數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)話題之八：數(shù)的擴(kuò)充

劉勁苓：今天我們一起來聊一聊數(shù)。

趙岳梅：數(shù)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容之一。據(jù)我所知，最早提出數(shù)的重要性的是古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他們認(rèn)為數(shù)統(tǒng)治著宇宙，數(shù)學(xué)之美在于用有理數(shù)能解釋一切自然現(xiàn)象，即“萬物皆數(shù)”。

劉勁苓：這其實(shí)是把數(shù)神化了。考古研究表明，在有文字記載以前就有了數(shù)的概念。人類的祖先在漫長(zhǎng)的生活實(shí)踐中，出于記事和分配等需要，逐漸抽象出了數(shù)。古希臘人用小石子記錄牲畜的頭數(shù)或部落的人數(shù)，比如，捕到一頭野牛，就用1塊石子表示；捕到3頭，就用3塊石子表示。現(xiàn)在使用的英語單詞“calculate（計(jì)算）”就是從希臘文的“calculus（石卵）”演變而來的。后來人們發(fā)現(xiàn)石子容易滾動(dòng)，不易保存，于是逐漸發(fā)展為用繩結(jié)來記數(shù)，“結(jié)繩記事”是世界上許多地區(qū)使用過的記數(shù)方法。《周易·系辭下》中記載：“上古結(jié)繩而治，后世圣人，易之以書契”說的就是上古時(shí)期人們用繩打結(jié)記數(shù)或記事，后來讀書人才用符號(hào)記數(shù)去代替它。傳說，古代波斯王打仗時(shí)也是用繩子打結(jié)來記錄天數(shù)的。

趙岳梅：但結(jié)繩記數(shù)仍有很多不便之處，于是人們逐漸改為用刻痕記數(shù)，或是把小棍擺在地上記數(shù)。這些記數(shù)方法逐漸發(fā)展成用符號(hào)記數(shù)。同時(shí)，人們也逐漸認(rèn)識(shí)到雖然能夠?qū)懗鰜淼臄?shù)是有限的，但自然數(shù)是無限多的。

劉勁苓：漸漸地，隨著生產(chǎn)的發(fā)展和生活的需要，人們發(fā)現(xiàn)僅僅用自然數(shù)表示事物的多少已經(jīng)不夠了。比如5個(gè)人分4件東西，每個(gè)人分得多少呢？用自然數(shù)就無法表示了，于是分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生就成了必然。人們將自然數(shù)（包括零）和分?jǐn)?shù)，稱為算術(shù)數(shù)，非零自然數(shù)也稱為正整數(shù)。

趙岳梅：是啊！整數(shù)和分?jǐn)?shù)的誕生標(biāo)志著有理數(shù)體系的基本形成。我們知道，中國(guó)是世界上最早使用負(fù)數(shù)概念并建立負(fù)數(shù)運(yùn)算法則的國(guó)家，那么負(fù)數(shù)到底是怎樣產(chǎn)生的呢？

劉勁苓：其實(shí)，很早之前，古人對(duì)相反意義的量就有了朦朧的意識(shí)，戰(zhàn)國(guó)時(shí)期就出現(xiàn)了使用負(fù)數(shù)的實(shí)例。隨著社會(huì)的發(fā)展，這種朦朧的意識(shí)越來越清晰。人們?yōu)榱吮硎具@樣的量，引進(jìn)了負(fù)數(shù)，并將正整數(shù)、負(fù)整數(shù)和零統(tǒng)稱為整數(shù)。如果再加上正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)，就統(tǒng)稱為有理數(shù)。數(shù)的范圍被擴(kuò)充了，在有理數(shù)范圍內(nèi)加、減、乘、除（除數(shù)不為零）四則運(yùn)算暢通無阻，計(jì)算更方便了。不過，數(shù)的擴(kuò)充不是一帆風(fēng)順的，無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)過程就經(jīng)歷了一些曲折，甚至導(dǎo)致了數(shù)學(xué)歷史上的第一次數(shù)學(xué)危機(jī)：邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)度是不是一個(gè)數(shù)？如果它是一個(gè)數(shù)，卻不能用兩個(gè)整數(shù)的比寫出來（“無理數(shù)”原本是“不可公度數(shù)”，這種數(shù)不能寫成兩個(gè)整數(shù)之比）；如果它不是一個(gè)數(shù)，卻客觀存在，那它究竟是什么？

趙岳梅：雖然后來的人們接受了無理數(shù)，但無理數(shù)的最初發(fā)現(xiàn)者，畢達(dá)哥拉斯的學(xué)生希帕索斯，為此付出了生命的代價(jià)。當(dāng)時(shí)的危機(jī)狀況，從“無理數(shù)”這個(gè)名字中就已依稀可見。如果把有理數(shù)的個(gè)數(shù)比作米粒的大小，那無理數(shù)的個(gè)數(shù)甚至可以比作整個(gè)太陽系的大小，這樣對(duì)比或許還不夠呢！因?yàn)橛欣頂?shù)是“可數(shù)的”，而無理數(shù)是“不可數(shù)的”。小學(xué)階段，我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了無限循環(huán)小數(shù)，而無理數(shù)則是“無限不循環(huán)小數(shù)”，我們熟悉的圓周率π就是其中之一。數(shù)還有進(jìn)一步的擴(kuò)充嗎？

劉勁苓：由于數(shù)的范圍擴(kuò)大，各種數(shù)學(xué)理論的研究得以深化。19世紀(jì)，許多人認(rèn)為數(shù)學(xué)的發(fā)展已經(jīng)達(dá)到登峰造極的境地，數(shù)的范圍不會(huì)再擴(kuò)充了。但事實(shí)并非如此，人們?cè)诮夥匠虝r(shí)常常需要開平方，如果被開方數(shù)是負(fù)數(shù)，這道題還有解嗎？如果沒有解，數(shù)學(xué)運(yùn)算就像進(jìn)入了死胡同。數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，只要規(guī)定-1存在平方根，那么，一切運(yùn)算就可以順利進(jìn)行了。于是規(guī)定用符號(hào)“i”表示“-1”的一個(gè)平方根，即i2=-1，虛數(shù)就這樣誕生了。“i”成了虛數(shù)單位，將實(shí)數(shù)和虛數(shù)i結(jié)合起來，寫成a+bi的形式（a、b均為實(shí)數(shù)），這就是復(fù)數(shù)，數(shù)的范圍再一次擴(kuò)大。并且，數(shù)學(xué)家把復(fù)數(shù)在平面直角坐標(biāo)系中表示出來，成為直觀可見的，促進(jìn)了復(fù)數(shù)的發(fā)展。但在很長(zhǎng)一段時(shí)間里，人們?cè)趯?shí)際生活中找不到可用虛數(shù)表示的量，導(dǎo)致許多數(shù)學(xué)家不承認(rèn)虛數(shù)，而隨著科學(xué)的發(fā)展，虛數(shù)在流體力學(xué)、電磁學(xué)、地圖學(xué)和航空學(xué)上逐漸有了廣泛的應(yīng)用，科學(xué)家眼中的虛數(shù)變得一點(diǎn)也不“虛”了。有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)，雖然無理數(shù)的出現(xiàn)擴(kuò)大了數(shù)的范圍，但是實(shí)數(shù)的加、減、乘、除（除數(shù)不為零）四則運(yùn)算的封閉性在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然保持。實(shí)數(shù)和虛數(shù)統(tǒng)稱為復(fù)數(shù)，數(shù)的范圍擴(kuò)充到復(fù)數(shù)域，它對(duì)加、減、乘、除、乘方、開方這“六則”運(yùn)算依然是封閉的，但是一般來說，兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小。

趙岳梅：這么說來，數(shù)的概念發(fā)展到復(fù)數(shù)域，是不是所有的數(shù)都已經(jīng)被我們發(fā)現(xiàn)了呢？

劉勁苓：在很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)，不少數(shù)學(xué)家認(rèn)為數(shù)的家族成員已經(jīng)都到齊了。然而，1843年10月16日，英國(guó)數(shù)學(xué)家哈密爾頓又提出了“四元數(shù)”的概念——復(fù)數(shù)僅有兩個(gè)單位1與i，而四元數(shù)有四個(gè)單位1，i，j，k，滿足i2=j2=k2=-1，i·j=k，j·k=i，k·i=j，j·i=-k，k·j=-i，i·k=-j。一般的四元數(shù)的形式是a+bi+cj+dk，其中a，b，c， d是實(shí)數(shù)，稱為四元數(shù)的系數(shù)，j、k類似于虛數(shù)單位i。人們將復(fù)數(shù)域擴(kuò)充后得到的數(shù)系稱為超復(fù)數(shù)系，四元數(shù)系是其中一個(gè)超復(fù)數(shù)系。不過，四元數(shù)的乘法運(yùn)算不再滿足交換律，因而有“左乘”和“右乘”，“左除”和“右除”的區(qū)別，如i·j=k，但j·i=-k。這個(gè)體系丟失了許多數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，因此人們通常不把它當(dāng)成一般意義的數(shù)。也許，你會(huì)想到是否還有“三元數(shù)”“五元數(shù)”？

趙岳梅：這些數(shù)真是深?yuàn)W又有趣！“四元數(shù)”在哪些方面有應(yīng)用呢？

劉勁苓：四元數(shù)理論在數(shù)論、群論、量子理論以及相對(duì)論等領(lǐng)域都有應(yīng)用。由于科學(xué)技術(shù)發(fā)展的需要，向量、張量、矩陣以及抽象的群、環(huán)、域中的元素等新的數(shù)學(xué)對(duì)象不斷產(chǎn)生，它們也都可以運(yùn)算。這些新的數(shù)學(xué)對(duì)象可列入數(shù)的范疇，但若歸入超復(fù)數(shù)中則不合適，所以，有些人將復(fù)數(shù)和超復(fù)數(shù)統(tǒng)稱為“狹義數(shù)”，把向量、張量、矩陣等稱為“廣義數(shù)”。盡管人們對(duì)數(shù)的歸類還有一些分歧，但對(duì)于“數(shù)的概念還會(huì)不斷擴(kuò)充”的認(rèn)識(shí)是一致的。

趙岳梅：數(shù)，簡(jiǎn)單地說是數(shù)學(xué)最基礎(chǔ)的組成部分，深入地看才能發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)之美。數(shù)最初從生活中誕生，隨著生活的變化和數(shù)學(xué)自身的發(fā)展又不斷得到擴(kuò)充。如何讓學(xué)生從文化層面了解數(shù)、喜歡數(shù)、運(yùn)用數(shù)，溝通數(shù)的關(guān)系，構(gòu)建數(shù)的網(wǎng)絡(luò)呢？如何把數(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展的內(nèi)容滲透到課堂教學(xué)中？還請(qǐng)劉老師講講您的看法。

劉勁苓：數(shù)的概念是在人認(rèn)識(shí)和改造自然、社會(huì)的過程中自然產(chǎn)生的。教學(xué)中要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)源于生活，是從人的需要中產(chǎn)生的。人教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)《數(shù)的認(rèn)識(shí)總復(fù)習(xí)》一課，就給學(xué)生提供了了解數(shù)的概念形成和發(fā)展的好機(jī)會(huì)。

趙岳梅：您說得對(duì)。我在教學(xué)這節(jié)課前，先讓學(xué)生把學(xué)過的數(shù)梳理出來。學(xué)生根據(jù)教材中提示的方法，大多從“有什么”“是什么”和“數(shù)之間的聯(lián)系”進(jìn)行了總結(jié)。了解了學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，我們就可以讓學(xué)生從數(shù)學(xué)文化的層面去了解數(shù)，也可以讓學(xué)生從數(shù)的產(chǎn)生的角度去了解數(shù)，通過讓學(xué)生匯報(bào)他們的整理結(jié)果，嘗試在課堂上滲透數(shù)學(xué)文化。

劉勁苓：這一段的教學(xué)很有價(jià)值，因?yàn)閿?shù)的產(chǎn)生源于生活需要，讓小學(xué)生從生活經(jīng)驗(yàn)中感受數(shù)域拓展的必要性，教學(xué)就更順理成章。數(shù)從產(chǎn)生起就不是孤立靜止的，它反映了客觀事物量的發(fā)展變化及聯(lián)系，運(yùn)算由此產(chǎn)生。運(yùn)算賦予數(shù)新的內(nèi)容，運(yùn)算中的矛盾往往孕育著新的數(shù)，甚至成為產(chǎn)生新數(shù)的起點(diǎn)。在教學(xué)中是怎么體現(xiàn)的呢？

趙岳梅：我從學(xué)生認(rèn)知出發(fā)，讓學(xué)生感受數(shù)的擴(kuò)充不僅出于“生活需要”，也出于數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需要，即“運(yùn)算需要”，是這樣教學(xué)的：

師：“數(shù)源于數(shù)”，從“數(shù)”這個(gè)字的發(fā)音，也能體現(xiàn)這個(gè)意思——既念四聲，又念三聲。剛才同學(xué)們介紹數(shù)的歷史時(shí)，各種各樣的數(shù)是不是都是在計(jì)算中產(chǎn)生的？所以，數(shù)不僅是從生活中產(chǎn)生的，也是從運(yùn)算中產(chǎn)生的。想想看，什么樣的運(yùn)算會(huì)產(chǎn)生新的數(shù)呢？誰能舉個(gè)例子來說明？

生：比如計(jì)算3+2和3×2，得出的5和6都是整數(shù)。到計(jì)算3÷2，得出的1.5就是小數(shù)了。

師：看來運(yùn)算真的能夠推動(dòng)新數(shù)的產(chǎn)生，這個(gè)同學(xué)舉的例子對(duì)你有啟發(fā)嗎？還有什么樣的運(yùn)算產(chǎn)生了新的數(shù)呢？

生：還有計(jì)算2÷3，得出了分?jǐn)?shù)。2-3=-1又出現(xiàn)了負(fù)數(shù)。

生：3-3=0。數(shù)數(shù)的時(shí)候是從1開始數(shù)起的，沒有0，我覺得0就是在減法中產(chǎn)生的。

這個(gè)環(huán)節(jié)之后，我引用德國(guó)數(shù)學(xué)家克隆內(nèi)克的話：“上帝創(chuàng)造了自然數(shù)，其余的數(shù)都是人造的”，引導(dǎo)學(xué)生闡述對(duì)這句話的理解，從而認(rèn)識(shí)“科學(xué)理論與實(shí)踐辯證的統(tǒng)一推動(dòng)了數(shù)的發(fā)展”。

劉勁苓：運(yùn)算需要是推動(dòng)數(shù)的擴(kuò)充的重要因素，但直接對(duì)六年級(jí)的學(xué)生這樣說，他們肯定是難以理解的，所以這一段的處理可從“挖掘數(shù)學(xué)之根”的角度，讓學(xué)生全面認(rèn)識(shí)“數(shù)的擴(kuò)充”。

趙岳梅：學(xué)生對(duì)“數(shù)”是有認(rèn)知基礎(chǔ)的，但是數(shù)域擴(kuò)充后，一談到分類，就有不少問題讓人糾結(jié)。比如說，整數(shù)和分?jǐn)?shù)是不是同一種數(shù)？小數(shù)和分?jǐn)?shù)有什么關(guān)系？正數(shù)和負(fù)數(shù)中又有整數(shù)和分?jǐn)?shù)，怎樣分類才好？等。如何讓學(xué)生正確地進(jìn)行分類呢？

劉勁苓：這部分可以采用“講授法”和“生成法”相結(jié)合的教學(xué)方式，依據(jù)學(xué)生的討論情況，直接將分類標(biāo)準(zhǔn)提出來；或者當(dāng)有學(xué)生提出一種分類，就順勢(shì)引導(dǎo)他們“按形式分”還是“按大小分”即可。總之，形成初級(jí)分類網(wǎng)絡(luò)是教學(xué)的重點(diǎn)。

趙岳梅：我根據(jù)數(shù)的不同表示，設(shè)計(jì)了一個(gè)“猜數(shù)游戲”環(huán)節(jié)，一方面可以讓學(xué)生復(fù)習(xí)前面學(xué)習(xí)的內(nèi)容，另一方面可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，數(shù)的同樣表達(dá)在不同理解之下，有著不同的含義。

（出示猜數(shù)游戲：一個(gè)三位數(shù)，個(gè)位數(shù)是最小的正整數(shù)，十位數(shù)是在0.5到1.5之間的整數(shù)，百位數(shù)比既不是正數(shù)又不是負(fù)數(shù)的數(shù)大1）

師：這個(gè)數(shù)是多少？

生：一百一十一。

師：（板書111，指板書）你確定這個(gè)數(shù)就是一百一十一嗎？它可能表達(dá)別的意思嗎？

（學(xué)生討論。）

師：有沒有人認(rèn)為這個(gè)數(shù)是七？

（學(xué)生驚奇地感嘆，小聲討論。）

師：這個(gè)數(shù)在十進(jìn)制的情況下表示一百一十一，但是在二進(jìn)制的情況下……

生：二進(jìn)制（的情況下）表示七。

師：有的同學(xué)學(xué)過二進(jìn)制數(shù)，111這個(gè)數(shù)也可以表示七，不同的是，它是二進(jìn)制的表示方法了。這個(gè)小游戲告訴我們什么呢？

生：一個(gè)數(shù)從不同的角度看可以代表不同的意義。

劉勁苓：學(xué)生對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)應(yīng)該是多元的，盡管小學(xué)階段重點(diǎn)學(xué)習(xí)的是“十進(jìn)位值制”，但是后續(xù)的學(xué)習(xí)中會(huì)接觸到數(shù)的其他進(jìn)位制。所以這個(gè)設(shè)計(jì)承上啟下，很有價(jià)值。

趙岳梅：在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化，能讓學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)，喜歡數(shù)學(xué)，體會(huì)到數(shù)學(xué)之美。感謝劉老師的分享，我們還要繼續(xù)挖掘教材內(nèi)容的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵，使數(shù)學(xué)課堂更加精彩！

劉勁苓：謝謝，再見！

（劉勁苓，特級(jí)教師，北京市西城區(qū)教育研修學(xué)院，郵編：100031；趙岳梅，北京市西城區(qū)進(jìn)步小學(xué)，郵編：100044）

*本文系北京市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2018年度一般課題“小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中‘文以化人’的育人研究”（課題批準(zhǔn)號(hào)：CDDB18182）成果之一。