基于角度懲罰距離的收斂因子非線性遞減多目標鯨魚優化改進算法

摘 要： 為了提高多目標鯨魚優化算法的全局優化性能，提出了一種基于角度懲罰距離的收斂因子非線性遞減多目標鯨魚優化算法IWOA-APD。首先，針對基本多目標鯨魚算法收斂性和多樣性難以平衡的問題，采用角度懲罰距離作為解優劣評價指標。其次，給出了一種基于迭代進度和優化因子的收斂因子指數形式非線性遞減策略，該策略可以通過調整優化因子進一步提升優化性能。除此之外，給出了基于融合距離與擁擠度距離的精英集維護機制，從而改善精英集的多樣性維護效果。最后，為了驗證該算法的有效性，基于五種標準測試函數及一種城市軌道列車速度曲線優化實際算例，在MATLAB2016b GUI平臺下采用所提出的IWOA-APD與IWOA、MOWOA、dMOPSO進行對比仿真。仿真結果表明，所提出的IWOA-APD尋到了更理想的優化結果。由此說明，相比于一些性能品質良好的優化算法，IWOA-APD還具有更快的計算速度和更高的全局收斂精度。

關鍵詞： 角度懲罰距離； 收斂因子； 多目標； 鯨魚優化算法； 非線性遞減

中圖分類號： U268.6 ""文獻標志碼： A

文章編號： 1001-3695（2022）05-018-1395-07

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2021.10.0473

Improved multi-objective whale optimization algorithm based on angle penalized distance using nonlinear decreasing convergence factor strategy

Wang Longda1，2， Wang Xingcheng2， Liu Gang3，4，5，6

（1.School of Automation amp; Electrical Engineering， Dalian Jiaotong University， Dalian Liaoning 116028， China； 2.School of Marine Electrical Engineering， Dalian Maritime University， Dalian Liaoning 116026， China； 3.School of Electronic Information amp; Electrical Engineering， Shanghai Jiao Tong University， Shanghai 200240， China； 4.College of Engineering， Inner Mongolia University for Nationalities， Tongliao Inner Mongolia 028000， China； 5.School of Mechanical amp; Electrical Engineering， Jiangxi New Energy Technology Institute， Xinyu Jiangxi 338004， China； 6.Inner Mongolia Minzu University Key Laboratory of Intelligent Manufacturing Technology， Tongliao Inner Mongolia 028000， China）

Abstract： Aiming at global optimization for multi-objective whale optimization algorithm，this paper proposed an improved multi-objective whale optimization algorithm based on angle penalized distance using a nonlinear decreasing convergence factor strategy IWOA-APD.Firstly，aiming at the problem that the convergence and diversity of the basic whale optimization algorithm were difficult to balance，IWOA-APD used angle penalized distance for evaluating the optimal degree of solutions.Secondly，IWOA-APD gave a nonlinear decreasing strategy of convergence factor based on iteration progress and optimization factors，and the strategy could further improve the optimization performance by using optimization factor.In addition，in order to improve the diversity maintenance effect of elite set，IWOA-APD gave an elite maintenance mechanism based on fusion distance and congestion degree distance.Finally，in order to verify the effectiveness of the proposed algorithm，the proposed IWOA-APD was compared with IWOA，MOWOA，dMOSSO in the standard test functions and a practical calculating example of velocity curve optimization for urban rail vehicle on the MATLAB2016a GUI platform.The experimental results show that the proposed algorithm IWOA-APD can obtain more ideal optimization results.Therefore，compared with several optimization algorithms with well performance quality，IWOA-APD has faster calculating efficiency and higher convergence accuracy.

Key words： angle penalized distance； convergence factor； multi-objective； whale optimization algorithm； nonlinear decreasing

0 引言

就多目標優化而言，由于目標之間存在相互競爭，不存在唯一最優解，以使所有目標函數同時達到最小值。在求解多目標問題時，往往是求一組比較均衡各個目標的解，也即Pareto最優解［1］。通常情況下，其Pareto最優解集里有無窮多個相互非劣的Pareto最優解，且任意Pareto最優解都極難求得［2］。群智能優化算法具有強大的尋優性能，且其具有尋優一次就能夠獲得足夠多優化解的優勢［3］。目前，群智能優化算法備受多目標優化研究學者們的關注。

為了更好地解決現實的復雜優化問題，近些年來大量新型的群智能優化算法被研究學者們提出，如人工魚群算法、入侵雜草算法、布谷鳥搜索算法、果蠅優化算法等，它們具有可調參數少、尋優機制簡單、全局搜索能力強等優點。人工魚群算法（artificial fish swarm algorithm，AFSA）是李曉磊等人［4］于2002年提出的一種新型模擬魚群覓食的智能仿生優化算法。混合蛙跳算法（shuffled frog leaping algorithm，SFLA）是由Eusuf等人［5］于2003年提出的一種新型的模擬青蛙種群的模因進化智能仿生優化算法。布谷鳥搜索算法（cuckoo search，CS）是學者Yang等人［6］借鑒了布谷鳥尋找巢穴的繁殖習性和Lévy飛行特性，于2009年提出的一種新型的智能仿生優化算法。果蠅優化算法（fruit fly optimization algorithm，FOA）是Pan［7］于2011年6月提出的一種模擬果蠅覓食行為的新型智能仿生優化算法。鯊魚優化算法（shark smell optimization，SSO）是Oveis等人［8］于2014年提出的一種模擬鯊魚獵食行為的智能仿生優化算法。然而，群智能優化算法在尋優過程中容易陷入局部極值，這使其尋優能力極大受限。

近幾年來，智能優化研究學者將眼光投放到具有強大覓食能力的大型海洋生物上，鯨魚優化算法是一種剛剛被提出的具有強大全局尋優能力的群智能優化算法。鯨魚優化算法（whale optimization algorithm，WOA）是澳大利亞格里菲斯大學的學者Mirjalili等人［9］于2016 年提出的一種新型的群體智能仿生優化算法，其優點在于操作簡單，調整的參數少以及跳出局部最優的能力強。然而，鯨魚優化算法在迭代后期存在著收斂速度慢和全局尋優能力降低的問題［10］。為此，許多學者提出了多種鯨魚優化改進算法。Kaur等人［11］結合混沌理論提出了一種鯨魚優化改進算法，所提出的混沌鯨魚優化算法中，將現有的幾種混沌映射用于實時更新改進算法的幾種主要參數。Ling等人［12］提出了一種基于Lévy 飛行軌跡的鯨魚優化改進算法，其采用Lévy 飛行軌跡能夠有效提高種群多樣性的維護能力，從而增強鯨魚優化算法的全局尋優能力。Sun等人［13］結合Elman神經網絡和混沌理論提出了一種鯨魚優化改進算法，基于混沌特性和強大的神經網絡學習能力，其優化改進算法具有更佳的全局優化性能。黃清寶等人［14］提出了一種基于余弦控制因子和多項式變異的鯨魚優化算法。孔芝等人［15］提出了一種基于自適應調整權重和搜索策略的鯨魚優化算法。陳艷等人［16］提出了一種引入變速率調整因子的收斂因子非線性遞減的鯨魚優化算法，并結合樣條理論應用于自動入庫泊車。唐麗晴等人［17］提出了一種結合混沌隨機的收斂因子非線性遞減的鯨魚優化改進算法并應用于基站選址。于俊洋等人［18］提出了一種基于非線性收斂因子和局部擾動的鯨魚算法。

為更有效地解決多目標優化問題，本文提出了一種基于角度懲罰距離的收斂因子非線性調整多目標鯨魚優化算法IWOA-APD。在角度懲罰距離APD的基礎上，IWOA-APD采用了一種基于迭代進度tr和優化因子βa的收斂因子a指數形式非線性遞減策略，該策略可以通過調整優化因子βa進一步提升優化性能；此外，IWOA-APD還采用了基于融合距離與擁擠度距離的精英集維護機制。

2.4 基于APD的多目標鯨魚優化改進算法的設計

在鯨魚優化算法中，最優鯨魚個體位置X（t）對鯨魚種群的進化有著極大的影響，在迭代后期容易使得種群陷入局部最優。在迭代計算過程中，本文通過引入遺傳進化機制來更好地維護種群多樣性，以提升全局優化性能。在進化過程中，需要不斷地對鯨魚種群施加遺傳進化機制中的選擇、交叉、變異算子，若產生了優于原鯨魚個體的新解，則該個體被產生的更優新解所替換。因此，對于遺傳進化機制而言，解優劣評價指標尤為重要。本文采用角度懲罰距離APD作為評價指標。就多目標優化問題的優化過程而言，收斂性與分布性的重要程度不應當一成不變：在進化前期，種群中的個體極度稀疏地分布于解空間，此時收斂性應當偏重，以使種群快速趨近于Pareto前沿；在進化后期，種群中的個體已經極度靠近于Pareto前沿，此時分布性應當偏重，以避免種群的個體集聚［26］。角度懲罰距離（APD）兼顧考慮了收斂性與分布性，其作為解優劣評價指標，能夠有效動態平衡進化過程中收斂性與分布性的重要程度［27］。具體的進化前期與進化后期采用角度懲罰距離（APD）評價解優劣的示意圖如圖2、3所示。

圖2和3中，S1、S2、Sa、Sb、Sc為種群中的相互非劣的五個解，其解目標分別為f（S1）、f（S2）、f（Sa）、f（Sb）、f（Sc），S1、S2分別表示待比較優劣的解，其距離分別為d（S1）、d（S2），Sa、Sb分別表示種群中與解S1、S2間夾角最小的解，其最小夾角分別為θ（S1）、θ（S2）；五條含箭頭虛線分別代表解S1、S2、Sa、Sb、Sc的目標向量λ1、λ2、λa、λb、λc；弧線表示Pareto前沿。

由圖2可知，在迭代前期，進化應著重考慮收斂性，整個群體遠離Pareto前沿，由于進化進程tr接近于0，使得懲罰因子P（θ）很小，從而令APD（x）接近于距離d（x）。此時，解S1優于解S2，因其更接近于Pareto前沿（d（S1）lt;d（S2））。由圖3可知，在迭代后期，整個群體趨近于Pareto前沿，進化應著重考慮分布性，由于進化進程tr接近于1，使得懲罰因子P（θ）很大，從而APD（x）由最小夾角θ（x）來主要決定。此時，解S2優于解S1，因其分布性更好（cos（θ（S2））lt;cos（θ（S1）））［28］。

本文提出了一種基于APD的多目標鯨魚優化改進算法，其重要參數收斂因子采用基于指數形式遞減的非線性遞減策略，其精英集維護機制的距離測度同時采用融合距離與擁擠度距離。具體的基于APD的多目標鯨魚優化改進算法的計算流程如圖4所示。

為兼顧優化算法的收斂性和多樣性，采用精英集和鯨魚種群的部分個體共同組成的臨時種群作為被交叉、選擇、變異和替換的候選種群。

3 MATLAB仿真

3.1 基于MATLAB仿真平臺的主要配置

本文搭建了基于MATLAB的標準測試函數與城市軌道列車速度曲線優化仿真平臺，其主要配置如下所述：MATLAB的版本為2016b、計算機性能配置為CPU Core i7-7770K。

3.2 基于APD的多目標鯨魚優化改進算法的主要參數設置

本文提出的IWOA-APD的主要參數設置如下：兩個鯨魚種群的規模Nw均為50，精英集預定規模NES為100，迭代次數Tmax為100，嘗試包圍或隨機搜索獵物行為的概率Ps為0.6，螺線形態常數b為1，收斂因子a非線性遞減的優化因子βa為1.77，選擇、交叉和變異的概率分別為0.5、0.8和0.04，懲罰因子P（θ）的變速率因子αP為1.66。

3.3 基于標準測試函數的仿真結果與分析

本文采用了四個標準測試函數（ZDT1、ZDT2、DTLZ1、DTLZ2）作為多目標優化對象。多目標傳統優化改進算法基于分解的多目標粒子群優化算法（multi-objective particle swarm optimization based on decomposition，dMOPSO）通常選做對比優化算法來驗證所提算法的有效性［29］。此外，為驗證本文提出的多目標鯨魚優化改進算法IWOA-APD的有效性，一種改進效果較好的鯨魚優化改進算法（improved whale optimization algorithm，IWOA）和傳統應用的多目標鯨魚優化算法（multi-objective whale optimization algorithm，MOWOA）應當被選做對比優化算法［16，30］。基于MATLAB仿真平臺，分別采用本文提出的多目標鯨魚優化改進算法IWOA-APD與一種鯨魚優化改進算法IWOA、多目標鯨魚優化算法MOWOA和基于分解的多目標粒子群優化算法dMOPSO對ZDT1、ZDT2、DTLZ1、DTLZ2標準測試函數進行尋優［26，29，30］。具體的采用四種標準測試函數尋優的仿真結果如圖5～8所示，各個多目標優化算法獲得的IGD值如表2所示。

圖5、6中，真實Pareto前沿用實線表示，優化算法尋到精英個體用空心圓圈表示。圖7和8中，真實Pareto解用藍色實心圓圈表示，優化算法尋到精英個體用紅色實心圓圈表示（見電子版）。

由表2可知，IWOA-APD具有明顯較優的全局優化性能，相比于用做對比的多目標優化算法，其獲得了明顯減少的IGD值。由圖5～8可知，相較于用做對比的多目標優化算法，采用IWOA-APD能夠獲得更加靠近其真實Pareto前沿的尋優前沿，并且尋優前沿的散布性更佳，其各個優化解的分布更加均勻。

3.4 基于城市軌道列車速度曲線優化的仿真結果與分析

本文選取大連軌道交通13號線二期工程中從大連北站至后鹽運行區間的城市軌道列車速度曲線優化場景作為研究對象。將該運行區間作為研究對象有兩方面的原因：首先，該運行區間具有一定的典型性，它實際上是一段全長有3.12 km的長度適中的起伏上行路，而起伏路段是一種典型的行車路況，非常普遍；此外，大連北站是重要的交通樞紐，具有人流密集的特點，相對而言，人流密集的運行區間更具有研究意義與價值。大連城市軌道交通13號線是正在建設的始于大連北站終至金州九里的城市軌道交通線路，全長22 km，設8座車站。具體的從大連北站至后鹽運行區間的城市軌道列車速度曲線優化與控制場景的主要參數如表3所示，其行車路線、坡度與限速曲線如圖9和10所示。

基于大連城市軌道交通13號線中從大連北站至后鹽運行區間的城市軌道列車速度曲線優化場景，在城市軌道列車速度曲線優化MATLAB仿真平臺下，分別采用本文算法IWOA-APD與IWOA、MOWOA和dMOPSO實施城市軌道列車速度曲線多目標優化［16，29，30］。具體的城市軌道列車速度曲線多目標優化的仿真結果如圖11～13和表4所示。

由表4可知，基于MATLAB仿真環境，各個多目標優化算法中，本文提出的IWOA-APD所求的優化解都優勝于其他優化算法，且節能、準時、舒適、停車精度四個優化目標都有相當程度的改善。由圖11可知，相比于用做對比的優化算法，IWOA-APD尋優到了更為理想的目標速度曲線，能夠使列車更平穩地保持適當的車速。由圖12可知，相比于用做對比的優化算法，IWOA-APD尋優得到的理想操縱序列更為簡潔，能夠最大程度地避免不必要的操縱，因而最大程度地保證了其相應的目標速度曲線最為平滑。由圖13可知，相比于用做對比的優化算法，IWOA-APD不僅具有更佳的全局收斂性能，且具有更高的計算效率，其收斂速度更快。

4 結束語

本文提出了一種基于角度懲罰距離的收斂因子非線性遞減多目標鯨魚優化算法IWOA-APD。首先，采用角度懲罰距離APD作為評價指標，以能夠有效動態平衡進化過程中收斂性與分布性的重要程度，以有效提升IWOA-APD的全局優化能力；其次，采用了一種收斂因子a的指數形式非線性遞減策略，可以分別通過選擇最合適的優化因子βa優化調整其非線性遞減函數的遞減趨勢，以進一步提升IWOA-APD全局優化能力；最后，利用融合距離與擁擠度距離相結合的方式進行精英集維護，從而使得優化算法具有更強的種群多樣性維護能力，以盡可能地提升IWOA-APD的全局收斂能力。

通過標準測試函數優化仿真驗證可知，相比于傳統多目標優化改進算法，所提出的IWOA-APD具有更佳的全局優化性能，其能夠得到收斂精度更高的優化結果。城市軌道列車速度曲線優化仿真又進一步地驗證了IWOA-APD的有效性。

針對于本文所提出的多目標鯨魚優化改進算法，未來進一步研究可以從以下兩個方面開展：一方面，在評價指標角度懲罰距離的基礎上可以融入決策者偏好，以增強其算法實用性；另一方面，除收斂因子外，其他重要參數也可以采用自適應調整方式，以增強其全局優化能力。隨著人們對鯨魚優化算法的日益關注，其將更廣泛地應用于現實生活中。

參考文獻：

［1］Miettinen K.Nonlinear multiobjective optimization［M］.Norwell，MA：Kluwer Academic Publishers，2017.

［2］王云鶴.基于多目標進化學習的生物數據分析方法研究［D］.長春：東北師范大學，2021. （Wang Yunhe.The research for bological data analysis methods based on multiobjective evolutionary learning［D］.Changchun：Northeast Normal University，2021.）

［3］喻果.基于分解的偏好多目標進化算法及其評價指標的研究［D］.湘潭：湘潭大學，2015. （Yu Guo.Study of preference-based multi-objective evolutionary algorithm and related indicator with decomposition［D］.Xiangtan：Xiangtan University，2015.）

［4］李曉磊，邵之江，錢積新.一種基于動物自治體的尋優模式：魚群算法［J］.系統工程理論與實踐，2002（11）：32-38. （Li Xiaolei，Shao Zhijiang，Qian Jixin.An optimizing method based on autonomous animats：fish-swarm algorithm［J］.Systems Engineering-Theory amp; Practice，2002（11）：32-38.）

［5］Eusuff M M，Lansey K E.Optimization of water distribution network design using the shuffled frog leaping algorithm［J］.Journal of Water Resources Planning amp; Management，2003，129（3）：210-225.

［6］Yang Xinshe，Deb S.Cuckoo search via levy flights［C］//Proc of World Congress on Nature amp; Biologically Inspired Computing.Pisca-taway，NJ：IEEE Press，2009：210-214.

［7］Pan W T.A new fruit fly optimization algorithm：taking the financial distress model as an example［J］.Knowledge-Based Systems，2012，26：69-74.

［8］Oveis A，Nima A，Ali G.A new metaheuristic algorithm based on shark smell optimization［J］.Complexity，2014，21（5）：97-116.

［9］Mirjalili S，Lewis A.The whale optimization algorithm［J］.Advances in Engineering Software，2016，95：51-67.

［10］Oliv D，Mohamed A E A，Hassanien A E.Parameter estimation of photovoltaic cells using an improved chaotic whale optimization algorithm［J］.Applied Energy，2017，200：141-154.

［11］Kaur G，Arora S.Chaotic whale optimization algorithm［J］.Journal of Computational Design amp; Engineering，2018，5：275-284.

［12］Ling Ying，Zhou Yongquan，Luo Qifang.Lévy Flight trajectory-based whale optimization algorithm for global optimization［J］.IEEE Access，2017，5：6168-6186.

［13］Sun Weizheng，Wang Jiesheng.Elman neural network soft-sensor model of conversion velocity in polymerization process optimized by chaos whale optimization algorithm［J］.IEEE Access，2017，5：13062-13076.

［14］黃清寶，李俊興，宋春寧，等.基于余弦控制因子和多項式變異的鯨魚優化算法［J］.控制與決策，2020，35（3）：559-568. （Huang Qingbao，Li Junxing，Song Chunning，et al.Whale optimization algorithm based on cosine control factor and polynomial mutation［J］.Control and Decision，2020，35（3）：559-568.）

［15］孔芝，楊青峰，趙杰，等.基于自適應調整權重和搜索策略的鯨魚優化算法［J］.東北大學學報：自然科學版，2020，41（1）：35-43. （Kong Zhi，Yang Qingfeng，Zhao Jie，et al.Adaptive adjustment of weights and search strategies-based whale optimization algorithm［J］.Journal of Northeastern University：Natural Science，2020，41（1）：35-43.）

［16］陳艷.基于樣條理論的自動入庫泊車鯨魚優化算法［J］.浙江水利水電學院學報，2021，33（2）：74-81. （Chen Yan.Whale optimization algorithm based on spline theory for automatic parking［J］.Journal of Zhejiang University of Water Resources and Electric Power，2021，33（2）：74-81.）

［17］唐麗晴，應忠于，羅云.基于鯨魚優化改進算法的基站選址［J］.計算機與現代化，2020（9）：100-105. （Tang Liqing，Ying Zhongyu，Luo Yun.Base station location planning based on improved whale optimization algorithm［J］.Computer and Modernization，2020（9）：100-105.）

［18］于俊洋，高寧杰，李涵.基于非線性收斂因子和局部擾動的鯨魚算法［J］.計算機工程與設計，2019，40（10）：2861-2866. （Yu Junyang，Gao Ningjie，Li Han.Whale optimization algorithm based on nonlinear cognitive factor and local disturbance［J］.Computer Engineering and Design，2019，40（10）：2861-2866.）

［19］Howlett P.An optimal strategy for the control of a train［J］.Anziam Journal，1990，31（4）：454-471.

［20］朱愛紅，盧穩，宋麗梅.城市軌道交通列車運行過程的多目標優化研究［J］.鐵道標準設計，2017，61（2）：131-135. （Zhu Aihong，Lu Wen，Song Limei.Optimization research on ATO operation process based on niche particle swarm algorithm［J］.Railway Standard Design，2017，61（2）：131-135.）

［21］李應.地鐵列車運行操縱優化研究［D］.北京：北京交通大學，2015. （Li Ying.Research on optimization of subway train operation［D］.Beijing：Beijing Jiaotong University，2015.）

［22］Liang Yanchu，Liu Hao，Qian Cunyuan.A modified genetic algorithm for multi-objective optimization on running curve of automatic train operation system using penalty function method［J］.International Journal of Intelligent Transportation Systems Research，2019，17（1）：74-87.

［23］李宏偉.基于分解和向量的多目標鯊魚優化算法［J］.計算機與現代化，2021（9）：43-50. （Li Hongwei.Multi-objective shark smell optimization algorithm based on decomposition and vector［J］.Computer and Modernization，2021（9）：43-50.）

［24］張濛，余健，龐清文，等.基于多目標飛蛾優化算法的自抗擾參數整定研究［J］.微電子學與計算機，2018，35（11）：84-88. （Zhang Meng，Yu Jian，Pang Qingwen，et al.Research on auto disturbance rejection parameter tuning based on multi target moth optimization algorithm［J］.Microelectronics amp; Computer，2018，35（11）：84-88.）

［25］劉罡，王興成，楊昺崧.基于融合距離法的柴油機故障診斷方法［J］.大連海事大學學報，2017，43（1）：61-66. （Liu Gang，Wang Xingcheng，Yang Bingsong.Diesel engine fault diagnosis method based on fusion distance measurement［J］.Journal of Dalian Maritime University，2017，43（1）：61-66.）

［26］畢曉君，王朝.一種基于角度懲罰距離的高維多目標進化算法［J］.電子與信息學報，2018，40（2）：314-322. （Bi Xiaojun，Wang Chao.A many-objective evolutionary algorithm based on angle pena-lized distance［J］.Journal of Electronics amp; Information Technology，2018，40（2）：314-322.）

［27］王朝.高維多目標進化算法的關鍵技術研究［D］.哈爾濱：哈爾濱工程大學，2018. （Wang Chao.Key technology research of many-objective evolutionary algorithms［D］.Harbin：Harbin Engineering University，2018.）

［28］章鳴雷.偏好向量引導的高維目標進化算法研究及其應用［D］.杭州：浙江工業大學，2018. （Zhang Minglei.Research and application of many-objective evolutionary algorithms based on preference vector guidance［D］.Hangzhou：Zhejiang University of Technology，2018.）

［29］Peng Hu，Li Rong，Cao Lianglin，et al.Multiple swarms multi-objective particle swarm optimization based on decomposition［J］.Procedia Engineering，2011，15（2）：3371-3375.

［30］李岸達，何楨，王慶.基于多目標鯨魚優化的關鍵質量特性識別方法［J］.系統工程，2019，37（1）：134-142. （Li Anda，He Zhen，Wang Qing.A multi-objective whale optimization algorithm for key quality characteristics identification［J］.Systems Engineering，2019，37（1）：134-142.）