基于滑模觀測器的一階系統時滯識別方法的仿真研究

強海燕， 解 思， 李萬莉， 孫友剛， 董達善

（1.上海海事大學a.物流工程學院；b.離岸工程研究院，上海201306；2.同濟大學a.機械與能源工程學院；b.鐵道與城市軌道交通研究院，上海201804）

0 引 言

時滯現象在工程實際中普遍存在，針對時滯問題的研究層出不窮，特別是在生物學［1-2］、化學［3］、機械工程學［4］、電力學［5］等領域。時滯問題常常由于控制系統中作為反饋的執行器、傳感器、局域網絡、無線通信等被引入系統之中。人們為控制和設計的便利常常會直接忽略時滯，對時滯的忽略可能會降低控制系統的控制效率，甚至會致使控制系統的失穩。針對時滯系統中的時滯量識別至關重要，諸多學者對此展開了相關研究。

文獻［6-9］中分別針對離散時滯問題和外部信號及控制時滯問題，設計了時滯預測算法和時滯預估辨識控制器。文獻［10-11］中針對時滯參數不確定性和時滯系統線性化問題，分別提出了時滯線性化控制和系統自適應時滯辨識控制器。文獻［12-16］中分別基于時滯系統不確定性、時滯預估和時滯系統抗干擾問題，分別提出了基于滑模變結構的時滯辨識自適應控制器。

綜上所述，現有時滯識別方法在特定領域雖有其優勢，但是在通用性、高效性方面仍然存在不足。本文針對一階系統的時滯識別問題，建立一階系統的離散時滯線性模型。證明所建立系統模型的可識別性，并確定系統所需的時滯識別條件。設計滑模觀測器用于時滯量預測。通過典型一階注水系統的實例進行仿真驗證。

1 一階系統的離散時滯線性模型

假設時滯模型為一階離散時滯線性模型：

式中：0=h0＜h1＜…＜hr≤hi為時滯量；Ai和Bi分別為適當維數的矩陣。在一般情況下，假設有兩個連續的初始函數x0（t）、u0（t），并且x（t）=x0（t），u（t）=u0（t），t∈［-h，0］。

2 一階系統的時滯可識別性

系統識別的標準方法在系統結構中已知，需要解決的問題是找到隱含在描述過程方程中的參數，即參數識別。最早的識別是針對時滯微分方程的識別，僅適用于均勻的包含無限維頻譜的頻譜法。本文使用的識別方法可擴展到更多通用系統，則參考模型描述如下：

式中：P為空間上n×n的矩陣；Q為空間上n×q的矩陣。

系統的可識別性是將原始系統與式（2）進行比較，將P、Q、R、y分別由P^、Q^、R^、y^替代。式（2）表達的系統中若存在一個控制量u，使得y^=y，R^=R；即存在唯一的系數矩陣，則稱式（2）表達的系統可識別。若存在一個滿足條件的輸入信號，則式（2）的識別性可簡化為：

式中：conv R為包含R的最小閉區間，det P為卷積的行列式。

3 時滯識別條件

根據離散時滯定義及其參數可識別性定義，式（1）為離散時滯的特殊情況。則定義如下表達式：

若Ai和Bi已知，則式（1）中引入H=［h1，…，hr］T，則：

如果時滯量H不是時變的，局部可辨識性可以表示為方程解的唯一性，即通過Δ（t，H）=0求得H，對于所有t≥0。

4 觀測器原理

假定參數Ai和Bi已知，僅有時滯hi需要估測。接著假設已知時滯的上界h，max［h1，…，hr］≤h。

引入時滯向量H=［h1，…，hr］T，設計算法用以觀測，令：

將式（9）代入式（8），并求其對時間t的一階導數，則：

當i=1，…，r時，提出如下時滯預測器：

式中，sign（Δi）為符號函數，則

5 一階系統實例仿真

5.1 仿真實例建模

根據流體力學經典一階注水模型，建立模型并進行仿真（見圖1、圖2）。假設注水系統中的液體為均質、不可壓縮的。圖中：qin為進口處流量；R為出口流阻；he為流體液面高度；qout為出口處流量；Ae為橫截面積。

圖1 注水流體系統

圖2 流阻示意圖

分別根據靜壓方程、絕對壓強方程、表壓方程和流阻方程，建立一階注水系統控制方程：

式中：Ae=1 m2；g=9.8 m/s2；R=98 Pa·s；進口處流量qin為系統輸入，流體液面高度he為系統輸出。

5.2 時滯識別仿真及分析

（1）一階注水系統無輸入且有未知時滯情況。其輸出表達式為：

式中：a1=-0.1；a2=1；假設未知時滯量h1=1 s。

根據觀測器原理可得一階系統無輸入且有未知時滯下的時滯識別仿真圖，如圖3所示。圖3（a）～（d）分別為未知時滯預估量h^數值分別為0.8和1.2時的仿真預估曲線。如圖3（a）、（c）所示，若時滯預估值與實際時滯量不匹配，則時滯辨識算法會根據規則快速調整時滯量圖像的趨勢并進行識別，時滯識別的圖像會根據預估值和實際值向上或向下變化。由圖3（c）、（d）所示，Δ根據辨識算法必須趨向于0，在1～3 s時，由于輸出時滯的影響，Δ圖線波動后收斂于0，則表示輸出時滯量已被識別。

圖3 無輸入且有未知時滯的情況分析

（2）輸入無時滯，輸出含有時滯的情況。這種工況模擬在注水過程中輸入無時滯，輸出有時滯：

式中：a1=-0.1；a3=1。假設輸出時滯量h2=2 s；輸入時滯量h3=0 s。

圖4所示為一階注水系統輸入無時滯而輸出有2 s時滯量的仿真圖。由圖4（a）可見，該系統時滯量從初始時到仿真識別值，在該情況下識別算法效果較好。圖4（b）表示判定函數Δ的變化，由圖可知，在0～3 s的時間內，Δ有非常明顯的變化趨勢，而3 s以后趨于穩定，則輸出時滯量被辨識出。

圖4 輸入無時滯輸出有時滯的情況分析

（3）輸入含有時滯，輸出無時滯的情況。通過一階注水系統輸入有時滯，輸出無時滯，其數學表達式如式（15），其中：a1=-0.1；a3=1。假設輸出時滯量h2=0 s，輸入時滯量h3=2.5 s，其表達式為：

圖5為一階注水系統在輸入含有2.5 s時滯量而無輸出時滯的仿真圖。由圖5（a）易見，所識別出的輸入時滯大于實際給定的時滯。圖5（b）表示了判定函數Δ的變化，從圖可知，在0～4 s的時間內，Δ有非常明顯的變化趨勢，而4 s以后趨于相對穩定，則輸入時滯被辨識出。

圖5 輸入有時滯輸出無時滯的情況分析

（4）輸入、輸出均有時滯的情況。一階注水系統輸入輸出同時有時滯的情況，其數學表達式如式（15），參數a1=-0.1；a3=1。假設輸出時滯量h2=2 s，輸入時滯量h3=2 s，其表達式為：

圖6為一階注水系統輸入輸出同時有時滯量的仿真圖。由圖6（a）可知，1～3 s之間仿真預測值與實際值波動較大，3 s過后，輸出時滯量趨于穩定，則系統輸出時滯已被識別。由圖6（b）易見，所識別出的輸入時滯大于實際給定的預估時滯，1～3 s之間預測值與實際值變化較大，3 s過后，輸入時滯量變化趨于穩定，則系統輸入時滯已被識別。圖6（c）表示判定函數Δ的變化，由圖可知，在0～3 s的時間內，由于預測時滯量和實際時滯量的數值變化，Δ變化趨勢明顯，而3 s以后趨于相對穩定，則表明時滯量已被辨識。

圖6 輸入、輸出均有時滯的情況分析

6 結 語

本文運用變結構識別算法對時滯系統中的時滯量進行了參數預估達到識別效果。該算法將系統模型置于滑模面（用以代替未知參數或者時滯），以此替代相應的預估值。通過仿真和理論分析，本文運用的算法仍存在局限性：其時滯量必須是小時滯量才能被識別，在時滯識別過程中會出現識別出來的時滯量大于實際時滯量的情況（主要是由于預測參數Li的選擇問題）；時滯識別的時間較長。針對仿真和理論分析得出的結果，本文的未來工作將著重對判別預測參數Li（一階系統主要考慮L1和L2）的最優配置問題和縮短時滯識別時間上進行展開。