均布與集中荷載共同作用下固支梁彎扭屈曲臨界彎矩精確解研究

張文福 杭昭明 劉迎春 趙文艷 嚴 威 華俊凱

（1.東北石油大學土木建筑工程學院，大慶 163318；2.南京工程學院建筑工程學院，南京 211167；3.蘇州科技大學建筑工程學院，蘇州 215000）

0 引言

鋼梁由于強度高、自重輕等優點，廣泛應用于廠房場館、鐵路、橋梁等方面。鋼梁截面通常做成長而窄的形式，而這種形式的缺點是繞強軸和弱軸的慣性矩相差較大，因而鋼梁極易發生彎扭屈曲。目前我國規范僅給出了單一荷載下鋼梁彎扭屈曲的設計公式，尚未給出多種荷載共同作用下鋼梁彎扭屈曲的設計建議。

在復合荷載下鋼梁彎扭屈曲研究方面，國外從1940 年開始，Vlasov［1］和Galambos 等［2］就陸續基于平衡法和經典能量法，將屈曲模態取為單一三角函數給出了鋼梁在復合荷載下的一階近似解析解。近年來，國內學者對此也開始了一些探索和研究工作［3-4］。

2017 年，郭兵等［5］對端彎矩和集中荷載共同作用下的簡支梁進行了理論屈曲分析，采用Rayleigh-Ritz 法推導了簡支梁臨界彎矩的通用計算公式，形式與傳統公式相同，并且通過算例驗證了公式的正確性與泛用性。

2018 年，劉占科等［6］采用Galerkin 法推導了復合荷載下鋼梁彎扭屈曲臨界彎矩的公式，這里他們考慮了橫向荷載作用點高度和截面不對稱參數。同時，他們確定了7 種常見工況的等效彎矩系數理論計算式并給出了6種特殊工況的Cb實用計算式，并與國內外文獻進行了對比，驗證了公式的正確性與適用性。

2019 年，支圓圓和王杜欣［7-8］分別對復合荷載下固支鋼梁和連續鋼梁彎扭屈曲的臨界彎矩進行了研究，他們都基于課題組提出的鋼梁臨界彎矩計算通式對多種荷載下相應的理論臨界彎矩公式進行了推導，并使用有限元方法進行了驗證和參數分析。

綜上，目前對鋼梁彎扭屈曲相關的力學分析，多數是使用Galerkin 法、Rayleigh-Ritz 法等方法，通過單個三角函數來表達側移和轉角，然后利用能量法獲得鋼梁的臨界彎矩解析解，但與無窮項級數解相比，這種解答僅相當于一階近似解。本文對單軸對稱工字形鋼梁彎扭屈曲臨界彎矩進行了理論研究，先設模態函數為無窮級數形式，然后利用能量變分法，得到了均布與集中荷載下單軸對稱工字形固支梁的彎扭屈曲臨界荷載的無窮項解答。并以解答的100 項級數為參考，借助MATLAB 程序進行了收斂性研究，最后又建立了有限元模型進行了對比驗證。

1 推導過程

1.1 工程概況

本文分析的工程情況為均布荷載與跨中集中荷載共同作用下的工字形固支梁，簡圖如圖1 所示，其中q為均布荷載，p為跨中集中荷載，L為跨度，C（0，0）為截面形心，S（0，y0）為截面剪心。

圖1 均布荷載和跨中集中荷載下工字形固支梁的計算簡圖Fig.1 Calculation diagram of the fixed I-beam under uniform load and concentrated load

為了推得此工況下固支梁彎扭屈曲臨界彎矩的無窮項解答，本文根據張文福［9-13］提出的“板-梁理論”及能量變分法的思路，先設模態試函數表達為無窮級數，然后代入總勢能方程，再根據勢能駐值原理可以得到屈曲方程，即可解得彎扭屈曲的臨界彎矩。

1.2 無量綱形式的一階近似解析解

1.2.1 模態試函數

將截面的位移和轉角采用的模態試函數形式設為

式中：u(z)、θ(z)分別為固接梁屈曲時截面的側向位移和繞剪切中心的扭轉角，是關于變量z的函數。

與他人的研究不同，本文在式（1）中引入了h（上下翼緣形心的距離），其目的是將u的待定系數A，變為無量綱參數。

同時，式（1）、式（2）滿足固支梁的邊界條件：

1.2.2 內力函數

令跨中集中荷載p與均布荷載q存在以下關系，β為集中荷載系數。

則均布荷載和跨中集中荷載共同作用下的固支梁任意截面的彎矩表達式為

根據式（4）可知，最大彎矩位置位于跨中，由此可得出跨中最大彎矩為

1.2.3 總勢能方程

均布荷載和跨中集中荷載共同作用下單軸對稱工字形固支鋼梁彎扭屈曲的總勢能表達式為

將截面位移與轉角的模態試函數代入式（6），應用MATHEMATICA 軟件進行相關積分運算，則有

因此，均布荷載和跨中集中荷載共同作用下單軸對稱工字形固支梁彎扭屈曲的總勢能方程可表示為

將式（12）乘L3/(h2EIy)，并引入以下無量綱參數和相關表達式

對總勢能進行無量綱化，可進一步表示為

1.2.4 屈曲方程

依據勢能駐值原理，可得

即可以得到以下屈曲方程：

發展商業養老保險有助于應對人口老齡化趨勢和就業形態新變化，進一步保障和改善民生，促進社會和諧穩定，在寧夏發展商業養老保險，符合國家政策導向，順應寧夏人口結構老齡化的趨勢，有助于促進實體經濟的發展。

將上述無量綱屈曲方程用以下矩陣形式表示為

為了使A1、B1不同時為零，必有

將式（23）行列式展開可得

其解可表示為

其中：

綜上所述，均布荷載和跨中集中荷載共同作用下單軸對稱工字形固支梁無量綱彎扭屈曲臨界彎矩解析解可由式（25）解得。

1.3 無窮項數解答

1.3.1 模態試函數

將截面的位移和轉角采用的模態試函數設為如下無窮項數形式

1.3.2 內力函數

由于條件相同，因此內力函數同一項級數解答相同。

1.3.3 總勢能方程

將截面位移與轉角的模態試函數代入式，應用MATHEMATICA軟件進行相關積分運算，則有

因此，均布荷載和跨中集中荷載共同作用下單軸對稱工字形固支梁彎扭屈曲的總勢能方程可表示為

將式（33）乘L3/(h2EIy)，并引入以下無量綱參數和相關表達式，對總勢能進行無量化，可進一步表示為

均布荷載和跨中集中荷載共同作用下單軸對稱工字形固支鋼梁彎扭屈曲無量綱總勢能方程可表示為

1.3.4 屈曲方程

根據勢能駐值原理，對無量綱廣義坐標An求偏導，

可推出如下屈曲方程

為便于求解，式（41）可用如下矩陣形式表示

式（42）中各子矩陣表示如下

同理，依據勢能駐值原理，對無量綱廣義坐標Bn求偏導，

同樣得到以下屈曲方程

將式（44）用以下矩陣形式表示

各子矩陣表示如下

綜上所述，均布荷載和跨中集中荷載共同作用下單軸對稱工字形固支梁無量綱屈曲方程可表示為

由式矩陣表示的彎扭屈曲方程解得的最小特征值，即為均布荷載和跨中集中荷載共同作用下固支梁彎扭屈曲無量綱臨界彎矩的解析解。顯然，依據Fourier 級數理論可證明，當級數為無窮項時，則可得到此問題的精確解。

2 收斂性研究

為了證明上述所得無窮項解答的正確性和可適用性同時得到相應的精確解，下面進行收斂性研究。

從數值求解的角度考慮，無窮級數表示的模態試函數的項數只能取有限項，采用MATLAB 程序求解式（63）的特征值屈曲問題。對雙軸對稱截面A（H400 mm×300 mm×8 mm×12 mm）和單軸對稱 截 面B（H400 mm×300 mm×200 mm×8 mm×12 mm）的工字形固支梁在均布荷載和跨中集中荷載共同作用下的屈曲臨界彎矩解的收斂性進行分析，如圖2 所示，其中梁跨度L=12 m，集中荷載系數β=0.4。其中s=3 時，截面A 在均布荷載和跨中集中荷載共同作用于上翼緣、剪心、下翼緣時的分別于72 項、86 項、83 項收斂。截面B 在均布荷載和跨中集中荷載共同作用于上翼緣、剪心、下翼緣時的分別于84 項、88 項、83 項收斂。當工字形固支梁在均布荷載和跨中集中荷載共同作用下的屈曲臨界彎矩解的收斂時，級數解答即為精確解。為便于后續數值計算，這里將近似認為當級數取100項時，級數收斂。

圖2 屈曲臨界彎矩解收斂性驗證Fig.2 Verification of convergence of buckling critical moment solutions

3 有限元驗證

下面以上文提及的A（H400 mm×300 mm×8 mm×12 mm），B（H400 mm×300 mm×200 mm×8 mm×12 mm）兩種截面為例，來驗證精確屈曲方程的可靠性。本文選用SHELL181 殼單元來模擬工字型鋼梁，SHELL181有4節點，6個自由度。模型沿高度方向劃分10 個單元，沿長度方向劃分100 個單元，沿翼緣寬度方向劃分8 個單元。另外，為了防止模型過早出現畸變屈曲或局部屈曲，本文采用了張文福教授［12］提出的新的剛周邊模擬方法，比常規設置加勁肋的方法更簡潔實用且不會增加梁剛度，FEM模型如圖3所示。

圖3 有限元模型Fig.3 Finite element model

下面用FEM 對鋼梁在均布與集中荷載共同下的彎扭屈曲臨界荷載于理論解進行對比驗證，以A，B 兩種截面12 m 跨度作為算例。表1 為FEM 模型解和理論解的對比結果。其中，β為均布荷載與集中荷載的占比分項系數。

由表1可見：

表1 均布荷載和跨中集中荷載共同下固支梁臨界彎矩Table 1 The critical moment of the fixed beam under uniform and concentrate load

（1）無窮級數解答與有限元模擬的結果吻合得很好，不論是對雙軸對稱截面還是對單軸對稱截面，其最大誤差均在5%以內；

（2）對雙軸對稱截面，由單個三角函數得到的一階近似解與有限元模擬的結果的誤差較大，上翼緣的最大誤差為5.91%，下翼緣的最大誤差為22.50%，剪心的最大誤差為13.72%；

（3）對單軸對稱截面，一階近似解與有限元模擬的結果的誤差巨大，上翼緣的最大誤差達-27.13%，下翼緣的最大誤差達-15.16%，剪心的最大誤差達20.85%。

4 結論

（1）本文基于作者前期建立的能量變分法，推導得到固支梁在均布與集中荷載下彎扭屈曲方程的無窮項級數解。

（2）通過MATLAB 程序，取100 項級數為參考，分別以一個雙軸對稱工字形截面和一個單軸對稱工字形截面為例，研究了無窮項級數解答的收斂性和適用性。

（3）建立了使用新方法設置剛周邊的有限元模型，與無窮項級數的理論解進行了對比，誤差均在5%以內，說明了無窮項級數解的精確性。

（4）無窮級數解和有限元解答均可證明，由單個三角函數得到的一階近似解的誤差通常較大。以荷載作用在剪心的工況為例，雙軸和單軸對稱截面的最大誤差分別可達13.72% 和20.85%，如此大的誤差是工程所不能接受的。因此，對于復合荷載下鋼梁彎扭屈曲問題，不宜采用單個三角函數作為屈曲模態來討論鋼梁屈曲問題。