基于改進EOQ模型的進料批量控制的研究

聶景峰，李立紅

（1.山西太鋼不銹鋼股份有限公司煉鋼二廠，山西 太原 030001；2.北京科技大學，北京 100083）

0 引言

利潤最大化是每個企業(yè)的最終目標。要想獲得更大的利潤，企業(yè)應該對生產(chǎn)的各個環(huán)節(jié)追求精益求精，從而盡可能地降低成本或增加收入。進料作為金屬冶煉企業(yè)生產(chǎn)的必要環(huán)節(jié)，其進料批量的大小直接關系著企業(yè)的經(jīng)濟效益，然而大多數(shù)企業(yè)往往對該環(huán)節(jié)不夠重視，僅僅是以滿足生產(chǎn)需要為目的并根據(jù)人為經(jīng)驗來進行進料。因此通過建立數(shù)學模型并科學的求解最優(yōu)進料批量對于提高企業(yè)生產(chǎn)效益有重要意義。經(jīng)濟訂貨批量模型是在一定的理想化條件下通過定量的分析總費用從而確定最優(yōu)訂貨批量，受限于一定的理想化條件該模型的應用范圍得到限制。本文將在傳統(tǒng)經(jīng)濟訂貨批量模型的基礎上，結(jié)合進料的實際情況進行改進建立進料批量數(shù)學模型，這對于金屬冶煉企業(yè)的進料環(huán)節(jié)具有借鑒與指導意義。

1 現(xiàn)狀及存在問題

某金屬公司冶煉某種鋼材需要不同數(shù)量的多種金屬原料，為保證生產(chǎn)的連續(xù)性與均衡性，該公司需要提前進來一定數(shù)量的原料進行儲備，在進料量一定時，進料批量過多不僅會增加存儲成本，而且存儲量過多時可能會導致原料受損，從而造成浪費。而進料批量過少又可能導致廠家短期內(nèi)無法滿足生產(chǎn)的需要，影響生產(chǎn)的連續(xù)性，造成停產(chǎn)損失，甚至廠家因無法按期交貨需支付購方賠償。因此，在進料時間已知的情況下，確定一個合理的進料量，對于提高公司的經(jīng)濟收益有重要意義[1]。

目前，該公司采用的進料批量確定方法為根據(jù)往常進料經(jīng)驗進行人為進料批量的確定。具體方法為：在已知進料時間的前提下，根據(jù)月訂單量確定每周不同原料的需求量，以每周為單位進行進料。該種方法下的進料周期（該種原料的一個進料周期為兩次進料間隔的時期）及進料批量沒有經(jīng)過科學的計算，也未考慮在進料過程中的一些限制因素，給進料過程帶來了麻煩并造成了一部分不必要的成本損耗。為提高進料的效率與經(jīng)濟收益，本文從進料總成本最小的角度出發(fā)，綜合考慮運輸、存儲與生產(chǎn)過程的限制因素，建立進料批量數(shù)學模型，通過求解函數(shù)從而可以得到最優(yōu)的進料批量。

2 進料批量數(shù)學模型的建立與求解

以該公司生產(chǎn)一種鋼材所需要的一種原料進行進料批量模型建立并求解。

2.1 假設條件

（1）該公司一個進料周期內(nèi)對該種鋼材的需求量服從正態(tài)分布。（2）訂料的費用與訂料的多少無關。（3）運料的費用與運輸量成正比例。（4）該種原料的最大庫存為無限大。（5）該種原料只作為該種鋼材的成分使用，不作其他用途。（6）進料的提前期為已知常量。

2.2 變量表示[2]

2.3 模型建立

已知該公司每月份該種鋼材的生產(chǎn)量為D0，該種鋼材所含該種原料的有效成分比例為α，該種原料的收得率為β，則該種原料的月需求量為：

該種原料在進料周期內(nèi)的使用量服從均值為Q（可根據(jù)下文所建數(shù)學模型求解得到）、尺度參數(shù)為σ（大小取決于實際生產(chǎn)）的概率分布，其概率密度函數(shù)為正態(tài)分布為

圖1 原料使用量的概率密度函數(shù)

為滿足一定的服務水平，需使原料庫存滿足生產(chǎn)需求的概率η大于一定值，一般取0.95，因此可以得出在原料庫存滿足生產(chǎn)需求的概率為0.95時的安全庫存[3]為

該種原料一個月內(nèi)的持有費用為

其中安全庫存的持有費用

該種原料一個月內(nèi)的運輸費用為

該種原料一個月內(nèi)的訂料費用為

所以一個月內(nèi)的總費用為

H、σ、α、β、S、T0、D0均為已知量。

2.4 模型求解

此時的Q為最優(yōu)解，此時總費用最小

在總進料量一定的情況下，隨著進料批量的不同，各個費用的變化圖2所示，從圖中可以看出，隨著Q的增大，訂料費用單向遞減，持有費用單向遞增，運輸費用為總運輸量的函數(shù)始終為定值，通過計算可得當訂料費用與持有費用相等時，此時總費用最小，此時得到的進料批量為最優(yōu)進料批量[4]。

圖2 不同進料批量下的費用

3 模型可行性分析

本文假設進料批量模型前提條件為該原料的使用速率為一定值，但在實際生產(chǎn)過程中，由于受天氣、工人生產(chǎn)積極性、意外因素等的影響，該原料的使用率為變量，因此需要討論在這種情況下該模型是否仍然適用。

同時，本文假設了該原料的最大庫存量為無限大，但在實際生產(chǎn)過程中，這種現(xiàn)象并不存在，因此，需要討論在最大庫存量為定值的情況下進料批量的確定策略。

（1）原料的實際消耗量為變值。因為實際情況中原料的使用速率并非恒定，因此實際情況與建立的數(shù)學模型有一定誤差，如下圖。

圖3 實際進貨與理想進貨的對比

從上圖可以看到，實際的用料量可能比預期的少或多，而理想預期為原料使用率為一定值，實際情況比理想情況更加復雜，因此模型建立并非準確，但是由于該模型合理設計了安全庫存，通過調(diào)整η可保證所需要的生產(chǎn)原料需求率，且該模型建立簡單，易于求解，所以模型可以在滿足實際生產(chǎn)的需求求得最優(yōu)的進料量[5]。

（2）最大庫存的限制。前文假設該種原料的庫存量沒有限制，但實際情況中，庫房的大小是有限制的，因此進料量受限于庫存量，此時的調(diào)整策略為如下：根據(jù)最大庫存量以及現(xiàn)有庫存計算出最大進料批量Q1（Q1'），根據(jù)上述模型計算出最優(yōu)進料量Q2，從圖中可以看出，若Q2小于Q1（Q1'），取進貨批量為Q2，若Q2大于Q1（Q1'），取進貨量為Q1（Q1'），此時進料次數(shù)大于最優(yōu)進料批量下的進料次數(shù)，具體進料量如圖4所示。有最大庫存量限制的不同進料批量下的費用圖5所示。

圖4 有庫存限制時的進料批量

圖5 不同進料批量下的費用

4 模型評價與改進

本文借鑒經(jīng)濟批量訂貨模型EOQ的最優(yōu)訂貨量的確定方法，建立了某種原料的進料批量模型，通過使得運輸費用、持有費用以及訂料費用之和最小，求解出最優(yōu)進料批量。對比傳統(tǒng)的根據(jù)人為經(jīng)驗確定進料量的方法，本文建立的進料批量模型不僅減小了總的費用，提高了該企業(yè)的經(jīng)濟效益，同時減少了庫存量的堆放，一定程度上減少了產(chǎn)品的浪費。相比于傳統(tǒng)的EOQ模型，本文不僅增加了安全庫存量的設置及確定方法，可避免因庫存不足造成停產(chǎn)等現(xiàn)象的發(fā)生，而且考慮了實際生產(chǎn)過程中可能遇到的原料使用速率的不確定及最大庫存的限制等現(xiàn)實因素，并給出了相應的解決方法。

5 結(jié)語

總之，該模型也有一定的不足之處，比如該模型簡化了生產(chǎn)的過程，沒有考慮實際生產(chǎn)中的鋼材需求量、交貨期的改變，從而引起的原料需求量的改變。同時，本文也沒有考慮停產(chǎn)成本，因此模型計算出的最優(yōu)進料量與實際最優(yōu)進料量間存在誤差。因此，若想將獲得更精準的進料批量還需要結(jié)合實際生產(chǎn)情況進一步增加變量從而優(yōu)化模型。