一類分數階奇異橢圓方程無窮多解的存在性

吳卓倫，商彥英

西南大學 數學與統計學院，重慶 400715

本文中，我們研究如下問題：

(1)

近年來，帶有Sobolev-Hardy臨界指數的奇異橢圓方程受到廣泛關注.當s=1時，方程即是整數階方程，文獻[1-3]利用山路引理得到了這類整數階方程存在正解，文獻[4]利用極大極小值原理得到了其變號解.文獻[5-6]在g(x，u)滿足關于u是奇函數的條件下，得到了這類整數階方程無窮多解的存在性.

當0

條件(G)保證了PS序列的有界性.我們在文獻[10]的基礎上，考慮了分數階橢圓方程在Sobolev-Hardy臨界情況下無窮多解的存在性.在Sobolev-Hardy臨界情況下不需要條件(G)也能證明PS序列有界.本文通過文獻[11]的方法，在沒有條件(G)的情況下，證明了能量泛函在某一范圍內滿足(PS)c*條件，運用對偶噴泉定理，得到了方程(1)存在無窮多個弱解.

(g3)g(x，-t)=-g(x，t)對所有t∈R和x∈Ω成立.

我們用Hs(Ω)表示分數階Sobolev空間[12]，其范數定義為

泛函空間為

記空間的范數為

當γ<γh時，Sobolev-Hardy最佳常數[13]定義為

(2)

方程(1)對應的能量泛函為

方程的解與泛函的臨界點一一對應.本文中用C，Ci表示各種正常數.

我們的主要結果如下：

引理3假設g滿足條件(g1)，則存在常數C>0，使得

(3)

證由條件(g1)可以得到

所以

記

則(3)式成立.

(4)

(5)

(6)

由(5)式和(6)式可知

因為Ω?RN是有界區域，所以存在常數C0>0，使得Ω?B(0，C0)，且

(7)

由(3)式和(7)式可得

(8)

由條件(g1)可得

因為

所以

故

結合(8)式可得

‖unj‖2≤C6‖unj‖+C7

根據Vitali定理和引理1，有

(9)

由Brezis-Lieb引理和引理1，可以得到

(10)

結合(3)式和(8)式可得

(11)

令

則對任意λ∈(0，λ*)，有

J(u)≥-β0

(12)

(13)

根據(9)式和(10)式可得

根據Λγ，s，α的定義，有

定理1的證明

(B1) 根據條件(g1)，存在常數C8>0，滿足

所以

(14)

由Sobolev不等式和Sobolev-Hardy不等式，存在常數R1，R2>0，使得

(15)

則對u∈Yk，‖u‖=rk，有J(u)<0.選取rk<ρk，(B2)成立.

(B3) 根據(15)式，當k≥k0時，u∈Zk且‖u‖≤ρk，滿足

J(u)≥-λC8φk‖u‖≥-λC8φkρk