n-強投射余可解Gorenstein平坦模

鐘魁晨，張翠萍

西北師范大學 數學與統計學院，蘭州 730070

文獻[1]在左、右Noether環上引入了G-維數為0的有限生成模.文獻[2]在任意結合環上引入了Gorenstein投射(內射)模的定義，推廣了G-維數為0的有限生成模.文獻[3]引入了強Gorenstein投射(內射、平坦)模，并且證明了一個模M是Gorenstein投射模當且僅當它是某個強Gorenstein投射模的直和因子.文獻[4]引入了n-強Gorenstein投射(內射、平坦)模，并研究了這類模的一些性質.隨著人們對Gorenstein同調理論更為深入細致的研究，文獻[5-7]引入了Gorenstein AC投射模、n-強Gorenstein AC投射模，并得出了很好的性質.

文獻[8]定義了強Gorenstein平坦模，即Ding投射模.文獻[9]研究了PGF模，給出了這類模的一些等價刻畫.文獻[10]研究了PGF模和Gorenstein平坦模、Ding投射模之間的關系，證明了PGF模的類等于Ding投射模的類和Gorenstein平坦模的類的交集，給出了PGF模的類與Ding投射模的類相等的等價條件.文獻[11]研究了強PGF模.文獻[12]研究了強Ding投射模，文獻[13-14]對這類模進行了深入研究，并證明了這些模類具有許多與n-強Gorenstein投射模類似的性質.

受以上思想的啟發，本文引入n-強投射余可解Gorenstein平坦模，研究它的性質，討論這類模與n-強 Gorenstein平坦模及n-強Ding投射模之間的關系.

本文中的環R均指有單位元的結合環，模指左R-模.設M是R-模，M+表示M的示性模Homz(M，Q/Z)，M⊥表示M的右正交.pdR(M)，idR(M)，fdR(M)分別表示M的投射維數、內射維數、平坦維數.P(R)，GP(R)，DP(R)分別表示投射模類、Gorenstein投射模類、Ding投射模類.

1 預備知識

定義1[9]如果存在投射模的正合序列

定義2[11]如果存在投射模的正合序列

定義3[4]設n是正整數.如果存在R-模的正合序列

其中每個Pi是投射模，且對任意投射模P，HomR(-，P)保持以上序列正合.則稱R-模M是n-強Gorenstein投射模，記M為n-SGP模.所有n-SGP模的類記為n-SGP(R).

定義4[13]設n是正整數.如果存在R-模的正合序列

其中每個Pi是投射模，且對任意平坦模F，HomR(-，F)保持以上序列正合.則稱R-模M是n-強Ding投射模，記M為n-SDP模.所有n-SDP模的類記為n-SDP(R).

定義5[4]設n是正整數.如果存在R-模的正合序列

其中每個Fi是平坦模，且對任意內射右R-模I，I?R-保持以上序列正合.則稱R-模M是n-強Gorenstein平坦模，記M為n-SGF模.所有n-SGF模的類記為n-SGF(R).

定義6[4]設n是正整數.如果存在R-模的正合序列

其中每個Ii是內射模，且對任意內射模I，HomR(I，-)保持以上序列正合.則稱R-模M是n-強Gorenstein內射模，記M為n-SGI模.所有n-SGI模的類記為n-SGI(R).

我們有

PGF(R)?GP(R) PGF(R)?DP(R)

P(R)?1-SGP(R)?n-SGP(R)?GP(R)

P(R)?1-SDP(R)?n-SDP(R)?DP(R)

2 主要結果

定義7設n是正整數.如果存在R-模的正合序列

其中每個Pi是投射模，且對任意內射右R-模I，I?R-保持以上序列正合.則稱R-模M是n-強投射余可解Gorenstein平坦模，記M為n-強PGF模.所有n-強PGF模的類記為n-SPGF(R).

命題1設n為正整數.則：

證設M是強PGF模，則存在R-模的正合序列

其中P是投射模，且對任意內射右R-模I，I?R-保持以上序列正合.從而有正合序列

且I?R-作用后還是正合的.故M是n-強PGF模.

其中每個Pi是投射的，且對任意內射右R-模I，I?R-保持以上序列正合.從而有正合序列

且I?R-作用后仍正合.故M是PGF模.

易得以下結論：

命題2設n是正整數，則n-SPGF(R)關于直和封閉.

下面給出n-強PGF模的等價刻畫.

定理1設M是R-模，n是正整數.則以下結論等價：

其中每個Pi是投射模，且對任意內射維數有限的R-模H，H?R-保持以上序列正合；

其中每個Pi是投射模，且對任意內射右R-模E和某個正整數j，有

其中每個Pi是投射模，且對任意內射維數有限的右R-模H和某個正整數j，有

證?顯然.

其中每個Pi是投射模，且對任意內射右R-模I，I?R-保持以上序列正合.

設idR(H)=m<∞.當m=0時，H?R-保持以上序列正合.

假設對內射維數等于m-1的右R-模K，K?R-保持以上序列正合.考慮正合序列

其中E是內射右R-模，idR(K)=m-1.于是有復形的短正合列

因為E?RP和K?RP是正合的，所以H?RP正合.

所以結論成立.

是R-模的正合列.令Ki=Kerfi(i=0，…，n-1)，Kn=M.對任意內射右R-模，由維數轉移可得

其中i為任意正整數.因為

所以

故I?R-保持以上序列正合.所以M是n-強PGF模.

其中每個Pi是投射模，且對任意內射右R-模，I?R-保持以上序列正合.則對任意1≤i≤n，有正合列

且對這些正合序列作直和，得正合列

其中α=diag{α1，α2，…，αn-1，αn}，f=diag{fn，fn-1，…，f1，f0}.顯然

從而有正合列

顯然，對任意正整數n，強PGF模一定是n-強PGF模，反之不成立.注意到n-強PGF模定義中的每個Imfi也是n-強PGF模.

以下討論n-強PGF模、n-強Ding投射模及n-強Gorenstein平坦模之間的關系.

引理1n-SPGF(R)?n-SDP(R).

證設M是n-強PGF模，則存在R-模的正合列

其中每個Pi是投射的.由命題1知，M是PGF模.由文獻[10]的推論1知，M是Ding投射模，所以對任意平坦模故M是n-強Ding投射模.

命題3n-SPGF(R)=n-SDP(R)∩n-SGF(R).

證設M是n-強PGF模.由定義，M是n-SGF模.由引理1知M∈n-SDP(R)∩n-SGF(R).

反之，設M∈n-SDP(R)∩n-SGF(R).因為M∈n-SDP(R)，所以存在R-模的正合序列

定理2設R是環，以下結論等價：

其中每個Pi是投射模，從而有正合序列

因為圖中第一行正合，所以第三行正合.從而有正合列

故M∈n-SGF(R).

其中每個Pi是投射模，從而有正合列

(1)

其中每個Pi+是內射模.設I是內射模，且

P-1=M

從而

則HomR(I，-)保持序列(1) 正合.故M+∈n-SGI(R).