經驗小波變換-同步提取及其在滾動軸承故障診斷中的應用

李志農，劉躍凡，胡志峰，溫 聰，王成軍

（1.南昌航空大學無損檢測技術教育部重點實驗室，江西南昌330063；2.安徽理工大學礦山智能裝備與技術安徽省重點實驗室，安徽淮南232001）

引言

軸承是機械設備中起承載作用的關鍵零部件，對軸承進行及時準確的故障診斷在機械設備的安全使用過程中至關重要［1］，目前針對軸承的故障診斷取得了一定的進展，文獻［2-3］是基于滾動軸承的微弱特征提取研究；潘海洋等［4］提出了基于拉普拉斯特征映射流形學習算法和改進多變量預測模型，實現了滾動軸承的特征提取和故障識別全過程；文獻［5-9］是針對變工況下的滾動軸承故障診斷方法的研究；文獻［10-13］開發了針對滾動軸承的故障診斷系統；文獻［14-16］針對不同滾動軸承的故障類型進行了故障智能識別研究。然而，在復雜工況下，從軸承的故障信號中提取準確的故障頻率及時變特征仍是一個一直在探討的問題。文獻［17］采用了經驗小波變換（EWT）對軸承故障信號進行分解，對提取得到的模態進行Hilbert變換，得到Hilbert譜，該方法能夠表征故障信號的時頻特性，但是Hilbert變換會將兩信號的頻率差作為所求解的信號的頻率特征，因此得到的瞬時頻率和瞬時幅值會與實際信號有所偏差。文獻［18］采用譜峭度和同步提取變換方法應用到變轉速的軸承故障診斷中，為變轉速軸承故障診斷提供了新思路，但是當信號的瞬時頻率差過小時，傳統的同步提取變換方法［19］處理故障信號時易發生混疊，為解決上述問題，本文提出了一種基于同步提取變換（SET）和經驗小波變換（EWT）［20］的滾動軸承故障診斷方法，為了敘述方便，將該方法稱為EWT-SET方法，該方法結合了SET和EWT優點，即高時頻聚集性與信號的有效分解。進行了仿真和實驗驗證，同時與傳統的SET診斷方法進行了對比研究，仿真結果驗證了提出的EWT-SET的時頻結果相比傳統的SET有更清晰的瞬時頻率軌跡與更高的頻率分辨率，實驗驗證表明，該方法能夠有效地提取故障軸承的故障頻率，同時也能清晰地表示故障信號的時變特性，可以有效用于分析滾動軸承的損傷程度。

1 經驗小波變換-同步提取變換故障診斷方法

1.1 同步提取變換

同 步 提 取 變 換（SET）［19］是 短 時 傅 里 葉 變 換（STFT）的后處理過程，因此SET的理論推導先從STFT開始，STFT定義式如下

式中s(u)為待分析的信號，g(u)為可移動的窗函數。將一維的時間信號變換到了二維的時間和頻率域中，令gω(u)=g(u-t)?ejωu，根 據帕斯瓦爾定理對式（1）進行變換，得到

式中S(ξ)與分別為s(u)與gω(u)的傅里葉變換，上標*表示取復共軛，Gh(ω-ξ)為窗函數的傅里葉變換。為了表達方便，對STFT的時頻結果G(t，ω)添加相移ejωt，由于觀察到的時頻譜均為幅值譜，因此增加相移不會影響結果，令

取 一 個 單 分 量 信 號sh(t)=A?e-jω0t，它 的 傅 里葉變換為Sh(ξ)=2πA?δ(ω-ω0)，A表示振幅，ω0表示頻率，將信號sh(t)的傅里葉變換代入式（3）得到單分量信號的STFT表達

計算式（4）中Ge(t，ω)對時間的導數能夠得到STFT的瞬時頻率軌跡ω0(t，ω)為

若Ge(t，ω)不為零，式（5）對任何的(t，ω)都成立，STFT的瞬時頻率的系數應該總是等于ω0，并且瞬時頻率軌跡ω0(t，ω)在時頻域中的表示為，在任意時間t下，頻率范圍[ω0-Δ，ω0+Δ]內的數值恒為ω0（Δ表示窗函數的頻寬），因此STFT受窗函數頻寬的限制難以精確表示瞬時頻率軌跡。式（4）中，根據海森堡測不準原理，為得到最佳的時間與頻率分辨率，選取窗函數為高斯窗，因此Gh(ω)是緊湊的，由于|ejω0t|=1，所以|Ge(t，ω)|在ω=ω0時取得最大值，并且能量最高，SET的目的便是提取ω0(t，ω)中ω=ω0時的瞬時頻率軌跡，以及時頻系數|Ge(t，ω0)|，從而使STFT的時頻表達逼近理想時頻分析。設SET的時頻表達為Te(t，ω)，定義如下表明，Te(t，ω)只保留STFT瞬時頻率軌跡ω0(t，ω)范圍內，即[ω0-Δ，ω0+Δ]范圍內中ω=ω0時的時頻系數，其余的時頻系數被移除，因此相比STFT會有更高的能量聚集度和頻率分辨率。稱δ(ωω0(t，ω))為同步提取算子（Synchroextracting Operator，SEO）。為了更準確地表示SEO，求Ge(t，ω)對t的導數

將sh(t)寫為調幅-調頻（AM-FM）形式，sh(t)=A(t)?ejφ(t)，φ(t)表示相位，φ′(t)為頻率，由式（6）和（9）可以得到sh(t)的SET表達式

因此，信號sh(t)可由下式重構

以上是SET處理單分量信號的過程，若對于多分 量 信 號表 示 各 分 量信號的相位，φ′k(t)表示頻率，SET的頻率分辨率由于受到窗函數頻寬Δ的限制，任意兩個分量必須滿足即 不同分量的瞬時頻率必須有一定的間隔SET才能有較好的結果，否則就會產生頻率混疊，時頻圖上看不到完整的瞬時頻率信息，而故障信號通常都是復雜的非平穩信號，如果直接對故障信號進行SET，時頻圖上關鍵的故障信息很有可能會被其他相鄰較近的頻率成分所覆蓋，從而造成誤判以及不可預知的后果，因此，本文提出結合EWT對SET進行改進。

1.2 經驗小波變換

在經驗小波變換（EWT）中，首先要對信號頻譜進行自適應的分割，將傅里葉譜[0，π]分割成N個連續的部分，設ωn表示相鄰兩個部分的邊界，定義ω0=0，ωN=π，其余N-1個邊界可以選擇為傅里葉譜相鄰局部各極大值的中點。每個部分表示為以 每 個ωn為 中心，定義帶寬Tn=2τn的濾波器過渡帶，經驗尺度函數和經驗小波函數定義如下：

式（12）和（13）實際上提供了低通濾波器和一系列帶通濾波器，對原信號進行濾波后能得到各個信號分量。設待分解信號為f(t)，可以用類似經典的小波變換方式來定義經驗小波變換，細節系數可由信號與經驗小波函數的卷積得到，逼近系數可由信號與尺度函數的卷積得到

F-1(?)表示傅里葉反變換分別由式（12）和（13）定義，分別是φ1(t)和ψn(t)的Fourier變換，信號f(t)的重建如下

f(t)各經驗模態fk(t)定義如下

EWT的關鍵在于對頻譜的自適應劃分，對頻譜分割的合理性直接影響到對信號分解的效果，在頻譜分割前需要確定頻譜極大值的數量N，如果已知信號的頻譜特點，可預先給定合適的N進行EWT，對于未知信號，Gilles在文獻［20］中提到了一種能夠自動確定N的算法，設表示在頻譜上檢測到極大值的集合，數量為M，將這M個極大值降序排列后滿足M1＞M2＞…＞MM，定義閾值MM+α(M1-MM)，α∈(0，1)，只保留大于該閾值的極大值點，通過調整參數α能夠得到合適的N。若N取值過小，則不能對原始信號進行有效分解，N取得過大則會錯誤地分割某些變頻信號的頻譜，因此N需要慎重選擇。為此，本文采用通過預先觀察待分析信號的頻譜的方法來確定合適的N，隨后將檢測到的極大值降序排列取前N個，在實際應用中，若噪聲的頻譜幅值小于信號各頻率分量的幅值，所確定的N個極大值幾乎不會受到噪聲的影響。即使檢測到了因為噪聲而產生的極大值，也可以只取前N個極大值來避免由噪聲產生的較小的極大值。

目前深基坑開挖研究對圍護樁位移變化規律研究較多[6-9]，但對內支撐軸力分析較少，且沒有明確的規律.所以本文就工程實例來主要研究深基坑內支撐軸力變化進行研究，為類似工程提供參考.

1.3 EWT-SET故障診斷方法

SET提取了STFT在信號瞬時頻率軌跡處的時頻參數，去除STFT多數發散的能量，因此SET的時頻結果具有能量集中，時頻分辨率高的特點，EWT能夠自適應地將復雜信號有效分解成若干個帶寬有限的信號分量，能較好地提取信號的時變特性，本文所提方法結合了SET和EWT在時頻分析方面的優點，提出的SET-EWT故障診斷方法具體步驟如下：

（1）利用EWT對軸承故障信號進行分解，得到N個模態分量。

（2）對每個模態分量用SET進行時頻分析，得到各個模態高能量集中的時頻分布與時變特征。

（3）將每一個模態的時頻結果疊加，得到故障信號的EWT-SET的時頻分布。

2 仿真研究

2.1 含相鄰的頻率成分的處理能力對比研究

這里，設計了兩個分量信號f1(t)=sin(2πf1t)與f2(t)=sin(2πf2t)，設f(t)為上述兩個不同頻率正弦波簡單疊加構成的，如下式所示

圖1 EWT-SET和傳統SET時頻圖Fig.1 Time-frequency diagram of EWT-SET and traditional SET

2.2 調幅調頻信號處理能力的對比研究

仿真信號f2（t）由正弦信號x1(t)和兩個調幅調頻信號x2(t)，x3(t)構成，表達式如下

仿真信號f2（t）的時域波形與頻譜如圖2所示。利用EWT-SET和SET分別對f2（t）進行時頻分析，得到的時頻分布如圖3（a）和（b）所示。在上述仿真信號的基礎加入噪聲，構建信噪比為13 dB的仿真信 號，EWT-SET和SET的 結 果 如 圖3（c）和（d）所示。

圖2 仿真信號f2（t）的時域和頻域波形Fig.2 The time-domain and frequency-domain waveform of simulated signal

由圖3（a）可知，EWT-SET能夠清晰地表示信號的瞬時頻率軌跡，EWT通過自動檢測信號頻譜局部極大值后自適應分割頻譜，隨后再對EWT分解出的模態分量進行SET。提出的EWT-SET方法在處理該信號的時候避免了因Δφ′(t)過小而得不到較好的結果。由圖3（b）可知，傳統的SET方法在0至2 s內頻率混疊現象最嚴重，隨著分量x3(t)的瞬時頻率逐漸增加，分量x1(t)的頻率差增大，混疊現象就不再發生，分量x2(t)周期性與x1(t)產生頻 率 混 疊，對 比 圖3（c）和（d），在 加 入 噪 聲 后，EWT-SET仍能夠較好地分割頻譜，并較為清晰地表示出信號的瞬時頻率軌跡。而在圖3（d）中，SET的時頻結果依舊存在混疊情況。

圖3 EWT-SET和SET得到的時頻分布Fig.3 The time-frequency diagram of EWT-SET and SET

對于多分量的變頻信號，在每個分量的頻帶沒有重疊部分時，頻譜中可以確定分量的個數，假設每個分量的頻譜都存在一個幅值最大的頻率點，也是整個信號能夠檢測到的頻率極大值點，由于不同分量的頻帶沒有重疊，則通過選取頻率極大值點之間的頻譜幅值最小處所對應的頻率點作為頻譜分割點，以便能夠有效地將各分量分離開。

3 實驗研究

為了進一步驗證EWT-SET算法的有效性，將提出的EWT-SET方法應用到滾動軸承的故障診斷中，并與傳統的SET進行對比。軸承數據來源為凱斯西儲大學，軸承類型為深溝球軸承，規格如表1所示。軸承振動信號由加速度傳感器采集，試驗臺如圖4所示。采樣頻率12 kHz，轉速為1797 r/min，在軸承外圈分別用電火花加工直徑為0.1778與0.5334 mm的缺陷，用來模擬軸承的輕微與嚴重損傷。由于軸承發生故障時所測得的信號是調制信號，高頻率的共振頻率通常作為載波，調制波通常為低頻的沖擊信號，故障信息往往都包含在低頻的沖擊信號中，很大程度上會影響故障診斷，因此，需要對故障信號進行Hilbert變換解調，原信號的時域波形與解調后的頻譜如圖5和6所示。

圖5 軸承外圈故障信號時域波形Fig.5 Time-domain diagram of fault signal of bearing outer ring

表1 軸承規格Tab.1 Bearing specifications

圖4 實驗裝置結構圖Fig.4 Experimental device structure diagram

經過計算，軸承外圈故障頻率應為107 Hz，由圖6（a）和（b）中均能看出故障頻率基頻，圖6（a）中的頻率成分較為明顯，而圖6（b）中出現了很多的頻率分量，僅從頻譜上難以看到故障頻率的倍頻，同時，圖6（a）和（b）中的頻譜也無法表示軸承外圈故障信號的時變特性。

根據頻譜分析，N的取值分別為13和9，如圖6所示。分別采用EWT-SET與傳統SET對不同損傷程度的外圈故障信號做時頻分析，得到的時頻分布 如 圖7所 示。其 中 圖7（a）和（c）為 利 用EWT-SET方法對兩種不同損傷程度進行時頻分析得到的結果，圖7（b）和（d）為利用傳統SET方法對兩種不同損傷程度進行處理得到的時頻分布。為了證明所提方法的優越性，這里，給0.1778 mm損傷的軸承信號加入信噪比為10 dB的白噪聲，分別采用EWT-SET與傳統SET進行分析，得到的時頻分布如圖7（e）和（f）所示。

軸承輕微損傷時，由圖7（a）可知，利用EWT-SET方法得到的時頻分布能夠看到一系列清晰的故障特征頻率和相應的倍頻，且1X至9X持續存在，更高階的倍頻分量比較微弱，且呈周期性的激發。而在圖7（b）中，傳統的SET方法雖然也能夠看到故障頻率及倍頻，但是相比EWT-SET的結果，關鍵的故障頻率倍頻軌跡不夠清晰，并且在相鄰倍頻之間出現了額外的瞬時頻率軌跡，這個現象出現的原因正是仿真實驗中圖1所表現的Δφ′(t)過小，而EWT-SET預先經過圖6的頻譜分割，再進行SET，得以清晰地表現故障頻率及其各個倍頻的時變特性，有效地診斷出故障。

圖6 故障信號解調后頻域波形（虛線表示EWT對頻譜分割的邊界）Fig.6 Frequency domain waveform after fault signal demodulation（The dotted line indicates the boundary of the EWT segmentation of the spectrum）

軸承出現嚴重故障時，由圖7（c）能夠看出，故障基頻與2X至9X均呈現周期性的激發，隨著倍頻階數增加，振幅逐漸微弱，而圖7（d）中SET的結果較為普遍的存在頻率混疊現象，雖然也能夠看出故障頻率的周期性激發，但是各倍頻的頻率軌跡十分模糊，尤其在400-800 Hz處，給故障診斷帶來困難。

圖7 軸承外圈故障的時頻分布Fig.7 Time-frequency distribution of bearing outer ring signal

對軸承故障信號加入噪聲時，EWT-SET的時頻結果中仍能觀察到清晰的故障頻率倍頻，隱約能觀察到高階倍頻分量的沖擊特性，SET的時頻結果頻率混疊情況加重，信號高階倍頻處的時頻結果幾乎被噪聲成分完全覆蓋。

通過上述分析，EWT-SET能夠準確地表示軸承故障的時頻特性，得到的時頻結果清晰地反映了軸承外圈故障的關鍵信息。輕微損傷時，故障基頻和較低階的倍頻都持續穩定存在，高階倍頻均呈現沖擊特性，而嚴重損傷時較低階的故障頻率倍頻甚至故障基頻也會出現沖擊特性，能夠作為軸承損傷嚴重程度判斷的依據，由此可見，EWT-SET方法為軸承故障診斷提供了一種有效的診斷方法。

4 結論

提出了一種基于同步提取變換（SET）與經驗小波變換（EWT）的軸承故障診斷方法，即EWT-SET方法。該方法首先通過EWT對故障信號的頻譜進行自適應分割，構造正交小波濾波器提取故障信號頻譜的主要頻率分量，在經過小波逆變換得到各經驗模態，隨后對每個模態進行同步提取變換，以時頻譜的形式表示各模態的瞬時頻率軌跡和瞬時幅值，最后將所有模態的時頻譜疊加得到故障信號的時頻分布，提出的方法預先通過EWT對信號進行模態分解，再對每個模態進行SET，在很大程度上解決了信號瞬時頻率分量距離過小導致SET的結果出現瞬時頻率混疊的問題。最后，將所提方法成功應用到了滾動軸承故障診斷中，實驗結果表明，相比傳統SET方法，EWT-SET具有明顯的優勢，利用EWT-SET方法能揭示軸承不同損傷程度時的振動特性，可以作為軸承損傷程度判斷的依據。