日月影響的地球重力加速度精確計算方法

黃勁松 傅 瑜

(中國運載火箭技術研究院，北京 100076)

1 引 言

地球表面上重力加速度

g

與一些因素的集合有關，這些因素包括所研究點的地理位置和高度、地球、太陽和月球的重力、地球圍繞自身軸和沿繞太陽軌道的轉動、地球軸相對黃道面的傾角、一年和一晝夜的時間等，即它是對不同位置和時間取不同值的變量。準確地求出以m/s、cm/s、伽(1伽=1cm/s)、毫伽(1毫伽=0.001cm/s)計量的自由落體絕對加速度，對宇航學、導航、大地測量、估計全局地球物理氣象過程以及軍事應用等都具有非常重要的意義。

2 問題的提出

使用各種擺式儀表和重力測量儀、彈簧式和弦式測力計、杠桿式稱重等設備直接測量重力加速度是非常困難的，這需要詳細完成大量的工作，并且通常情況下這類儀表的可靠性需要標好刻度來實現，這就導致在必須可靠地確定地球表面上任意一點的重力加速度時存在一定的困難。因此，為了得到在整個地球上的基準重力網，波茨坦城重力加速度的絕對值曾被取為基準單位，由Kuhnen.F、FurtwanglerPh(1898～1904)用五個回轉擺在40次系列試驗中以直接測量的方式，確定了

g

=981274±3毫伽的形式。

研究人員對重力加速度標準部分

γ

值的計算進行較多研究，他們在理論探索和在波茨坦坐標系進行大量實際測量試驗結果分析的基礎上，提出了一系列在精確球體條件(

H

=0)下確定

γ

值的解析關系式。1930年于斯德哥爾摩市舉行的大地測量會議上認定下面的Cassinis公式為國際公式(

γ

值的計量單位是毫伽)

γ

=978049

.

0·(1+0

.

0052884sin

φ

-0

.

0000059·sin2

φ

)

(1)

但之后在詳細完成不同地理點的多次重力測量與衛星觀測數據分析的基礎上確認，波茨坦系把加速度值提高了大約14毫伽。因此在1971年于莫斯科市舉行的國際大地與地球物理測量會議上曾確立了新的確定標準的重力加速度公式，該公式考慮了觀測點在海平面以上高度

H

的影響，其表達形式如下：

γ

=978031

.

85·(1+0

.

005302·sin

φ

-0

.

0000059·sin2

φ

)-0

.

3086·

H

(2)

公式(2)給出了考慮物體緯度和高度位置時重力加速度的標準值(近似值)，為了更精確地確定絕對值

g

，必須附加地考慮由各種因素作用造成的異常值(簡化)，為此本文介紹一種考慮太陽和月球影響的方法重力加速度值計算方法。

3 方法構建與求解

來自月球引力的加速度

Δg

與所研究時刻月球在軌道上的位置有關，特別是該軌道被地球-月球地心軸與地球表面交點的坐標(

φ

,

λ

)確定。于是，考慮上述因素的重力加速度

g

的廣義量由公式(3)確定：

g

=

γ

+

Δg

+

Δg

(3)

式中：

γ

——考慮到所研究點的緯度和高度位置，按公式(2)確定的自由落體標準加速度；

Δg

,

Δg

——分別為由太陽和月球引力以及地球圍繞太陽運動形成的引力加速度值的異常。

(4)

式中：

M

——太陽的質量1

.

989·10

kg

；

G

——重力常數6

.

6720·10

Nm

/

(

kg

·

s

)；

α

——地球軸相對黃道平面的傾角23

.

5°；-90°≤

φ

≤90°——所研究點的地理緯度。它與地心緯度之間的差別很小(<0

.

1°)，對北半球、南半球和赤道的取值范圍分別是

φ

>0,

φ

<0,

φ

=0；

R

——從所研究的海平面上高度

H

處的點到地球中心的距離，按公式(5)計算

R

=

R

+

H

(5)

式中：

R

——球形地球的矢徑；

R

——地球的赤道半徑,

R

——地球的極半徑，其值分別為

R

=6378.164·10m，

R

=(1-

ε

)

R

=6356.799·10m；

ε

——地球扁率，0

.

00335；按公式(6)計算

(6)

式中：

η

——考慮一年時間的系數；

ξ

——考慮一晝夜時間的系數，

S

——數值上等于天數的以度為單位的角度：對于第一個半年從所考慮的日期到6月22日，而對于第2個半年從6月22日到所考慮的日期(太陽系半年)；

t

——當地一晝夜時間內的一個數(以小時記)；按公式(7)計算

(7)

式中：

V

——地球在黃道平面內沿黃道軌道運動的線速度當前值，

V

——地球繞太陽軌道運動在遠日點的線速度，29.27×10(m/s)，

V

——地球繞太陽軌道運動在近日點的線速度，30.27×10(m/s)。按公式(8)計算

(8)

式中：

L

——所研究的日期從地球到太陽的日心距，

L

,

L

分別表示在遠日點(6月22日)和近日點(12月22日)上從地球到太陽的距離

L

=152098.233·10m，

L

=147098.291·10m，

e

——地球軌道的偏心距，0.0167112。

對于給定的時間，根據月球的位置和地球-月球地心軸的坐標(

φ

,

λ

)，按公式(9)計算月球重力

F

對重力加速度的影響

Δg

=

f

(

F

)(10毫伽)

(9)

對地球朝向月球方向該公式取負值“-”，而對地球的背對月球方向取正值“+”。

式中：

M

=7.35·10kg為月球的質量；

L

——從月球到所研究的地球表面上坐標為(

φ

,

λ

)的點的距離，其中-180°≤

λ

≤180°為所研究點的地理經度(

λ

>0,

λ

<0,

λ

=0相應地對應于東經、西經和零子午線)，按公式(10)計算

L

=

L

-

R

·cos

σ

(10)

式中：

L

——地球到月球的當前距離，對于月球的橢圓軌道按公式(11)計算

(11)

式中：

e

——月球繞地球軌道的偏心率，0

.

055；

a

=384.40·10m，月球軌道的長半軸(沿拱點線)；

θ

表示月球軌道平面內地球-月球地心軸相對拱點線(相對近地點)的偏角(頂點在地球中心)，根據計算日期月球的位置求出；

σ

——頂點在地球中心的地球-月球地心軸坐標(

φ

,

λ

)和所研究點(

φ

,

λ

)的地理位置之間的夾角，按公式(12)計算

(12)

式中：

Δφ

=|

φ

-

φ

|；

Δλ

=|

λ

-

λ

|，當

Δλ

>180°時應該按照

Δλ

=360°-|

λ

-

λ

|計算。角

σ

的變化范圍是：對于地球朝向月球的那一面0≤

σ

≤90°；對于地球背對月球的那一面90°≤

σ

≤180°。根據專門計算所研究日期上月球在繞地球軌道上的位置計算出點(

φ

,

λ

)的坐標值和角度

θ

，在這種情況下緯度坐標的變換范圍-18

.

36°≤

φ

≤18

.

36°，當月球沿拱點線位于軌道上時，近地點和遠地點上達到極值(最小和最大值)。零值

φ

=0對應于月球處于節線上(在升交點和降交點附近)，這時

θ

=90°。

4 結果分析與示例

圖1 太陽引力及離心力相關加速度

圖2 太陽引力及離心力相關加速度和ΔgS

在早晨和晚上(

t

=6,18)，因為作用力朝向地球表面的切線方向，所以太陽對重力加速度不產生影響。

除此之外，對地球繞自身軸和沿繞太陽軌道運動的分析得出，對于躺臥狀態的人體組織來說，最有利的狀態是沿子午線躺臥。當身體轉變到頭朝西或者是頭朝東時，夜間和早晨單方向的切向和切向-離心加速度使血液向頭部或腳部流動。

對于近日點夜間與白天(

t

=0;12,

S

=180°)地球上不同點處考慮高度

H

的按公式(2)計算出的最大的標準加速度

γ

和按公式(3)～(5)計算出的廣義加速度

g

值的比較結果在表1中給出，括號中給出標準加速度

γ

和廣義加速度

g

值之間的差值。

表1 近日點時各地晝夜的加速度

從表1中可以看出，與一年中和一晝夜內的時間有關，廣義加速度

g

取與標準加速度

γ

不一樣的變化的值，相應地達到30.07和-28.00毫伽。在近日點(P)北極(

t

=0;12)加速度

g

達到最大值983229.81毫伽，在欽博拉索火山頂峰(

t

=12)達到最小值976073.25毫伽和最小值。在兩極的加速度的大小有不同的值——北極的大，南極的小。對于地球上不同點，月球引力

F

對重力加速度的影響

Δg

=

f

(

F

)，在2019年12月26日(

S

=179°,

t

=12)新加坡市全日食期間(

H

=15

m

,

φ

=1

.

35°,

λ

=103

.

85°)，在地球-月球地心線與節點線上地球表面的交點處，即

θ

=90°廣義加速度

g

的計算結果在表2中給出。從表2中可以看出，月球引力

F

對重力加速度的影響取變符號的值——在地球朝向月球的這面取負值，在地球背對月球的面取正值。對于所研究的情況，加速度

Δg

=

f

(

F

)的最大值(絕對的)等于-3.29毫伽，在地球-月球地心線與節點線上地球表面的交點處。

表2 新加坡全日食期間各地的加速度

4 結束語

在自由落體標準加速度國際公式的基礎上，得到了與地球、太陽和月球引力、海平面以上的高度、一年和一晝夜間的時間有關的地球表面任意一點的廣義加速度的計算公式，并得出在兩極的加速度的大小有不同的值——北極大南極小。

地球在近日點時，加速度在北極(子夜、中午)和欽博拉索火山頂峰(子夜)處，分別達到最大值983229.81毫伽和最小值976073.25毫伽。在一晝夜期間由重力和離心力造成的變號加速度分量沒有被完全“平衡”，例如，對欽博拉索火山在近日點子夜分別是-568.57毫伽和+540.56毫伽。

在近日點太陽對地球上重力加速度施加的影響最大，一晝夜間加速度波動幅值達55.34毫伽(對欽博拉索火山夜間加速度增加達27.34毫伽，而白天減少達-28.00)。在早晨和晚間太陽對加速度的影響不大，因為重力沿地球表面的切線方向。

來自月球引力的加速度對地球朝向月球的表面取負值而對背對月球的那一面取正值，并且其絕對值相對較小(達3～4毫伽)。

由太陽和月球影響帶來的一晝夜和一年間加速度的不對稱波動對地球運動的集成作用最終被地球繞自身軸旋轉和沿軌道運動的特點所“吸收”。