基于Lasso-MIDAS模型的混頻時間序列預測研究

摘要：針對傳統的時間序列預測方法在處理復雜豐富的大數據時常面臨變量間抽樣頻率不同、數據相關性復雜等問題，基于Lasso算法和混頻數據抽樣模型（MIDAS）提出了不改變數據結構的混頻時序預測模型Lasso-MIDAS。該模型通過融合MIDAS處理混頻信息的機制和Lasso算法的壓縮特性來實現估計預測，實時修正對預測最有效的混頻變量集；根據常見的正則化方法嶺回歸設計了Ridge-MIDAS模型用做對比。實驗結果表明，Lasso-MIDAS在預測性能上優于標準MIDAS模型及對比模型，驗證了該方法在混頻時間序列預測方面的有效性。

關鍵詞：混頻數據； MIDAS模型； 正則化； 特征選擇

中圖分類號：TP391文獻標志碼：A

文章編號：1001-3695（2022）04-007-1003-05

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2021.09.0395

Research on mixed-frequency time series prediction based on Lasso-MIDAS model

Luo Nan， Wang Lu， Wu Jiangbin， Xia Zhenglan

（School of Mathematics， Southwest Jiaotong University， Chengdu 611756， China）

Abstract：Traditional time series prediction methods often confront problems such as different sampling frequency between variables and complex data correlation when dealing with complex and rich big data. Based on Lasso algorithm and mixed data sampling（MIDAS） method， this paper proposed a mixed-frequency time series prediction model Lasso-MIDAS without changing the data structure. It combined the mixed-frequency information processing mechanism of MIDAS and the compression characteristics of Lasso algorithm to achieve the estimation and prediction， and to modify the most effective set of mixed-frequency variables in real time. According to the common regularization method Ridge regression， this paper also designed a mixed-frequency data model Ridge-MIDAS for comparison. Experimental results show that Lasso-MIDAS is superior to the standard MIDAS model and comparison models in terms of prediction performance， which verifies the effectiveness of the this method in mixed-frequency time series prediction.

Key words：mixed-frequency data; MIDAS model; regularization; feature selection

0引言

大數據時代下，每個研究領域都包含了紛繁復雜的時間序列數據，受信息統計口徑和時滯性等影響，海量數據采集間隔、長度和屬性不盡相同的情況是普遍存在的［1，2］。一般來說，基于混頻時間序列的預測研究采用加總或插值的方式，將混頻數據預先轉換為同頻數據，然后應用到傳統的時序模型中［3］。但是，直接的同頻化處理存在引入噪聲或造成有效信息丟失等問題，并且當混頻變量間的采樣頻率差異越大時，模型估計的有效性也越低［4］。為此，國內外許多學者在不改變數據結構的情況下提出了混頻數據模型，歸納來看，目前主要有混頻數據抽樣模型（MIDAS）［5］和混頻向量自回歸模型（MF-VAR）［6］兩大類。MIDAS通過結合分布滯后模型和橋接等式，利用混頻變量進行直接預測；MF-VAR是一種基于VAR模型改進的系統方法，聯合混頻變量來提供迭代預測。兩者均是對混頻數據參數化建模，但在預測時效方面，MIDAS通常比MF-VAR具有更好的短期預測性能［7～9］。隨著混頻數據模型的發展，多元混頻模型的參數估計仍存在計算復雜和過擬合等情況，降低了模型的泛化能力。針對這一問題，已有研究采用Granger分析、KL散度、機器學習等方法從大量混頻因子中篩選合適的預測變量來提高預測精度［10～12］。

近年來，基于回歸分析更科學地提取特征的正則化技術受到越來越多的關注和研究［13～15］。其中正則化方法Lasso回歸［16］具有良好的壓縮特性，能夠提供簡潔的相關特征，被廣泛應用于各個領域。例如，吳曉萍等人［17］提出了結合Lasso與SVM算法的軟件缺陷預測模型，利用Lasso對原始數據集進行降維，仿真結果表明改進模型具有更高的預測準確率和更快的預測速度；郭越等人［18］使用Lasso算法擬合成像色彩校正矩陣，有效提高了回歸模型的校正精度；吳進等人［19］將基于Lasso回歸的網絡剪枝和SVD分解算法相結合，在提高模型性能的同時降低了存儲需求；Wei等人［20］將Lasso算法與PC和RFE算法進行比較，發現基于Lasso的預測方法具有更高的準確性和適用性。在實踐中，很多研究通常先使用Lasso算法進行特征選擇，然后將獲得的精簡子集作為模型的輸入以提高模型效率。

為提高多元混頻時間序列的短期預測精度，本文提出一種基于MIDAS模型和Lasso算法的混頻時序預測模型Lasso-MIDAS。該方法首先運用MIDAS模型的混頻數據預測機制，在構建模型時加入Lasso方法的L1懲罰約束設置，實現對混頻變量壓縮估計過程中的特征選擇，然后利用滾動時間窗技術，根據不斷更新的信息量實時修正Lasso算法生成的稀疏解，從大量混頻數據中充分挖掘最有效的重要信息進行預測。此外，本文將正則化算法嶺回歸引入MIDAS框架，設計了結合L2懲罰項的Ridge-MIDAS模型。

1相關模型

1.1MIDAS模型

為了解決傳統時間序列模型難以充分挖掘混頻數據中有效信息的問題，Ghysels等人［5］提出了混頻數據抽樣（mixed data sampling，MIDAS） 模型。MIDAS模型采用分布滯后模型的權重設置和橋接等式的構造機制，靈活應用集約參數化的手段將高、低頻變量整合到統一的回歸模型中進行估計預測，無須事先進行同頻處理。MIDAS模型的主要思想是通過參數控制的權重函數將高頻數據融合為低頻信息量，從而利用不同頻率的時間序列構建回歸模型。一般來說，標準的多元MIDAS回歸模型可以表示為

yt+1=β0+∑Ni=1βiB（θi;L1mi）x（mi）i，t+εt+1（1）

其中：yt+1表示t+1時的低頻被解釋變量；x（mi）i，t表示t時刻第i個高頻解釋變量，mi表示該高頻變量與被解釋變量的頻率倍數差，即高頻變量x（mi）i，t在低頻間隔t-1到t時期內進行了mi次抽樣；εt+1表示隨機擾動項，服從均值為零的正態分布；B（·）表示權重函數和滯后算子的多項式函數，可具體表示為

B（θ;L1m）=∑Kk=1ω（θ;k）Lk－1m（2）

Lkmx（m）t=x（m）t－km（3）

其中：K表示滯后階數；L1m表示滯后算子；權重函數需滿足B（θ;1）=∑Kk=1ω（θ;k）=1。參考文獻［3］的權重設置，以下采用指數參數形式：

ω（θ;k）=θk∑Kk=1θk（4）

由此，可以求出MIDAS模型的預測公式，即

t+1=0+∑Ni=1iB（θi;L1mi）x（mi）i，t（5）

1.2Lasso算法

最小絕對值收斂和選擇算子（least absolute shrinkage and selection operator，Lasso）是Tibshirani［16］提出的一種可以縮減變量集的正則化技術，核心是利用L1范數的稀疏性來解決回歸相關的懲罰優化問題。Lasso算法可以對一些不重要變量的系數進行壓縮，甚至將它們縮減為零來降低解釋變量矩陣的維數。

對于當今的數據體量，Lasso算法是一種備受關注的特征選擇工具，與常見的基于信息準則的方法相比，Lasso算法在模型選擇方面通常具有較低的結構風險，并且可以壓縮參數空間以快速處理高維復雜數據，避免過參數化［21，22］。Lasso回歸算法的目標優化問題可以表示為

=argminβ∑t（yt+1－β0－∑iβixi，t）2+λLasso∑i|βi|（6）

其中：λLasso表示Lasso算法的非負正則化參數，用于調節懲罰項對模型的壓縮強度。增大λLasso的值，則被壓縮的解釋變量數目增加，不重要變量的βi系數可以壓縮為零，從而去除冗余信息，避免維數詛咒問題；當λLasso=0時，Lasso回歸可簡化為OLS回歸。

2混頻時間序列預測模型構建

2.1Lasso-MIDAS模型

本文將Lasso算法的懲罰優化問題推廣到MIDAS回歸模型中，利用Lasso縮減混頻預測向量集的參數規模，在參數求解過程中加入L1范數懲罰項，選擇具有代表性的預測因子，避免參數過多導致的估計復雜化和過擬合問題。因此提出如下求解參數的目標優化問題：

［，］=argminβ，θ∑t（yt+1－β0－∑iβiB（θi;L1mi）x（mi）i，t）2+λLasso∑i|βi|=argminβ，θ‖Y－X（θ）β‖22+λLasso‖β‖1（7）

其中：Y表示被解釋變量；X（θ）表示協變量矩陣；β表示包含回歸參數的向量；λLasso‖β‖1表示L1范數懲罰項。矩陣X（θ）包含式（2）中描述的MIDAS模型參數規范：

X（θ）=1B（θ1;L1m1）x（m1）1，1…B（θN;L1mN）x（mN）N，1

1B（θ1;L1m1）x（m1）1，T…B（θN;L1mN）x（mN）N，T（8）

基于貝葉斯最大后驗估計原理（MAP），正則化等價于引入模型參數的先驗分布。因此，推斷得到式（7）的概率公式為

posterior（β，θ|X，Y）=likelihood（β，θ|X，Y）×prior（β）=

P（X，Y|β，θ）×∏ f（βi|0，22λ）（9）

［，］∝argmaxβ，θ posterior（β，θ|X，Y）∝

argmaxβ，θ likelihood（β，θ|X，Y）（10）

其中：posterior（β，θ|X，Y）表示后驗概率；likelihood（β，θ|X，Y）表示似然函數；prior（β）表示參數β的先驗概率，且βi～Laplace（0，22/λ）。

2.2Ridge-MIDAS模型

為了與Lasso-MIDAS模型進行比較，考慮常用于解決特征共線性的正則化方法嶺回歸（ridge regression）。嶺回歸是由Hoerl等人［23］提出的一種有偏估計回歸方法，與Lasso算法不同，嶺回歸使用L2范數懲罰項來保證最佳擬合誤差，同時保持參數盡可能簡單，從而增強模型的穩定性。結合嶺回歸和MIDAS模型設計了Ridge-MIDAS，該模型可以通過以下懲罰優化問題解決混頻解釋變量間的多重共線性問題：

［β^，θ^］=argminβ，θ∑t（yt+1-β0-∑iβiB（θi;L1mi）x（mi）i，t）2+λridge∑iβ2i=argminβ，θ‖Y-X（θ）β‖22+λRidge‖β‖2（11）

其中：λRidge表示調節嶺回歸懲罰函數強度的非負正則化參數；λRidge‖β‖2表示L2范數懲罰項。隨著λRidge值的增大，嶺回歸可以壓縮許多預測變量的系數接近零，但永遠不會精確為零。與Lasso-MIDAS模型類似，可推斷得到式（11）的概率公式，即

posterior（β，θ|X，Y）=likelihood（β，θ|X，Y）×∏ f（βi|0，2λ）（12）

其中：參數β的先驗概率服從正態分布，為βi～N（0，2/λ）。

2.3估計與預測過程

在參數估計argmaxβ，θ likelihood（β，θ|X，Y）時，本文采用內點法對似然函數的極大值點進行搜索，并使用滾動時間窗技術從數據集中截取構造訓練樣本，取窗后一個時刻作為預測目標。通過后移時間窗，每次更新的數據集都會丟掉最早一個時刻的觀測值，因而訓練數據集總是選取最新的固定數目的觀測值，從而形成一系列相互覆蓋的樣本數據；在降低數據時變特性的同時，利用數據的時序信息能夠更好地反映參數關系隨時間的變化規律［24］。模型參數估計及預測的主要步驟如下：a）獲取混頻時間序列數據集，初始化模型參數，將數據集劃分為訓練集和測試集；b）按照構建的混頻時間序列預測模型，Lasso-MIDAS通過求解式（7）的優化問題在參數估計的同時執行變量選擇，通過求解式（11）實現Ridge-MIDAS的參數估計；c）在訓練數據集中，根據式（9）（12）的似然函數和參數先驗概率分布對似然函數進行規則化的極大似然估計，得到模型的參數估計值和窗后一期的預測值；d）將滾動時間窗后移，丟掉早期的觀測值，更新訓練數據集，重復步驟b）c）的估計預測過程，直至輸出所有預測結果。總體而言，Lasso-MIDAS和Ridge-MIDAS模型通過懲罰約束來壓縮和估計混頻變量的參數，可以增強模型的穩定性和泛化能力。具體估計預測流程如圖1所示。

3實驗及分析

實驗環境為Intel CoreTM i5-7200U CPU，主頻2.50 GHz，內存8 GB，實驗程序在MATLAB R2018a編程環境下完成，在Windows 10系統下運行。

3.1實驗數據

本文以在全球原油市場上占有重要價格基準地位的美國西德克薩斯中質原油（WTI）進行實證研究。根據相關研究如文獻［25，26］以及數據可得性，選取了35組不同抽樣頻率的宏觀變量、經濟指標及技術指標作為潛在的WTI原油收益波動的影響因素，其中技術指標包括用于衡量漲跌速率的MO（momentum）和用于識別趨勢變化的MA（moving average）。

具體而言，本文選用2000年1月1日至2020年8月1日的WTI月度期貨收盤價為研究對象。預測變量中包含的18個月數據分別為三個月期的國庫券利率（TBL）、長期政府債的收益率（LTY）、長短期利率差、通貨膨脹（INFL）、產能利用率、原油產量增長率、原油進口增長率、原油出口增長率、失業率、消費者信心指數（MCSI）、采購經理人指數（PMI）、芝加哥聯儲全國活動指數（CFNAI）、MA（s=1，2，3;l=12）和MO（1，6，12）；包含的10個周數據分別為美國貨幣供應量、違約回報率價差（DFY）、標準普爾500指數（Samp;P500）、恐慌指數（VIX）、MA（s=1，2，4;l=12）和MO（1，8，16）；包含的7個日數據分別為美國與中國、英國、加拿大、印度、日本、韓國、歐洲這些主要原油進口（出口）國/地區的貨幣匯率。本文的WTI數據來源于EIA，在https：//cn.investing.com/及http：//www.hec.unil.ch/agoyal/上獲取預測變量。

3.2數據預處理及模型設定

在訓練模型和實證研究之前對原始數據進行預處理是非常重要的，通過對標數據，最終得到248個樣本的月度預測變量集、992個樣本的周度預測變量集和5 208個樣本的日度預測變量集。采用ADF檢驗對35個預測指標進行平穩性檢驗，并對非平穩的變量作一階差分處理，以確保各項指標都是平穩的；然后采用Z-score歸一化將不同量級的預測指標轉換為一個量級，保證數據之間的可比性。Z-score歸一化公式為

Z=X－μσ（13）

其中：Z表示歸一化值；X表示原始數據；μ、σ分別表示原始數據的均值和標準差。

在實驗中，根據時間序列預測的經驗設置以及相關判別準則，將月度數據的滯后期設為1，周度數據的滯后期設為 4，日度數據的滯后期設為21。設定懲罰參數為0.05，并按照70%和30%的比例將數據集劃分為訓練集和測試集，利用訓練集的數據，遞歸估計生成向前一期的預測值，然后移動時間窗更新訓練集，重新估計模型參數，預測過程一直持續到樣本期結束。

3.3模型評價指標

為了比較不同模型的預測性能，本文引入以下三類評價指標對模型的預測結果進行定量分析。

a）損失函數。本文采用均方誤差（MSE）和平均絕對值誤差（MAE）這兩種損失函數來定量衡量模型的預測誤差。損失函數的計算公式分別為

MSE=1T∑Tt=1（t，m－rt）2（14）

MAE=1T∑Tt=1|t，m－rt|（15）

其中：t，m表示t時刻的模型預測值；rt表示t時刻的真實值；T表示區間長度。

b）統計量R2oos。為了衡量預測模型對數據的擬合能力，參考文獻［25］，利用R2oos統計量來評估預測模型相對于基準模型的預測精度。統計量R2oos的定義為

R2oos=1－MSPEMMSPEB=1－∑qi=1（rt+i－M，t+i）2∑qi=1（rt+i－B，t+i）2（16）

其中：MSPEM和MSPEB分別表示預測模型和基準模型的均方預測誤差；rt+i、M，t+i和B，t+i分別表示t+i時刻的真實值、研究模型預測值和基準模型預測值；q表示預測區間長度。R2oos為正值表明預測模型比基準模型提供了更準確的預測。參考文獻［25］，本文采用歷史平均模型（historical average）作為基準模型，即B=（1/T）∑Trt。

c）方向準確率（DA）。在實際應用中，預測市場動向有時比獲得準確的預測值更為重要。依據文獻［27］，基于市場時機選擇的角度，通過計算方向準確率來進一步檢驗預測模型的性能。方向準確率的定義為

DA=1T∑Tt=1dt（17）

其中：dt表示預測方向標志位，若方向預測準確，則dt=1，反之dt=0。方向準確率越高表示模型在預測動態變化方面表現越好。

3.4實驗結果與分析

為了直觀展示不同預測模型對WTI原油收益的預測效果，圖2分別繪制了Lasso-MIDAS、Ridge-MIDAS和MIDAS模型預測值與真實值的對比情況。觀察可得，與MIDAS模型相比，Lasso-MIDAS和Ridge-MIDAS模型的預測結果與實際數據的擬合度較好，對波動聚集的刻畫更準確，并且Lasso-MIDAS模型在收益大幅上揚和大幅下跌時表現得更加敏銳。

為了更好地檢驗混頻數據模型的預測性能，參考文獻［3］，納入應用廣泛、適用性強的傳統同頻數據模型ARMA來進一步對比混頻數據模型的優劣，ARMA模型的階數由AIC準則確定。通過計算各模型預測序列與WTI原油收益目標序列的MSE、MAE、R2oos和DA，進一步對比Lasso-MIDAS、Ridge-MIDAS、MIDAS和ARMA模型的時間序列預測能力，結果如表1所示。

由表1可以看出，所有模型的R2oos值均為正值，表示各預測方法的預測精度都優于歷史平均模型，并且混頻數據模型的表現均優于ARMA模型。其中，Lasso-MIDAS模型的預測性能最好，MSE為6.309 5，MAE為1.671 4，R2oos為83.645 2%，DA為85.714 3%；對比模型中性能較好的是Ridge-MIDAS模型，其MSE為9.268 6，MAE為1.891 7，R2oos為75.975 1%，DA為83.116 9%。與標準MIDAS模型相比，Lasso-MIDAS在兩個損失函數上均表現出較好的性能提升，MSE提高了10.262 9，MAE提高了0.684 2。從整體結果來看，Lasso-MIDAS相較于Ridge-MIDAS模型在預測WTI原油收益變化方向上表現更優越。

根據文獻［25］設置不同比例的訓練集和測試集來檢驗模型的穩健性。將不同比例下Lasso-MIDAS、Ridge-MIDAS、MIDAS和ARMA模型的預測結果進行了類似的比較，結果如表2～4所示。從三個不同區間比例下MSE、MAE、R2oos和DA的結果可以看出，Lasso-MIDAS模型在預測精度和趨勢預測方面的表現優于ARMA、MIDAS及Ridge-MIDAS模型。

根據表2～4的預測分析可知，在懲罰參數設置為0.05時，Lasso-MIDAS模型相較于標準MIDAS模型和對比模型具有更好的預測效能。正則化懲罰參數對模型的預測能力起著重要作用，為了消除參數選取差異對實證結果的影響，本文通過模型參數調優檢驗了上述結論的穩健性。在此基礎上，調節正則化懲罰參數λ，以0.01的間隔在0～0.1選取，實驗多組正則化懲罰參數值來評估混頻模型Lasso-MIDAS和Ridge-MIDAS的預測性能，兩種模型在λ不同參數設置下的MSE及MAE結果、統計量R2oos及方向準確率DA相較于MIDAS模型的提高率如圖3所示。

由圖3可見，在不同懲罰參數λ設置下，Lasso-MIDAS的MSE和MAE均小于Ridge-MIDAS；從R2oos的提高率可以看出，Lasso-MIDAS的預測精度較MIDAS表現出顯著改善，且提高率總是高于Ridge-MIDAS；此外，Lasso-MIDAS能更好地捕獲市場的動態變化方向，隨著懲罰參數的增加，Ridge-MIDAS的方向預測準確性逐漸與MIDAS持平。整體來看，在不同懲罰參數測試下，Lasso-MIDAS仍比Ridge-MIDAS和標準MIDAS模型表現出更好的預測性能。

4結束語

本文對混頻時間序列的預測方法進行了研究，通過融合MIDAS模型與Lasso回歸算法提出了Lasso-MIDAS模型。在分析預測混頻變量的框架下，利用L1范數懲罰項的稀疏性壓縮變量參數，實現參數估計和特征提取過程的同步化，并通過不斷更新的信息量實時修正混頻預測變量集。實驗結果表明，Lasso-MIDAS在預測國際原油收益上有著良好的表現，對挖掘影響能源市場的混頻數據的有效信息起到積極作用。此外，本文驗證了Lasso-MIDAS能夠有效克服MIDAS過參數化和過擬合的問題，與Ridge-MIDAS相比可以合理壓縮參數規模，提升混頻時間序列的預測準確率。在單參數指數權重函數的設置下，Lasso-MIDAS相比傳統的同頻和混頻數據模型在預測精度上有了顯著提高，后續工作將進一步研究多種權重函數下Lasso-MIDAS的估計預測效能。

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收稿日期：2021-09-19；

修回日期：2021-11-16

基金項目：國家自然科學基金資助項目（72071162）；四川省社科規劃項目（SC20TJ004）；成都軟科學研究項目（2020-RK00-00070-ZF）；中央高校基本科研業務費專項項目（2682020ZT98）

作者簡介：羅楠（1998-），女，四川瀘縣人，碩士研究生，主要研究方向為金融時間序列建模；王璐（1979-），男（通信作者），四川人，副教授，博士，主要研究方向為高頻數據分析、證券波動率預測（wanglu@home.swjtu.edu.cn）；吳江斌（1998-），山西人，碩士研究生，主要研究方向為經濟統計；夏正蘭（1996-），女，四川人，碩士研究生，主要研究方向為金融統計.