研究生，主要研究方向為智能優化算法.

摘 要：針對灰狼優化算法（GWO）易陷入局部最優、收斂速度低的問題，提出了一種基于停滯檢測的雙向搜索灰狼優化算法（DBGWO）。為了提升初始種群的質量，引入了Bernoulli shift映射；為了充分利用GWO特有的頭狼機制，實現整體提升算法性能的目的，提出一種雙向搜索策略；為了提升算法跳出局部最優的能力、增加算法的收斂速度，提出一種停滯檢測機制，針對算法是否有陷入局部最優風險的判斷，狼群會采取相應的措施改變當前狀態。通過對23個基準測試函數進行仿真實驗結果表明，所提算法在求解多峰函數問題上效果顯著，同時在求解最優解非0點的函數問題上表現也較為優越。將該算法用于求解多閾值圖像分割問題，解決了用Kapur熵法計算多閾值時耗時過長的問題。

關鍵詞：灰狼優化算法； 雙向搜索； 停滯檢測； Kapur熵

中圖分類號：TP301.6"" 文獻標志碼：A

文章編號：1001-3695（2022）06-021-1725-06

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2021.11.0609

Bidirectional search grey wolf optimizer based on stagnation detection

Zhang Daming， Xu Jiaqing， Zhao Yanqing， Ding Junjie

（College of Information Science amp; Engineering， Guilin University of Technology， Guilin Guangxi 541004， China）

Abstract：Aiming at the problem that grey wolf optimizer （GWO） was easy to fall into local optimization and low convergence speed， this paper proposed a bidirectional search grey wolf optimizer based on stagnation detection （DBGWO） . In order to improve the quality of the initial population， it introduced Bernoulli shift mapping. In order to make full use of the unique wolf mechanism of GWO and achieve the purpose of improving the performance of the algorithm as a whole， it proposed a bi-directional search strategy. In order to improve the ability of jumping out of local optimization and increase the convergence speed of the algorithm， it proposed a stagnation detection mechanism. According to the judgment of whether the algorithm had the risk of falling into the local optimization， the wolves would take corresponding measures to change the current state. Through simulation experiments on 23 benchmark functions， the results show that this algorithm is effective in solving multi-modal function problems， and it is also superior in solving function problems with non-zero points of the optimal solution. In addition， this algorithm was used to solve the problem of multi-threshold image segmentation， which solved the problem that the Kapur entropy method was too time-consuming to calculate the multi-threshold.

Key words：grey wolf optimizer; bidirectional search; stagnation detection; Kapur entropy

0 引言

灰狼優化算法（GWO）由Mirjalili等人［1］于2014年提出，它源于模擬自然界狼群的等級層次機制和捕食行為，GWO原理簡潔而容易實現，具有較為均衡的全局尋優能力和局部尋優能力。目前，GWO已經被證實在求解精確度和求解穩定性等方面都要顯著高于差分進化算法（DE）［2］、粒子群優化算法（PSO）［3］、引力搜索算法（GSA）［4］、遺傳算法（GA）［5］等優化算法，近年來，GWO已經被應用于PID控制器參數優化［6］、支持向量機參數優化［7］、神經網絡［8］、經濟調度［9］、入侵檢測［10］等領域中。

與其他群智能優化算法類似，GWO算法也具有種群多樣性不足、后期收斂速度慢、容易陷入局部最優等缺點。近年來，專家學者針對這些問題提出了許多改進策略來提高GWO的性能。文獻［11］將近年來關于GWO的改進措施歸納為四個類別：a）初始化種群的改進，如文獻［12］在種群的初始化中引入circle映射增強了初始化種群的多樣性，文獻［13］將精英反向學習策略引入提升了初始解的質量；b）搜索機制的改進，如文獻［14］舍棄了頭狼分層機制，用種群內部隨機三只狼取代頭狼，用每只灰狼個體歷史最優位置取代當前位置進行位置更新，克服了文獻［15］提出的當GWO求解同一個優化函數時，函數的最優解距離0越遠其性能越差的問題，文獻［16］通過增加加權因子和位移向量增強了算法的普適性；c）對參數的改進，如文獻［17］提出一種基于三角函數模型的收斂因子促使算法避開局部最優，文獻［18］提出一種分段可調節收斂因子用于手動調節收斂因子以適應不同的問題；d）設計混合算法，通過引入不同的搜索機制與原始算法混合使用，如文獻［19］將一種基于維度學習的狩獵搜索策略與GWO結合，通過為每只灰狼構造一個鄰域，該鄰域內的灰狼之間可以共享鄰居信息增強了種群的多樣性，文獻［20］將GWO與DE相結合增加了種群內部的信息交流，從整體上提升了算法性能。

本文為了解決GWO收斂速度低、易陷入局部最優問題，分別從初始化種群的改進、搜索機制的改進、混合算法的設計三個角度改進GWO。通過引入Bernoulli shift映射提升初始種群的多樣性，通過雙向搜索策略整體提升算法性能，提出停滯檢測機制用于提升收斂速度和跳出局部最優的能力。

1 灰狼優化算法

灰狼優化算法將灰狼種群分為α、β、δ、ω四個等級。種群中的最優解作為第一級，稱為α；次優解作為第二級，稱為β；第三優解作為第三級，稱為δ；其他所有解作為第四級，統一稱為ω。其中α、β、δ三只灰狼負責共同引導ω灰狼向獵物位置前進。狼群按照以下方式進行捕食行為：

D=|CXp（t）－X（t）|（1）

X（t+1）=Xp（t）－AD（2）

其中：t表示當前迭代次數；D表示獵物與個體之間的距離；X表示當前灰狼的位置；Xp表示獵物的位置;A和C都是系數向量，定義為

A=2ar1－a（3）

C=2r2（4）

a=2－2（t/max_iter）（5）

其中：a為收斂因子，a隨著迭代次數的增加從2線性遞減至0；max_iter為最大迭代次數；r1、r2為［0，1］的隨機向量。

在實際求解優化問題的過程中，由于不清楚獵物的具體位置，由α、β、δ三只灰狼的位置取代獵物的位置，負責共同引導ω灰狼向獵物位置前進。

Dα=|C1Xα（t）－X（t）|

Dβ=|C2Xβ（t）－X（t）|

Dδ=|C3Xδ（t）－X（t）|（6）

X1=Xα－A1·Dα

X2=Xβ－A2·Dβ

X3=Xδ－A3·Dδ （7）

X（t+1）=（X1+X2+X3）3（8）

其中：Xα、Xβ、Xδ分別表示灰狼α、β、δ的位置；X1、X2、X3表示ω狼分別要向α、β、δ狼前進的方向和距離；X（t+1）表示當前灰狼本次迭代尋找到的最終位置。

2 改進的灰狼優化算法

2.1 Bernoulli shift映射

本節從初始化種群的改進這一角度展開，主要目的是提升初始化種群的多樣性。混沌具有隨機性、遍歷性、規律性等特點。在優化領域，混沌映射可以用于替代偽隨機數生成器，生成0～1的混沌數。文獻［21］中證實了Bernoulli shift映射和tent映射在一維混沌映射中較logistic映射、sine映射、ICMIC映射等有相對更高的搜索效率。圖1分別顯示了Bernoulli shift映射、tent映射、sine映射、logistic映射10 000次迭代的分布直方圖，可以看出使用Bernoulli shift映射和tent映射產生混沌數的分布更為均勻。本文選取Bernoulli shift映射產生混沌數來初始化種群。

Bernoulli shift映射表達式為

xn+1=xn1－λ""" 0lt;xn≤1－λ

xn－（1－λ）λ1－λlt;xnlt;1（9）

當λ∈（0.2，0.5）∪（0.5，0.8）時，式（9）處于混沌狀態。

2.2 雙向搜索策略

本節從搜索機制的改進方面進行，主要目的是充分利用GWO中頭狼共同引導種群更新這一機制，使得算法獲得全面的性能提升。GWO中，三只頭狼總是扮演著領導者的角色，而狼群最終會向著三只頭狼移動方向的合方向前進。作為最終決定種群下一代位置的更新方式，還存在著一些進一步優化提升的空間。雙向搜索策略指的是在種群最終更新位置的過程中分別向兩個方向前進，選擇較優的位置留下。首先，在α、β、δ三個狼群等級之下再劃分出一個等級χ，底層仍為ω。由α、β、δ、 χ四只灰狼共同引導ω灰狼向獵物位置前進。

Dα=|C1Xα（t）－X（t）|

Dβ=|C2Xβ（t）－X（t）|

Dδ=|C3Xδ（t）－X（t）|

Dχ=|C4Xχ（t）－X（t）|（10）

X1=Xα－A1Dα

X2=Xβ－A2Dβ

X3=Xδ－A3Dδ

X4=Xχ－A4Dχ（11）

X（t+1）=（X1+X3）2 f（（X1+X3）2）lt;f（（X2+X4）2）

（X2+X4）2f（（X2+X4）2）lt;f（（X1+X3）2）（12）

其中：Xχ表示χ灰狼的位置；X4表示ω灰狼要向χ灰狼前進的方向和距離；f（x）表示函數的適應度值；X（t+1）表示當前灰狼本次迭代尋找到的最終位置。

雙向搜索策略最明顯的優勢就是擴大了灰狼的搜索范圍。同時向兩個方向搜索，在處理單峰函數時最直觀的表現是前中收斂速度減緩，因為每次演化都要在兩個方向中選擇跳變，不如始終向一個方向前進效率高；相反，在處理多峰函數時的直觀表現就是收斂速度加快，更大的搜索范圍意味著更高的概率找到更優解，所以收斂速度始終要高于只向一個方向搜索的GWO。

2.3 停滯檢測機制

本節從設計混合算法這一角度進行改進，主要目的是提升算法跳出局部最優的能力，同時加快算法收斂速度。

停滯檢測機制指的是通過檢測種群最優個體的適應度值停滯情況，從而采用相應的措施以改變現狀。這些措施會增加算法的時間復雜度，但是也會使算法獲得更高的尋優性能。GWO每次更新種群位置后都會進行一次停滯檢測，檢驗α狼的適應度值是否經過多次演化后仍未曾變化。如果確認未曾變化，那么就認為此時算法尋優停滯，種群已經有陷入局部最優的風險了，此時種群內需要有個體進行劇烈的位置變動，尋找新的位置來帶動種群跳出局部最優。式（13）（14）可以滿足以上目的。

Xt+1=Xt+μ（ub－lb）C（1，0）（13）

Xbest=Xt+1 f（Xt+1）lt;f（Xt）

Xtf（Xt+1）gt;f（Xt）（14）

其中：Xt表示當前灰狼個體位置；Xt+1表示位置變動之后灰狼個體位置；Xbest表示灰狼個體在當前位置與變動之后位置之間作出選擇后的最終位置；ub、lb分別表示測試函數的上下邊界；μ為可調節參數，本文取0.01；C（1，0）表示一個符合標準柯西分布的隨機數；f（x）表示函數的適應度值。

式（13）用于種群全體進行位置變動。每只灰狼都要進行大步長的跳變，其跳變步長與“地圖”大小相關，具體指的就是每個尋優函數的定義域大小。同時還需要設置一個隨機數來保證每只灰狼個體跳變的方向和距離各不相同，從而增加其搜索范圍，而符合標準柯西分布的隨機數剛好符合要求，標準柯西分布隨機數以0為中心分布在其兩側，同時也有一定概率出現較大或較小的隨機數。式（14）是保留種群當前位置的舉措，種群中有部分個體劇烈變動就可以了，更好的變動保留，更差的變動舍去，這樣可以避免種群全體變動影響演化后期的收斂性。

在停滯檢測中沒有觸發跳出局部最優的措施時，可以采取一些別的措施適當彌補一下種群的收斂速度。式（14）（15）可以滿足以上目的。

Xt+1=Xt+XtN（0，1）（15）

其中：N（0，1）表示一個服從標準高斯分布的隨機數。

式（15）將僅用于頭狼進行位置變動。每只頭狼會在其周圍進行小范圍局部搜索。而符合標準高斯分布的隨機數剛好符合要求，標準高斯分布與標準柯西分布類似，不同之處就是它出現在0附近的概率更高，出現較大或較小隨機數的概率更低。所以將高斯分布用于頭狼局部搜索相比于柯西分布，步長變化相對更小更穩定。

2.4 算法運行流程

基于停滯檢測的雙向搜索灰狼優化算法（DBGWO）的運行流程如下：a）初始化算法基本參數；b）使用Bernoulli shift映射初始化種群；c）計算種群中所有個體的適應度，挑選出適應度最好的四只狼記為α、β、δ、χ；d）根據式（5）計算出收斂因子a的值，并根據式（10）～（12）更新種群位置；e）檢測最近三次進化中α狼的適應度值是否發生變化，是則狼群ω根據式（13）（14）更新自己位置，否則頭狼根據式（15）（14）更新自己位置；f）判斷是否達到迭代終止條件，達到則算法結束，否則返回步驟c）。

3 仿真實驗與分析

3.1 基準測試函數與實驗環境

實驗從文獻［1］中選取了23個不同類型的基準測試函數并展示了其最優解所在位置。如表1所示，其中F1～F7為高維單峰基準測試函數；F8～F13為高維多峰基準測試函數；F14～F23為固定維度多峰基準測試函數。

實驗運行環境為Intel CoreTM i5-8265U CPU @ 1.60 GHz 1.80 GHz，內存16.00 GB，Windows 10系統，運行軟件為MATLAB R2020a。所有算法的種群規模均設置為30，最大迭代次數為500。所有實驗均獨立運行30次，取平均值和標準差作為算法性能的度量標準。

3.2 與標準優化算法的比較

為了初步驗證改進算法的有效性，單獨將2.2節中的雙向搜索策略應用到GWO中，命名為BGWO。由于雙向搜索策略是從搜索機制上優化GWO，并沒有增加算法的時間復雜度，所以將BGWO與一些標準的優化算法作比較。將BGWO與粒子群優化算法（PSO）、差分進化算法（DE）、鯨魚優化算法（WOA）、灰狼優化算法（GWO）四種標準優化算法進行比較，結果如表2所示。其中，PSO中的學習因子均取2，最大速度取2，慣性權重取0.5+rand/2；DE中變異概率取0.5，交叉概率取0.2。表2展示了BGWO和四種標準優化算法尋優結果的比較。

首先從全局視角縱向對比GWO和BGWO在23個基準測試函數上的運行結果。從表2可以看出，BGWO在大部分函數的尋優結果上都要優于GWO，且不存在優化某一函數效果變差的情況發生。從對多峰函數F8、F9尋優結果可以明顯地體現出雙向搜索擴大了尋優范圍這一特點，加快種群的收斂速度，從而有更大的概率取得更優的解。橫向對比各個標準優化算法的尋優結果，對于高維單峰函數F1～F7，PSO存在著精度較低的問題，WOA和DE存在對于某些函數難以收斂的問題，而BGWO相對更為均衡；對于高維多峰函數F8～F13，WOA的表現最佳；對于固定維度多峰函數F14～F23，BGWO和DE的尋優結果均可以非常逼近理論最優值，效果最佳。

3.3 不同改進策略的GWO算法比較

為了進一步驗證改進算法的性能，將Bernoulli shift映射、雙向搜索策略、停滯檢測機制共同應用到GWO上，命名為基于停滯檢測的雙向搜索灰狼優化算法。

將DBGWO與其他研究者提出的改進灰狼優化算法加以對比。其中，HGWO［20］為基于差分進化的灰狼優化算法，PSO_GWO［22］為結合粒子群算法的灰狼優化算法，AGWO［23］為基于雜交策略的自適應灰狼優化算法，DSF_GWO［24］為基于翻筋斗覓食策略的灰狼優化算法。關于HGWO的實驗結果數據均直接來源于文獻［20］。關于PSO_GWO的實驗結果數據，F1～F5、F9～F11、F15～F23的數據直接來源于文獻［22］，取學習因子c1=c2=2.05，取得F6～F8、F12～F14的數據；關于AGWO的實驗結果數據，F1～F11的數據直接來源于文獻［23］，取雜交閾值Pc=0.7，翻滾概率P=t/tmax，參數S=2，取得F12～F23的數據；關于DSF_GWO的實驗結果數據，F1～F13的數據直接來源于文獻［24］，取參數ω=2.5，取得F14～F23的數據。

表3展示了DBGWO和四種改進灰狼優化算法的尋優結果比較。結合表1中記錄的各個函數最優解位置來分析表3的實驗結果，可以發現在F1～F4、F7、F9～F11這幾個最優解在0點的函數上，PSO_GWO、AGWO、DSF_GWO、DBGWO算法均具有十分優越的搜索性能；但是在F5、F6、F8、F12、F13這幾個最優解不在0點的高維函數上，HGWO、PSO_GWO、AGWO、DSF_GWO算法的提升效果均非常有限。而DBGWO在這些最優解不在0點的函數上表現也較為優越，可以有效地提升其搜索精度。同時DBGWO在F8～F13這六個高維多峰函數上的優秀表現也足以說明DBGWO有著很強的跳出局部最優能力；在F14～F23這幾個固定維度多峰函數上，由于其函數構造較為簡單，各個算法均可取得不錯的搜索結果。綜合各個算法在23個基準測試函數上的尋優結果來看，DBGWO的尋優性能最為全面。

為了更直觀地表現出本文改進的灰狼優化算法的尋優效果，圖2展示了改進算法對F8這個理論最優解不在0點的高維多峰測試函數30次的尋優結果。從圖2中可以看出，BGWO的收斂曲線基本上是處于GWO的曲線下方的，說明雙向搜索策略擴大了搜索范圍，加快了求解多峰函數時的收斂速度，有更高的概率找到更優解是成立的，而DBGWO無論是從收斂速度還是尋優結果方面都為最佳。

4 DBGWO在多閾值圖像分割中的應用

4.1 基于DBGWO的多閾值圖像分割

為驗證DBGWO的實用性和有效性，將DBGWO應用到多閾值圖像分割領域。針對使用Kapur熵法實現多閾值圖像分割時，隨著閾值數的增多運算的復雜度和運算時間也因此呈現出指數倍增的問題，提出使用DBGWO解決基于Kapur熵準則的多閾值圖像分割問題。

采用Kapur熵法進行多閾值圖像分割，就是通過遍歷所有可能的閾值組合選擇出一組最佳閾值，使得其劃分出的各類熵之和最大。使用DBGWO進行多閾值圖像分割，核心是要選定目標函數，然后通過不斷的位置更新找到一個使得目標函數取得最大值的位置。本節將Kapur熵設置為DBGWO的目標函數，目標函數表示為

fitness=F（［t1，t2，…，tn］）（16）

其中：［t1，t2，…，tn］表示一組閾值組合，F（［t1，t2，…，tn］）表示［t1，t2，…，tn］閾值組合所劃分出的各類熵值之和。

4.2 實驗結果與分析

實驗從Berkeley圖像庫中選取兩幅經典的復雜圖像Lena和boat作為測試圖像，并分別根據Kapur熵法、DBGWO對兩張測試圖像進行單閾值、雙閾值、三閾值、四閾值的圖像分割實驗。

首先采用Kapur熵法對兩張圖像進行多閾值分割實驗，實驗分別記錄了最佳閾值組合、Kapur熵值、運行時間（單位為s），作為使用DBGWO進行圖像分割實驗結果的參考標準。實驗結果如表4所示。

DBGWO的初始參數如下：種群規模為20，最大迭代次數為100。為了客觀精確地評價算法的分割效果，對每幅圖像分別獨立運行30次，使用算法的單次運行時間（s）、平均適應度值（mean）、結構相似性（SSIM）、標準差（STD）來分別衡量算法的效果。其中SSIM是衡量兩幅圖像相似度的指標，表示為

SSIM（x，y）=（2μxμy+c1）（2σxy+c2）（μ2x+μ2y+c1）（σ2x+σ2y+c2）（17）

其中：μx、μy為x、y的平均值；σ2x、σ2y是x、y的方差；σxy是x、y的協方差；c1、c2是用來維持算法穩定的常數。SSIM值越接近1，分割效果越好。

為了驗證改進算法DBGWO在求解實際問題時也優于原始算法GWO，將GWO加入到分別使用Kapur熵法和DBGWO的多閾值圖像分割的對比實驗中，GWO的實驗環境與DBGWO相同。表5記錄的是GWO和DBGWO用于多閾值圖像分割的實驗結果。對比表4、5的實驗結果可以看出，使用GWO和DBGWO分割圖像也可以取得與使用Kapur熵法非常相似的閾值組合，但是在運行時間方面，隨著閾值數的增加，GWO和DBGWO的運行時間要遠遠低于Kapur熵法。例如對Lean圖像進行四閾值分割，使用Kapur熵法需要運行2 239.18 s，而使用DBGWO只需要運行1.29 s。對比GWO和DBGWO進行圖像分割的實驗結果可以發現，對于兩幅測試圖像進行單閾值、雙閾值、三閾值分割時，GWO和DBGWO得出的閾值組合和mean值沒有差別;在進行四閾值分割時，對于兩幅測試圖像，使用DBGWO進行分割得到mean值均略高于GWO得到的mean值，可見在解決基于Kapur熵準則的多閾值圖像分割問題上，DBGWO的尋優精度也要優于GWO。從SSIM的實驗數據來看，SSIM的值會隨著閾值數的增加而增加，說明圖像的分割效果與閾值數呈正相關。從STD的結果來看，DBGWO在用于求解基于Kapur熵準則的多閾值圖像分割的問題上也具有較好的穩定性。

為了直觀地展現Kapur熵法和DBGWO的分割效果，圖3、4分別顯示了使用Kapur熵法和DBGWO對兩張測試圖像的分割結果，其中第一列為原圖，而后順次為單閾值、雙閾值、三閾值、四閾值的分割效果圖。可見兩者分割效果已經非常接近。由此進一步驗證了DBGWO算法的實用性和有效性。

5 結束語

本文根據GWO存在的易陷入局部最優、收斂速度較低等問題，通過引入Bernoulli shift映射、雙向搜索策略、停滯檢測機制，提出了一種基于停滯檢測的雙向搜索灰狼優化算法。該算法有以下優越性：a）從搜索機制層面輕量級地改進了灰狼優化算法，使得其尋優能力有了整體的提升；b） 在設計混合算法的層面提出了停滯檢測機制，促使算法具有很強的跳出局部最優能力和更快的收斂速度。最后將DBGWO應用于多閾值圖像分割中，實驗結果表明，使用DBGWO求解基于Kapur熵準則的多閾值圖像分割問題，能夠有效克服Kapur熵法在求解多閾值問題時，運算量大、運行時間長的問題，同時也驗證了在求解實際問題中，DBGWO相較于GWO更具有效性和優越性。

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