多策略協同改進的阿基米德優化算法及其應用

摘 要： 針對阿基米德優化算法（AOA）尋優過程中存在全局搜索能力弱、收斂精度低、易陷入局部最優等缺陷，提出一種融合多策略的阿基米德優化算法（MAOA）。首先，采用隨機高斯變異策略選取適應度優的多個個體引導種群向最優解區域尋優，增強全局搜索能力；其次，利用多種混沌映射的隨機性、遍歷性和多樣性，引入局部混沌搜索策略擴大混沌空間的搜索范圍，提高算法的局部開發能力；同時，為了協調算法的全局勘探和局部開采能力，提出一種非線性動態密度降低因子；最后，利用Lévy飛行引導機制的黃金正弦策略對種群位置進行擾動更新，增加迭代過程中種群的多樣性，提高算法跳出局部最優的能力。通過對12個基準測試函數和部分CEC2014測試函數進行仿真實驗，結果表明所提算法能夠改善AOA全局探索能力弱、易陷入局部最優等缺點，提高AOA的尋優精度和穩定性。另外，引入機械設計案例進行測試分析，進一步驗證MAOA在處理實際問題上的適用性和可行性。

關鍵詞： 阿基米德優化算法； 隨機高斯變異策略； 非線性動態密度降低因子； Lévy飛行； 黃金正弦； 機械設計

中圖分類號： TP301.6"" 文獻標志碼： A

文章編號： 1001-3695（2022）05-017-1386-09

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2021.10.0427

Improved Archimedes optimization algorithm by multi-strategy collaborative and its application

Luo Shihanga，b， He Qinga，b

（a.College of Big Data amp; Information Engineering， b.Guizhou Provincial Key Laboratory of Public Big Data， Guizhou University， Guiyang 550025， China）

Abstract： In order to overcome the drawbacks of Archimedes optimization algorithm（AOA），such as weak global search ability，easily trapping into local optimum and prematurely converge，this paper put forward Archimedes optimization algorithm improved by multi-strategy collaborative（MAOA）.Initially，it used the random Gaussian mutation strategy to increase the diversity of the population in the iterative process and strengthen the global search ability.Then，based on the randomness，ergodicity and diversity of multiple chaotic models，it introduced the local chaotic search strategy to expand the scope range of the chaotic space and enhance the local development capabilities of the algorithm.At the same time，it proposed a nonlinear dynamic density decreasing factor to coordinate the global exploration ability and local development ability of the algorithm.Finally，for the sake of increasing the diversity of the population during the iteration process，this paper adopted the golden sine strategy of the Lévy flight guidance mechanism to perturb the population position and improve the ability of the algorithm to jump out of the local optimum.Through simulation experiments on 12 benchmark functions and part of the CEC2014 function set，the results show that the proposed algorithm can overcome the shortcomings of AOA’s weak global exploration ability and easy to fall into local optimality，and improve the accuracy and stability of AOA.In addition，the introduction of mechanical optimization design cases for testing and analysis will further verify the feasibility and applicability of MAOA on practical issues.

Key words： Archimedes optimization algorithm； random Gaussian mutation strategy； nonlinear dynamic density decreasing factor； Lévy flight； gold sine； mechanical design

0 引言

現實生活中的優化問題愈顯復雜化，表現出非線性、多約束、高維、不連續等特征。用傳統的優化理論和方法很難解決這些復雜的優化問題，而元啟發式算法對這類問題卻可以獲得較好的優化結果。近年來元啟發式算法受到眾多學者的廣泛關注和研究，其在光伏電池和模塊的參數識別［1］、多閾值圖像分割［2］、路徑規劃［3］等領域得到廣泛應用。受生物群體的社會性質和自然現象規律的啟發，研究人員相繼提出了許多元啟發式算法，如粒子群優化（particle swarm optimization，PSO）［4］、黑猩猩優化算法（chimp optimization algorithm，ChOA）［5］、被囊群算法（tunicate swarm algorithm，TSA）［6］、哈里斯鷹算法（Harris hawks optimization，HHO）［7］、均衡優化算法（equilibrium optimization algorithm，EO）［8］、阿基米德優化算法（Archimedes optimization algorithm，AOA）。其中，阿基米德優化算法是2020年Hashim等人［9］提出的新型元啟發式算法，該算法通過模仿完全或部分浸沒在流體中的物體發生碰撞時所受浮力的關系，在迭代過程中不斷調整個體密度、體積和加速度，從而使個體達到平衡狀態，適應度值優的個體引導種群收斂到最優位置，達到尋優的目的。與傳統的優化算法相比，元啟發式算法具有控制參數少、易于實現、隨機性大和適應性強等特點。然而，AOA同其他元啟發式算法相似，存在全局搜索性能差、求解精度低和易陷入局部最優等缺陷。

為改善元啟發式優化算法全局搜索能力弱、易陷入局部最優等缺陷，許多學者提出相關改進，例如，Jia等人［10］將高度破壞性的多項式突變用于ChOA種群初始化，在增強種群多樣性的基礎上為全局搜索奠定基礎；韓敏等人［11］將混合高斯函數和混沌特性的變異算子引入PSO算法，避免了算法陷入局部最優；劉成漢等人［12］為改善EO算法的收斂性能，提出了一種振蕩禁忌搜索的自適應均衡優化算法，提高了算法的尋優性能。上述文獻對元啟發式優化算法的改進提高了算法的全局搜索能力，在一定程度上降低了算法陷入局部極小值的概率，但仍存在算法尋優精度不足、平衡全局搜索和局部開發能力弱等問題。為此，本文提出多策略協同改進的阿基米德優化算法（Archimedes optimization algorithm improved by multi-strategy collaborative，MAOA）。首先，在算法全局搜索階段，提出隨機高斯變異策略，選擇多個適應度值優的個體引導種群向最優解附近靠攏，增強算法全局搜索的能力；其次，利用混沌序列具有遍歷性、隨機性和多樣性的特點，引入局部混沌搜索策略，拓寬算法的搜索范圍，充分利用已有的信息，使群體在最優區域進行精細搜索；同時，提出非線性動態密度降低因子，使其在算法迭代前中期維持一個相對較大值，以保證MAOA的全局尋優性能，隨迭代次數增加至后期其值快速減小，使算法在最優解周圍進行精確搜索，達到平衡算法全局搜索和局部開發的能力；最后，將Lévy飛行機制中長短距離和搜索方向的不確定性引入黃金正弦策略中，實現對種群個體位置的擾動，搜索范圍以黃金比例縮小，使種群不斷接近最優解，同時避免算法陷入局部最優。通過對12個基準測試函數、部分CEC2014函數以及機械優化案例進行仿真實驗表明，MAOA不僅具有很強的尋優性能和魯棒性，而且在實際工程問題中具有適用性和可行性。

3 仿真實驗與結果分析

3.1 實驗設計和參數設置

仿真實驗環境設置為64位Windows 10操作系統，CPU為Intel CoreTM i5-7500，主頻為3.4 GHz，內存為8 GB，編程軟件為MATLAB R2021a。

本文挑選12個具有不同特征的基準測試函數進行仿真實驗，其中七個單峰函數為f1～f7，五個多峰函數為f8～f12，具體取值范圍和理論最優值等信息如表1所示。本文選取最新的元啟發式算法——黑猩猩優化算法（ChOA）［5］、均衡優化算法（EO）［8］、被囊群算法（TSA）［6］、哈里斯鷹（HHO）［7］以及最新改進的均衡優化算法（CfOEO）［12］和改進蝴蝶算法（LBOA）［15］進行比較，它們的參數設置如表2所示。

3.2 不同改進策略對算法性能影響分析

為充分驗證本文所提出的MAOA改進策略的有效性，將標準AOA與本文加入隨機高斯變異策略的算法（RAOA）、加入局部混沌搜索策略的算法（CAOA）、加入非線性動態密度降低因子的算法（DAOA）和加入Lévy引導機制的黃金正弦策略的算法（GAOA）在12個具有不同尋優特征的基準測試函數上進行仿真實驗。算法參數統一設置為：種群規模N=30，搜索空間維度dim=30，最大迭代次數tmax=500。通過最優值、最差值、平均值和標準差四個評價指標來評估各算法的尋優性能，仿真實驗結果如表3所示。

表3通過最優值和平均值來反映算法的尋優性能，通過標準差來反映算法的穩定性。首先，MAOA單峰函數尋優時，六個函數f1～f4、f6和f7的四個評價指標均達到理論最優值，對于函數f5，其形狀類似于拋物面，存在大量局部最優值，MAOA搜索陷入局部極值空間，其他改進算法也均出現尋優停滯，但是MAOA相較于其他改進算法具有更高的收斂精度和穩定性。其次，MAOA求解多峰函數時，對于函數f8、f10～f12均可以尋到理論最優值，且標準差求解結果穩定，而函數f9是具有山谷狀的多峰函數，其全局最優值位于山低端，比較難尋，所以MAOA與其他改進算法求解f9時均未尋到最優，但是MAOA無論是在搜索精度上還是在穩定性上均表現出一定的優勢。

具體來說，RAOA、CAOA和GAOA求解函數f1～f4、f6～f8、f10～f12有顯著的效果，這是因為隨機高斯變異策略帶領種群向最優解附近靠攏，增強算法全局搜索的能力；局部混沌搜索策略擴大算法的局部搜索空間，協助種群在最優解區域進行精細搜索；非線性動態密度降低因子加強協調算法的全局探索和局部開發能力；Lévy飛行機制引導的黃金正弦策略縮小最佳搜索區域，加快算法收斂速度，并對種群位置進行擾動更新，增強算法跳出局部最優的能力。DAOA對函數的尋優結果是四種改進策略中效果最差的，但其搜索精度和穩定性相較于標準AOA也有明顯的提升，尤其是求解函數f1、f6、f10和f12時；對于函數f7，DAOA的平均值劣于AOA，但差異穩定在一個數量級內，在可以接受的范圍。

3.3 MAOA收斂性分析

為了反映MAOA的動態收斂特性，在搜索維度為30、獨立運行30次的條件下，縱坐標取以10為底的對數，采用平均收斂曲線圖描述算法的收斂性。圖2給出了12個基準測試函數的平均收斂曲線圖。

由圖2可知，在單峰函數和多峰函數上，在相同的迭代次數下MAOA具有更高的求解精度、尋優效率和更快的收斂速度，表明MAOA在保證開拓能力的同時也能充分保證搜索能力，不失種群多樣性和尋優穩定性。對于函數f5和f8，雖然MAOA與其他改進算法一樣陷入局部最優難以跳出，但MAOA的平均收斂曲線均位于五種改進算法平均收斂曲線下方，且達到理論精度所需的迭代次數最少。

綜合表3的仿真實驗結果和圖2的平均收斂曲線圖可以看出本文所提MAOA的有效性，雖然在函數f5和f9上六種算法的搜索精度差距不顯著，但總體來看，MAOA擁有更強的綜合尋優能力。

3.4 與其他最新元啟發式算法對比分析

為驗證MAOA的優越性和魯棒性，本文將MAOA與ChOA、TSA、HHO、EO以及CfOEO、LBOA進行比較，其中LBOA的實驗數據來源于文獻［16］，并復現文獻［12］的實驗，采用與所選文獻相同的實驗參數設置（種群規模30，最大迭代次數500），對于每個基準測試函數的搜索維度分別設置為30/100/500，獨立運行30次，記錄其平均值和標準差，結果如表4所示（“—”為缺失數據）。

由表4可知，對于所選的基準測試函數，無論是單峰函數還是多峰函數，MAOA的尋優穩定性和求解精度是六種算法中最好的。對于函數f1～f4、f6、f7和f11、f12，五種對比算法求解精度低或無法求解時，MAOA與CfOEO算法求解效果達到100%，可以尋到理論最優值。當求解函數f5時，盡管MAOA同其他算法一樣陷入局部最優，但是其尋優精度優于其他五種對比算法。當維度從30維上升到100維再上升到500維時，算法對求解精度和魯棒性均有不同程度的下降，這是因為隨著維度的增加，算法搜索空間增大，其難度也呈指數增加，尋優過程需要更多計算，但是相較于五種對比算法，MAOA尋優精度仍最高。因此，MAOA在求解低維和高維問題時優勢明顯，搜索能力強、穩定性好、尋優精度高，進一步說明MAOA在解決現實生活中的復雜優化問題時具有顯著的競爭優勢。

3.5 MAOA求解CEC2014測試函數問題

為了更進一步地驗證MAOA處理具有復雜特征問題時的有效性和穩定性，本文選取部分具有復雜特征的CEC2014測試函數進行優化求解，所選取的函數類型包括單峰、多峰、混合和復合類型，其詳細信息如表5所示。本文選用MAOA與AOA、ChOA、TSA、HHO、EO、CfOEO算法來優化八個CEC2014測試函數。為了保證實驗的公平性，設置空間維度為30，最大迭代次數為1 000，每個算法分別獨立運行30次，結果如表6所示。

由表6可知，EO算法在單峰函數CEC03上表現最好，而MAOA尋優精度低于標準AOA，這是因為局部混沌搜索策略在多種混沌映射上需要進行更多的計算，造成收斂精度有所下降。對于多峰函數CEC05、CEC12，MAOA尋優性能排名第一，同時在CEC16上，ChOA、HHO、EO和MAOA算法尋優精度并列第一；對于混合函數CEC19，MAOA求解精度更加接近理論最優值；在復合函數CEC23、CEC27和CEC28上，MAOA的標準差為0，說明其對于復合特征函數尋優穩定性強。上述CEC2014測試函數尋優結果分析表明，MAOA在求解具有復雜特征的函數上同樣具有很大優勢，進一步表明MAOA融合隨機高斯變異策略、局部混沌搜索策略、非線性動態密度降低因子和Lévy飛行引導機制的黃金正弦策略的有效性和可行性。

4 基于MAOA的機械設計優化

優化問題作為工程設計與應用領域中經常出現的數值約束問題，傳統的機械方法如梯度法，不僅求解效率低、容易陷入局部極值，而且難以解決非線性甚至高維的數值優化問題。區別于傳統方法，本文試圖將所提的新型元啟發式優化算法MAOA用于求解機械設計問題，進一步驗證所提算法的適用性和可行性。

4.1 機械優化設計問題的數學模型

機械優化問題與數學模型有著緊密的聯系。構造優化設計數學模型的關鍵是找到設計變量、目標函數以及約束條件。該問題的數學模型一般可以描述為如下約束優化問題［17］：

minimize f（x） subject to gu（x）≤0u=1，2，…，m

hv（x）=0v=1，2，…，p

xmin≤xi≤xmaxi=1，2，…，n（23）

其中：x為設計變量，x=x1，x2，x3，…，xn∈f（x）為目標函數；gu表示第u個不等式約束；hv表示第v個等式約束；xmin和xmax分別表示設計變量的上下界。

4.2 機械優化設計仿真實驗參數設置

本文利用MAOA優化兩個機械設計問題，它們分別為拉伸/壓縮彈簧設計問題和焊接梁設計問題。仿真實驗將MAOA與AOA、引力搜索算法（GSA）［18］、粒子群算法（PSO）、生物地理學優化算法（BBO）［19］、差分進化算法（DE）［20］、蟻群優化算法（ACO）［21］、樽海鞘群算法（SSA）［22］、鯨魚優化算法（WOA）［23］、帝王企鵝優化算法（EPO）［24］、斑鬣狗優化算法（SHO）［25］、灰狼優化算法（GWO）［26］、多元宇宙優化算法（MVO）［27］、ChOA、TSA、HHO算法進行實驗比較。為了保證對比實驗的公平性，與選取文獻測試條件一致，設置種群大小為50，最大迭代次數為1 000，每個算法獨立運行30次后取平均值。

4.3 拉伸/壓縮彈簧優化設計案例

如圖3所示，拉伸/壓縮彈簧設計問題的優化目標是降低彈簧的重量。約束條件包括受到最小偏差（g1）、剪切應力（g2）、沖擊頻率（g3）、外徑限制（g4）以及決策變量包括線徑d、平均線圈直徑D及有效線圈數P，f（x）為最小化彈簧的重量。拉伸/壓縮彈簧設計的數學模型描述為：設x=［x1 x2 x3］=［d D N］，

表7給出了MAOA與其他算法優化拉伸/壓縮彈簧問題的實驗結果。

由表7可知，MAOA可以取得優于或接近于其他對比算法的彈簧重量，可以合理地認為MAOA在優化拉伸/壓縮彈簧機械設計問題上是適用的。

4.4 焊接梁設計案例

焊接梁設計是在四個決策變量和七個約束條件下，以最小化焊接梁的總費用為優化目標。決策變量分別為焊縫厚度（h）、鋼筋連接長度（l）、鋼筋高度（t）和鋼筋厚度（b），其結構優化設計如圖4所示。

5 結束語

為改善標準AOA的缺陷，本文提出多策略協同改進策略的阿基米德優化算法（MAOA）。利用隨機高斯變異策略提高算法在全局探索階段的搜索效率；對種群在局部階段聚集程度進行分析，引入局部混沌搜索策略擴大算法搜索空間，有助于算法在已探索的區域尋找到更優解；對標準AOA的密度降低因子進行分析，在此基礎上提出非線性動態密度降低因子，彌補算法平衡全局勘探和局部開采能力的不足；最后采用Lévy飛行引導機制的黃金正弦策略對種群位置進行擾動更新，不僅增加了群體位置的多樣性，而且增強了算法跳出局部最優的能力。

第1組不同策略在基準測試函數上的仿真實驗表明，與標準AOA相比，所提四個改進策略均達到很好的效果，融合四個改進策略后的MAOA在收斂精度和速度上均有顯著的優勢。

第2組與最新的元啟發式算法在不同維度上進行基準測試的函數仿真實驗結果表明，MAOA具有明顯的尋優優勢，同時在處理高維問題上保持了較好的尋優性能和魯棒性。

第3組是基于部分CEC2014復雜特征函數的測試，與六種最新的元啟發式算法相比，MAOA具有較強的競爭力。

第4組實驗通過優化兩個機械設計案例驗證了MAOA在實際問題中的適用性和可行性，為解決復雜的工程約束問題提供了一條新途徑。

下一步的研究方向是將改進算法運用到多閾值圖像分割和神經網絡優化等領域。

參考文獻：

［1］

Chen Huiling，Jiao Shan，Wang Mingjing，et al.Parameters identification of photovoltaic cells and modules using diversification-enriched Harris hawks optimization with chaotic drifts［J］.Journal of Cleaner Production，2020，244（1）：118778.

［2］Dinkar S K，Deep K，Mirjalili S，et al.Opposition-based Laplacian equilibrium optimizer with application in image segmentation using multilevel thresholding［J］.Expert Systems with Applications，2021，174（7）：114766.

［3］Tang Andi，Han Tong，Zhou Huan，et al.An improved equilibrium optimizer with application in unmanned aerial vehicle path planning［J］.Sensors，2021，21（5）：DOI：10.3390/s21051814.

［4］Derrac J，Garcia S，Molina D，et al.A practical tutorial on the use of nonparametric statistical tests as a methodology for comparing evolutionary and swarm intelligence algorithms［J］.Swarm amp; Evolutio-nary Computation，2011，1（1）：3-18.

［5］Khishe M，Mosavi M R.Chimp optimization algorithm［J］.Expert Systems with Applications，2020，149（7）：113338.

［6］Kaur S，Awasthi L K，Sangal A L，et al.Tunicate swarm algorithm：a new bio-inspired based metaheuristic paradigm for global optimization［J］.Engineering Applications of Artificial Intelligence，2020，90（4）：103541.

［7］Heidari A A，Seyedali M，Hossam F，et al.Harris hawks optimization：algorithm and applications［J］.Future Generation Computer Systems，2019，97（12）：849-872.

［8］Faramarzi A，Heidarinejad M，Stephens B，et al.Equilibrium optimizer：a novel optimization algorithm［J］.Knowledge-Based Systems，2020，191（3）：105190.

［9］Hashim F A，Hussain K，Houssein E H，et al.Archimedes optimization algorithm：a new metaheuristic algorithm for solving optimization pro-blems［J］.Applied Intelligence，2021，51（3）：1531-1551.

［10］Jia Heming，Sun Kangjian，Zhang Wangying，et al.An enhanced chimp optimization algorithm for continuous optimization domains［J］.Complex amp; Intelligent Systems，2021，DOI：10.1007/s40747-021-00346-5.

［11］韓敏，何泳.基于高斯混沌變異和精英學習的自適應多目標粒子群算法［J］.控制與決策，2016，31（8）：1372-1378. （Han Min，He Yong.Adaptive multi-objective particle swarm optimization with Gaussian chaotic mutation and elite learning［J］.Control and Decision，2016，31（8）：1372-1378.）

［12］劉成漢，何慶.融合振蕩禁忌搜索的自適應均衡優化算法［J/OL］.計算機工程與應用，2022.http：//kns.cnki.net/kcms/detail/11.2127.tp.20210706.1050.012.html. （Liu Chenghan，He Qing.Adaptive equalization optimization algorithm combining oscillating tabu search［J/OL］.Computer Engineering and Applications，2022.http：//kns.cnki.net/kcms/detail/11.2127.tp.20210706.1050.012.html.）

［13］衣俊艷，施曉東，楊剛.多分支混沌變異的頭腦風暴優化算法［J/OL］.計算機工程與應用，2022.http：//kns.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20210420.1331.062.html. （Yi Junyan，Shi Xiaodong，Yang Gang.Brain storm optimization based on multi-branch chaotic mutation［J/OL］.Computer Engineering and Applications，2022.http：//kns.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20210420.1331.062.html.）

［14］Tanyildizi E，Demir G.Golden sine algorithm：a novel math-inspired algorithm［J］.Advances in Electrical and Computer Engineering，2017，17（2）：71-78.

［15］Arora S，Singh S.Node localization in wireless sensor networks using butterfly optimization algorithm［J］.Arabian Journal for Science amp; Engineering，2017，42（8）：3325-3335.

［16］Zhang Mengjian，Long Daoyin，Qin Tao，et al.A chaotic hybrid butterfly optimization algorithm with particle swarm optimization for high-dimensional optimization problems［J］.Symmetry，2020，12（11）：1800-1827.

［17］江銘炎，袁東風.人工蜂群算法及其應用［M］.北京：科學出版社，2014. （Jiang Mingyan，Yuan Dongfeng.Artificial bee colony algorithm and its application［M］.Beijing：China Science Publishing amp; Media Ltd.，2014.）

［18］Rashedi E，Nezamabadi-Pour H，Saryazdi S.GSA：a gravitational search algorithm［J］.Information Sciences，2009，179（13）：2232-2248.

［19］Simon D.Biogeography-based optimization［J］.IEEE Trans on Evolutionary Computation，2008，12（6）：702-713.

［20］Storn R，Price K.Differential evolution：a simple and efficient heuristic for global optimization over continuous spaces［J］.Journal of Global Optimization，1997，11（4）：341-359.

［21］Du Kelin，Swamy M N S.Ant colony optimization［M］//Search and Optimization by Metaheuristics.Cham：Springer，2006：191-199.

［22］Mirjalili S，Gandomi A H，Mirjalili S Z，et al.Salp swarm algorithm：a bio-inspired optimizer for engineering design problems［J］.Advances in Engineering Software，2017，114（12）：163-191.

［23］Mirjalili S，Lewis A.The whale optimization algorithm［J］.Advances in Engineering Software，2016，95（5）：51-67.

［24］Dhiman G，Kumar V.Emperor penguin optimizer：a bio-inspired algorithm for engineering problems［J］.Knowledge-Based Systems，2018，159（11）：20-50.

［25］Dhiman G，Kumar V.Spotted hyena optimizer for solving complex and non-linear constrained engineering problems［M］//Harmony Search and Nature Inspired Optimization Algorithms.Singapore：Springer，2019：857-867.

［26］Mirjalili S，Mirjalili S M，Lewis A.Grey wolf optimizer［J］.Advances in Engineering Software，2014，69（3）：46-61.

［27］Mirjalili S，Mirjalili S M，Hatamlou A.Multi-verse optimizer：a nature-inspired algorithm for global optimization［J］.Neural Computing and Applications，2016，27（2）：495-513.