OFDM 中一種有效的基于分段非線性壓擴的PAPR 抑制算法

邢智童，李云，彭德義，張本思，劉凱明，劉元安

（1.重慶郵電大學移動通信技術重慶市重點實驗室，重慶 400065；2.北京郵電大學智慧無線移動信息技術研究中心，北京 100876）

1 引言

正交頻分復用（OFDM,orthogonal frequency division multiplexing）在5G/B5G/6G 等現代和未來通信系統中有著良好的應用前景[1]。然而，OFDM系統的一個較大的缺陷是它的峰均比（PAPR,peak-to-average power ratio）較高。較高的PAPR 使OFDM 信號樣點在經過了功率放大器以后，面臨較大的非線性失真；同時使OFDM 信號樣點在經過了非線性功率放大器以后，面臨較大的誤比特率（BER,bit error rate）。因而，研究OFDM 系統的PAPR 抑制是一個十分重要的問題。在5G/B5G/6G等現代和未來通信的場景下，PAPR 的抑制變得更加重要。一方面，隨著毫米波[2]的引入，5G/B5G/6G通信的傳輸會使用更多的子載波數目，從而進一步加大OFDM 系統的PAPR。另一方面，在5G/B5G/6G通信的傳輸中，基站能耗較大的問題依舊存在[3]，這導致如果OFDM 信號樣點的PAPR 過高，則必須進行一定的功率回退[4]，這將大大降低功率放大器的效率。故而，在面向5G/B5G/6G 等現代和未來的寬帶無線通信系統中，降低PAPR、提高功率放大器效率的需求同樣迫切。

為了降低OFDM 系統的PAPR，目前已有大量的文獻研究，這些PAPR 抑制算法大致可以分為三大類[5]。1) 以降低大幅度信號出現的概率為主體的概率類算法，如選擇映射序列、部分傳輸序列等算法。2) 以編碼技術為主體的算法，在這類算法中，信道編碼技術，如卷積碼、線性分組碼、polar 碼等被用于降低OFDM 系統的PAPR。3) 以信號預失真為主的壓擴類算法，這類算法不改變OFDM 信號樣點的相位，并使用相應的函數對OFDM 信號樣點的幅度進行改變，從而抑制OFDM 系統的PAPR。這類算法包括限幅法[6]、線性壓擴算法[7-11]和非線性壓擴算法[12-22]。

在以上PAPR 抑制算法中，非線性壓擴算法是一項非常有競爭力的算法，它們能夠在PAPR 性能和功率頻譜密度（PSD,power spectral density）性能之間實現平衡。

非線性壓擴算法的一種思路是先將壓擴后OFDM 信號樣點的幅度滿足的概率密度函數（PDF,probability density function）從瑞利分布改為一個有限概率分布，這樣可以抑制壓擴后OFDM 信號樣點幅度的最大值。一般而言，將壓擴后OFDM 信號樣點幅度的最大值稱為壓擴后OFDM 信號樣點幅度滿足的PDF 的限幅點。在壓擴后OFDM 信號樣點滿足的PDF 的參數設計中，需要確保PDF 的積分為1以及壓擴后和壓擴前OFDM信號樣點的平均功率相等這2 個條件。文獻[12]不對幅度較小的信號進行壓擴處理，對幅度較大的信號，將壓擴后信號樣點幅度滿足的PDF 從瑞利分布改為一個PAPR 較低的有限的PDF。該算法可以在有效降低OFDM 信號樣點的PAPR 的前提下，確保壓擴函數失真較低，從而確保壓擴后OFDM 信號樣點的BER 性能和PSD 性能。然而，文獻[12]提出的算法由于強制要求壓擴后OFDM 信號樣點的概率分布密度函數在限幅點處的值為0，將影響壓擴函數設計的靈活性。文獻[13]提出了指數壓擴（EC,exponential companding）算法。它將壓擴后OFDM 信號樣點滿足的PDF 從瑞利分布改為均勻分布。該算法可以降低OFDM 信號樣點的PAPR，并同時保證壓擴后和壓擴前OFDM 信號樣點的平均功率相等。然而，該方法會對OFDM 信號樣點產生較大的壓擴失真，從而影響壓擴后OFDM 信號樣點的BER 性能和PSD 性能。然而，文獻[13]在設計壓擴后OFDM 信號樣點滿足的PDF 時，對大幅度的信號和小幅度的信號都進行了處理，這將在一定程度上產生不必要的壓擴，從而提高壓擴失真。文獻[14]提出了一種基于瑞利分布和均勻分布相結合的分段非線性壓擴算法。該算法不改變小信號樣點的幅度，對于大幅度的信號，該算法將其壓擴后對應的PDF 從瑞利分布改為均勻分布。文獻[15]中的Wangs 算法不對幅度較小的信號進行處理，對于幅度較大的信號，將壓擴后OFDM 信號樣點幅度滿足的PDF 從瑞利分布改為線性分布。文獻[16]提出了一種基于平方根倒數結構（ISQR,inverse square root component）的分段非線性壓擴算法。該算法不改變幅度較小的信號，對于幅度較大的信號，該算法將壓擴后OFDM信號樣點的幅度滿足的PDF 從瑞利分布改為平方根倒數的分布。文獻[17]提出了Perturbed 算法，該算法將壓擴后OFDM 信號樣點的幅度滿足的PDF 從瑞利分布改為分段線性分布，這些分段線性函數可以良好地擬合瑞利分布函數。然后，在實際的傳輸中，還將對這些分段線性函數進行適當的擾動，以尋找最優的分段擬合函數。文獻[18]設計了分段非線性壓擴函數。該壓擴函數不對幅度較小的信號進行壓擴，對于幅度較大的信號，該壓擴函數將壓擴后OFDM 信號樣點的概率分布密度函數從瑞利分布改為經過伸縮變換的瑞利分布，使壓擴后OFDM 信號樣點的PDF 是一個有限分布，且具有較低的失真。文獻[19]將小幅度信號和大幅度信號分段進行處理，對于幅度較小的信號，將壓擴后OFDM 信號樣點的PDF 從瑞利分布改為一個經過伸縮變換的瑞利分布函數；對于幅度較大的信號，將壓擴后OFDM 信號樣點的PDF 從瑞利分布改為線性分布。

非線性壓擴算法的另一種思路是直接設計非線性壓擴函數。文獻[20]提出了μ律壓擴算法。然而，該壓擴算法會提高OFDM 信號樣點的平均功率，從而對OFDM 信號樣點的PAPR 抑制效果產生影響。文獻[21]設計了限幅壓擴（ALC,amplitude limited companding）多項式的算法，抑制壓擴后OFDM 信號樣點的PAPR。文獻[22]設計了分段非線性壓擴函數降低OFDM 系統的PAPR。該算法不改變小幅度信號的幅度，對于大幅度信號，使用限幅的算法，使壓擴后OFDM 信號樣點的最大幅度不超過一個固定的值；對于中等幅度的信號，使用多項式函數對OFDM 信號樣點進行壓擴，彌補因為限幅導致的損失。

目前，壓擴算法設計存在的問題是算法本身很難在PAPR 性能、BER 性能和計算復雜度之間達到平衡。因而，如何設計一種壓擴算法，使壓擴后OFDM 信號樣點在確保低PAPR 傳輸的前提下，仍然保證較低的BER 是基于壓擴變換的OFDM 系統的PAPR 抑制算法設計中十分重要的研究課題。

本文設計了一種基于通用瑞利和三角分布相結合的分段非線性壓擴（GHRSDNC,generalized hybrid of rayleigh and sine distribution based nonlinear companding）算法。該算法不對小幅度信號進行壓擴處理，對于大幅度的信號，該算法將壓擴后OFDM 信號樣點幅度滿足的PDF 從瑞利分布改為三角函數分布。該算法在設計完壓擴函數后，通過求解概率守恒以及壓擴后和壓擴前OFDM 信號樣點的平均功率相等這2 個約束條件，求解出對應的壓擴函數的參數的解析解。考慮到三角函數分布的圖像在形狀上與瑞利分布函數的圖像接近，該壓擴算法可以確保較低的壓擴失真。此外，該壓擴算法還可以通過靈活地調整參數，確保壓擴算法在PAPR 和BER 之間達成平衡。本文相比于其他算法，如文獻[12]的算法，更具有通用性。

2 基于壓擴變換OFDM 系統模型

基于壓擴變換的OFDM 系統的結構如圖1 所示。在OFDM 系統中，寬帶信號被劃分為N個不同的子載波。經過正交移相鍵控（QPSK,quadrature phase shift keying）或者正交振幅調制（QAM,quadrature amplitude modulation）后的信號獨立地傳輸于每一個子載波上。假設第k個子載波（0≤k≤N-1）上的信號為Xk，則OFDM 系統對這N路子載波上的數據進行快速傅里葉逆變換（IFFT,inverse fast Fourier transform）處理。在輸出端，第n個（0≤n≤N-1）子載波上的信號為

圖1 基于壓擴變換的OFDM 系統的結構

OFDM 信號的峰均比被定義為N個輸出信號中，峰值信號和平均信號功率的比值，記作

由中心極限定理可知，當子載波數目N足夠大時，OFDM 時域信號樣點xn滿足正態分布。相應地，時域信號樣點xn的幅度|xn|滿足的PDF 為瑞利分布，記作

其中，σ2表示的是OFDM 信號樣點的平均功率。相應地，瑞利分布函數的PDF 對應的累計分布函數（CDF,cumulative distribution function）為

如果使用壓擴算法抑制OFDM 信號樣點的PAPR，一種常見的思路為將壓擴后OFDM 信號樣點的概率分布從瑞利分布改為一個PAPR 較低的PDF，然后根據壓擴后的概率分布，推導出對應的壓擴函數的表達式。假設壓擴后OFDM 信號樣點幅度滿足的PDF 為對應的CDF 為則對應的壓擴函數的表達式為

3 分段非線性壓擴算法

壓擴函數的設計基于將壓擴后OFDM 信號樣點幅度滿足的PDF 從瑞利分布改為一個PAPR 較低的PDF，然后根據壓擴后和壓擴前OFDM 信號樣點的概率分布，推導出壓擴函數。

在壓擴函數的設計中，假設壓擴后的信號樣點為yn，壓擴后OFDM 信號樣點滿足的PDF 為考慮到壓擴函數的設計需要避免不必要的壓擴，以避免產生額外的復雜度和額外的失真。故而，考慮對于幅度較小的信號，不進行壓擴處理；對于幅度較大的信號，壓擴函數需要有效降低PAPR，同時不產生過高的失真。故而，壓擴后OFDM信號樣點的幅度滿足的PDF 的形狀需要與原始的瑞利分布函數的形狀相接近。

3.1 分段非線性壓擴函數設計

為了確保壓擴后OFDM 信號樣點的PSD 性能，要求壓擴函數具備連續性，即壓擴后OFDM信號樣點幅度滿足的PDF 為連續函數，即是連續函數，它需要在分段點x=cσ處連續。此時，可以得到

為了降低壓擴失真，函數g(x)需要盡可能接近原始的瑞利分布函數。考慮將g(x)設定為三角函數，記作

其中，b是形狀因子，負責控制三角函數的形狀。使用三角函數是一種非常好的選擇，一方面，三角函數在形狀上與瑞利分布函數足夠接近。這對于降低壓擴失真非常有效。另一方面，三角函數的表達式十分簡潔，容易推導出壓擴后OFDM 信號樣點的PDF 對應的最終利于推導壓擴函數的表達式。由于g(x)是PDF，故而，在區間中，g(x)需要滿足

此時，得出結論

進一步，為了讓分段函數有意義，要求

此時，將限幅值A重新寫作

故而，可以得出結論

使用該壓擴算法時，壓擴后OFDM 信號樣點的最大理論PAPR 為

此時，可以得到設計的壓擴函數在壓擴后OFDM 信號樣點滿足的PDF 為

其中，

壓擴后OFDM 信號樣點的PDF 對應的CDF 為

其中，

其中，

將式(19)和式(20)代入式(5)，可以得到對應的壓擴函數為

其中，

3.2 壓擴函數參數推導

在壓擴函數的參數中，給定任意的滿足式(13)的ε，通過求解二元方程組求解對應的參數c和b。參數c和b需要滿足2 個條件，一個條件是參數c和b需要滿足CDF 的定義，即此時，可以得到

通過對式(23)進行化簡，可以得到

進一步，假設 cos（πε）=t，則式(24)可以被改寫為

參數c和b需要滿足的另一個條件為壓擴后和壓擴前OFDM 信號樣點的平均功率相等，即

將式(25)和式(26)進行聯立，可以求解出對應的壓擴參數c和b。首先，將式(26)進行展開，可以得到

其中，

將cos(πε)=t代入式(28)中，并進行化簡，可以得到

將式(25)中的b和c的關系代入式(29)中，可以得到

此時，通過化簡式(30)，可以得到

通過求解式(31)中的關于c的一元二次方程，可以得到

假設

此時，可以得到

圖2 展示了參數ε與PAPR 的關系。通過圖2可以看出，隨著參數ε的增大，壓擴后OFDM 信號樣點的PAPR 逐漸增大。該壓擴算法可以通過靈活調整參數，使壓擴后OFDM 信號樣點的PAPR 位于4.25～6.15 dB。

圖2 參數ε 與PAPR 的關系

圖3展示了不同的參數ε對應的壓擴后OFDM信號樣點的PDF。通過圖3 可以看出，一方面，壓擴后OFDM 信號樣點幅度滿足的PDF 在形狀上與瑞利分布函數相接近。另一方面，隨著參數ε的增大，壓擴后OFDM 信號樣點的PDF 的形狀與原始的瑞利分布函數的形狀越來越接近，且壓擴后OFDM 信號樣點的PDF 的限幅點越接近零點。

圖3 不同的參數ε 對應的PDF

圖4 展示了不同的參數ε和對應的壓擴函數。通過圖4 可以看出，當信號的幅度較小時，壓擴函數的圖像與不進行壓擴處理的過原點的直線十分接近。隨著信號幅度的增大，壓擴函數的曲線緩慢增加至一個固定的值。這確保壓擴后OFDM 信號樣點的最大幅度不超過一個固定的值，并且確保較低的帶外泄露。

圖4 不同的參數ε 對應的壓擴函數

通過圖2～圖4 可以看出，壓擴函數的參數ε對壓擴函數的設計至關重要。壓擴函數的參數ε控制著壓擴后OFDM 信號樣點幅度對應的PDF 的形狀，以及壓擴后OFDM 信號樣點的最大幅度值。一方面，當ε的值增大時，壓擴后OFDM 信號樣點幅度滿足的PDF 更接近原點，從而PDF 失真更少，但是，相應地，壓擴后OFDM 信號樣點的PAPR 也會更大；另一方面，當ε的值減小時，壓擴后OFDM信號樣點的PAPR 更小，但是，對應的PDF 的失真也更大。

圖5 展示了不同壓擴函數的對比，對比的壓擴函數包括Wangs 算法[15]、ISQR 算法[16]、EC 算法[13]和ALC 算法[21]中的函數。在整體的仿真中，OFDM 信號樣點的平均功率被歸一化為1.0 π rad/sample。在對比的Wangs 算法中，c表示分段點的值，A表示限幅點的值；在對比的ISQR 算法中，c表示分段點的值；在對比的EC 算法中，d表示壓擴后OFDM 信號樣點幅度的d次冪；在對比的ALC 算法中，M表示限幅因子，s表示曲線的彎曲因子，v表示輸入信號的縮放因子。

通過圖5 可以看出，與EC 算法和ALC 算法中的函數相比，由于沒有對幅度較小的信號進行壓擴，本文壓擴函數在幅度較小的部分，與原始的過原點的直線幾乎重合。對于幅度較大的信號的部分，該壓擴函數的圖像緩慢地趨近于限幅值，這有助于提升壓擴函數的PSD 性能。

圖5 不同壓擴函數的對比

3.3 參數松弛方法

通過圖2 可以看出，ε的值從0.5 變到1.0 時，PAPR 的變化范圍為4.21～6.15 dB。為了提高壓擴算法的靈活性，提升壓擴后OFDM 信號樣點的PAPR 的變化范圍，考慮將式(26)中的壓擴后和壓擴前OFDM 信號樣點的平均功率相等的約束改為壓擴后和壓擴前OFDM 信號樣點的平均功率大約相等的約束，即

參考式(26)，可以把式(35)展開為

式(36)可被改寫為

其中，

其中，

圖6 展示了c和F的關系。通過圖6 可以看出，隨著c的增大，F的值逐漸趨近于1。且無論ε的值取多少，當c≥2 時，F的值都可以近似趨近于1。對任意的ε，除了求解出精確的c和b的值以外，當c≥2 時，都可以認為壓擴函數的參數滿足壓擴后和壓擴前OFDM 信號樣點的平均功率相等。

圖6 c 和F 的關系

圖7 展示了當c≥2 時，參數c、ε和PAPR的關系。從圖7 可以看出，當c固定時，隨著ε的增大，PAPR 逐漸增大。當ε固定時，隨著c的增大，PAPR 逐漸增大。因而，該參數松弛的方法進一步擴大了PAPR 的范圍，提升了參數設計的靈活性。

圖7 當c≥2 時，c、ε 和PAPR 的關系

3.4 壓擴算法流程設計

算法1 展示了設計的壓擴算法的發送端算法流程。該壓擴算法可以分為兩大部分。在第一部分中，基于預設的參數ε的值和OFDM 輸入信號樣點的平均功率σ2，求解參數c和參數b的值。在第二部分中，當輸入的信號序列的幅度小于給定的值cσ時，壓擴后OFDM 信號樣點的幅度與壓擴前相等。當輸入的信號序列的幅度大于給定的值cσ時，將使用壓擴函數對輸入信號序列進行處理。通過算法1 可以看出，在發送端，壓擴算法需要存儲預設的ε的值、總的子載波數目N和發送信號的平均功率σ2。

算法1GHRSDNC 壓擴算法流程

輸入預設ε的值、OFDM 的子載波數目N、OFDM 的原始的發送信號序列x[i]和原始的OFDM信號樣點的平均功率σ2

輸出壓擴后的OFDM 信號樣點序列yn

1) 預設主要參數：根據式(24)和式(26)求解參數c和b的值

4 仿真分析

為了驗證本文壓擴算法在PAPR、BER、PSD等方面的性能，本節對設計的壓擴算法進行相應的仿真分析。在仿真時，選取OFDM 系統的子載波數目為256，采用4 倍過采樣，并選取總的OFDM 的符號數為100。在整體仿真時，OFDM信號樣點的平均功率被歸一化為1.0 π rad/sample。本文壓擴算法與EC 算法[13]、ISQR 算法[16]、Wangs算法[15]和ALC 算法[21]進行比較。在BER 性能的仿真中，還將驗證OFDM 信號樣點在經過了固態功率放大器（SSPA,solid state power amplifier）以后的BER 性能。壓擴后OFDM 的信號樣點在經過SSPA 后的模型為

其中，Asat為功率放大器的飽和因子，在本次仿真中，Asat=1.5；p為控制功率放大器的形狀的因子，在本次仿真中，p=2.0。

圖8 展示了不同壓擴算法的PAPR 的互補累積分布函數（CCDF,complementary cumulative distribution function）。從圖8 可以看出，設計的壓擴函數的PAPR 的CCDF 曲線下墜迅速。特別地，在CCDF=1.0×10?4時，設計的壓擴算法在ε=0.6 時，對應的PAPR 大約為4.5 dB；在ε=0.8時，對應的PAPR 大約為5.0 dB；在ε=1.0 時，對應的PAPR 大約為6.3 dB。

圖8 不同壓擴算法的PAPR 的CCDF

圖9 展示了不同壓擴算法的BER 性能。從圖9可以看出，當BER=1.0×10?4時，GHRSDNC 算法在ε=0.6 時，需要的最低的Eb/N0大約為9.3 dB，比EC 算法低0.2 dB，比ALC 算法低0.7 dB。當BER=1.0×10?4時，GHRSDNC 算法在ε=0.8 時，需要的最低的Eb/N0大約為9.0 dB，比EC 算法大約低0.5 dB，比ALC 算法大約低1.0 dB。

圖9 不同壓擴算法的BER 性能

圖10 展示了不同壓擴算法在經過了SSPA 以后的BER 性能。通過圖10 可以看出，當BER=1.0×10?4時，GHRSDNC 算法在ε=0.6 時，對應的最低的Eb/N0為10.8 dB，比ALC 算法低0.2 dB。

圖10 不同壓擴算法經過SSPA 后的BER 性能

圖11 展示了不同壓擴算法的PSD 性能。通過圖11 可以看出，本文設計的壓擴算法在PSD 的性能方面具備優勢。當歸一化功率為1.0 π rad/sample時，GHRSDNC 算法在ε=0.6 時的帶外泄露功率為?27.0 dB，比ALC 算法低2.0 dB。當歸一化功率為2.0 π rad/sample 時，GHRSDNC 算法在ε=0.6 時的帶外泄露功率為?39.9 dB，比ISQR 算法低5.0 dB。

圖11 不同壓擴算法的PSD 性能

表1 展示了不同壓擴算法的性能比較。其中PSD 性能表示當歸一化頻率為2.0 π rad/sample 時，對應的帶外泄露功率。通過表1 可以看出，當PAPR相同時，本文壓擴算法在BER 性能、PAPR 性能和PSD 性能方面存在優勢。例如，當設計的GHRSDNC算法在ε=0.6 時，與EC 算法在CCDF=1.0×10?4時，對應的PAPR 都為4.5 dB，但GHRSDNC 算法在ε=0.6、BER=1.0×10?4時，對應的Eb/N0比EC 算法低0.2 dB；在歸一化頻率為2.0 π rad/sample 時，GHRSDNC 算法在ε=0.6 時，對應的帶外泄露功率比EC 算法低0.1 dB。

表1 不同壓擴算法的性能比較

5 結束語

本文設計了一種基于瑞利分布和三角函數分布相結合的非線性壓擴算法抑制OFDM 系統的PAPR。在該算法中，不對幅度較小的信號進行壓擴處理，對于幅度較大的信號，將壓擴后OFDM信號樣點的PDF 從瑞利分布改為三角函數分布。根據概率守恒和功率守恒，可以推導出壓擴函數的參數的理論表達式。仿真結果表明，本文設計的算法可以在有效降低OFDM 信號樣點的PAPR的基礎上，確保較低的誤碼率和良好的PSD 性能。例如，GHRSDNC 算法在ε=0.8、CCDF=1.0×10?4時，對應的 PAPR 為 5.0 dB，此時，它在BER=1.0×10?4時，不經過功率放大器，對應的最低的Eb/N0大約為9.0 dB。并且，當歸一化頻率為1.0 π rad/sample 時，GHRSDNC 算法對應的PSD的帶外泄露功率為?28.0 dB。