基于深度學習的心律模擬算法及其應用

摘要：研究基于Van der Pol方程的心律模型有助于進行心律調控，為心律失常等心臟疾病治療提供指導。針對已有Van der Pol方程時間尺度與真實生物心律不一致的問題，引入時間尺度參數，改進Van der Pol方程。針對心律模型的數值模擬問題，提出一種基于深度神經網絡的算法。針對現有神經網絡算法帶來的假解問題，提出一種新的采樣策略構建訓練數據集。為進一步提高求解的精度，引入自適應采樣策略。開展數值實驗，將Runge-Kutta法給出的數值解與所提深度神經網絡算法的計算結果進行對比。結果顯示，深度神經網絡算法的計算結果相對于Runge-Kutta數值解的最大平均誤差不超過0.3%。還利用深度神經網絡算法模擬牛蛙心臟搏動細胞動作電位信號以及外部驅動信號對該電位信號的調控作用，結果顯示，深度神經網絡算法可以很好地模擬動作電位的脈沖波形及外部驅動信號的調控作用。

關鍵詞：心律模型；心律調控；數值模擬；Van der Pol方程；深度神經網絡；深度學習

中圖分類號：TP391文獻標志碼：A

文章編號：1001-3695（2022）04-034-1162-06

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2021.10.0420

Algorithm for simulating cardiac rhythm based on deep learning and its application

Long Po1，Chen Hao2，He Jing1，He Kun3

（1.College of Software，Changsha Social Work College，Changsha 410004，China；2.College of Computer Science amp; Electronic Engineering，Hunan University，Changsha 410006，China；3.Dept. of High Voltage，China Electric Power Research Institute，Beijing 100192，China）

Abstract：The study heartbeat model based on Van der Pol equation is beneficial to heartbeat control and offering therapy guidance of cardiac diseaes such as arrhythmia.To cope with the issue that the timescale of the solutions produced by Van der Pol equation is different from those of real living beings，this paper introduced a timescale parameter into the Van der Pol equation.To solve the problem of numerical simulation of rhythm model，this paper proposed a deep neural network algorithm.To avoid spurious solutions caused by existing neural network algorithms，this paper proposed a new sampling strategy to construct training data sets.To further improve the accuracy，this paper introduced an adaptive sampling means into the proposed sampling strategy.This paper conducted numerical experiments and compared numerical solutions given by Runge-Kutta method with results of the proposed method.The results show that the maximum mean error of the proposed method is below 0.3%.Furthermore，this paper employed the deep neural network method to simulate the action potential of the cardiac pacemaker cell.The results show that the proposed method can simulate the action potential fairly well.

Key words：heartbeat model；heartbeat control；numerical simulation；Van der Pol equation；deep neural networks；deep learning

0引言

心臟搏動規則與否關系著心臟的健康狀態。心臟搏動失常的患者可以通過植入心臟起搏器和心律轉復除顫器調控心臟的搏動。調控心臟的搏動研究中，如果有了心臟搏動的數學模型，則可利用該心律模型構建心臟搏動的控制模型［1～3］。因此，合理的心臟搏動數學模型對于控制心臟的搏動非常關鍵。在心臟搏動數學模型研究中，文獻［4，5］最先提出用Van der Pol方程模擬心臟搏動細胞動作電位信號和心臟的搏動，將心臟的搏動用所謂的Van der Pol振子予以描述。文獻[6]隨后基于Van der Pol的工作也提出了描述各種心律行為的模型。為了更好地模擬心電圖信號和心臟起搏器的的搏動，文獻[7]對經典的Van der Pol方程進行了一系列改進。在Van der Pol模型中，Van der Pol振子在外部驅動信號的作用下改變其固有振蕩頻率，并向外部驅動信號頻率靠近，但卻不改變振幅，這是Van der Pol模型的一個重要特性。考慮到這個特性，Santos等人[2]認為Van der Pol模型是描述心臟搏動的優良唯象模型。然而這些Van der Pol模型在時間尺度上與真實的心臟搏動細胞的動作電位信號還有明顯區別。文獻［7］的研究結果顯示，Van der Pol模型給出的搏動脈沖信號時間周期在16 s左右，但是牛蛙心臟的搏動脈沖信號周期約為2 s，正常人類心臟的搏動脈沖信號周期在數十毫秒至一秒量級。

無論是經典的Van der Pol方程還是改進的Van der Pol方程都沒有解析解，學者們提出了一些數值算法以求得數值解來模擬心臟搏動信號，包括Runge-Kutta法［7］、Adomian分解法［8］和同倫分析法［9］等。Adomian分解法和同倫分析法本質上是一類級數展開法，需要截斷級數，通過復雜的推導計算級數的各項，才能給出解的計算公式。這些特性決定了Adomian分解法和同倫分析法的特性，使得它們在應用上有一些不可忽視的局限性。Adomian分解法和同倫分析法解的計算公式形式復雜。例如文獻［8］給出的一個無右端強迫項的Van der Pol方程的例子中，僅截取Aodmian多項式的前四項，解的計算公式中就有21項冪函數。文獻［9］采用同倫分析法，僅截取級數的前兩項，解的計算公式中就有10項三角函數或它們的乘積。更致命的是，當方程的形式或右端強迫項發生改變時，Adomian分解法和同倫分析法解的計算公式需要重新進行復雜的推導，相應地，計算程序也需要大量修改。

隨著深度學習的不斷發展，其已經在圖像識別［10～12］、自然語言處理［13，14］、語音識別［15，16］、醫學診斷［17，18］、文本檢測［19，20］和故障識別［21］等領域獲得了巨大成功。這種成功也延伸到了微分方程研究領域，例如，文獻［22］基于深度神經網絡提出了求解薛定諤方程的新方法，文獻［23］提出了基于深度神經網絡的伽遼金方法求解Hamilton-Jacobi-Bellman方程和Burgers方程。基于前者的工作，文獻［24，25］也對一些簡單微分方程開展了類似的工作，其中文獻［24］求解了一階常微分方程，文獻［25］求解了線性Poisson方程。

在圖像識別、自然語言、醫學診斷和故障識別等領域中，通常采用監督學習方法，這意味著需要帶有標簽的訓練數據集，在實際應用中需要訓練后的網絡用于預測。而文獻［22～25］無須標簽數據，訓練后的網絡即是方程的解。有別于傳統的數值方法，深度神經網絡方法得到的是閉形式解，且由于無須離散微分或梯度算子，采用深度學習領域的自動微分技術，可以得到比傳統數值方法更好的微分或梯度算子估計。然而，文獻［22～25］僅要求網絡在定義域內部滿足方程，在邊界上滿足初/邊界條件，而在邊界上沒有要求網絡滿足方程，這導致網絡在訓練完后，時有出現假解，即雖然該解在定義域內部滿足方程，且在邊界上滿足邊界條件，但是在邊界上不滿足方程。相比于文獻［24］，本文要求的Van der Pol方程是一種二階非線性方程，求解難度更大。

針對Van der Pol方程本身存在時間尺度上的缺點，本文提出一種改進的Van der Pol方程。為模擬心臟搏動信號，針對Van der Pol方程的求解問題，本文利用深度神經網絡對函數的良好逼近能力，在文獻［22，23］的基礎上提出一種基于深度學習的算法。為了解決文獻［22～25］在求解改進Van der Pol方程時出現假解的問題，本文提出一種改進的訓練樣本采樣策略，要求網絡在邊界上滿足Van der Pol方程；同時為了進一步提高求解的精度，在該策略中融入自適應的思想，在計算誤差大的區域自動地增加訓練樣本。通過數值實驗，將本文方法與四階Runge-Kutta方法的數值解進行對比，驗證本文方法的有效性。與Aodmina分解法和同倫分析法相比，本文方法無須復雜理論推導，對方程形式和右端項具有更好的通用性，因而計算程序具有更好的通用性。

1心率模型及其改進

文獻[7]改進Van der Pol模型為［3］

y″（x）+α（y（x）-v1）（y（x）-v2）y′（x）+y（x）（y（x）+β）（y（x）+γ）βγ=g（x）

y（0）=η1，y′（0）=η2 （1）

其中：α為脈沖形狀參數；v1和v2為阻尼參數；β和γ為兩個不動點，分別為鞍點和穩定點；v1和v2需滿足v1，v2lt;0以滿足系統自振蕩條件；g（x）為外界施加的驅動力，例如心臟起搏器和心律轉復除顫器施加的電脈沖信號。

如前所述，現有的Van der Pol模型給出的搏動脈沖信號時間尺度與一些生物的實際心臟搏動脈沖信號不一致。為解決該問題，本文在Van der Pol模型引入時間尺度參數τ，即在式（1）基礎上改進得到

y″（x）+α（y（x）-v1）（y（x）-v2）y′（x）τ+

y（x）（y（x）+β）（y（x）+γ）βγτ2=g（x）

y（0）=η1，y′（0）=η2 （2）

其中：τgt;1，具體取值與生物的種類和心臟所處的狀態有關。采用文獻［3］的脈沖形狀參數α、阻尼參數v1和v2、不動點參數β和γ。

2深度神經網絡算法

2.1方法描述

本文將深度神經網絡應用求解改進的心律模型，并提出一種可消除假解的采樣策略。首先，將心律模型的改進Van der Pol方程轉換為

y′（x）-y1（x）=0

y′1（x）+α（y（x）-v1）（y（x）-v2）y1（x）τ+

y（x）（y（x）+β）（y（x）+γ）βγτ2=0

y（0）=η1，y1（0）=η2 （3）

假定改進的Van der Pol方程的解y（x）和y1（x）可用深度神經網絡N（x，ω，b）表示，其中：ω表示所有神經元的權重參數向量；b表示所有神經元的偏置參數向量；且網絡有一個輸入端子，兩個輸出端子。定義兩個輸出端子為N1（x，ω，b）和N2（x，ω，b）分別表示y（x）和y1（x）。在給定的定義域［0，A］上，包括定義域內部，采樣K個點{xi}Ki=1，即

{xi}Ki=1［0，A］（4）

文獻［22～25］對于滿足方程的訓練點只要求在定義域內部采樣，本文的策略與其有不同之處。本文策略的改進之處是對方程在邊界上提出約束，以消除假解（即該解在定義域內部滿足方程、在邊界上滿足邊界條件，但該解在邊界上不滿足方程）的出現。進一步地定義網絡的損失函數為

floss=feq1+feq2+fic1+fic2（5）

其中：feq1表示網絡N1（x，ω，b）在式（3）中第一個方程上的損失，以表征N1（x，ω，b）對該方程的滿足程度；feq2表示網絡N2（x，ω，b）在式（3）中第二個方程上的損失，以表征N2（x，ω，b）對該方程的滿足程度；fic1表示N1（x，ω，b）在式（3）中第一個初值條件上的損失，以表征N1（x，ω，b）對該初值條件的滿足程度；fic2表示N2（x，ω，b）在式（3）中第二個初值條件上的損失，以表征N2（x，ω，b）對該初值條件的滿足程度。這些損失分別為

feq1=1K∑Ki=1N′1（xi，ω，b）-N2（xi，ω，b）2（6）

feq2=1K∑Ki=1N′2（xi，ω，b）+α（N1（xi，ω，b）-v1）×（N1（xi，ω，b）-v1）N2（xi，ω，b）τ+

N1（xi，ω，b）（N1（xi，ω，b）+d）（N1（xi，ω，b）+e）edτ22（7）

fic1=N1（0，ω，b）-c12（8）

fic2=N2（0，ω，b）-c22（9）

需要注意，與文獻［22～25］不同的是，本文中要求式（5）（6）不僅僅是方程在定義域內的損失，還包括方程在邊界上的損失。利用式（5）～（9），式（3）的求解問題可轉換為最優化問題：

arg minω，bfloss（10）

對該最優化問題的求解可以采用深度學習中常用方法，例如一階的Adam方法、二階的L-BFGS方法。

為了進一步提高計算精度，本文在采樣策略中還融入自適應重采樣的思想。具體為：構建一個與訓練數據集不同的測試數據集，即

{xj}Mj=1［0，A］（11）

其中：M表示測試集中測試點的個數。在測試數據集上計算式（3）中的兩個一階微分方程的右端函數值，即計算式（12）（13）兩個函數的函數值。

f1（xi）=y′（xi）-y1（xi）（12）

f2（xi）=y′1（xi）+α（y（xi）-v1）（y（xi）-v2）y1（xi）τ+y（xi）（y（xi）+β）（y（xi）+γ）βγτ2（13）

將函數值大于某個限值δ所對應的測試點復制出來加入訓練數據集中，然后在新的訓練數據集上重新訓練網絡。需要指出，文獻［22，23］求解方程的過程只需要訓練數據集，不需要測試數據集。本文所謂的測試數據集是在自適應條件下特有的。

2.2網絡結構

本文采用前饋型神經網絡，輸入層神經元個數為1，隱含層層數為6，每個隱含層中神經元個數為50，輸出層神經元個數為2，所有神經元的激活函數s選用雙曲正切函數，該神經網絡結構如圖1所示。圖1中，（x）和1（x）分別是神經網絡對函數y（x）和y1（x）的逼近，有

（x）=N1（x，ω，b）（14）

1（x）=N2（x，ω，b）（15）

2.3算法流程

綜合前述，本文中求解心律模型的深度神經網絡算法可描述為：a）將心律模型的改進二階Van der Pol方程式（2）轉換為一階微分方程組式（3）；b）建深度神經網絡N（x，ω，b），其中ω和b為神經元的參數向量；c）按照訓練數據集的采樣式（4）在定義域內部和外部采樣得到訓練數據集{xi}Ki=1，按照測試數據集的采樣式（11）在定義域內部和外部采樣得到測試數據集{xj}Mj=1；d）定義損失函數式（5）～（9）；e）求解最優化問題式（10）得到參數ω和b，優化問題的求解先采用Adam求解，然后采用L-BFGS方法進一步求解；f）在測試數據集上計算式（12）（13）中的函數值，挑選出函數值大于某個限值δ所對應的測試點，復制出來加入訓練數據集中；g）在新的訓練數據集上重復步驟e）f），直至在測試數據集上所有點處的函數值都小于限值δ。

3數值實驗及結果分析

本章將開展數值實驗，在各種參數下將本文所提求解心律模型的深度神經網絡算法與四階Runge-Kutta法進行對比，驗證深度神經網絡算法的有效性。

Runge-Kutta法是計算數學和工程應用中求解常微分方程的一種常用高精度方法。對于常微分方程初值問題：

y′=f（t，y），y（t0）=y0（16）

其算法如下：

yn+1=yn+h6（k1+2k2+2k3+k4）（17）

k1=f（tn，yn）（18）

k2=f（tn+h2，yn+h2k1）（19）

k3=f（tn+h2，yn+h2k2）（20）

k4=f（tn+h，yn+hk3）（21）

著名的數值計算軟件MATLAB中的ode45函數正是采用上面的算法，形成了求解常微分方程的首選求解器［26］。正因為此，本文選用Runge-Kutta法的數值解為參考解。

3.1實驗平臺

數值實驗平臺配置為Intel Xeon E5-2630v3 CPU（Dual Core），128 GB內存，NVIDIA Quadro RTX4000 GPU，8 GB顯存。集成開發環境為Spyder，Python語言版本為3.7，安裝有TensorFlow 2.2。

3.2實驗內容

首先，在給定的脈沖形狀參數α、阻尼參數v1和v2、不動點參數β和γ條件下，研究本文時間尺度參數τ的時間尺度變換能力；

其次，在給定的脈沖形狀參數α、阻尼參數v1和v2、不動點參數β和γ、時間尺度參數τ條件下，研究本文采樣策略對假解的消除能力；

最后，在固定的β和γ參數下，設置有、無外加強迫項，改變心律脈沖的形狀參數α以及阻尼參數v1和v2，改變定義域區間長度A，用本文深度神經網絡算法求得這些條件下心律模型的解。令四階Runge-Kutta法的數值解為參考解，將神經網絡輸出解與數值解進行對比，驗證本文方法的有效性。

以下給出數個實驗下的實驗參數：a）定義域區間長度A=2，無強迫項，改變脈沖形狀參數α；b）定義域區間長度A=2，無強迫項，改變阻尼參數 （v1，v2）；c）定義域區間長度A=2，有強迫項，改變脈沖形狀參數α；d）定義域區間長度A=2，有強迫項，改變阻尼參數（v1，v2）。這四種時間參數中，時間尺度參數τ=1。

3.3實驗結果

1）時間尺度參數τ的影響在g（x）=0，v1=v2=0.93，α=3，β=3.0，γ=6.0，η1=-1.2，η2=0.35，A=2的參數下，圖2給出了時間尺度參數τ=1、2和5時式（3）給出的結果y（x）。從圖2可知，本文引入的時間尺度參數τ確實能調節Van der Pol方程給出的脈沖波形的時間尺度，并且在τgt;1時，τ越大，脈沖波形的時間周期越小。

2）采樣策略的影響首先，令α=3，v1=0.83，v2=-0.83，β=3.0，γ=6.0，η1=-1.2，η2=0.35，A=2，τ=3，研究訓練數據集采樣策略式（4）對計算結果的影響。圖3給出了有、無采樣策略式（4）時式（3）給出的結果y（x）

，其中RK表示Runge-Kutta法。

從圖3可知，當沒有采用采樣策略式（4）時，盡管深度神經網絡給出的解y（x）及其導函數y1（x）在定義域內的訓練點上都分別滿足式（3）中的兩個微分方程，且在邊界上分別滿足兩個初值條件，但是它們與Runge-Kutta給出的數值解相差很大；當采用采樣策略式（4）時，深度神經網絡給出的解y（x）及其導函數y1（x）與Runge-Kutta給出的數值解幾乎完全相同。因此，本文提出的采樣策略式（4）可以有效避免假解的出現。

3）神經網絡算法的數值驗證

在3.2節給出的四種實驗參數條件下，利用實驗平臺開展數值實驗。模型訓練過程中，典型的損失收斂曲線如圖4所示，可見訓練過程是收斂的。

四種實驗參數條件下的實驗結果如下：

a）g（x）=0，改變脈沖形狀參數α。

令強迫項g（x）=0，設置參數為v1=0.83，v2=-0.83，β=3.0，γ=6.0，η1=-0.1，η2=0.025，A=2，神經網絡輸出解如圖5所示。從圖4可以看到，在不同的脈沖形狀參數α下，神經網絡的輸出解與Runge-Kutta法給出的數值解吻合得很好。表1列出了四種條件下程序運行10次后得到神經網絡的輸出解相對于Runge-Kutta法給出的數值解的最大誤差的平均值。從表1可見，不同的脈沖形狀參數下，神經網絡輸出解y（x）及其導函數y1（x）相對于Runge-Kutta法給出數值解的誤差均分別在0.5%和0.05%之下。

（a）α=0.01（b）α=0.1

（c）α=1（d）α=3

b）g（x）=0，改變對非對稱阻尼參數v1和v2。

令強迫項g（x）=0，設置參數為α=3，β=3.0，γ=6.0，η1=-0.1，η2=0.025，A=2，神經網絡輸出解如圖6所示

，其中RK表示Runge-Kutta法。從圖6可以看到，在不同的阻尼參數v1和v2下，神經網絡的輸出解與Runge-Kutta法給出的數值解吻合得很好。表2列出了四種條件下程序運行10次后得到神經網絡的輸出解相對于Runge-Kutta法給出的數值解的最大誤差的平均值。從表2可見，不同的阻尼參數v1和v2下，神經網絡輸出解y（x）及其導函數y1（x）相對于Runge-Kutta法給出數值解的誤差均分別在0.5%和0.2%之下。

令強迫項g（x）=5sin（2x），設置參數為v1=0.83，v2=-0.83，β=3.0，γ=6.0，η1=-0.1，η2=0.025，A=2，神經網絡輸出解如圖7所示。從圖7可以看到，在不同的脈沖形狀參數α下，神經網絡的輸出解與Runge-Kutta法給出的數值解吻合得很好。表3列出了四種條件下程序運行10次后得到神經網絡的輸出解相對于Runge-Kutta法給出的數值解的最大誤差的平均值。從表3可見，不同的脈沖形狀參數下，神經網絡輸出解y（x）及其導函數y1（x）相對于Runge-Kutta法給出數值解的誤差均分別在0.1%和0.2%之下。

d）g（x）=5sin（2x），改變對非對稱阻尼參數v1和v2。

令強迫項g（x）=5sin（2x），設置參數為α=3，β=2.0，γ=5.0，η1=-0.1，η2=0.025，A=2，神經網絡輸出解如圖8所示。從圖8可以看到，在不同的脈沖形狀參數α下，神經網絡的輸出解與Runge-Kutta法給出的數值解吻合得很好。表4列出了四種條件下程序運行10次后得到神經網絡的輸出解相對于Runge-Kutta法給出數值解的最大誤差平均值。從表4可見，不同的脈沖形狀參數下，神經網絡輸出解y（x）及其導函數y1（x）相對于Runge-Kutta法給出數值解的誤差均分別在0.1%和0.3%之下。

4心臟起搏細胞動作電位信號及其調控的模擬

本章根據文獻［3］給出的參數，利用本文所提的深度神經網絡算法求解心律模型，以模擬心臟細胞動作電位信號，并與實測結果進行對比。在給定參數α=3，v1=0.83，v2=-0.83，β=3.0，γ=6.0，η1=-1.2，η2=0.35，A=2，τ=4，g（x）=0和g（x）=500sin（2πx）時，圖9中的給出了深度神經網絡算法對牛蛙心臟起搏細胞動作電位信號的模擬結果和實驗測量結果的對比，還給出了外界驅動作用下牛蛙心臟起搏細胞動作電位信號的模擬結果。從圖9（a）和（b）可以看到，盡管幅值上存在一定差異，模擬結果和實測結果的動作電位脈沖形狀非常接近，且時間尺度一致，并且從圖9（b）還可以看到神經網絡算法的模擬結果與Runge-Kutta法的模擬結果一致。因此，采用深度神經網絡算法可以較好地模擬心臟起搏細胞動作電位信號脈沖波形。從圖9（c）可以看到，在外部驅動信號g（x）= 500 sin（2πx）的作用下，心律脈沖的周期由2 s調控為1 s左右，神經網絡算法的模擬結果與Runge-Kutta法的模擬結果相同。

5結束語

針對心臟律動及其調控的數值模擬問題，本文提出了基于深度神經網絡的算法。在該方法中，提出了用改進的Van der Pol方程本身及其邊界條件構造深度神經網絡的損失函數。本文提出一種改進的訓練樣本采樣策略，要求網絡在邊界上滿足Van der Pol方程；同時為了進一步提高求解精度，在該策略中融入自適應的思想，在計算誤差大的區域自動地增加訓練樣本。開展了數值實驗，將Runge-Kutta法給出的數值解與所提深度神經網絡算法的計算結果進行了對比。驗證了方法的正確性。進一步用深度神經網絡算法模擬了心臟起搏細胞動作電位信號及其調控，并與實測結果進行了對比。結果顯示，盡管幅值上存在一定差異，深度神經網絡算法可以較好地模擬心臟起搏細胞動作電位信號的脈沖波形形狀和外界驅動信號對其的調控。本文為心臟律動及其調控的模擬提供了一種新方法。

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收稿日期：2021-10-20；修回日期：2021-12-02基金項目：國家自然科學基金資助項目（61772190）；湖南省教育廳科學研究項目（20C0092）

作者簡介：龍坡（1988-），男（通信作者），湖南耒陽人，講師，碩士，主要研究方向為深度學習、信號處理（longpo15@qq.com）；陳浩（1976-），男，湖南邵陽人，教授，博導，博士，主要研究方向為深度學習、大數據；何晶（1990-），女，湖南衡陽人，講師，碩士，主要研究方向為深度學習、軟件工程；何堃（1988-），男，湖南衡陽人，高級工程師，博士，主要研究方向為人工智能在計算電磁學中的應用.