基于QDP的蝶形量子網絡編碼方案

摘 要：當前已有的蝶形量子網絡方案多數只能完成量子態經公共信道進行交叉傳輸，并且為實現蝶形網絡的量子態無損傳輸，通常需要消耗糾纏資源。結合量子直接傳態方案中態傳輸的方法，提出一種在蝶形網絡中傳輸任意已知單量子態的網絡編碼方案。利用處于基態的單粒子作為量子寄存器，實現每個接收節點均能同時接收到來自全部發送節點發送的不同量子態。整個通信過程不需要使用糾纏資源和測量操作，僅通過各節點執行相關酉操作即可完成通信。并且將該方案擴展至采用多種形式的量子態作為寄存器以及發送節點和接收節點個數更多的情況。

關鍵詞：量子通信； 蝶形網絡； 量子網絡編碼； 量子直接傳態； 酉操作

中圖分類號：TP3 文獻標志碼：A

文章編號：1001-3695（2022）03-034-0841-04

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2021.08.0387

基金項目：國家自然科學基金資助項目（11671284）；四川省科技計劃資助項目（2020YFG0290）

作者簡介：熊思宇（1996-），女，碩士研究生，主要研究方向為量子通信、量子網絡；張群（1997-），女，碩士研究生，主要研究方向為量子糾纏；柏明強（1976-），男（通信作者），教授，主要研究方向為量子信息理論（baimq@sicnu.edu.cn）.

Scheme of butterfly quantum network coding based on QDP

Xiong Siyu， Zhang Qun， Bai Mingqiang?

（School of Mathematical Sciences， Sichuan Normal University， Chengdu 610066， China）

Abstract：Most of the existing schemes about butterfly quantum network can only realize the cross-transmission of quantum states through a public channel. And they often consume entangled resources in order to realize the non-destructive transmission of quantum states in a butterfly network. This paper proposed a quantum network coding scheme for transmitting arbitrary known single quantum state in a butterfly network. It combined the transmission process of quantum states in the quantum direct portation scheme. This scheme used single particles in the ground state as the quantum registers. Each receiving node could receive different quantum states from all sending nodes at the same time. The entire communication process did not require the use of entanglement resources and measurement operations. It could complete the communication through the relevant unitary operations performed by each node. The scheme extends to two other situation. One is that the quantum register has a richer form， and another is that the number of sending and receiving nodes is more.

Key words：quantum communication; butterfly network; quantum network coding; quantum direct portation; unitary operation

0 引言

1984年，Bennett和Brassard提出了第一個有關量子通信的協議（BB84協議^[1]），該協議通過使用非正交的單光子實現了無條件安全的量子密鑰分發。 隨著對量子通信領域探索的深入，Bennett等人^[2]首次提出了“量子隱形傳態”的概念。一個未知的任意單量子態可利用糾纏的EPR對作為量子信道進行傳輸，此開創性的發現極大地激起了有關學者對量子通信技術的興趣。進而基于量子隱形傳態的各類通信協議被相繼提出，如量子秘密共享^[3，4]、 量子遠程態制備^[5，6]、量子安全直接通信（QSDC） ^[7]等。其中，傳輸已知態的量子遠程態制備方案可通過使用更為簡單的測量和更少的經典通信成本，完成與隱形傳態相同的量子任務。而QSDC相比于量子密鑰分發，具有不需要通信雙方事先共享密鑰，可直接通過量子信道進行秘密信息傳遞的優點。具有代表性的QSDC協議有基于糾纏對的兩步QSCD協議^[8]和基于單光子的DL04協議^[9]。與此同時，有關量子通信網絡的研究也被人們所廣泛關注^[10～12]。

與經典網絡信息傳輸一樣，量子通信網絡中公共信道在傳輸量子信息時也會遇到瓶頸問題（如多個消息到達同一節點后不能被同一時間發送出去，造成部分信息延遲）。常用于研究瓶頸問題的網絡模型為蝶形網絡模型^[13]。對于經典通信網絡，Ahlswede等人^[14]提出了網絡編碼的概念（本文稱中間節點中具有編碼功能的網絡為編碼網絡）。在編碼網絡中，中間節點可通過對信息編碼來提高多播網絡的容量。相較于一般網絡，蝶形編碼網絡中信息的傳輸可有效避免瓶頸問題。

基于經典網絡編碼的思想，Hayashi等人^[15]提出了第一個關于量子通信網絡的編碼方案（XQQ方案）。該方案結合量子隱形傳態，實現了兩個量子比特在蝶形網絡中的交叉傳輸。由于受到量子不可克隆定理^[16]的限制，該方案需要以犧牲保真度^[17]為代價來完成量子傳輸。為實現量子態的無損傳輸，Hayashi^[18]于次年提出的量子網絡編碼方案， 讓兩個發送方之間共享處于最大糾纏態的糾纏對，同樣可實現兩量子比特交叉通過瓶頸節點。由于最大糾纏態在傳輸中很難長時間存在，文獻[19]提出發送節點共享非最大糾纏態的量子網絡編碼方案。因非最大糾纏態比最大糾纏態更穩定，所以該方案的魯棒性更強。在量子網絡編碼發展的過程中，也有許多學者將其與其他量子技術相結合進行研究^[20～22]。

除了利用隱形傳態思想的量子網絡編碼方案，基于量子遠程態傳輸已知態原理的量子網絡編碼方案也逐漸出現。Jiang等人^[23]使用GHZ態作為量子信道，提出了關于任意兩量子比特態的遠態制備的量子網絡編碼方案。Liu等人^[24]設計的基于遠程量子態制備的量子網絡編碼方案，在兩對發送方與接收方之間建立共享的糾纏資源態，并在經典信道的輔助下，可在接收節點處遠程制備已知態。與已有方案相比，該方案對量子資源的利用效率更高。

然而，目前已有的量子網絡編碼方案大多只能實現兩個量子態在蝶形網絡中的交叉傳輸，接收節點只能收到來自一個發送節點的態。而對于接收方需要同時收到來自不同發送方的不同量子態的情況研究甚少，并且大多數量子網絡編碼方案中態傳輸的過程需要消耗糾纏資源。在實際應用中，糾纏態的制備和操作較單量子態要困難許多。文獻[25]給出了量子直接傳態（QDP）方案，提出了一種基于DL04協議的直接傳輸方法，可實現不使用糾纏態，安全地對任意量子態進行傳輸。能否構造一種量子網絡編碼方案在實現同一接收節點處可接收來自不同發送節點的不同量子態的同時，不消耗糾纏資源？

本文將量子網絡編碼與QDP方案的量子態傳輸過程相結合，利用量子寄存器^[26]，提出了一種全新的在蝶形編碼網絡中傳輸任意已知態的方案。并對該編碼方案從量子寄存器形式更豐富，發送方和接收方個數更多兩個方面進行擴展。

1 預備知識

1.1 單量子態和酉操作

1.2 蝶形網絡編碼

蝶形網絡模型如圖1所示，其中圖1（a）采用經典網絡編碼，而圖1（b）使用量子網絡編碼。

圖1（a）所示的經典網絡編碼方案中，通過中間節點N₁對來自發送節點S₁和S₂的經典信息a和b進行編碼處理，有效解決了蝶形網絡中的瓶頸問題，進而接收節點T₁和T₂可同時收到來自兩個不同發送節點的信息。

圖1（b）所示的量子網絡編碼方案中，兩個發送節點事先共享兩個糾纏對，借助量子隱形傳態的思想，對處于糾纏態中的粒子與處于待傳態的粒子進行Bell基^[27]聯合測量（兩個發送節點選擇的粒子應處于不同糾纏對）。測量結束后，S₁和S₂將結果采用兩比特經典信息編碼為X₁和X₂，發送給中間節點N₁。N₁將X₁和X₂編碼為F，傳輸給中間節點N₂。再通過N₂對F進行復制，將經典信息G₁和G₂分別發送給接收節點T₂和T₁。同時，發送節點需將自己擁有的另一個未測量粒子E₁和E₂各自分別地發送給兩個接收節點。接收節點收到粒子和經典信息后，執行相應的酉操作，即可實現量子態在蝶形網絡中的交叉傳輸（傳輸完成后，T₁收到來自S₂的|φ₂〉，T₂收到來自S₁的|φ₁〉）。

2 QDP方案

在QDP方案^[25]中，針對不同類型的單量子態（復系數態、赤道態和實系數態），發送方Alice選取的酉操作有所不同。下面，對QDP方案進行簡要描述。

3.2 方案擴展

在QDP方案中，對于三種不同形式的待傳單量子態，可保留的單光子種類有所不同。基于此，可通過部分調整上述蝶形編碼網絡傳輸方案，使各節點可采用量子寄存器的形式更加豐富。若發送節點St需要傳輸的態為赤道態|φt〉=1/2（|0〉+eⁱt|1〉），上述方案中各節點可選擇處于態|+〉或|-〉的單光子作為量子寄存器，酉操作Uφt變為RZ（φt）=|0〉〈0|+eⁱt|1〉〈1|。若發送節點St需要傳輸的態Uφt為實系數態，各節點處統一的量子寄存器可在態集合F={|0〉，|1〉，|+〉，|-〉}中自由選擇，酉操作Uφt為Uφt=a-bba。顯然，量子寄存器的形式豐富之后，接收Tt處需要進行相應的局域操作作為“代價”，具體的局域操作形式由QDP方案很容易獲得。

上一節給出的已知單量子態的蝶形網絡編碼方案亦能擴展到發送節點和接收節點數量更多的情況。如圖3所示，以發送節點和接收節點個數為例，假設發送節點St（t=1，2，3）需要傳輸的單量子態為|φt〉，為實現接收方Tt同時收到態|φ₁〉、|φ₂〉和|φ₃〉。每個發送節點需提前準備兩個量子寄存器;中間節點N₁需擁有三個量子寄存器;N₂需擁有六個量子寄存器。同時，每個接收節點處需提前準備兩個量子寄存器。

傳輸開始后，發送節點St分別對自己所擁有的兩個量子寄存器Rt和Rt+3執行酉操作Uφt。操作后，Rt和Rt+3變為R′t和R′t+3，并被分別發送給接收節點Tt和中間節點N₁。中間節點N₁通過對比可得到酉操作Uφ₁、Uφ₂和Uφ₃，并將其組合作用于自己所擁有的量子寄存器。作用后， 寄存器變為

4 方案對比

現有的量子網絡編碼方案主要有基于隱形傳態的編碼方案和基于遠程態制備的編碼方案兩種類型。本文所給的基于QDP的編碼方案是一種不同于已有類型的第三種新型方案。這三種不同類型編碼方案的對比情況在表1中給出。其中，基于隱形傳態的編碼方案以文獻[15，30]為代表，基于遠程態制備的編碼方案以文獻[23]為例。

文獻[15]基于確定性量子隱形傳態，通過消耗兩個單比特和兩對處于Bell態的兩比特，實現了單比特未知態在蝶形網絡中的交叉傳輸，該傳輸過程會造成信息損失。為彌補這一缺陷，文獻[30]采用同樣的量子資源，結合概率性傳態的思想，提出了單比特未知態在蝶形網絡中的無損交叉傳輸方案。與這兩個傳輸未知態的方案不同，文獻[23]以傳輸兩比特已知態為目的，消耗四組處于GHZ態的三比特，完成了兩比特已知態的交叉傳輸。其設計思想為量子遠程態制備。

通過比較容易發現，上述兩種已有的編碼類型都需要消耗一定數量的糾纏態，并且傳輸過程不可避免地需要對粒子進行測量。而在同一蝶形網絡中，采用本文方案可以避免糾纏資源的使用，并且無須對相關量子態進行測量。

需要注意的是，已有兩種類型的編碼方案通過中間節點編碼傳輸的是經典信息，而本文方案需要中間節點也具備量子比特的接收和傳送功能。全部傳輸完成后，本文方案中的單個接收節點可同時收到來自兩個發送節點的未知態，而另外兩種類型方案中單個接收節點只能收到來自一個發送節點的已知或未知態。

5 結束語

實際糾纏資源的制備和操作都相對不易，如果通信過程中不使用糾纏資源，則必將提高通信效率。本文方案不使用糾纏資源，且能解決目前量子網絡編碼只能實現交叉傳輸的問題。該方案可擴展至量子寄存器形式更豐富、發送和接收節點個數更多兩種情況。然而，增加節點之后，需要使用量子寄存器的個數也會進行較大程度的增加，不利于量子資源的節約。下一步可以思考增加節點，減少量子寄存器個數，進而對方案進行優化。

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