日月影響的地球重力加速度精確計(jì)算方法

黃勁松 傅 瑜

(中國(guó)運(yùn)載火箭技術(shù)研究院，北京 100076)

1 引 言

地球表面上重力加速度

g

與一些因素的集合有關(guān)，這些因素包括所研究點(diǎn)的地理位置和高度、地球、太陽(yáng)和月球的重力、地球圍繞自身軸和沿繞太陽(yáng)軌道的轉(zhuǎn)動(dòng)、地球軸相對(duì)黃道面的傾角、一年和一晝夜的時(shí)間等，即它是對(duì)不同位置和時(shí)間取不同值的變量。準(zhǔn)確地求出以m/s、cm/s、伽(1伽=1cm/s)、毫伽(1毫伽=0.001cm/s)計(jì)量的自由落體絕對(duì)加速度，對(duì)宇航學(xué)、導(dǎo)航、大地測(cè)量、估計(jì)全局地球物理氣象過(guò)程以及軍事應(yīng)用等都具有非常重要的意義。

2 問(wèn)題的提出

使用各種擺式儀表和重力測(cè)量?jī)x、彈簧式和弦式測(cè)力計(jì)、杠桿式稱重等設(shè)備直接測(cè)量重力加速度是非常困難的，這需要詳細(xì)完成大量的工作，并且通常情況下這類儀表的可靠性需要標(biāo)好刻度來(lái)實(shí)現(xiàn)，這就導(dǎo)致在必須可靠地確定地球表面上任意一點(diǎn)的重力加速度時(shí)存在一定的困難。因此，為了得到在整個(gè)地球上的基準(zhǔn)重力網(wǎng)，波茨坦城重力加速度的絕對(duì)值曾被取為基準(zhǔn)單位，由Kuhnen.F、FurtwanglerPh(1898～1904)用五個(gè)回轉(zhuǎn)擺在40次系列試驗(yàn)中以直接測(cè)量的方式，確定了

g

=981274±3毫伽的形式。

研究人員對(duì)重力加速度標(biāo)準(zhǔn)部分

γ

值的計(jì)算進(jìn)行較多研究，他們?cè)诶碚撎剿骱驮诓ù奶棺鴺?biāo)系進(jìn)行大量實(shí)際測(cè)量試驗(yàn)結(jié)果分析的基礎(chǔ)上，提出了一系列在精確球體條件(

H

=0)下確定

γ

值的解析關(guān)系式。1930年于斯德哥爾摩市舉行的大地測(cè)量會(huì)議上認(rèn)定下面的Cassinis公式為國(guó)際公式(

γ

值的計(jì)量單位是毫伽)

γ

=978049

.

0·(1+0

.

0052884sin

φ

-0

.

0000059·sin2

φ

)

(1)

但之后在詳細(xì)完成不同地理點(diǎn)的多次重力測(cè)量與衛(wèi)星觀測(cè)數(shù)據(jù)分析的基礎(chǔ)上確認(rèn)，波茨坦系把加速度值提高了大約14毫伽。因此在1971年于莫斯科市舉行的國(guó)際大地與地球物理測(cè)量會(huì)議上曾確立了新的確定標(biāo)準(zhǔn)的重力加速度公式，該公式考慮了觀測(cè)點(diǎn)在海平面以上高度

H

的影響，其表達(dá)形式如下：

γ

=978031

.

85·(1+0

.

005302·sin

φ

-0

.

0000059·sin2

φ

)-0

.

3086·

H

(2)

公式(2)給出了考慮物體緯度和高度位置時(shí)重力加速度的標(biāo)準(zhǔn)值(近似值)，為了更精確地確定絕對(duì)值

g

，必須附加地考慮由各種因素作用造成的異常值(簡(jiǎn)化)，為此本文介紹一種考慮太陽(yáng)和月球影響的方法重力加速度值計(jì)算方法。

3 方法構(gòu)建與求解

來(lái)自月球引力的加速度

Δg

與所研究時(shí)刻月球在軌道上的位置有關(guān)，特別是該軌道被地球-月球地心軸與地球表面交點(diǎn)的坐標(biāo)(

φ

,

λ

)確定。于是，考慮上述因素的重力加速度

g

的廣義量由公式(3)確定：

g

=

γ

+

Δg

+

Δg

(3)

式中：

γ

——考慮到所研究點(diǎn)的緯度和高度位置，按公式(2)確定的自由落體標(biāo)準(zhǔn)加速度；

Δg

,

Δg

——分別為由太陽(yáng)和月球引力以及地球圍繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)形成的引力加速度值的異常。

(4)

式中：

M

——太陽(yáng)的質(zhì)量1

.

989·10

kg

；

G

——重力常數(shù)6

.

6720·10

Nm

/

(

kg

·

s

)；

α

——地球軸相對(duì)黃道平面的傾角23

.

5°；-90°≤

φ

≤90°——所研究點(diǎn)的地理緯度。它與地心緯度之間的差別很小(<0

.

1°)，對(duì)北半球、南半球和赤道的取值范圍分別是

φ

>0,

φ

<0,

φ

=0；

R

——從所研究的海平面上高度

H

處的點(diǎn)到地球中心的距離，按公式(5)計(jì)算

R

=

R

+

H

(5)

式中：

R

——球形地球的矢徑；

R

——地球的赤道半徑,

R

——地球的極半徑，其值分別為

R

=6378.164·10m，

R

=(1-

ε

)

R

=6356.799·10m；

ε

——地球扁率，0

.

00335；按公式(6)計(jì)算

(6)

式中：

η

——考慮一年時(shí)間的系數(shù)；

ξ

——考慮一晝夜時(shí)間的系數(shù)，

S

——數(shù)值上等于天數(shù)的以度為單位的角度：對(duì)于第一個(gè)半年從所考慮的日期到6月22日，而對(duì)于第2個(gè)半年從6月22日到所考慮的日期(太陽(yáng)系半年)；

t

——當(dāng)?shù)匾粫円箷r(shí)間內(nèi)的一個(gè)數(shù)(以小時(shí)記)；按公式(7)計(jì)算

(7)

式中：

V

——地球在黃道平面內(nèi)沿黃道軌道運(yùn)動(dòng)的線速度當(dāng)前值，

V

——地球繞太陽(yáng)軌道運(yùn)動(dòng)在遠(yuǎn)日點(diǎn)的線速度，29.27×10(m/s)，

V

——地球繞太陽(yáng)軌道運(yùn)動(dòng)在近日點(diǎn)的線速度，30.27×10(m/s)。按公式(8)計(jì)算

(8)

式中：

L

——所研究的日期從地球到太陽(yáng)的日心距，

L

,

L

分別表示在遠(yuǎn)日點(diǎn)(6月22日)和近日點(diǎn)(12月22日)上從地球到太陽(yáng)的距離

L

=152098.233·10m，

L

=147098.291·10m，

e

——地球軌道的偏心距，0.0167112。

對(duì)于給定的時(shí)間，根據(jù)月球的位置和地球-月球地心軸的坐標(biāo)(

φ

,

λ

)，按公式(9)計(jì)算月球重力

F

對(duì)重力加速度的影響

Δg

=

f

(

F

)(10毫伽)

(9)

對(duì)地球朝向月球方向該公式取負(fù)值“-”，而對(duì)地球的背對(duì)月球方向取正值“+”。

式中：

M

=7.35·10kg為月球的質(zhì)量；

L

——從月球到所研究的地球表面上坐標(biāo)為(

φ

,

λ

)的點(diǎn)的距離，其中-180°≤

λ

≤180°為所研究點(diǎn)的地理經(jīng)度(

λ

>0,

λ

<0,

λ

=0相應(yīng)地對(duì)應(yīng)于東經(jīng)、西經(jīng)和零子午線)，按公式(10)計(jì)算

L

=

L

-

R

·cos

σ

(10)

式中：

L

——地球到月球的當(dāng)前距離，對(duì)于月球的橢圓軌道按公式(11)計(jì)算

(11)

式中：

e

——月球繞地球軌道的偏心率，0

.

055；

a

=384.40·10m，月球軌道的長(zhǎng)半軸(沿拱點(diǎn)線)；

θ

表示月球軌道平面內(nèi)地球-月球地心軸相對(duì)拱點(diǎn)線(相對(duì)近地點(diǎn))的偏角(頂點(diǎn)在地球中心)，根據(jù)計(jì)算日期月球的位置求出；

σ

——頂點(diǎn)在地球中心的地球-月球地心軸坐標(biāo)(

φ

,

λ

)和所研究點(diǎn)(

φ

,

λ

)的地理位置之間的夾角，按公式(12)計(jì)算

(12)

式中：

Δφ

=|

φ

-

φ

|；

Δλ

=|

λ

-

λ

|，當(dāng)

Δλ

>180°時(shí)應(yīng)該按照

Δλ

=360°-|

λ

-

λ

|計(jì)算。角

σ

的變化范圍是：對(duì)于地球朝向月球的那一面0≤

σ

≤90°；對(duì)于地球背對(duì)月球的那一面90°≤

σ

≤180°。根據(jù)專門計(jì)算所研究日期上月球在繞地球軌道上的位置計(jì)算出點(diǎn)(

φ

,

λ

)的坐標(biāo)值和角度

θ

，在這種情況下緯度坐標(biāo)的變換范圍-18

.

36°≤

φ

≤18

.

36°，當(dāng)月球沿拱點(diǎn)線位于軌道上時(shí)，近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)上達(dá)到極值(最小和最大值)。零值

φ

=0對(duì)應(yīng)于月球處于節(jié)線上(在升交點(diǎn)和降交點(diǎn)附近)，這時(shí)

θ

=90°。

4 結(jié)果分析與示例

圖1 太陽(yáng)引力及離心力相關(guān)加速度

圖2 太陽(yáng)引力及離心力相關(guān)加速度和ΔgS

在早晨和晚上(

t

=6,18)，因?yàn)樽饔昧Τ虻厍虮砻娴那芯€方向，所以太陽(yáng)對(duì)重力加速度不產(chǎn)生影響。

除此之外，對(duì)地球繞自身軸和沿繞太陽(yáng)軌道運(yùn)動(dòng)的分析得出，對(duì)于躺臥狀態(tài)的人體組織來(lái)說(shuō)，最有利的狀態(tài)是沿子午線躺臥。當(dāng)身體轉(zhuǎn)變到頭朝西或者是頭朝東時(shí)，夜間和早晨單方向的切向和切向-離心加速度使血液向頭部或腳部流動(dòng)。

對(duì)于近日點(diǎn)夜間與白天(

t

=0;12,

S

=180°)地球上不同點(diǎn)處考慮高度

H

的按公式(2)計(jì)算出的最大的標(biāo)準(zhǔn)加速度

γ

和按公式(3)～(5)計(jì)算出的廣義加速度

g

值的比較結(jié)果在表1中給出，括號(hào)中給出標(biāo)準(zhǔn)加速度

γ

和廣義加速度

g

值之間的差值。

表1 近日點(diǎn)時(shí)各地晝夜的加速度

從表1中可以看出，與一年中和一晝夜內(nèi)的時(shí)間有關(guān)，廣義加速度

g

取與標(biāo)準(zhǔn)加速度

γ

不一樣的變化的值，相應(yīng)地達(dá)到30.07和-28.00毫伽。在近日點(diǎn)(P)北極(

t

=0;12)加速度

g

達(dá)到最大值983229.81毫伽，在欽博拉索火山頂峰(

t

=12)達(dá)到最小值976073.25毫伽和最小值。在兩極的加速度的大小有不同的值——北極的大，南極的小。對(duì)于地球上不同點(diǎn)，月球引力

F

對(duì)重力加速度的影響

Δg

=

f

(

F

)，在2019年12月26日(

S

=179°,

t

=12)新加坡市全日食期間(

H

=15

m

,

φ

=1

.

35°,

λ

=103

.

85°)，在地球-月球地心線與節(jié)點(diǎn)線上地球表面的交點(diǎn)處，即

θ

=90°廣義加速度

g

的計(jì)算結(jié)果在表2中給出。從表2中可以看出，月球引力

F

對(duì)重力加速度的影響取變符號(hào)的值——在地球朝向月球的這面取負(fù)值，在地球背對(duì)月球的面取正值。對(duì)于所研究的情況，加速度

Δg

=

f

(

F

)的最大值(絕對(duì)的)等于-3.29毫伽，在地球-月球地心線與節(jié)點(diǎn)線上地球表面的交點(diǎn)處。

表2 新加坡全日食期間各地的加速度

4 結(jié)束語(yǔ)

在自由落體標(biāo)準(zhǔn)加速度國(guó)際公式的基礎(chǔ)上，得到了與地球、太陽(yáng)和月球引力、海平面以上的高度、一年和一晝夜間的時(shí)間有關(guān)的地球表面任意一點(diǎn)的廣義加速度的計(jì)算公式，并得出在兩極的加速度的大小有不同的值——北極大南極小。

地球在近日點(diǎn)時(shí)，加速度在北極(子夜、中午)和欽博拉索火山頂峰(子夜)處，分別達(dá)到最大值983229.81毫伽和最小值976073.25毫伽。在一晝夜期間由重力和離心力造成的變號(hào)加速度分量沒(méi)有被完全“平衡”，例如，對(duì)欽博拉索火山在近日點(diǎn)子夜分別是-568.57毫伽和+540.56毫伽。

在近日點(diǎn)太陽(yáng)對(duì)地球上重力加速度施加的影響最大，一晝夜間加速度波動(dòng)幅值達(dá)55.34毫伽(對(duì)欽博拉索火山夜間加速度增加達(dá)27.34毫伽，而白天減少達(dá)-28.00)。在早晨和晚間太陽(yáng)對(duì)加速度的影響不大，因?yàn)橹亓ρ氐厍虮砻娴那芯€方向。

來(lái)自月球引力的加速度對(duì)地球朝向月球的表面取負(fù)值而對(duì)背對(duì)月球的那一面取正值，并且其絕對(duì)值相對(duì)較小(達(dá)3～4毫伽)。

由太陽(yáng)和月球影響帶來(lái)的一晝夜和一年間加速度的不對(duì)稱波動(dòng)對(duì)地球運(yùn)動(dòng)的集成作用最終被地球繞自身軸旋轉(zhuǎn)和沿軌道運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)所“吸收”。