基于改進量子旋轉門人工魚群算法的K-means聚類算法及其應用

摘 要：為改進傳統K-means聚類算法中存在因隨機選擇初始質心而導致聚類結果不穩定且準確度低的缺點，提出基于改進量子旋轉門人工魚群算法的K-means聚類（IQAFSA）算法，通過動態更新量子旋轉門的旋轉角提高下一代更新方向準確度及更新速度。變異策略從傳統的非門改為H門，既增加種群的多樣性，又使全局搜索能力增強;最終使用所改進算法選取K-means的初始質心再進行聚類。通過UCI數據的測試以及在醫學相關數據上的實驗表明，提出的算法具有有效性，準確度較高且收斂速度較快。

關鍵詞：聚類； K-means； 量子人工魚群算法； 量子旋轉門

中圖分類號：TP301.6 文獻標志碼：A

文章編號：1001-3695（2022）03-026-0797-05

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2021.08.0354

基金項目：國家自然科學基金資助項目（61662057，6216070371）

作者簡介：白麗麗（1995-），女（蒙古族），內蒙古通遼人，碩士研究生，主要研究方向為計算智能；宋初一（1965-），男（蒙古族），吉林長春人，副教授，碩士，主要研究方向為智能優化算法；許麗艷（1986-），女（蒙古族），內蒙古通遼人，碩士研究生，主要研究方向為智能優化算法；宋澤瑞（1994-），男，山西長治人，碩士研究生，主要研究方向為計算智能；姜靜清（1968-），女（通信作者），內蒙古通遼人，教授，碩導，博士，主要研究方向為計算智能、模式識別（jiangjingqing@aliyun.com）.

K-means clustering algorithm based on improved quantum rotating gate artificial fish swarm algorithm and its application

Bai Lili^a， Song Chuyi^b， Xu Liyan^b， Song Zerui^a， Jiang Jingqing^a?

（a.College of Computer Science amp; Technology， b.College of Mathematics amp; Physics， Inner Mongolia Minzu University， Tongliao Inner Mongolia 028000， China）

Abstract：To improve the instability and low accuracy of the clustering results caused by random selection of the initial centroid in traditional K-means clustering algorithm， this paper proposed a K-means clustering algorithm（IQAFSA） based on the improved quantum rotated gate artificial fish swarm algorithm. The IQAFSA improved the accuracy of the updating direction and the updating speed in next generation by dynamic updating the rotation angle of the quantum rotating gate. The mutation strategy changed from traditional Not-gate to H-gate， which not only increased the diversity of the population but also enhanced the global search ability. Finally， the improved algorithm was used to select the initial centroid of K-means for clustering. It was tested on UCI dataset and applied on medical related data sets. Experiment results show that the IQAFSA algorithm is effective， higher accuracy and faster convergence.

Key words：clustering; K-means; quantum artificial fish swarm algorithm; quantum rotating gate

0 引言

聚類分析是指將物理或抽象對象的集合分成由類似的對象組成的多個類的過程，是無監督機器學習算法中一項重要的技術，目前廣泛應用于模式識別、圖像處理、異常檢測、信息檢索等領域。K-means聚類是聚類方法中最經典、最簡單也是最普遍使用的方法之一，其最終目的是使類內距離最小、類間距離最大。但是K-means算法的缺點也很明顯：隨機選取初始聚類質心會造成聚類結果不穩定，并且容易陷入局部最優。針對以上缺陷，很多學者提出了改進的K-means聚類算法。

高新^[1]提出了根據鄰域參數Eps統計的數據對象密度選取質心；楊慧婷等人^[2]通過深度信念網絡對數據集進行預處理，降低孤立點和噪聲，從而達到提高聚類準確度的效果；唐東凱等人^[3]提出優化初始聚類中心的改進K-means算法，使用基于密度的離群點檢測來消除孤立點對聚類結果的影響；熊忠陽等人^[4]提出最大距離積法來代替已有的最大最小距離法選取初始質心，得到的結果與傳統K-means聚類結果相比更為有效，但是由于沒有將高密度數據對象所在區域的密度大小作為計算因素，影響了中心點選擇的合理性。

群智能算法是專家學者通過對自然現象或生物覓食、筑巢等行為特征的觀察模仿提出的新穎且高效的優化算法，如遺傳算法（GA）、蟻群優化算法（ACO）、粒子群優化算法（PSO）等。這些算法具有良好的并行性和自主探索性，為解決復雜優化問題提供了新的思路和手段，因此很多學者將群智能算法應用到K-means聚類算法中，更加快速高效地解決問題，得到的聚類效果也有所提升。陳小雪等人^[5]通過引用一種加權的歐氏距離減少異常數據等不確定因素，提出了基于螢火蟲優化的加權K-means算法，提高了算法的收斂速度；葉安新等人^[6]將量子粒子群引入聚類算法中，使聚類結果更加穩定；白小寶^[7]將變長染色體概念引入到量子遺傳聚類算法，并通過實驗證明了新算法的有效性，但是沒有考慮算法的時間性能及隨機產生的聚類中心對結果的影響；文獻[8]將改進的量子粒子群算法與K-means聚類相結合，使用克隆選擇和變異操作提高粒子的多樣性，最終得到較好的聚類效果。K-means算法中隨機選取初始質心會產生不同的聚類結果且準確率較低，即對選取初始質心比較敏感。本文提出一種改進的量子旋轉門人工魚群算法選取質心，再采用K-means算法進行聚類，彌補了K-means算法的缺陷。

1 K-means聚類算法

K-means聚類算法是基于距離的聚類算法，采用距離作為相似性的評價指標，兩個數據點的距離越近，則相似度越大。計算樣本間的距離公式有歐氏距離、曼哈頓距離、余弦相似度等，其中最常用的是歐氏距離。算法基本思想是：先選取K個數據元素作為初始聚類質心；根據元素與所屬聚類中心之間的距離將每個元素分配到離其最近的聚類質心；重復上述操作直到將所有元素全部分配完為止。在每次的迭代過程中，根據每個類中現有的元素重新計算聚類質心，不斷重復此操作直到滿足終止條件為止。

2 基本人工魚群算法及量子人工魚群算法

2.1 基本人工魚群算法

人工魚群算法是李曉磊^[9]于2002年提出的一種新型的智能優化方法，該算法通過模擬魚類的覓食、聚群、追尾、隨機四個行為在搜索域中進行尋優。人工魚群算法原理如下：

a）魚群初始化。設人工魚個體為xi（i=1，2，…，n），人工魚當前的食物濃度表示為Y=f（x），其中Y為目標函數值，人工魚個體之間的距離表示為di，j=xi－xj，i和j為兩條人工魚的編號，visual表示人工魚的感知距離，即視野范圍，step表示人工魚移動的最大步長，δ為擁擠度，try_number為嘗試次數。

b）覓食行為。設當前人工魚為xi，在其感知范圍內隨機選擇另一條人工魚xj，如果在求極大問題中Yilt;Yj （在極小問題中Yigt;Yj），則向該方向前進一步；反之，再重新隨機選擇其他人工魚xj，判斷是否滿足前進條件。這樣反復嘗試try_number次后，如果仍不滿足條件，則隨機移動一步。

c）聚群行為。設當前人工魚為xj，探索當前領域內（即di，jlt;visual）的伙伴數目nf及中心位置xc，如果Yc/nfgt;δYi，表明伙伴中心有較多的食物并且不太擁擠，則朝伙伴的中心位置方向前進一步；否則執行覓食行為。

d）追尾行為。設當前人工魚為xj，探索當前領域內（即di，jlt;visual）的伙伴數目nf及伙伴中Yj為最大的伙伴xj，如果Yc/nfgt;δYi，表示伙伴xj具有較高的食物濃度并且周圍不太擁擠，則朝伙伴xj的方向前進一步；否則執行覓食行為。

e）隨機行為。隨機行為的實現較為簡單，就是在視野范圍內選擇一個狀態，然后向該方向移動。其實它是覓食行為的一個缺省行為，即xi的下一個位置xnext=xi+rand×visual，rand為[-1，1]的隨機數。

2.2 量子人工魚群算法

量子進化算法^[10]是新近發展起來的一種概率進化算法，運用量子的特性如量子比特、量子的糾纏態和疊加態等使問題的解決更加高效。陳曉峰等人^[11]將量子引入人工魚群算法中，用于復雜函數優化及組合優化問題，實驗結果證明算法具有較強的搜索能力和效率。

在量子空間中，量子位即量子比特為最小的信息單元，一個量子比特的狀態可表示為|φ〉=α|0〉+β|1〉，其中α 和β被稱為量子比特的概率幅^[12]，且滿足歸一化條件|α|²+|β|²=1。令α=cosθ，β=sinθ，即量子比特表示為[cosθsinθ]^T，其中θ表示量子比特的相位。

2.2.1 量子人工魚群的編碼

將以上量子的特性運用到人工魚群中，設量子人工魚的種群規模為N，人工魚的位置用概率幅Pi來表示，每個概率幅由單位空間映射到優化問題的解空間中，使每一個概率幅對應一個解空間的優化變量xi。量子人工魚群編碼方式如下：

其中：Pic為余弦位置；Pis為正弦位置；θij為旋轉角；m為空間維度；i∈{1，2，…，N}；j∈{1，2，…，m}。

2.2.2 解空間的變換方法

設優化問題的可行解xi的第j個量子位表示為[cosθijsinθij]^T，對應的解變量為[xⁱjcxⁱjs]^T，且定義域為[aj，bj]，則用線性變換可得到

2.2.3 量子人工魚的位置更新

量子人工魚群的更新方式一般采用量子門進行更新，常用的量子門為量子旋轉門，如式（7）所示。

其中：[cosθ^t+1jsinθ^t+1j]^T為第t+1次迭代的第j個量子位的概率幅; Δθ^t+1j為旋轉角度，其大小和方向一般由查表所得，文獻[13～15]詳細描述了查表方式。

2.2.4 量子人工魚變異

在一些多峰值函數優化問題中，算法容易陷入局部最優值。在量子人工魚群中為了增加人工魚群的多樣性，引入變異操作，通常的變異操作由量子非門實現。

2.2.5 量子人工魚群算法流程

a）初始化量子人工魚群種群規模為N、設置步長step、視野范圍visual、嘗試次數try_number、擁擠度因素δ、變異概率Pm等。

b）計算每個人工魚的適應度值，并記錄在公告板內。

c）執行覓食、聚群、追尾和隨機移動四種行為并評估，確定目標位置后用量子旋轉門進行更新操作。

d）隨機生成0～1的隨機數，并與變異概率Pm作比較，符合條件的利用量子非門進行變異操作。

e）再次計算每個人工魚的適應度值，更新公告板。

f）直到滿足條件或者達到最大迭代次數則停止迭代并輸出結果，否則轉至步驟c）。

3 基于改進量子人工魚群算法的K-means聚類

3.1 改進的量子人工魚群算法

3.1.1 改進量子旋轉門

在量子人工魚群算法中，量子旋轉門的旋轉角Δθ是通過查表所得，是離散且固定的值。而Δθ所旋轉的角度與方向可能會直接影響算法的準確度和收斂速度，且在進行旋轉操作后人工魚的搜索范圍有一定的局限性。因此有很多學者提出改進的量子旋轉門，例如文獻[16]，提出將Rδ門作為染色體的更新機制，本文受到文獻[12，16]更新機制的啟發，提出一種動態更新旋轉角的方法。

其中：ITER為總迭代次數；t為當前迭代次數；Δθp（t）為第t次進行覓食行為后所得到的位置旋轉角增量幅度；Δθc（t）為第t次進行聚群行為后整個人工魚群所得到的中心位置旋轉角增量幅度；Δθg（t）為第t次進行追尾行為后整個人工魚群中目前最優位置的旋轉角增量幅度。式（9）中，將覓食行為、聚群行為、追尾行為執行后的結果與迭代次數動態地結合在一起。根據目前第t代的覓食結果、聚群后群體的中心位置以及群體最優位置來調整下一代人工魚的位置，其優點有：a）根據所得結果動態調整旋轉角，不再需要以查表的方式獲得；b）減少了傳統量子人工魚群中的參數個數，方便計算；c）在每執行一次旋轉角計算后，人工魚的全局和局部最優狀態相互結合，且在覓食行為中包含隨機行為，更好地避免了陷入局部最優的缺點。因此式（9）所改進的Δθ能更加合理地調整人工魚在下一步所要邁進的方向及大小。

3.1.2 變異策略

本文選擇采用Hadamard門——H門對量子人工魚群進行變異操作。H門變換矩陣如下，若把量子態α|0〉+β|1〉寫成向量形式[α β]^T，則H門的輸出為

H門是Hilbert空間轉換，將以|0〉和|1〉為基矢的空間轉換為以|+〉和|-〉為基矢的空間。由于H²=1，如果對一個量子比特連續兩次進行變換，該量子比特就會轉換為原始的狀態，也就是沒有進行量子邏輯運算。

在量子人工魚群算法中，很多學者都采用量子非門進行更新，經過分析發現，量子非門并沒有明顯增加魚群的多樣性^[17]，運用效果并不理想。在文獻[18]所運用量子非門中，因為編碼方式是0和1二進制編碼，所以利用非門的主要目的是將二進制的0、1狀態進行改變，即將原來傾向于塌縮到狀態“1”的量子位轉變為傾向于塌縮到狀態“0”的量子位。而在本文改進的量子魚群算法中，編碼方式為基于θ的角度編碼，因此運用量子邏輯門的目的是將旋轉的方向和角度進行改變。在角度編碼方式下，使用量子非門進行變異，表明旋轉角度為π/2－θij，比起H門，旋轉角度過大，有可能忽略掉最優值，因此選擇運用H門進行變異，變異后等于將量子位順時針旋轉π/4－2θij。在保證不忽略掉最優值的情況下，使得魚群的多樣性增加更加明顯，并將得到的結果運用到量子魚群算法的下一步中，具體H門的變異操作如下：

其中：θij為旋轉角。

3.2 基于改進量子人工魚群算法的K-means聚類

將改進的量子人工魚群算法與K-means算法融合，每一條人工魚代表一組K-means聚類的質心，利用式（12）的適應度函數計算每條人工魚的適應度函數值，采用改進的量子人工魚群算法進行迭代尋優。最終輸出最優的一組量子人工魚作為K-means聚類的初始質心，代替了傳統K-means聚類算法中隨機選取質心的方式。

3.2.1 適應度函數

在聚類算法中，最終目的是使類內的數據相似度盡可能最大，而類間的相似度盡可能最小。因此，通常使用的適應度函數為

其中：K代表聚類數目;i、j計算的是類內各點到該類質心的平均距離;ωi、ωj代表的是第i類和第j類的質心;‖ω₁-ω₂‖²代表的是各類質心之間的距離。如果算法生成的聚類結果朝著類內距離最小（類內相似性最大）和類間距離最大（類間相似性最小）變化，則適應度值越小，即為聚類效果越好。

3.2.2 算法流程

a）輸入需要聚類的M個數據，設置迭代次數T，聚類數目K。

b）對種群規模為N的量子魚群初始化，將所有人工魚量子位設置為π/4，表示初始時量子位為等概率疊加，并設置步長step、視野范圍visual、嘗試次數try_number、擁擠度因素δ、變異概率Pm等。

c）根據式（12）計算每條人工魚的適應度值，并記錄在公告板內。

d）執行覓食、聚群、追尾和隨機移動四種行為并作比較，確定目標位置后用改進的量子旋轉門進行更新操作。

e）隨機生成0～1的隨機數，并與變異概率Pm作比較，符合條件的利用量子H門進行變異操作。

f）對變異后的量子人工魚利用式（6）進行解空間變換，得到實際問題的解。

g）再次根據式（11）計算人工魚的適應度值，與公告板內的值作比較，并作為下一代人工魚群。

h）再次利用量子空間與解空間的變換式（6）進行反向轉換，得出新一代的量子人工魚群，返回步驟d），循環直到達到最大嘗試次數或公告板內的最優值不再變化。

i）選擇最優值，即K個聚類中心作為K-means的初始質心進行K-means聚類操作，循環達到最大迭代次數T，算法結束，輸出聚類結果。

4 仿真實驗及對比分析

4.1 測試函數

表1是本文算法與傳統人工魚群算法、量子人工魚群算法和量子遺傳算法的性能對比結果。在表1中，TB表示最優值、 TW表示最差值、TA表示平均值、CR表示收斂率、s表示平均計算時間。通過測試結果可以看出，Rastrigin函數在最大迭代次數下，獨立運行20次實驗中有19次成功收斂，Schaffer函數在給定的最大迭代次數下，獨立運行20次實驗且全部成功收斂。在測試Rastrigin函數中，四種算法全部找到最優解，普通人工魚群算法收斂次數少，且在20次獨立實驗當中只有兩次找到精確解，而量子人工魚群算法和量子遺傳算法找到精確解的次數較多，收斂次數也明顯增加，成功收斂率為75%左右;而本文改進的量子人工魚群算法達到最優值的情況次數最多，成功收斂率達到95%以上。在測試Schaffer函數中，傳統的人工魚群算法并沒有達到最優值，其他算法均達到，從收斂程度來看，量子人工魚群算法和量子遺傳算法的收斂率分別達到60%和75%左右;而本文改進的量子人工魚群算法收斂程度達到100%，實驗證明本文改進的量子人工魚群算法具有有效性且準確率較高。從時間性能方面可以看出傳統人工魚群算法的用時最短，其次才是本文算法的用時。造成耗時較長的原因是相比于傳統的人工魚群算法，本文算法的參數較多，量子位的空間轉換較為復雜影響了收斂時間。在以后的研究當中，會以時間性能入手再次改進本文算法。

4.2 聚類數據測試

為了使數據的比較更加客觀且有效，本文使用準確率作為聚類評價標準，公式為

聚類準確率=分類正確的樣本數樣本總數（15）

本文所用的實驗數據集均采用UCI數據庫中最常用的三組聚類數據Iris、Wine和Balance-scale，具體信息如表2所示。

算法參數：量子人工魚群N=50，擁擠度因子δ=0.168，步長step=0.3，視野范圍visual=1.5，變異概率Pm=0.05，嘗試次數try_number=50，迭代次數T=100。每個函數獨立運行50次。表3為本文算法與其他對比聚類算法在三個數據集上的聚類性能對比。

從表3可以得出，獨立完成50次實驗的情況下，運用傳統K-means聚類的準確率最低，運用傳統人工魚群解決K-means聚類質心問題準確率有所提高；文獻[3，4]分別引入離群因子和最大距離積法來改進對K-means初始質心敏感的缺點，實驗結果的準確率也有所提高；文獻[8]中引入量子計算后尋優方式有了很大的改變，且在原有的量子計算上有了改進，因此得到的結果要優于前幾個算法。在本文算法中，利用H門來改進算法易陷入局部最優的缺點，以及利用改進的量子旋轉門使種群的尋優過程更加合理。可以看出本文改進算法的準確率與其他算法相比有一定的提高。

圖3～5為六種算法在三個數據集上的收斂圖，可以看出在同等條件下，本文算法在三個數據集中迭代次數分別在第16次、第27次和第46次時就已收斂，相比其他五種算法的收斂速度是最快的，再次表明了本文算法的有效性。

5 本文算法在醫學相關數據方面的應用

5.1 實驗數據選擇

將本文算法運用到有關醫學方面的數據中，數據均采用UCI數據，兩種乳腺癌數據、冠心病數據以及宮頸癌數據，具體信息如表4所示。

5.2 實驗數據對比結果與分析

實驗數據同樣進行式（16）的歸一化處理，聚類的評價標準按式（15）計算。算法參數為：量子人工魚群N=50，擁擠度因子δ=0.168，步長step=0.3，視野范圍visual=2.0，變異概率Pm=0.05，嘗試次數try_number=100，迭代次數T=200。每個函數獨立運行50次。

實驗結果如表5所示。可以看出，當迭代次數為200且獨立運行50次的情況下，本文算法的聚類準確率要高于其他算法。從圖6可以更直觀地看出，引入量子計算后，算法準確率有較明顯的提高，因此在醫學相關數據方面本文算法同樣具有有效性。本文算法選擇改進的量子旋轉門人工魚群算法來尋找初始質心的原因有：a）魚群算法中的聚群、覓食以及追尾行為使得尋優過程簡單、直觀，再加上公告板的特點，使收斂速度隨之加快；b）引入量子計算且運用量子邏輯門H門后，增加了種群的多樣性并改善了魚群算法容易陷入局部最優的缺點，提升了算法尋找全局最優的能力；c）本文所改進的量子旋轉門既將魚群的三種行為有機結合到一起，又考慮到隨著迭代次數的增加，動態調整旋轉角，使得算法更加靈活，收斂速度更快。

6 結束語

在傳統K-means聚類算法中隨機選擇初始質心后，聚類的結果波動大且準確度低。本文提出的基于改進量子旋轉門人工魚群算法的K-means聚類（IQAFSA）能夠優化K-means聚類算法的初始質心選擇。該算法從量子旋轉門進行改進，并將變異策略從傳統的非門改為H門，量子旋轉門的改進是將魚群中的覓食、聚群以及追尾三種行為有機的結合到一起，隨著迭代次數的增加動態地更新旋轉角，使下一代的更新更加合理；而變異策略使用H門的優點在于種群的多樣性增加，即易跳出局部最優又增強了全局搜索能力。通過測試函數、聚類數據測試及最后在醫學相關數據對本文算法進行實驗對比，結果說明本文算法具有有效性、準確度較高、收斂速度較快且具有更好的尋優能力。

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