基于引力模型及相對路徑數的節點重要度評估算法

摘 要：準確度量復雜網絡中節點的重要度對于研究網絡結構和功能等方面具有重要的指導意義。現有多數節點重要度評估算法考慮了節點及其鄰居節點的相關信息，卻忽略了節點間的拓撲結構對節點重要度的影響。針對此問題，提出了基于引力模型及相對路徑數的節點重要度評估算法。該算法首先分析了相對最短路徑數對節點間信息傳播的影響效果，同時考慮到非最短路徑及路徑距離等因素的影響，然后以三階范圍內鄰居節點與中心節點的相互作用力之和定義節點重要度值，最后在六個真實網絡中進行仿真實驗。實驗結果表明，所提算法不僅能有效區分網絡中不同節點之間的重要度差異，還能準確度量網絡節點的重要度大小。

關鍵詞：復雜網絡； 節點重要度； 路徑數； 相互作用力； 魯棒性

中圖分類號：TP393 文獻標志碼：A

文章編號：1001-3695（2022）03-020-0764-06

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2021.09.0389

基金項目：國家自然科學基金資助項目（11601402）

作者簡介：李秋暉（1997-），男，湖北咸寧人，碩士研究生，主要研究方向為網絡節點重要度評估；韓華（1975-），女（通信作者），山東萊州人，教授，博士，主要研究方向為復雜性分析與評價、經濟控制與決策（1269084976@qq.com）；馬媛媛（1996-），女，山西長治人，碩士研究生，主要研究方向為復雜網絡的關鍵節點識別；曾茜（1997-），女，湖北武漢人，碩士研究生，主要研究方向為鏈路預測；李巧麗（1993-），女，河南駐馬店人，碩士研究生，主要研究方向為鏈路預測.

Node importance evaluation algorithm based on gravity model and relative path number

Li Qiuhui， Han Hua?， Ma Yuanyuan， Zeng Xi， Li Qiaoli

（School of Science， Wuhan University of Technology， Wuhan 430070， China）

Abstract：Accurately measuring the importance of nodes in complex networks has important guiding significance for the study of network structure and functions. Most existing node importance evaluation algorithms consider the relevant information of the node and its neighbor nodes， but ignore the influence of the topological structure between nodes on the importance of the node. To solve this problem， this paper proposed a node importance evaluation algorithm based on gravity model and relative path number. The algorithm firstly analyzed the effect of the relative shortest path number on the information dissemination between nodes， and considered the influence of factors such as non-shortest path and path distance， then defined the node importance by the sum of the interaction force between the neighbor node and the center node in the third-order range， and finally simulated it in six real networks. Experimental results show that the proposed algorithm can not only effectively distinguish the importance of different nodes in the network， but also accurately measure the importance of network nodes.

Key words：complex networks; node importance; number of paths; interaction; robustness

0 引言

生活中常見的客觀系統大多是由一系列的基本單元以及單元們之間的關系所組成的，如生物系統、交通系統、信息系統和經濟系統等，這些系統都可以抽象成網絡。其中網絡的節點表示系統的基本單元，網絡的連邊表示系統中基本單元之間的關系。由此，可通過研究網絡科學^[1]來認識并改善真實客觀系統提供的重要理論基礎。在網絡科學研究領域中，節點重要度評估一直是研究熱點，準確評估出網絡中重要度較大的節點對網絡攻擊^[2]、信息傳播^[3]和疾病免疫^[4]等方面具有重大的理論指導作用和實際應用價值。

經典的度量網絡節點重要度的算法有度中心性^[5]、介數中心性^[6]、接近中心性^[7]、特征向量中心性^[8]和K-shell分解法^[9]等。度中心性和K-shell分解法雖然計算簡單，但忽略了節點的位置信息及鄰居節點信息對節點重要度的影響，且對不同節點之間重要度差異的區分不夠明顯；介數中心性和接近中心性雖考慮了節點在網絡中的位置信息，但也忽視了鄰居節點信息，不能準確度量節點的重要度大小，且時間復雜度相對較高；特征向量中心性通過計算網絡鄰接矩陣最大特征值對應的特征向量，將特征向量的元素作為網絡節點的重要度值，然而該算法所得的評估結果往往并不準確。

針對經典算法的缺陷與不足，研究者們紛紛提出相關的改進算法。王建偉等人^[10]考慮了鄰居節點信息，認為節點重要度與節點及其鄰居節點的度數有關，即節點及其鄰居節點的度數越大，節點的重要度越大。任卓明等人^[11]考慮到鄰居節點之間的連接情況對節點重要度的影響，提出了基于鄰居信息與集聚系數的節點重要度評估算法。阮逸潤等人^[12]認為節點的重要度不僅取決于節點的鄰居節點數，也取決于該節點的鄰域節點對節點的依賴程度，即節點的度數越大，節點的鄰域節點對節點的依賴程度越高，該節點在網絡中越重要。H指數中心性^[13]在度中心性的基礎上，通過考慮鄰居節點的度和節點自身的度來確定節點的重要度大小。王凱莉等人^[14]在K-shell分解法基礎上考慮了節點自身殼值與其多階鄰居節點的殼值，利用向量的形式來表示網絡節點的重要度大小。引力模型法^[15]引用萬有引力公式，以鄰居節點與中心節點的引力值之和度量節點的重要度大小。信息熵法^[16]通過研究節點與鄰居節點之間的關聯關系，運用信息熵理論提出新的節點重要度評估算法，并通過實驗驗證了算法的準確性。黃麗亞等人^[17]分別設置各個節點為傳染源，以經歷傳播時常K步后網絡中已感染的節點數量定義為K-階傳播數，最終基于不同K值下的K-階傳播數得到節點重要度結果。楊書新等人^[18]考慮到不同級鄰居節點對節點重要度的影響強弱不同，提出了基于三級鄰居的節點影響力度量方法。重力中心性^[19]改進了H指數中心性并結合萬有引力定律，提出了一種新的計算方法。馬媛媛等人^[20]考慮到不同結構下鄰居節點對節點的影響力不同，提出了一種綜合考慮節點的鄰居數量和節點與鄰居間親密程度的節點重要度評估算法。文獻[21，22]均考慮到節點重要度受多種因素的影響，采用多屬性決策方法對多個評價指標進行賦權，進而得到節點重要度的綜合評估模型。胡鋼等人^[23]首先基于節點間的最優路徑長度、最優路徑數目和信息傳播率定義了節點間的傳輸能力，然后依據度值和傳輸能力構建重要度傳輸矩陣，最后綜合節點局部和全局屬性來評估節點的重要度大小。然而，現有的多數中心性算法雖考慮到節點及其鄰居節點本身的相關信息，以及多種信息的加權融合，卻很少分析節點與鄰居節點間的拓撲結構對節點重要度的影響。針對此問題，本文首先通過引用引力模型公式度量網絡節點間的相互作用力大小，再從信息傳播角度分析了節點間的相對最短路徑數對傳播效果的影響，同時考慮到非最短路徑及路徑距離等因素，對相互作用力定義進行改進，然后以三階范圍內鄰居節點與中心節點的相互作用力之和定義節點的重要度值，從而提出基于引力模型及相對路徑數的節點重要度評估算法。仿真實驗結果表明，本文算法相比其他五種現有算法更能準確評估網絡節點的重要度大小。

1 相關工作

1.1 度中心性

度中心性用節點的度數來表示節點的重要度，在N個節點的無權無向網絡中，節點vi的度數表示為

其中：eij表示節點vi與節點vj的連接情況，若有連接，則eij=1，若無連接，則eij=0。

1.2 H指數中心性

H指數中心性通過考慮鄰居節點的度和節點自身的度來確定節點的重要性。節點中心性由節點自身及其鄰居的性質決定，節點vi的H指數中心性計算公式為

其中：di為節點vi的度;函數H（du₁，du₂，…，dun）返回1個最大值y，使得在（du₁，du₂，…，dun）中至少有y個元素大于等于y。

1.3 引力模型法

引力模型法與萬有引力公式類似，首先根據節點的Ks值及節點間的距離量化節點間的引力值，再以三階范圍內鄰居節點與中心節點的引力值之和定義中心節點的重要度大小，具體表示為

其中：ψ（i）表示節點vi三階范圍內的鄰居節點;dij表示節點vi與節點vj的距離。

1.4 信息熵法

信息熵法通過計算節點及其鄰居節點的信息熵來度量不同節點在網絡中的重要度大小，具體表示為

其中：Γi為節點vi的一階鄰居節點集合;pi為節點vi的概率函數;pj為節點vj的概率函數。

1.5 改進的重力中心性

受萬有引力定律的影響，改進的重力中心性以節點vi和vj的ILH值作為節點vi和vj的質量，兩節點間的最短距離作為節點間的半徑，節點中心性計算公式為

其中：Nvi表示節點vi在指定半徑區域內的鄰居節點集合;dij為節點vi與vj間的最短距離。

2 基于引力模型及相對路徑數的評估算法

節點在網絡中的影響力不僅與節點自身屬性有關，也與節點和其他節點之間的結構信息有關。因此，為準確量化節點間的結構信息對節點重要度的影響，借鑒文獻[15，19]應用的萬有引力公式，定義網絡中任意兩節點間的相互作用力大小為

其中：G為結構參數;ki、kj分別表示節點vi與vj的度數;dij表示節點vi與vj之間的最短路徑距離。由定義可知，節點的度數越大，節點間的距離越小，節點間的相互作用力越大。

在分析節點間的相互作用大小時，僅考慮節點度數與節點間距離往往不夠嚴謹。以圖1為例，節點4與12為節點8的二階鄰居節點，度數均為3，且節點4與12皆有三條不同的二階路徑通向其他節點，而在這些路徑中，節點4僅有一條通向節點8，節點12有三條，這說明節點12相比節點4更易將信息傳遞給節點8，間接說明節點12對節點8的重要度貢獻更大。因此，考慮到節點間結構信息對節點間相互作用的影響，本文以相對路徑數定義結構參數G。

其中：a^lij表示節點vi與vj間長度為l的路徑數目^[24];N為網絡節點數;∑Nk=1a^lkj表示從節點vj出發的所有l階路徑數目。該參數從信息傳播的角度量化了網絡結構對節點間相互作用的影響程度。

然而，僅考慮兩節點間的最短路徑是不夠準確的。以圖1為例，節點5是節點8的一階鄰居節點，節點5可直接將信息傳遞給節點8，也可經過二階、三階甚至更長的路徑將信息間接傳遞給節點8。同時，考慮到不同階路徑應具有不同權重，本文重新定義網絡中任意兩節點間的相互作用力大小為

其中：l為節點vi與vj間的l階路徑。

根據相互作用力定義可知，當兩節點間的最短路徑距離較大時，節點間的相互作用力較小，且文獻[25]提出的三階影響力準則認為節點與三階范圍內的鄰居節點有較大影響，與三階范圍外節點的影響較小，可忽略不計。故本文考慮節點的三階范圍內鄰居節點及節點間路徑，從而提出基于引力模型及相對路徑數的節點重要度評估算法。

3 實驗數據集

為檢驗GPC算法對網絡節點重要度的評估效果，本文選用六個真實網絡數據進行相關實驗。其中：dolphins為海豚網絡;jazz為音樂家合作網絡;power為電力網絡;e-mail為郵件網絡;facebook為朋友關系網絡;road為交通網絡。網絡數據均來源于網絡數據庫^[26]。表1給出了六個網絡的基本統計特征，其中：N與M分別表示網絡的節點數與邊數;kmax與kmin分別表示網絡節點的最大度數與最小度數;〈k〉為網絡節點的平均度數;〈c〉為網絡節點的平均聚類系數;βth為網絡的傳播率閾值^[27]。

4 仿真實驗與分析

4.1 區分度檢驗

對于大多數的節點重要度評估算法，當網絡節點數較多或網絡節點分布較為均勻時，難免會出現多數節點具有相同的重要度值。而一個較好的節點重要度評估算法，不僅需要較為準確地判斷出網絡中節點重要度較大的節點，也需要細分不同節點之間的重要度差異。中心性算法的區分度^[28]定義為

DR=N－rN（10）

其中：r表示用該中心性算法評估網絡節點重要度后重要度值出現重復的節點數;N為網絡節點總數。根據區分度的定義可知，中心性算法的DR值越大，該中心性算法對網絡中節點之間的重要度差異區分得更明顯。

表2給出了不同中心性算法在六個網絡下的DR值。在六個網絡中，度中心性和H指數中心性的DR值是最低的，說明這兩種算法容易將網絡中多數節點評估出相同的重要度值，對節點間差異的區分效果不佳。相比其他算法，GPC算法的DR值是最高的，說明GPC算法對節點重要度的評估結果更細致，能更有效地區分網絡中不同節點之間的重要度差異。

4.2 魯棒性分析

為驗證GPC算法對網絡節點重要度評估結果的準確性，首先進行攻擊實驗，通過分析移除節點前后網絡魯棒性^[29]指標的變化情況來評價各個中心性算法的評估效果。

本文選用最大連通子圖相對大小和網絡效率^[30，31]作為網絡魯棒性評價指標。最大連通子圖相對大小定義為

其中：N′為移除一定比例節點后網絡中最大連通子圖的節點數;N為初始網絡的節點數。最大連通子圖相對大小從網絡拓撲結構方面反映了網絡魯棒性的大小。

網絡效率是指網絡中所有節點對之間距離倒數的平均值，具體定義為

其中：N為網絡的節點數;V為網絡節點的集合;dij表示節點vi與vj之間的最短距離。網絡效率從網絡傳播功能方面反映了網絡魯棒性的大小。

進行攻擊實驗時，首先分別計算網絡中所有節點在各中心性算法下的重要度值并按大小排序，記錄節點編號，然后依次移除網絡中重要度值最大的節點，同時記錄每個階段下網絡魯棒性指標的變化情況，直至網絡中所有節點被移除。

圖2所示為六個真實網絡的最大連通子圖相對大小S在不同攻擊條件下隨節點移除比例p的變化情況。容易看出，在power、e-mail和facebook網絡中，GPC算法對網絡的攻擊效果明顯好于其他中心性算法。在dolphins、jazz、road網絡中，GPC算法對網絡的攻擊效果雖不明顯優于其他中心性算法，但也幾乎都是使網絡的最大連通子圖相對大小下降最快的算法。在jazz以及facebook網絡中，出現了六種中心性算法對網絡的攻擊效果高度重合的情況，這是由于jazz以及facebook網絡的連邊數遠遠大于節點數，網絡節點之間的連接過于緊密，移除較少節點很難將網絡分解開，導致各個中心性算法對網絡的攻擊效果之間差異并不明顯。整體上看，GPC算法在破壞網絡拓撲結構方面要優于度中心性、H指數中心性、引力模型法、信息熵法以及改進的重力中心性。

圖3所示為六個真實網絡的網絡效率E在不同攻擊條件下隨節點移除比例p的變化情況。在power和facebook網絡中，相比其他中心性算法，GPC算法對網絡的攻擊效果最為顯著。在dolphins、jazz、e-mail和road網絡中，各個中心性算法對網絡的攻擊效果差距較小，但也容易發現，在移除相同比例節點的情況下，GPC算法能使這些網絡的網絡效率下降至最低，這說明GPC算法相比其他算法能更準確識別出影響網絡傳播功能的關鍵節點。

從攻擊實驗結果上看，不管是以最大連通子圖相對大小還是網絡效率作為網絡魯棒性指標，GPC算法相比其他算法都能更準確評估出維持網絡魯棒性的關鍵節點，驗證了GPC算法的準確性與可靠性。

4.3 傳播效果分析

4.3.1 SI模型

為進一步驗證GPC算法的準確性和可靠性，再進行傳播實驗分析。在SI模型^[32]中，網絡中的節點一共有易感狀態S和感染狀態I兩種狀態。網絡中處于感染狀態的節點會持續以一定概率感染周圍的易感狀態節點，直至網絡中所有節點均被感染。

在本文實驗中，根據各中心性算法得到的網絡節點重要度排序結果，分別選取重要度排名前十的節點作為SI傳播實驗的初始感染節點，其他節點均為易感狀態。在每個時間步長內，處于感染狀態的節點以感染率β去感染周圍的易感節點，記錄網絡中感染狀態節點比例I（t）隨時間步長t的變化情況。

當傳播率過大時，已感染節點會以極快的速度去感染其他節點，導致不同中心性算法得到的評估結果之間的差異并不顯著，而傳播率過小時，感染節點又很難擴散至整個網絡。因此，為保證實驗的正常進行，在不同網絡上進行實驗時，本文選用該網絡的傳播率閾值βth作為實際感染率。為減小傳播過程的隨機性產生的數據誤差，實驗結果取500次實驗的平均值。

不同網絡上的實驗結果如圖4所示。在dolphins、power和road網絡中，以GPC算法評估的前十名重要節點作為初始感染節點時，網絡中感染狀態節點比例的上升速度是最快的，說明GPC算法評估的前十重要節點能更快地將信息傳遞給網絡中的其他節點，在網絡中的影響力更大。在jazz、e-mail和facebook網絡中，GPC算法的優勢并不明顯，有時效果也會不如引力模型法和改進的重力中心性，但也與最好的結果非常接近。在road網絡中，出現感染狀態節點比例上升速度均較慢的情況，這是由于網絡中連邊數相對較少，節點間的關聯程度較弱，信息較難擴散。整體上看，相比其他算法，GPC算法能更準確地評估出網絡中傳播能力較強的節點。

4.3.2 SIR模型

在SIR模型^[33]中，網絡中的節點一共有易感狀態S、感染狀態I和痊愈狀態R三種狀態。在實驗開始階段，先通過各中心性算法得到所有網絡節點的重要度值排序，對于每種排序結果，選取若干重要度值較大的節點作為傳播實驗的感染狀態節點，其他節點均為易感狀態。在傳播過程中，處于感染狀態的節點會以感染率β去感染鄰居節點，同時也會以痊愈率μ變成痊愈狀態，處于痊愈狀態的節點不會再次被感染。最后，當網絡中三種狀態節點的比例趨于穩定時標志傳播實驗結束。

同樣為保證實驗的正常進行，在不同網絡上進行實驗時，選用該網絡的傳播率閾值作為實際感染率，并設定痊愈率μ=1，定義節點vi的傳播影響力大小F（i）為以該節點作為初始感染節點直至傳播過程結束時網絡中痊愈節點的個數，從而得到節點傳播能力排序表F。同時為減小誤差，實驗結果取500次實驗的平均值。以dolphins網絡為例，表3給出了各中心性算法及SIR傳播實驗的前十節點排名。由表可知，度中心性、H指數中心性和改進重力中心性的評估結果與SIR傳播實驗結果相差較大，引力模型法、信息熵法以及GPC算法的評估結果與SIR傳播實驗結果較為相似。其中，GPC算法識別的前十節點中有九個與SIR傳播實驗結果相同，且有多個節點排名相同，體現了GPC算法的準確性。

本文通過計算各中心性算法得到的節點重要度排序表與SIR傳播實驗得到的節點傳播能力排序表F的Kendall相關系數^[34]來評價各中心性算法的準確度，其計算公式為

其中：X和Y均為含有n個數的數列;nc和nd分別表示同序對個數與異序對個數。假設X=（x₁，x₂，…，xn），Y=（y₁，y₂，…，yn），令XY=（（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（xn，yn）），在XY中任意選取兩組數（xi，yi）和（xj，yj），i≠j，若有xigt;xj，yigt;yj或xilt;xj，yilt;yj，則稱這兩組數為同序對；若有xigt;xj，yilt;yj或xilt;xj，yigt;yj，則稱這兩組數為異序對；其他情況為非同非異序對。

Kendall相關系數τ值越大，說明該中心性算法得到的節點重要度排序結果與SIR傳播實驗得到的節點傳播能力排序結果越接近，評估的準確度更高。

表4給出了六個網絡中各中心性算法得到的節點重要度排序表與SIR傳播實驗得到的節點傳播能力排序表F的Kendall相關系數τ值。容易看出，除e-mail網絡外，GPC算法與SIR傳播實驗的τ值是最高的，且幾乎都在0.9左右，說明GPC算法得到的節點排序與SIR傳播實驗得到的節點排序高度吻合。綜合來看，GPC算法相比其他算法能更準確評估出網絡中傳播能力較強的節點。

為研究SIR傳播實驗中不同感染率β對各中心性算法評估精度的影響，圖5給出了六個網絡中各中心性算法的節點排序與SIR傳播實驗節點排序的Kendall相關系數τ隨感染率β的變化情況。從感染率變化的角度上看，當感染率較小時，度中心性及信息熵法的τ值要高于其他算法，而當感染率較大時，GPC算法的τ值幾乎是最高的。從不同網絡的實驗結果上看，在jazz、power和facebook網絡中，GPC算法的τ值基本都是最高的。在dolphins和road網絡中，GPC算法的τ值在感染率較小時不如度中心性和信息熵法，而當感染率較大時是最高的。在e-mail網絡中，信息熵法的τ值一直是最高的，GPC算法雖然不如信息熵法，但也好于其他四種算法。整體上看，GPC算法的τ值普遍要高于其他算法，且當感染率β處于網絡傳播率閾值附近時，GPC算法的優勢更加明顯，這進一步驗證了GPC算法的準確性與可靠性。

4.4 時間復雜度分析

表5給出了六種算法的時間復雜度及考慮的網絡信息類型。其中，度中心性與H指數中心性的計算方法簡單，時間復雜度相對較低，但它們不能有效區分不同節點間的重要度差異。改進的重力中心性首先定義一種新的H指數中心性，再通過節點及其鄰居節點的相關信息定義節點的重要度大小。該算法的評估精度相比H指數中心性有了一定提升，然而該算法時間復雜度較高，并不適用于大型網絡。GPC算法從信息傳播角度考慮到節點及其與鄰居節點之間的連接關系，考慮的是網絡的局部信息，且相比引力模型法和信息熵法，GPC算法能更準確評估網絡節點的重要度大小，也能適用于大型網絡。

5 結束語

準確評估網絡節點的重要度對于研究網絡攻擊、信息傳播和疾病免疫等方面具有重要參考價值。為準確度量節點在網絡中的重要度大小，本文從信息傳播的角度考慮到鄰居節點與中心節點間的相互作用，以及相對路徑數對節點間傳輸能力的影響，提出了一種基于引力模型及相對路徑數的節點重要度評估算法。仿真實驗結果表明，本文算法能有效區分網絡中不同節點間的重要度差異，準確識別維持網絡魯棒性和具有較強傳播能力的關鍵節點，同時該算法也能適用于大型網絡。本文算法只是針對靜態的、無權無向的單層網絡，如何設計適用于動態的、加權有向的多層網絡的節點重要度評估算法，是下一步的研究方向。

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