基于應(yīng)變測量的彈性薄板變形場重構(gòu)方法

張佳明， 王文瑞， 陸 宇

（北京科技大學a.機械工程學院；b.流體與材料相互作用教育部重點實驗室，北京100083）

0 引 言

目前世界許多國家都在爭先發(fā)展航天事業(yè)，對外太空展開更深層次的探索與研究，因此對在軌衛(wèi)星提出更高的要求，導致衛(wèi)星結(jié)構(gòu)日趨復(fù)雜化和微型化，使得衛(wèi)星結(jié)構(gòu)狀態(tài)哪怕是細微的變化也越來越受到關(guān)注［1-2］。星敏感器作為星上最精密的測量部件，對衛(wèi)星的姿態(tài)測量和控制非常重要，星敏安裝板是星敏感器的重要支撐部件，安裝板的輕微變形將影響整個系統(tǒng)的控制精度，成為潛在的危險因素［3-4］。由于受空間條件和工作環(huán)境的影響，難以通過位移傳感器直接測量安裝板的變形。基于光學成像的非接觸式變形測量受到光路布置與星體振動的影響，同樣受到限制［5-7］，光纖布拉格光柵（FBG）的傳感器具有體積小、抗電磁干擾，能進行多參量分布式測量等優(yōu)點，廣泛應(yīng)用于航空航天測量。

隨著結(jié)構(gòu)變形監(jiān)測技術(shù)的發(fā)展，應(yīng)變監(jiān)測的變形場重構(gòu)算法引起了人們廣泛關(guān)注。文獻［8-10］中基于離散應(yīng)變測點數(shù)據(jù)進行積分來估算梁的變形位移，稱之為KO位移理論法。Amal等［11］提出了一種基于Delaunay三角剖分的非曲線重構(gòu)方法。Adnan等［12］結(jié)合海洋工程中的逆向有限元方法，提出了一種4節(jié)點四邊形反殼單元（iQS4），用于監(jiān)測結(jié)構(gòu)的位移和應(yīng)力。Armen等［13］通過實驗和有限元分析的方法對比分析模態(tài)轉(zhuǎn)換方法對于星敏安裝板結(jié)構(gòu)變形重構(gòu)精度的影響。在國內(nèi)，劉蘇州等［14］利用3次B樣條插值函數(shù)重構(gòu)了梁的應(yīng)變場。王勇則［15］基于B樣條插值方法開展了矩形梁的動力學特性分析。許世龍［16］利用Kirchhoff薄板理論對大型雷達天線陣面變形場進行了重構(gòu)。袁慎芳［17］利用KO變形理論并結(jié)合光纖光柵技術(shù)對結(jié)構(gòu)梁式機翼變形監(jiān)測方法展開研究，并根據(jù)有限元分析結(jié)果驗證變形重構(gòu)方法的準確性。

然而，上述重構(gòu)方法對應(yīng)變傳感器數(shù)量要求較高，難以實現(xiàn)特定約束條件的結(jié)構(gòu)三維變形重構(gòu)。同時，現(xiàn)有的基于曲率的變形重構(gòu)方法僅適用于小撓度變形，而薄板容易產(chǎn)生大撓度變形。因此，上述重構(gòu)方法遠遠不能滿足工程測量要求。本文采用幾何模型分析、實驗監(jiān)測和實驗驗證的方法解決彈性薄板的撓曲變形問題。通過推導應(yīng)變-曲率-變形的關(guān)系并進行實驗驗證，提出了基于應(yīng)變監(jiān)測的變形場重構(gòu)方法。該方法將為薄板變形測量在工程領(lǐng)域的應(yīng)用提供重要依據(jù)。

1 曲率迭代法的變形場重構(gòu)算法

本研究對象是一塊四邊固定、中間加載的彈性薄板，尺寸為1 000 mm×1 000 mm×3 mm。圖1所示為薄板受力示意圖，星敏支架和星敏感器主要對安裝板施加垂直于薄板表面的橫向載荷，本文主要研究薄板承受橫向載荷作用下的z向變形問題。

圖1 彈性薄板受力示意圖

彈性薄板的變形與梁結(jié)構(gòu)不同，受多邊約束，受力狀態(tài)復(fù)雜，彈性薄板在側(cè)向荷載作用下具有以下變形模式：①最大變形小于板厚的1/5時，薄板受到較小的撓度變形。在這種情況下，彈性薄板的變形完全是由彎曲引起的，也稱純彎曲變形。此時，薄板的表面應(yīng)變?yōu)閺澢鷳?yīng)力產(chǎn)生的應(yīng)變。②最大變形大于板厚的1/5時，薄板受到較大的撓度變形。在這種情況下，彈性薄板的變形是由拉伸和彎曲共同引起的，也稱為大撓度變形。此時，薄板的表面應(yīng)變?yōu)閺澢鷳?yīng)力和拉應(yīng)力產(chǎn)生的應(yīng)變。本文分別研究了小撓度和大撓度變形場的重構(gòu)算法。

1.1 小撓度變形的曲率迭代法

小撓度變形屬于純彎曲變形，從幾何角度看，變形曲線可以通過曲率法間接得到。首先分析應(yīng)變與曲率的關(guān)系，然后通過幾何推導得到曲率與變形的關(guān)系。這樣便可以間接得到應(yīng)變與變形的關(guān)系，實現(xiàn)變形場的重構(gòu)。

圖2所示為薄板純彎曲變形前、后的截面圖。圖中：s為彎曲前長度，mm；h為彈性板厚度，mm；ρ為純彎曲變形后的曲率半徑，mm；θ為彎曲變形后的圓心角。

圖2 薄板純彎曲變形截面圖

假設(shè)上表面的延伸率為Δs，則上表面的應(yīng)變

因為中性面的長度在純彎曲變形前后無變化，根據(jù)圓心角之間的關(guān)系，得到：

假設(shè)曲率為K，根據(jù)曲率與曲率半徑的關(guān)系，得到：

根據(jù)式（1）、（3）可推導出應(yīng)變與曲率的關(guān)系，

在應(yīng)變測量實驗中，應(yīng)變傳感器以陣列的形式布置在彈性板表面，應(yīng)變傳感器陣列為平行線，每條平行線設(shè)置一個應(yīng)變測點。以一條直線上i個離散點的應(yīng)變?yōu)閷ο螅瑢㈦x散點的應(yīng)變轉(zhuǎn)化為離散點的曲率。然后用逐點迭代法計算每個離散曲率點對應(yīng)的坐標位置，重構(gòu)曲線變形。這一過程在本文中稱為曲率迭代法，圖3所示為曲率迭代法的示意圖。最后，對幾條變形曲線進行擬合，得到整個薄板表面的變形曲面。

圖3 曲率迭代法原理圖

由圖3可知，第1個離散點P1的圓心和坐標表達式為：

式中，θ1=s/（2 ρ1）。

根據(jù)P1點的坐標表達式，第2個離散點P2的中心和坐標的表達式為：

式中，θ2=θ1+s/（2 ρ2）。

根據(jù)點P1、P2的坐標表達式，第i個離散點的圓心和坐標的表達式分別為：

式中，θi=θi-1+S/（2ρi）。由上述公式可以得到薄板離散點的坐標，擬合得到薄板的變形面。

上文所述的曲率迭代法通過Matlab軟件編程實現(xiàn)，通過數(shù)值模擬得到了一組薄板的應(yīng)變數(shù)據(jù)。由圖4可以看出，變形規(guī)律符合端部固定、中間加載的特點。

圖4 小撓度變形下的應(yīng)變與變形曲線

1.2 大撓度變形的曲率迭代法

大撓度變形考慮了中性面的拉、壓應(yīng)變，屬于非純彎曲變形。對于大撓度變形，曲率迭代法會產(chǎn)生誤差，且誤差具有一定的規(guī)律性。在大撓度下，曲率迭代法的整體結(jié)果偏大，且隨迭代次數(shù)和荷載的增加而更加明顯。針對這種誤差，本文提出了一種沉降校正方法。 圖5所示為沉降校正方法的原理圖。首先，根據(jù)誤差規(guī)律設(shè)置校正函數(shù)，曲率迭代法完成后，將每個點的變形結(jié)果減去修正函數(shù)對應(yīng)值，即：

圖5 沉降校正算法原理圖

式中：esk為下沉值，mm；i為離散點數(shù)列；am為動態(tài)迭代因子；bm為靜態(tài)迭代因子。

由于曲率迭代法的誤差也與荷載大小有關(guān)，僅用一個修正函數(shù)很難滿足精度要求，因此，沉降校正算法采用迭代的方法，即由小到大的迭代，直到滿足誤差要求。

圖6所示為帶沉降修正函數(shù)的曲率迭代法流程圖，校正過程中，校正程度隨am值的增加而增加，通過設(shè)置最大允許誤差為最后迭代點。理論上，四邊固定的薄板的四邊變形為0，因此可以通過4個邊的變形量來控制重構(gòu)算法的精度。

圖6 沉降校正算法流程圖

基于沉降校正的曲率迭代算法通過Matlab軟件編程實現(xiàn)，通過數(shù)值模擬得到了一組大撓度變形時的應(yīng)變數(shù)據(jù)。在曲率迭代法計算結(jié)果的基礎(chǔ)上，增加了修正環(huán)節(jié)，得到了修正結(jié)果。由圖7可以看出，校正前的結(jié)果明顯大于校正后的結(jié)果，通過沉降校正算法可以大大減小曲率迭代法處理大撓度變形時的誤差。

圖7 大撓度變形下的應(yīng)變與變形曲線

2 應(yīng)變監(jiān)測實驗與應(yīng)變場重建

2.1 應(yīng)變監(jiān)測實驗平臺搭建

變形場重構(gòu)算法中的應(yīng)變數(shù)據(jù)需要將應(yīng)變監(jiān)測實驗獲得的信息作為變形場重構(gòu)的輸入，圖8所示為應(yīng)變監(jiān)測實驗平臺設(shè)備圖。

圖8 應(yīng)變監(jiān)測實驗平臺

實驗使用BX120-5AA型應(yīng)變片與INV3062S/V型24位動態(tài)信號采集系統(tǒng)測量薄板表面的應(yīng)變。使用精度為0.01 mm的SYA1704569型位移傳感器測量薄板的變形，用于驗證應(yīng)變重構(gòu)變形場的準確性，而位移傳感器受空間限制在實際應(yīng)用中無法使用。

利用精度為50 mg的砝碼對薄板加載，根據(jù)加載位置的不同，將試驗分為中心點（Q1）加載和任意點（Q2）進行加載，加載位置分別為（500，500）和（300，700），載荷大小設(shè)置為100、150、200和250 N。

為了能夠通過盡可能少的應(yīng)變測點來實現(xiàn)整個面的應(yīng)變場，通過多次試驗，得到了根據(jù)薄板在兩個不同加載位置的表面應(yīng)變分布規(guī)律得到的測點分布方案，如圖9所示。

圖9 應(yīng)變測點布置方案

2.2 應(yīng)變監(jiān)測實驗結(jié)果與分析

以中心點加載為例，應(yīng)變監(jiān)測實驗結(jié)果如圖10所示，圖中為11個測點隨荷載增加的應(yīng)變變化情況。可以看出，所有測點的應(yīng)變值隨荷載增加而增大，測點8、9靠近中心加載點Q1，應(yīng)變值較大。由于測點相對于直線x=500對稱分布，測點應(yīng)變值兩兩相近。測點1、2、4、5、6、11靠近固定邊，上表面受到壓應(yīng)變，其余測點受到拉應(yīng)變。

圖10 中心點加載下應(yīng)變監(jiān)測的實驗結(jié)果

通過實驗得到安裝板離散點應(yīng)變數(shù)據(jù)之后，還需要獲取整個安裝板表面的應(yīng)變場，從而得到更為詳細的應(yīng)變信息，以便作為變形場重構(gòu)算法的輸入量。本文采用反距離加權(quán)法，對平面上各個離散點應(yīng)變進行插值重構(gòu)得到應(yīng)變場，算法原理如圖11所示。

圖11 反距離加權(quán)平均法原理圖

反距離加權(quán)法基于測量應(yīng)變數(shù)據(jù)求解平面其他點應(yīng)變，計算過程如下：

式中：dk為待求點與第k已知點的距離，mm；xk為已知點橫坐標值，mm；yk為已知點縱坐標值，mm；x為待求點橫坐標值，mm；y為待求點縱坐標值，mm。k=1，2，…，n。

假設(shè)二元函數(shù)f（x，y）為未知點的應(yīng)變，那么該函數(shù)的表達式為：

式中，zk為已知點k的應(yīng)變。

3 驗證實驗

基于上述重構(gòu)方法，利用Matlab軟件編制了薄板應(yīng)變、變形場重構(gòu)軟件，在軟件中輸入薄板尺寸、計算模式（大撓度/小撓度），將應(yīng)變測量實驗中測點坐標以及測量結(jié)果讀取到軟件中，點擊“計算START”，即可直接輸出薄板應(yīng)變場云圖和重構(gòu)變形曲面，如圖12所示。

圖12 薄板應(yīng)變、變形場重構(gòu)軟件界面

以能保證重構(gòu)完整性同時盡量降低計算量為原則，經(jīng)過多次不同維度的重構(gòu)試驗，最終選擇重構(gòu)的插值維度為20×300。圖13、14所示為各加載工況下通過反距離加權(quán)平均法得到的星敏安裝板下表面應(yīng)變云圖。不管是中心點加載還是任意點加載工況，薄板下表面的加載位置周圍受拉應(yīng)變，靠近四邊處受壓應(yīng)變，隨著載荷增大，應(yīng)變整體增大但分布規(guī)律不變。

圖13 中心點荷載應(yīng)變云圖

在得到應(yīng)變場的基礎(chǔ)上，利用曲率迭代法將應(yīng)變場轉(zhuǎn)化為變形場，并進行沉降校正，圖15、16所示為各加載工況下的變形場重構(gòu)曲面。

通過位移傳感器直接測量薄板變形，對薄板變形場重構(gòu)結(jié)果進行驗證。從圖15、16可以看出，薄板的最大變形點出現(xiàn)在加載位置，因此將位移傳感器放置在加載位置，測量薄板在實驗加載條件下的變形，表1、2為重構(gòu)結(jié)果與直接測量結(jié)果的對比表。

圖14 任意點荷載應(yīng)變云圖

圖15 中心點荷載作用下的變形曲面圖

圖16 任意點荷載作用下的變形曲面圖

表1 中心點加載結(jié)果對比

表2 任意點加載結(jié)果對比

從表1、2所示重構(gòu)算法精度驗證結(jié)果可知，重構(gòu)誤差隨載荷增大而降低，中心加載點的重構(gòu)誤差為4.85%～5.12%，平均誤差為3.92%，任意加載點的重構(gòu)誤差為3.81%～6.21%，平均誤差為4.95%，且中心加載點各載荷下重構(gòu)誤差均小于任意加載點。

4 結(jié) 語

（1）推導了薄板表面應(yīng)變與曲率的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上，提出了一種曲率迭代法重建薄板變形場，針對大撓度變形的非線性問題，提出了一種基于曲率迭代法的沉降校正算法。

（2）搭建了應(yīng)變監(jiān)測實驗平臺，確定了應(yīng)變測點布置方案和加載條件，開展了薄板應(yīng)變監(jiān)測實驗，并根據(jù)實驗結(jié)果得到了整個薄板表面的應(yīng)變場。

（3）利用Matlab編程實現(xiàn)了帶修正函數(shù)的曲率迭代法薄板變形場重構(gòu)，得到了薄板在不同工況下的應(yīng)變場與變形場。在中心點加載和任意點加載條件下的平均重構(gòu)誤差分別為3.92%和4.95%，證明該方法適用于四邊固定的彈性薄板變形場的監(jiān)測，為薄板結(jié)構(gòu)變形監(jiān)測提供了思路。