多策略的郊狼優化算法

摘要：郊狼優化算法（coyote optimization algorithm，COA）是最近提出的一種群智能優化算法，具有獨特的搜索結構和較好的優化性能。為了進一步提高COA的優化性能，提出了一種多策略的郊狼優化算法（multi-strategy COA，MSCOA）。首先，對于組內最優郊狼，采用一種全局最優郊狼引導的成長策略提高其社會適應能力，對于組內最差郊狼，采用一種最優郊狼引導強化策略強化最差郊狼的能力；其次，對于組內其他郊狼采用一種動態調整信息交流的組內成長策略提升組內郊狼之間的信息共享程度，并將這種組內成長策略與一種改進的遷移策略融合，更進一步提升搜索能力；最后采用動態分組策略減少參數手動設置，提高算法的可操作性。以上多種策略的使用更好地平衡了探索與開采，使算法的性能最大化。大量來自CEC2014測試集的復雜函數實驗結果表明，與COA相比，MSCOA具有更強的搜索能力、更快的運行速度和更高的搜索效率，與其他優秀優化算法相比，具有更明顯的優勢。

關鍵詞：優化算法； 群智能優化算法； 郊狼優化算法； 生物地理學優化算法； 多策略

中圖分類號：TP301.6文獻標志碼：A

文章編號：1001-3695（2022）04-028-1124-08

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2021.08.0338

Multi-strategy coyote optimization algorithm

Zhang Xinming1，2， Yang Fangyuan1， Liu Guoqi1，2

（1.College of Computer amp; Information Engineering， Henan Normal University， Xinxiang Henan 453007， China; 2.Engineering Laboratory of Intelligence Business amp; Internet of Things of Henan Province， Xinxiang Henan 453007， China）

Abstract：Coyote optimization algorithm （COA） is a swarm intelligent algorithm proposed recently， which has a unique search structure and good optimization performance. In order to improve COA further， this paper proposed a multi-strategy COA（MSCOA）. Firstly， the best coyote in a group used a global best coyote-guided growth strategy to improve its social adaptation， the worst coyote in the group used the best coyote guidance reinforcement strategy to strengthen the worst coyote’s search ability. Secondly， the other coyotes in the group adopted a group growth strategy that dynamically adjusted information interchange to improve information sharing degree among the coyotes in the group， and MSCOA crossed this growth strategy with an improved migration strategy to further improve search ability. Finally， MSCOA adopted a dynamic grouping strategy to reduce the manual setting of parameters and improve operability. Hybridizing the above strategies can keep better balance exploration and exploitation to maximize the performance. A large number of experimental results on complex functions from the CEC2014 test set show that MSCOA has stronger search ability， faster running speed， and higher search efficiency than COA， and has more obvious advantages over quite a few other excellent algorithms.

Key words：optimization algorithm; swarm intelligent optimization algorithm; coyote optimization algorithm; biogeography-based optimization algorithm; multi-strategy

0引言

優化問題無處不在，典型的優化問題如函數極值問題、旅行商問題等。隨著科學和技術的進步，亟待解決的優化問題越來越多，且其復雜性大幅增加，如何解決這些問題的難度大幅增加。由于對問題域和可行域等的知識有限，用傳統基于數學的優化方法如梯度下降、牛頓法等，幾乎不可能解決這些復雜問題［1］。由此，替代這些傳統優化方法的群智能優化算法（swarm intelligent optimization algorithm，SIOA）被提出。SIOA通過模仿自然界中的社會行為和自然現象等構建不同的搜索機制，以找到優化問題的最優解或次優解［2，3］。SIOA具有原理簡單、易于實現等優勢，在幾乎不改變SIOA結構的情況下可以解決不同類型的優化問題，其主要原因是可以將SIOA視為輸入輸出狀態的黑盒［4］。總的來說，SIOA比傳統方法可以更好地解決更多、更復雜的優化問題。常見的SIOA包括遺傳算法（genetic algorithm，GA）［5］、粒子群優化（particle swarm optimization，PSO）算法［6，7］、差分進化（differential evolution，DE）算法［8，9］、生物地理學優化（biogeography-based optimization，BBO）算法［10］等。雖然SIOA具有許多優點，被廣泛應用于各個領域［7］，但根據無免費午餐定理［11］，沒有一種SIOA可以獨立解決所有的優化問題，因此不斷有新的算法或者改進的算法被提出。

Pierezan等人［12］受郊狼群行為的啟示，在2018年提出了一種SIOA，即郊狼優化算法（COA），它具有獨特的搜索結構和較強的優化能力等優勢。但由于COA是最近提出的SIOA，對其理論、改進及應用進行研究具有重要意義。

目前國內外學者采用各種策略對COA進行了一些改進：a）與其他算法混合的策略，它是在原算法的基礎上與其他算法混合，張新明等人［13］提出了一種改進的COA與簡化GWO的混合算法，即采用高斯全局趨優成長算子和動態調整組內郊狼數的COA與簡化的GWO進行交叉混合，提升了算法的優化性能；b）反向學習策略，姜小濤等人［14］提出了一種變異反向學習的COA，即僅對組內最優狼采用反向學習與變異策略；c）混沌策略，劉威等人［15］提出了一種基于動態混沌擾動的自適應權重的COA，即在郊狼進化中添加自適應權重以體現最優狼對種群的影響，引入tent映射的混沌擾動策略保持種群的多樣性；d）其他策略，張新明等人［16］提出了一種全局引導和相互作用的COA，該算法構建全局引導的alpha狼的更新方式，改進了郊狼的成長方式，種群的文化趨勢采用組內郊狼的相互作用，以提高算法的尋優能力。

多策略是三種及以上策略實施到一個待改進的SIOA來解決它的一些不足［17］。Tu等人［17］提出了一種多策略的灰狼優化算法來有效提升其性能，這些策略包括強化全局最優狼策略、自適應合作策略和分散覓食策略等。多策略能夠針對問題發揮單策略的各自優勢，彌補各自不足。另外，雖然COA具有許多優勢，但在處理更復雜優化問題時仍存在搜索能力不足、耗時長、可操作性差等問題。本文提出一種多策略的COA，將多個策略有效融合到COA中以最大化其性能。

1郊狼優化算法

COA模擬郊狼群居生活、成長、生死、被組驅離和接納等行為，它通過四個階段來完成種群的進化過程，分別是隨機初始化種群并隨機分組、組內郊狼的成長、郊狼的生與死和被組的驅離與接納。

1）隨機初始化種群并隨機分組

首先設置COA參數，如種群N、組數NP、每組的郊狼個數Nc以及目標函數最大評價次數MNEF，其中N=NP×Nc。在一個組內，隨機初始化第c個郊狼第j維的社會狀態因子如式（1）所示。

Xc，j=lj+rand×（uj－lj）（1）

其中：uj和lj分別表示第j維的上限和下限，j∈［1，D］，D表示問題維度;rand表示均勻分布在［0，1］的隨機數。

2）組內郊狼的成長

郊狼的成長受組內最優郊狼、組內文化趨勢以及隨機選擇的兩只郊狼所決定。組內文化趨勢由式（2）決定。

cultj=median（Pj）（2）

其中：median（）表示取中位數;P為Nc行D列的矩陣，Pj表示矩陣P中第j列。組內郊狼的成長受組內最優郊狼、組內文化趨勢和兩頭隨機選擇的郊狼的影響，如式（3）～（5）所示。

δ1=alpha－X1（3）

δ2=cult－X2（4）

new_soc=soc+r1δ1+r2δ2（5）

其中：X1和X2表示隨機選擇的兩頭郊狼;alpha表示組內最優郊狼;r1和r2分別是兩個隨機權重，它們是與rand一樣的隨機數。

在郊狼成長后，采用貪心算法優勝劣汰，即如果成長后郊狼的社會適應能力比成長前的郊狼社會適應能力好，則保留成長后的郊狼，否則保持不變。

3）組內郊狼的生與死

出生和死亡是自然界中的普遍規律，郊狼模仿自然界中的生與死來進化子組。在COA中郊狼的年齡以年為單位，用year表示。郊狼的出生和死亡受父母郊狼遺傳和隨機因素的影響，郊狼的生與死的數學模型如式（6）所示。

pupj=Xc1jrndjlt;Ps or j=j1

Xc2jrndj≥Ps+Pa or j=j2

Rjotherwise（6）

其中：c1和c2分別是在同一組內隨機選擇的兩頭郊狼索引;j1和j2是新生郊狼的兩個隨機維度;Rj是第j維社會狀態因子在決策變量范圍內的隨機數;rndj為均勻分布的隨機數，取值為［0，1］;Ps是分散概率，Pa是關聯概率，其表達式如式（7）所示。

Ps=1/D，Pa=（1－Ps）/2（7）

新郊狼產生后對其社會適應能力進行評估，并將其社會適應能力與組內所有郊狼的社會適應能力進行對比。若在社會適應能力上僅有一只郊狼比新生郊狼差，則新生郊狼存活，社會適應能力差的郊狼死亡；如果有多只郊狼的社會適應能力比新生郊狼的社會適應能力差，則新生郊狼存活，年齡最大的郊狼死亡；如果所有郊狼的社會適應能力都比新生郊狼的社會適應能力強時，則新生郊狼死亡。

4）被組驅離和接納

郊狼被組驅離和接納是按照一定概率執行的。種群隨機分組后，組內的一些郊狼有時會離開進入到其他組，該過程利于組與組之間的信息共享。概率Pe計算如式（8）所示。

Pe=0.005×N2c（8）

通過以上的描述，COA具有如下優勢：a）與經典的PSO相比，COA具有獨特的搜索框架和較強的搜索能力；b）組內郊狼的成長受組內最優郊狼和組內文化趨勢的引導，進化向好的方向發展，使得算法具有較強的局部搜索能力；c）新生郊狼受父母狼和環境因素的影響，使算法表現出一定的全局搜索能力；d）被組驅離和接納有利于組與組之間的信息交流，進而保持組內種群多樣性。

2多策略的郊狼優化算法

2.1COA的不足

雖然COA有許多優點，但也存在一些不足：a）在郊狼的成長階段都采用同一種成長方式，忽略了個體間的差異，不能使各類郊狼成長最佳；b）在組內，每頭郊狼的成長依賴式（5）獲得，但這種成長方式不僅導致社會適應能力不強，而且郊狼之間的信息共享低；c）被組驅離和接納操作發生概率較小，也導致組與組之間的信息共享程度較低；d）COA雖然采用多子組搜索，但是會導致收斂速度慢;e）COA需要調整的參數較多，可操作性較差。針對COA以上存在的問題，本文提出一種多策略的COA。

2.2全局最優郊狼引導策略

因材施教是教學中最基本和最重要的原則。依據式（5），組內最優郊狼對組內所有個體的成長發揮重要的作用。為了更好地使組內最優郊狼成長，采用全局最優郊狼引導組內最優郊狼成長替換原成長方式，如圖1所示，提高組內郊狼的成長質量，使得它們向更好的方向進化。

Lévy飛行是一種短距離搜索和偶爾長距離搜索的方法，有利于算法跳出局部最優點。算法前期，采用Lévy飛行全局最優郊狼引導組內最優郊狼，其表達式如下：

step=k/|m|1/beta（9）

Levyflight=rand×randnstep（10）

stepsize=（0.5+0.5×rand）（LevyflightXg-alpha）（11）

new_alpha=alpha+stepsize（12）

其中：k、m和randn為服從正態分布的隨機向量;beta為參數，常取值1.5;Xg表示全局最優郊狼。算法后期，采用基于權重的全局最優郊狼引導組內最優郊狼成長方式，其表達式如式（13）所示。

new_alpha=alpha+（1－pl）（Xg－alpha）+pl（X1－X2）（13）

其中：pl的表達式為

pl=1-nef/MNEF（14）

其中：nef是當前函數評價次數。

通過以上的表達式可知，無論式（12）還是式（13）都包含了全局最優郊狼，所以此策略為全局最優郊狼引導策略。在搜索前期，采用式（12），Xg與alpha差異較大，增加了搜索范圍，而且Lévy飛行具有一定的隨機性，進而提高了算法的全局搜索能力；在后期采用式（13），其中，（Xg-alpha）和（X1-X2）兩項權重之和為1，在后期pl值較小，（Xg-alpha）項的權重較大，Xg與alpha差異較小，使得搜索范圍較小，表現出較強的局部搜索能力。綜上所述，全局最優郊狼引導策略不僅可以更好地引導組內最優郊狼的成長，而且保證了算法探索與開采之間的平衡，進而提升了算法的搜索能力。

2.3最差郊狼強化策略

提高種群的整體性能需要強化最差個體的社會適應能力，正如2.2節所述，不同個體采用各自最合適的成長方式有利于它們的成長。因此，針對組內最差郊狼的成長，提出一種最優郊狼引導最差郊狼的強化策略。強化最差郊狼分為兩個階段，其前期表達式如式（15）所示。

new_w=Xw+2×（rand－0.5）（Xg－Xw+alpha－Xw）（15）

其中：Xw表示組內最差郊狼；rand為每個分量均勻分布在［0，1］的隨機數向量。后期表達式如式（16）所示。

new_w=Xw+（0.5+0.5×rand）（Xg－Xw+alpha－Xw）（16）

根據式（15）（16）可知，與式（5）相比，采用全局最優郊狼和組內最優郊狼對組內最差郊狼引導，確保組內最差郊狼向更好的位置進化來強化最差郊狼。在前期，Xg和alpha與Xw差異較大，且2×（rand-0.5）隨機擾動幅度較大，使得搜索范圍較大，注重全局搜索；在后期，Xg和alpha與Xw差異較小，且（0.5+0.5×rand）隨機擾動幅度較小，使得搜索范圍較小，注重局部搜索。總的來說，式（15）強調全局搜索能力，式（16）強調局部搜索能力，更好地平衡了算法的探索與開采能力。因此，最優郊狼引導最差郊狼的強化策略能夠有效提升最差郊狼的社會適應能力，進而提升算法的搜索能力。

2.4動態調整的信息共享成長策略

一個SIOA的搜索能力來自于群體中個體之間的信息使用程度，程度越高，搜索能力越強，反之亦然［4］。在COA中，在組內alpha和cult是通過第三者達到信息引導當前郊狼，兩個隨機個體的參與間接與當前郊狼達到信息共享，這些信息使用都是間接實現的，故使用程度有限。因此對于其他郊狼成長提出了一種動態調整信息共享的組內成長策略，其數學模型如式（17）所示。

new_Xi=Xi+（1－pl）S1+plr2S2（17）

S1=r1（alpha－X1）+（1－r1）（cult－X2）（18）

S2=（X1－X2）（19）

其中：S1為式（5）后兩項的改進版;S2表示組內信息共享。

根據式（17）可知，在郊狼的每次成長中都隨機選擇兩只郊狼，郊狼之間的差值在不斷變化，在Nc次迭代后，組內郊狼可能都被選擇，因此S2表示組內所有郊狼貢獻的信息，將貢獻信息用于郊狼的成長，與COA郊狼成長相比，提高了郊狼之間的信息共享。由式（14）可知，pl隨著迭代次數的增加從1到0線性動態遞減。在迭代前期，個體差異較大，pl的值較大，S2起主導作用，增加搜索范圍，提高全局搜索能力；在搜索后期，個體差異較小，S1起主導作用，即主要采用原COA的成長方式，在兩種因素的引導下強化局部搜索能力。如此可以動態調整探索與開采，以便達到一種平衡。

2.5啟發式交叉遷移策略

BBO主要操作之一是遷移操作，其目的是在不同解之間共享信息，好的解傾向于將自己的信息共享給較差解，而較差的解傾向于從好的解接收有用信息。當棲息地遷入時，通過輪賭選擇將其遷出棲息地，遷移公式如式（20）所示。

Hi（SIVj）←Hv（SIVj）（20）

其中：Hi是遷入棲息地;Hv是遷出棲息地;SIV表示生存指標特征;SIVj表示第j個SIV。但是這種遷移操作存在一些不足：a）采用直接取代方式，解的多樣性受限，方式單一；b）采用輪賭選擇的方式選擇遷出棲息地，存在一定概率選出較差的棲息地，導致種群退化。針對以上問題，提出了一種榜樣選擇［1］的啟發式遷移策略。首先按照棲息地生存適應度指標進行排序，隨機選取榜樣個體進行遷移操作，其表達式如下所示：

v=ceil（（i－1）×rand）（21）

new_bi，j（t+1）=

Xv，j（t）randlt;0.5

Xv，j（t）+2×（rand－0.5）（Xv，j（t）－Xi，j（t））otherwise（22）

其中：i表示遷入棲息地的索引;v表示榜樣中選出遷入棲息地的索引;ceil（）表示向上取整函數。

根據式（21）可知，前（i-1）個棲息地都比第i個棲息地適宜生存，因此從前（i-1）個棲息地中隨機選擇一個進行遷移操作。與基于輪賭選擇的遷移相比，采用基于榜樣的遷移能夠克服種群退化的問題，使得種群向著更好的方向進化。根據式（22）可知，前一種方式是原始的遷移操作，后一種方式就是啟發式遷移操作，將Xi（t）與Xv（t）在第j維進行差分計算，受榜樣郊狼Xv（t）的影響，也具有更好的方向進化，兩種方式都體現出趨優作用。另外在算法前期，Xi（t）和Xv（t）差異較大，搜索范圍較廣，使得算法具有一定的探索能力；在算法后期，Xi（t）和Xv（t）差異較小，注重在Xv（t）附近進行局部搜索。

Zhang等人［3］提出了一種正弦交叉的DE，該算法能夠更好地保持算法的探索與開采之間的平衡。受此啟示，本文提出了一種啟發式交叉遷移策略，將動態調整信息共享成長策略與啟發式遷移策略，通過正弦交叉以獲得新個體的過程。啟發式交叉遷移策略表達式如式（23）所示。

Ui，j（t+1）=new_bi，j（t+1）randlt;cr

new_Xi，j（t+1）otherwise（23）

其中：Ui（t+1）表示交叉產生的新解;cr表示交叉概率，其數學表達式如式（24）所示。

cr=（sin（2πt/4+π）t/T+1）/2（24）

根據式（23）可知，Ui，j（t+1）由new_bi，j（t+1）和new_Xi，j（t+1）組成，在迭代前期，cr趨于0.5，表明交叉郊狼是由new_bi，j（t+1）和new_Xi，j（t+1）等概率組成，增加了新解的多樣性，提高了算法的全局搜索能力。在后期，cr存在較大和較小兩種值的情況：當cr值較大時，Ui，j（t+1）主要是由new_bi，j（t+1）組成；當cr值較小時，Ui，j（t+1）主要是由new_Xi，j（t+1）組成。綜上所述，無論是啟發式遷移策略還是動態調整信息共享策略都強調信息共享，所以啟發式交叉遷移策略不僅提高了信息共享級別，而且有利于平衡探索與開采能力。由于受動態調整信息共享成長策略的組內最優郊狼和全局最優郊狼的引導以及啟發式遷移策略的榜樣郊狼影響，啟發式交叉遷移策略引導郊狼向更好的方向進化；另外兩種策略產生的解通過交叉得到多樣性的解，增加了種群的多樣性，進而避免了算法陷入局部最優。

2.6動態分組策略

根據智能優化理論［4］，算法前期強調探索能力，后期強調開采能力。從以上描述可以看出，在種群數N固定的情況下，若Np較大，分組越多，則Nc較小，上一組獲得較強的全局最優郊狼會影響下一組郊狼成長，獲得更強全局最優郊狼，如此逐組增強形成一種正反饋，局部搜索能力增強；若Np較小，則Nc較大，會減弱全局最優郊狼的影響，局部搜索能力較弱。因此，針對COA中Np和Nc的參數設置問題，提出了一種動態分組調整。根據文獻［12］，設N=100，每組郊狼不少于3，且應是100的約數，因此Nc的設置為4、5、10、20和25，但在本文中Nclt;10時，組內郊狼數量較少沒有意義，故Nc設置為10或者20較佳。其分組方式如圖2所示。

在迭代前期，Nc=20，則Np=5，組數較少，其主要原因是為了削弱全局最優解的正反饋作用，增強探索能力;算法中期，Nc=10，則Np=10，組數較多，可以保持種群多樣性，提高算法的全局搜索能力，而且執行郊狼成長次數較多，全局最優解的正反饋增強，提高算法的局部搜索能力；算法后期，Nc=20，則Np=5，組數較少，其主要原因是個體之間的差異較小，差分的結果較小，故縮小搜索范圍，強調算法的開采能力，為了避免陷于局部最優應該削弱全局最優解的正反饋作用。動態分組策略使得前期強調算法的探索能力、后期強調算法的開采能力，可以更好地平衡算法的探索和開采能力以便獲得最佳性能；它也減少了參數Np和Nc設置，提高了算法的可操作性。另外，動態調整參數后，MSCOA隨機分組不僅強化了組與組之間的信息共享，還刪除了郊狼被組驅離和接納操作，降低了算法的計算復雜度。

2.7MSCOA總流程

將以上的各種策略融入到COA中構建成一種多策略的COA（MSCOA）。MSCOA的流程如圖3所示。

為了使alpha和最差郊狼最佳成長，分別提出了一種全局最優郊狼的引導策略和一種最差郊狼強化策略，并且在這兩種策略中使用全局最優郊狼引導也解決了COA組間信息共享級別較低的問題。為了提升組內郊狼與郊狼之間的信息共享，提出一種動態調整信息共享的組內成長策略和啟發式遷移策略用于其他郊狼的成長。現代智能優化理論強調探索與開采的平衡，即前期主要強調探索，后期主要強調開采，但在強調前期探索的情況下還需要重視一定的開采能力，在強調后期開采的情況下還需要重視一定的探索能力，以避免陷于局部最優。為了更好地保持算法的探索與開采之間的平衡，在以上四種策略中要么選擇前期和后期不同的策略，要么采用動態調整方式的策略。為了減少人工調整參數，提高算法的可操作性，提出了一種動態分組策略，并且這種動態分組策略也有利于探索與開采的平衡，它還增強了組與組之間的信息共享。另外，MSCOA將動態貪心算法替換為靜態貪心［2］以提高算法的穩定性。總之，不同的策略解決COA存在的不同問題，它們的有機融合使得改進的COA性能最大化。

由圖3可知，與COA相比，MSCOA有以下不同：

a）COA中組內所有的郊狼都采用式（5）統一成長方式，該方式并不能保證組內各類郊狼的成長方式最佳；而MSCOA采用全局最優郊狼引導組內最優郊狼的成長，采用全局最優郊狼和組內最優郊狼引導最差郊狼的進化，引導最差郊狼向著更好的方向進化，能夠有效提升最差郊狼的成長能力，進而提升算法的整體性能，對于組內其他郊狼，采用動態信息共享成長策略和啟發式遷移策略。

b）COA采用隨機分組，且受參數Np和Nc的影響較大。而MSCOA引入動態分組策略減少人工調整參數如Np和Nc，提高了算法的可操作性。動態分組的方法，前期的組數較少，為了減弱全局最優解的正反饋作用，強調全局搜索能力；中期既有一定的全局搜索，也有一定的局部搜索；后期的組數較少，縮小搜索范圍，強調算法的局部搜索能力。

c）COA采用動態貪心策略，每一次迭代，每更新一個個體都需要進行邊界控制，計算該個體的適應度值，然后與原解的適應度值進行比較，串行計算的方式將會導致算法的運行時間較長。在MSCOA中采用了靜態貪心操作，即所有郊狼成長后并行控制邊界，并行計算適應度值，將新解與原解對比實現優勝略汰，提高算法的穩定性，節省運行時間。

2.8時間復雜度分析

一個算法的時間復雜度由目標函數的計算復雜度和算法本身的計算復雜度兩部分組成。由于對比算法的公平比較原則是保證最大目標函數的評價次數相同，所以不討論第一部分情況，僅對算法本身的計算復雜度進行討論。假設MSCOA的種群為N，組數為Np，每組的郊狼個數為Nc以及最大迭代次數為T。在MSCOA的時間復雜度為初始化種群+組內成長+生與死+動態分組。設初始化種群、全局最優郊狼引導策略、最差郊狼強化策略、動態調整的信息共享成長策略、啟發式交叉遷移策略、動態分組策略和生與死的每維計算單位時間分別為t0、t1、t2、t3、t4、t5和t6，則O（MSCOA）=O（NDt0+TNpDt1+TNpDt2+crTNp（Nc-2）Dt3+（1-cr）TNp（Nc-2）Dt4+Tt5+TNpDt6）。若所有的每維計算單位時間近似為1，又由于N=NpNc，則O（MSCOA）近似為O（TND）。

3實驗結果與分析

3.1實驗環境設置和評估標準

為了驗證MSCOA的性能，將MSCOA用于CEC2014復雜函數測試集的優化實驗。此測試集包含30個函數，包括3個單峰函數（f1～f3）、13個多峰函數（f4～f16）、6個混合函數（f17～f22）和8個組合函數（f23～f30），具體函數詳見文獻［1］。所有實驗都是在Microsoft Windows 10操作系統和主頻3.4 GHz的 i7-3770 CPU、8 GB內存的PC上進行。統計分析軟件是IBM SPSS Statistics 24，編程軟件為MATLAB 2014a。為了公平起見，根據文獻［1］的最佳參數設置，所有對比算法的獨立運行次數為51次，最大函數評價次數為10 000×D，D為30。由于不同參數設置會導致一個算法得到不同的結果，所以對比算法的參數設置按照對應文獻的最佳參數設置，詳見表1。

因SIOA每次運行的結果會不同，采用均值（mean）、標準差（std）、平均排名（ave.rank）和總排名（total.rank）等統計指標來評估。均值用于評價一個SIOA的優化性能，標準差用于評價它的穩定性。排序準則如下：對于一個最小極值問題，首先比較SIOA獲得的均值，均值越小，表示其優化性能越好;當均值相同時，則比較其獲得的標準差，標準差值越小，其穩定性越強。

3.2不完全算法對比

為了驗證每一種策略對MSCOA的貢獻，將MSCOA及其不完全算法用于30維函數的優化實驗。不完全算法的描述如下：MSCOAb代表無遷移操作;MSCOAl代表無Lévy飛行，MSCOAw代表無最差郊狼強化策略;MSCOAa代表無最優郊狼策略;MSCOA10代表無動態調整策略，組內郊狼為10;MSCOA20代表無動態調整策略，組內郊狼為20;MSCOAg代表無動態調整的信息共享成長策略（采用原來的成長算子）。對MSCOA和其不完全算法的實驗結果進行Friedman檢驗［12］，為了精簡篇幅，僅提供檢驗結果如表2所示。從表2可以看出，COA、MSCOAb、MSCOAl、MSCOAw、MSCOAa、MSCOAg、MSCOA10、MSCOA20和MSCOA的秩均值分別為8.95、5.37、4.13、5.83、4.65、4.40、4.17、4.20和3.30。MSCOA秩均值最小，COA秩均值最大，Friedman檢驗獲得漸進顯著性為1.7357E-17，遠遠小于0.01，表明差距很明顯。MSCOA排名第一，COA排名第九，故與不完全算法相比，MSCOA獲得了最好的優化性能。這驗證了每一個策略實施于COA上是有效的且它們是不可或缺的。

3.3與先進的SIOA對比

為了驗證MSCOA的性能，本節用目前較先進的算法與其進行實驗對比，這些對比算法包括兩個混合算法HBBOS（BBO與混合蛙跳算法的混合）［1］和HBBOG（BBO與灰狼優化算法的混合）［3］，兩個改進的PSO算法BLPSO［6］、MOMPSO［7］，兩個改進的DE算法SaDE［8］和JADE［9］，一個COA的改進算法BWCOA［18］。以上所選的對比算法有經典的PSO和DE的改進算法以及COA的改進算法，這些對比算法具有較強的代表性和可比性。實驗結果如表3所示。

從30維的結果（表3）可知，MSCOA獲得了13次排名第一，COA獲得0次排名第一，再一次表明本文的改進是有效的。從avg.rank方面來看，MSCOA平均排名為2.10，COA的平均排名為7.37;從total.rank方面來看，算法的排名順序為MSCOA、HBBOS、BWCOA、JADE、HBBOG、SaDE、BLPSO、COA和MOMPSO，表明MSCOA在所有的對比算法中整體性能最好，其中COA比PSO的改進算法MOMPSO具有更好的優化性能，證明COA在處理復雜優化問題方面的優勢。在單峰函數上，JADE獲得兩次排名第一，SaDE獲得一次排名第一，MSCOA在f3函數上獲得排名第一。在多峰函數上，MSCOA分別在函數f11和f15上獲得排名第一。雖然，MSCOA在單峰和多峰函數上獲得第一名的次數不多，但是在混合函數和組合函數上，MSCOA分別在函數f18、f20、f21、f23～f25和f27～f30上獲得排名第一，表明MSCOA能夠更好地平衡算法的探索與開采能力，在解決復雜優化問題時具有更強的搜索能力。

綜上所述，MSCOA能夠解決COA在處理復雜優化問題時搜索能力不足的問題，驗證了動態分組策略、全局最優郊狼引導策略、最差郊狼強化策略、動態調整信息共享成長策略和啟發式交叉策略的融合有效性。

3.4收斂性能分析

為了驗證MSCOA的收斂性能，將其在CEC2014基準函數30維進行收斂性能實驗。為了簡化和說明問題，對比算法選擇BWCOA和COA，并選擇四個代表函數、一個單峰函數f3、一個多峰函數f9、一個混合函數f18和一個組合函數f30。圖4給出了三種算法在四個函數上的收斂曲線圖。其中，縱軸誤差表示一個函數經過51次獨立運行后，由算法得到的實際最佳值與理論最優值之間差值的平均值，橫軸表示目標函數評價次數。

根據圖4可知，在f3、f9、f18和f30上，隨著目標函數評價次數的增加，MSCOA的收斂速度最快，優勢明顯。在收斂質量上，無論在單峰函數、多峰函數，混合函數還是組合函數上，MSCOA優于COA和BWCOA，進一步表明本文提出的多種策略融合于COA中是可行的。

3.5運行時間對比

為了考察MSCOA運行時間，記錄其在30維上的平均運行時間，時間單位為s。因MSCOA是COA的改進算法，為了簡要說明問題，對比算法僅選擇COA和BWCOA。三種算法平均運行時間如圖5所示。從圖5可知，COA、BWCOA和MSCOA的平均耗時分別為7.22 s、5.17 s和5.09 s，MSCOA的平均耗時僅占COA的70%。MSCOA的運行時間最少，運行速度最快。其主要原因如下：同BWCOA一樣，MSCOA也刪除了被組驅離和接納操作，降低了時間復雜度；MSCOA也采用并行計算，節省了一定的時間。另外，雖然添加了多種策略，但多數策略都是替代操作，沒有額外增加計算。

3.6Wilcoxon符號秩檢驗

為了驗證MSCOA與對比算法在性能上的差異，本節采用Wilcoxon符號秩檢驗方法［2］進行檢驗，數據來自表3。設置顯著性水平值為0.05，測試的結果如表4所示。其中，R+表示正秩，R-表示負秩。“n/w/t/l”分別表示在n個函數上優于對比算法w次，等于對比算法t次，劣于對比算法l次;p表示實際顯著水平值，如果plt;0.05，則兩種算法具有顯著性差異，反之，兩種算法的差異不顯著。由表4可知，在CEC2014測試集的30維函數上，MSCOA優于COA、HBBOS、HBBOG、BLPSO、MOMPSO、SaDE、JADE和BWCOA的數量分別為30、22、25、28、30、27、22、22。另外，與所有的對比算法相比，p值均小于0.05，說明MSCOA顯著優于八種對比算法中的任何一種。綜上所述，在CEC2014測試集30維函數上，MSCOA顯著優于所有對比算法。

4結束語

針對COA搜索能力不足、運行時間長和可操作性差等缺點，本文提出了一種多策略的COA。首先提出一種全局最優郊狼引導策略，提升組內最優郊狼的搜索能力；其次，提出一種最差郊狼強化策略強化最差郊狼；再次，對于組內其他郊狼提出一種動態調整信息共享的組內成長策略，提高組內郊狼之間的信息共享以提高其搜索能力;然后，動態調整信息共享的成長策略與BBO的遷移策略進行交叉操作，進一步提高算法的搜索能力；最后，采用動態分組策略減少參數手動設置，提高算法的可操作性。在30維的CEC2014復雜函數的實驗結果上，在九種對比算法中，MSCOA的平均排名為2.10，COA的平均排名為7.37，表明MSCOA優化能力顯著優于COA。在運行時間上，MSCOA的平均耗時更少，為5.09 s，僅占COA平均耗時的70%。與其他先進的算法相比，MSCOA具有更明顯的優勢。在未來，將更深入研究COA，提出性能更好的COA改進算法并應用于實際工程問題中。

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收稿日期：2021-08-01；

修回日期：2021-09-17

基金項目：國家自然科學基金項目（61901160）；河南省高等學校重點科研項目（19A520026）

作者簡介：張新明（1963-），男，湖北孝感人，教授，碩導，主要研究方向為智能優化算法、數字圖像處理和模式識別等（xinmingzhang@126.com）；楊方圓（1994-），男，河南鹿邑人，碩士研究生，主要研究方向為智能優化算法和圖像處理；劉國奇（1984-），男，河南封丘人，副教授，博士，主要研究方向為數字圖像處理．