基于SQP算法的銀行貸款組合優化

顧安琪劉文鼎劉培江王浩華,4,

(1.海南大學理學院數學系,海口,570228?2.海南大學計算機與網絡空間安全學院,海口,570228?3.廣東財經大學統計與數學學院,廣州,510320?4.海南大學海南省工程建模與統計計算重點實驗室,海口,570228)

1 引言

貸款作為商業銀行主要的盈利手段,對銀行的生存與發展具有十分重要的意義,而貸款配置的合理性作為貸款收入的決定性因素,引發了大量的研究[1].Bodnar等在利率服從正態分布的情況下使用貝葉斯估計法,計算了最小標準差貸款組合的權重.但在實際情況中,貸款收益率更多地呈現出不符合正態分布的特性[2].徐緒松等在非正態穩定分布的條件下建立了均值 尺度參數投資組合模型,更加嚴格地控制了資產配置的風險[3].遲國泰等以穩定分布為基礎,提出了考慮存量貸款的多目標優化模型,不僅降低了模型的評估風險,而且實現了對偏度的控制,增加了收益[1].顯然,存量貸款的比重對實際投資決策具有直接影響.

本文引入風險集中度,以此控制存量貸款的集中程度,降低貸款組合因過度集中而導致的額外風險,構建基于存量貸款分配比例下的銀行貸款組合優化模型.在此基礎上,通過對目標函數的改進,使目標函數在兼顧收益、偏度、尺度的同時,考慮銀行自身的偏好,并減少變量的個數,最終轉化為求解一個非線性規劃問題.為了簡化計算,得到收斂性更高的結果,本文使用SQP算法來求得最終的分配比例.實證研究表明,此模型具有可行性與合理性,符合銀行對高利潤與低風險的預期,且便于理解與操作.

2 基于穩定分布的全部貸款目標分析

在實際市場中,貸款收益率往往無法通過正態檢驗,其經驗分布明顯不具有穩態、峰度等正態特征[3].此時使用正態分布模擬收益率的分布,會導致模型誤差較大.徐緒松等的研究表明貸款收益率服從非正態穩定分布.

設rit(i=1,2,···,N;t=1,2,···,T)為第i筆貸款第t個月的收益率?RN為貸款組合收益率,ai為常數,bi為中國債券指數被第i筆貸款的影響程度?rMt(t=1,2,···,T)為中國債券指數在第t個月的收益率,εit為第i筆貸款在第t個月收益率的隨機誤差,RN為投資組合收益率,N為總貸款數量?wi為關于第i筆貸款總額的份額.參考文獻[3]中給出了如下的市場經濟模型

其中,第i筆投資服從穩定分布,即ri～S(αi,βi,γi,δi),αi∈[0,2]為特征指數,用以描述投資收益率尖峰度和厚尾度,αi越大尾部越薄、峰度越小?βi∈[?1,1]為偏斜程度指數,用以表現投資利率相較于均值的偏離狀態,βi＞0時分布向右移動,βi＜0時分布向左移動?γi＞0為尺度參數,表示分布偏離其均值的離散狀態?位置參數δi∈R表示平均值所在的方位.

每筆貸款的收益率受中國債券指數和隨機因素擾動的影響.由于第i筆貸款的收益率ri服從穩定分布,因此,根據市場經濟模型（2.2）計算出的投資組合回報率也服從穩定分布,從而得出貸款組合尺度參數如下[3]:

其中,γw為貸款組合尺度參數?γw為投資組合的尺度參數?α為中國債券指數的特征指數?γM為中國債券指數的尺度參數?γiε為第i筆貸款隨機誤差的尺度參數.

貸款組合的尺度參數γw顯示了貸款組合收益率與均值的擬合程度.γw越大則投資組合回報率分布與均值離散程度越高,投資組合風險也越大.因此,定義投資組合的偏斜指數

其中,βM為中國債券指數的偏斜指數?βiε為第i筆貸款隨機誤差的偏斜指數.

3 全部貸款的組合優化模型

現有的多目標全部投資組合優化模型兼顧貸款組合的回報、尺度參數與偏斜參數,具有多個目標函數,求解困難.改進后的全部貸款組合優化模型將多個目標轉化為單目標,在實現收益最大化,風險最小化的同時考慮到了銀行自身的風險偏好.所建立的單目標函數如下:

其中,Rn+m為全部貸款組合的收益率?n為存量貸款的筆數?m為増量貸款的筆數?wi第i筆貸款全部貸款總額的份額?為第i筆投資收益率的均值?γn+m為全部貸款組合的尺度參數?βn+m為全部貸款組合偏斜指數.

在實際市場中,收益率服從非正態穩定分布,能夠很好地描述收益率的經驗分布所具有的差異性和不足性特征,可以更高效地管控投資組合的風險[1].偏斜指數代表分布偏離均值的離散程度,βn+m越大,超額收益越多?λ1越小,則代表銀行對投資組合回報率的偏好越大?λ2越大,則銀行對投資組合尺度參數的偏好越大?λ3越小,表明銀行對投資組合偏度的偏好越大（βn+m＜0時,λ3應取負數,βn+m＞0時λ3取正數）.銀行可根據自身風險偏好與承受能力自行調節比例.本模型綜合貸款組合收益率、尺度參數與偏斜指數作為目標函數,實現了多個目標向單一目標的變換,克服了多目標函數難以求解的問題,同時考慮了投資方對風險與收益的偏好程度,相較于現有模型的目標函數,形式更加簡潔,計算更加簡便,也便于理解,且在穩定分布的基礎上,考慮通過最大化貸款系數來檢驗貸款組合方案的正確配置,從而可增加高于平均收益率的可能性,提高貸款的剩余收益率,彌補現有穩定利率研究中忽視潛在收益的資產分配.

對所有權重wi進行歸一化后,我們有

由于單項投資占總投資的比能反映投資的集中度大小,因此引入風險集中度L,令

若增量貸款的分配過于集中,則會導致企業風險轉嫁至銀行,因此引入風險集中度控制各筆增量貸款在總增量貸款中所占的比例來分散風險,保證貸款收益的穩定性.

以式(3.1 )為目標函數,(3.2 ),(3.3 ),(3.4 )為約束條件,建立如下的新的全部貸款組合優化模型:

其中wi,i=n,...,n+m為待定的決策變量,si為剩余變量.

上述模型對貸款收益率、貸款尺度參數以及偏斜指數的計算分為存量貸款與增量貸款兩個部分,考慮到了現有貸款對貸款組合收益與風險的影響,防止了n筆存量貸款可能引發巨大損失.目標函數由貸款收益率、尺度參數、偏度參數組成,保證了在貸款收益率最大的情況下,偏斜指數最大的同時,尺度參數最小,即收益最大的同時,風險最小.該模型相較于現有模型,變量個數大幅減少,易于后期計算與求解,同時權重指數的添加避免了在現有的投資組合優化研究中缺乏主觀收益的問題[3?7].

4 基于SQP技術的算法框架

SQP算法優點在于具有超線性收斂速度并且函數求值、梯度求值的次數少.因此這里采用matlab中的序列二次規劃算法（SQP）求解:將最優解問題轉化為一系列的二次規劃子問題,對拉格朗日函數進行兩次逼近,提高二次規劃子問題的逼近性?用擬牛頓法求出Hessian矩陣,給出Hessian矩陣（或其逆矩陣）的兩個迭代公式:BFS公式和DFP公式[8].步驟如下:

Step1更新拉格朗日函數的Hessian矩陣.在每次迭代中,使用BFGS法求解Lagrange函數的Hessian矩陣的正定近似值H.在此過程中需保持Hessian矩陣正定.

Step2二次規劃子問題求解.求解過程分為兩個階段:首先計算解的可行點?然后生成與問題解相吻合的可行點的迭代序列,由這個序列收斂得到問題的解.

Step3一維搜索和目標函數計算.通過求解子集問題得到向量,并由此得到一個新的迭代(迭代過程中應充分減小目標函數的值).

在實際求解的時候,將目標函數轉化為其相反數并求最小值,將SQP方法中的l1罰函數推廣為lp罰函數[9],該搜索方向是lp罰函數在原問題的解的迭代的下降方向.

假設:

（A1）目標函數f(w),約束條件ci(w),i∈I0是二階連續可微函數?

（A2）Lagrange函數的Hessian矩陣的近似矩陣Hk是正定的,并且存在兩個正數m和M使得

對一切的k≥1和d∈Rn都成立.

引理1([9])設w?∈S為(NLP)問題的局部極小點,f(w),ci(w)(i=1,2,···,m)在w?處連續可微,且?ci(w)(i∈A(w?))線性無關,則存在實數λi(i∈I),uj(j∈E),使得

注(4.2 )與(4.3 )稱為Kuhn Tucker條件,簡稱K T條件,滿足(4.2 )與(4.3 )的點稱為K T點.

定義函數θ(w,r)=g(w)T d+r?(w).如果w是非線性規劃問題的一個K T點,則對任意的r∈R,有θ(w,r)=0,其中g(w)T為目標函數f(w)的拉格朗日算子矩陣轉的置陣,d為Hk的過渡矩陣,r為任意實數,?(w)為K T條件中的下降方向指示函數,當且僅當w為可行點時,?(w)=0.

定理1在假設（A1）和（A2）下,若f(w)在Rn中有界,{wk}是SQP算法產生的無限序列,且罰函數{rk}有界,則{wk}的任意聚點都是此問題的K T點.

證明不失一般性,假設對所有的k,rk=r,且w?是{wk}的一個聚點,則存在一個子集K,使得當k→∝(k∈K)時,wk→w?.如果θ(w?,r)=0,則由定理可知w?是此問題的K T點.如果θ(w?,r)＜0.則存在?k,使得對一切k≥?k(k∈K),都有

由引理1 可知

dk→0,k→∝(k∈K).

所以

θ(wk,r)→0,k→∝(k∈K),

與(4.4 )式矛盾,因此θ(w?,r)=0,即w?是此問題的K T點.

計算時,目標函數滿足假設(A1),(A2),且在Rn內有界.又因為罰函數lp有界,解序列{wk}是無限的,故{wk}的任何聚點都為此問題的K T點[10],且解空間為凸集,極值點為最優解.

綜上所述,使用SQP算法對目標函數進行分析時,只要滿足（A1）與（A2）兩個條件,就能通過迭代得到K T點,因此,SQP算法在這樣的條件下是收斂的.在解決全部貸款的組合優化問題時,改進的全部貸款組合優化模型(3.5)顯然其目標函數及約束條件是二階連續可微的,且Hk滿足（A2）條件,故改進的全部貸款組合優化模型問題在運用SQP算法進行迭代計算時是收斂的,從而可用SQP算法在matlab程序中進行計算.

5 實證分析

參考文獻[1]中收集了某銀行貸款近4個月的數據:貸款總額為1000億元,其中現有的9筆貸款總額為750億元,每筆現有貸款金額及占貸款總額的比例見表1.表2前十三行給出了“增量”和“存量”的所有貸款收益率信息,中國債券指數收益率見表2第14行[1].

表1 存量貸款信息[1]

表2 收益率信息[1]

表3 增量貸款信息

將模型(3.5 )的各參數分別代入基于穩定分布的多目標全部貸款組合優化模型[1](以下簡稱為現有模型)進行實驗,通過matlab程序實現得到的對比結果見表4.

表4 各特征參數對比結果

6 結論

將現有模型與本文的模型(3.5 )進行對比,模型(3.5 )的收益率Rm+n=0.0447 與現有模型的收益率Rm+n=0.0447 一致,符合銀行對高效益的預期?模型(3.5 )的全部貸款組合偏斜指數βm+n=－0.0216 與現有模型的對應數據βm+n=－0.0216 相同,超額收益得到保障,本文模型中的全部貸款組合尺度參數γm+n=0.0883 ,與現有模型的尺度參數γm+n=0.0882 基本一致,有效地控制了貸款組合的風險,且目標函數的形式更加簡潔,變量大幅減少,易于求解.模型(3.5)加入了對存量貸款的考慮,從表1能夠看出全部存量貸款在各個貸款中金額的合理分配,能夠有效降低存量貸款被忽略所帶來的風險.本文提出的模型(3.5)實現了控制風險,追求風險與利潤并重的目的,計算上具有簡易性與可操作性,并且使用SQP算法對問題進行求解,收斂性好,結果較為準確.模型(3.5)引入風險集中度,較現有模型大大減小了投資過于集中所帶來的風險,貸款結構更加合理可控且組合收益率較大.以穩定分布為基礎的收益率模型,能夠表達出收益率不對稱性以及尖峰厚尾的性質,對組合風險管控更加精確有效且符合實際情況.