液滴撞擊液面形成的液坑形態特征及其重力勢能分析

郭 通，袁德奎，趙豐澤

天津大學 機械工程學院力學系，天津 300350

0 引 言

液滴撞擊液面是自然界和工業領域常見的現象。在重力、表面張力、壓力和黏性力等多種因素的作用下，液滴撞擊液面的過程中會出現飛濺、液冠形成、液坑擴張與收縮、次生液柱生成、液柱破碎為次生液滴以及液滴漂浮等復雜而有趣的現象。

1876年，Worthington 等[1-2]記錄了不同下落高度、不同直徑的水銀與牛奶撞擊玻璃后的液滴鋪展形狀，以瞬時攝影技術拍攝了水滴撞擊水與牛奶混合溶液以及牛奶液滴撞擊水面的運動過程。此后，研究者對液滴撞擊液面問題進行了持續研究，試圖描繪其完整圖像，并揭示其規律和內在機理。蔡一坤[3]觀察到液滴撞擊液面過程中的“穿入”“劈裂”和“飛濺”三種現象，總結出發生液滴“穿入”現象的下落高度經驗公式，以及飛濺過程中坑徑、坑深、形成最大凹坑所需時間、中心柱回彈時間與下落高度的關系。鄭哲敏[4]對蔡一坤的實驗過程和數據進行了分析，指出“環形穿入”現象是由液滴脫離管口后的自由振動造成的。Rein[5]的研究表明：由于初始速度等條件不同，液滴撞擊液面過程中會出現液滴漂浮、反彈、合并和飛濺等現象；在液滴與目標液體合并過程中，液體內部會出現渦環，而在飛濺過程中目標液體內會形成液坑、液冠、液柱等多種形態。Bisighini等[6]通過實驗研究了液坑無量綱深度和無量綱寬度隨時間的變化過程，從理論上推導出了液坑最大無量綱深度。Ouz 等[7]采用邊界單元法對液滴撞擊液面過程進行了數值模擬研究，發現在液坑底部會出現氣泡卷吸現象。Vander Wal[8]等通過實驗研究了不同液膜厚度（液膜厚度與液滴直徑之比為0.1～10.0）對液滴撞擊液面效果的影響，發現薄液膜促進飛濺、厚液膜抑制飛濺。Manzello 和Yang[9]對水滴撞擊水池和C4F9OCH3（HFE7100）溶液池（液池深度2～25 mm）分別進行了實驗，發現韋伯數越大，水滴撞擊液面后形成的液柱越高，且液柱發生破碎的臨界韋伯數與液池深度相關（韋伯數范圍為5.5～206.0）。Castillo-Orozco 等[10]通過實驗研究了液體黏性、表面張力、撞擊速度對液滴撞擊液面后運動形態的影響，發現撞擊速度越大，產生的中心液柱越高，液柱越容易破碎生成次生液滴，并且給出了液坑深度和中心液柱高度隨時間的變化曲線。夏秀文等[11]建立了液滴撞擊液面對沖聚合模型，得出了碰撞過程中拋射液滴的反彈速度以及總能量損耗率；但為簡化模型忽略了被撞擊液面的流體特性，因此實驗中的液滴反彈速度比理論結果小。馬慧敏等[12]在液滴撞擊液面實驗中發現：液坑最大深度和最大水平長度、液柱最大高度隨韋伯數增大呈線性增大；韋伯數越大，液坑和液柱的形態變化越快，液坑和中心液柱持續時間越長，液柱達到最大高度及生成次生液滴的時刻也越晚。曹剛等[13]發現液滴撞擊成泡是概率性問題，受液滴撞擊速度、液池深度、回落二次液滴等影響，液滴撞擊淺液池可以形成一個圓泡，撞擊深液池可以先形成環形泡再演變為1～2 個圓泡。裴傳康等[14-15]通過數值模擬對微小水滴撞擊深液池過程進行了研究，發現液坑形狀有U 形和半球形兩種，且一般分別向V 形和圓柱形轉變。鄭明飛[16]通過二維數值模型研究了雙液滴同時撞擊液膜（厚5 mm）的過程，發現雙液滴會互相影響，撞擊區域外側射流，發展形成皇冠狀水花，中心射流勢能最終轉化為外側水花發展能量。Michon 等[17]發現：不同弗勞德數下，液滴撞擊液面生成液柱的速度和粗細不同，且表面波傳播和液坑收縮均會影響液柱的形成。Liang 等[18]使用Level Set 耦合VOF 的方法對液滴撞擊液膜過程進行了數值模擬，結果表明：液冠直徑隨無量綱液膜厚度的減小而增大，與韋伯數和雷諾數無關；液冠高度隨韋伯數增大而增大，與雷諾數關系不大。Saha 等[19]結合高速激光誘導熒光和陰影圖技術對液滴撞擊液池后形成的渦環形態演變進行了實驗研究，發現渦環運動可分為線性、非單調和減速運動三個階段，在運動過程中慣性、毛細和黏性效應交替起主導作用。

除運動形態及規律外，液滴撞擊液面過程中的能量轉化也是研究者關注的重要問題。Engel[20]對撞擊中形成的液泡進行簡化，假設液滴撞擊能量一半傳遞到液池的重力勢能和表面能，忽略其他較小能量，推導出液坑深度表達式，與實驗結果符合良好。Macklin 等[21]建立了液滴撞擊深液池和極淺液池兩種情況的簡化幾何模型，提出了液坑達到最大深度時的表面能、重力勢能以及黏性耗散能量方程式，推導出達到最深液坑時的液坑深度和液柱高度的表達式，研究發現：韋伯數越大，被撞擊液體接收的初始液滴能量越小，且越接近初始液滴能量的一半，這與Engel 等提出的假設一致。馬慧敏等[22]用VOF方法模擬液滴撞擊過程，發現撞擊過程中動能、表面能和重力勢能相互轉化，液滴初始速度越大，能量損耗越大。Hasegawa 等[23]的研究表明：液坑體積受液滴直徑與撞擊速度影響；對于水滴，液柱體積隨撞擊速度增大而增大，對于乙醇液滴，更高的撞擊速度和更大的液滴直徑會增大液柱體積；無論液體屬性如何，約28%的撞擊能量用于液坑形成，其余能量極可能消散或消耗于表面。Xu 等[24]對不同環境溫度（20～78 ℃）下的水滴撞擊乙醇溶液后達到最大液坑和最高液柱時的能量轉化問題進行了研究，發現初始液滴能量的44.1%～74.5%轉化為液坑最大時的重力勢能和表面能，液坑最大時重力勢能和表面能的31.1%～71.8%轉化為液柱最高時的重力勢能和表面能，且能量傳遞比隨溫度升高呈線性增大。

此外，研究者還對液滴撞擊冷卻著火液體（如油池）[25-26]、壁面[27]等液滴撞擊應用問題開展了相關研究。

液滴撞擊液面問題已經取得了豐碩的研究成果，但其關注的重點多是液體本身屬性（如表面張力、黏性等）對其形態變化的影響，而鮮見液池深度對撞擊過程的影響研究。因此，本文嘗試通過實驗探究液池深度、液滴直徑對液滴撞擊液面過程的影響，希望進一步加深對液滴撞擊液面過程的認識。

1 實驗裝置及方法

實驗裝置如圖1所示。用于產生液滴的針頭固定于高度可調節的金屬支架上。為調節液滴直徑，實驗采用了3 種規格的針頭（23G、19G、14G）。針頭后以導管連接蠕流泵，用于控制產生液滴的大小和時間間隔。針頭正下方放置一個透明玻璃水箱，其中液體深度可根據實驗要求調節。水箱一側架設一部高速相機（NAC Memrecam HX-6，鏡頭焦距50 cm，分辨率2560 像素×1920 像素，采樣頻率1000 幀/s）。在與鏡頭相對的水箱另一側設置300 W 的LED 光源，以保證高速拍攝所需的光強。相機連接至電腦，將實驗采集的數據實時傳輸至電腦并以圖片形式存儲。

圖1 實驗裝置示意圖Fig.1 Experimental set-up

實驗液體為純凈水，密度998.8 kg/m3，表面張力系數73.19 mN/m，動力黏性系數1.081×10–3Pa·s。環境和水的溫度保持為17 ℃，氣壓為大氣壓。

液滴直徑及撞擊初速度（液滴剛接觸液面時的速度）是兩個關鍵實驗參數。通過針頭直徑和蠕流泵可以調節液滴直徑，但無法直接確定液滴直徑。實際上，在表面張力作用下，針頭滴出的液滴明顯比針頭直徑更大。因此，需要先行對照片中液滴進行數字化處理，獲得以像素為單位的液滴直徑，然后乘以預先標定好的系數，得到實際的液滴直徑。撞擊初速度則是通過液滴剛接觸液面時連續兩幀照片上液滴的位移與間隔時間（1 ms）的比值進行計算。

已有研究表明，由初始液滴參數定義的韋伯數We是影響整個撞擊過程的重要無量綱數：

式中，ρ和σ為水的密度和表面張力系數，d和v為液滴直徑和撞擊速度。

為考察撞擊速度v、液滴直徑d和液池深度h0對液滴撞擊液面過程的影響，實驗中設置8 個不同下落高度（400、510、640、790、940、1110、1300 和1500 mm），在每個高度下設置5 種不同的h0，在每種h0下設置3 種不同的液滴直徑，共計120 組實驗方案。每組方案重復實驗3 次，共計360 組次實驗。表1列出了實驗方案及相應參數（范圍）。

表1 實驗方案及相應參數Table 1 Experimental scheme and parameters

2 實驗現象

觀測和分析120 組實驗所得圖像（視頻），發現對于液池較深和液池較淺兩種情況，液滴撞擊液面后的運動形態明顯表現出不同的特性。下面對這兩種情況分別進行闡述。

在本文中，當液坑能夠充分擴張和收縮時，認為液池較深。實驗中，h0為40、20 和15 mm 的全部實驗組次以及h0為10 mm 的部分組次，液坑均能充分發展。圖2以h0=40 mm 為例給出了液池較深情況下液滴撞擊液面后運動形態隨時間的變化過程。液滴剛接觸液面時，在1～2 ms 內會向外推擠出一圈薄膜，隨后薄膜破碎成一圈小液滴。之后，液面出現凹坑并迅速擴大。當液坑達到最大體積時，剖面呈半橢圓形，同時液坑開始收縮。液坑收縮并非各向均勻，由四周向內收縮的速度明顯低于由下向上收縮的速度，因此液坑形狀變得更癟。一般情況下，若液滴初始動能足夠大，液坑收縮過程中就會生成一個液柱。液柱向上運動至一定高度后開始落回液面。液柱在內部速度差和表面張力影響下會產生次生液滴（通常1～2 個；后文次生液滴均指液柱頂部分離出的液滴）。在液柱幾乎達到最高點時，次生液滴基本成形（圖2中114 ms 時的圖像）；而在液柱落回液面過程中，次生液滴逐漸與液柱分離（在圖2中，139 ms 時已完全分離）。次生液滴成形后，隨液柱一起向下運動、落回液面，使已基本恢復平靜的液面再次被撞擊出較小的液坑。

圖2 液滴撞擊深液池后的運動過程（d =3.71 mm，v =4.81 m/s，h0=40 mm）Fig.2 Process of droplet impact on deep liquid pool (d =3.71 mm，v =4.81 m/s，h0=40 mm)

在h0=5 mm 的全部實驗組次以及h0=10 mm 的部分組次中，液坑受液池底部影響明顯，不能充分發展。圖3給出了液池較淺情況下撞擊后運動形態隨時間的變化過程。液滴接觸液面后的1～2 ms 內，會向四周濺出一圈小液滴，這與液池較深的情況相同。當液坑生成并開始擴大時，其運動形態與液池較深的情況差異顯著：受底部限制，液坑在深度方向不能繼續擴大，只能向四周擴張，液坑形狀近似一個橫切掉底部的半球；液坑體積達到最大時，開始收縮，由四周向內收縮的速度明顯低于由下向上收縮的速度，液坑變為圓錐形；收縮過程同樣會產生液柱，且液柱運動過程中也會產生次生液滴；與液池較深的情況相比，液柱上升速度更快，液柱更細。此外，在液池較深的情況下，次生液滴沒有明顯的向上速度；而在液池較淺的情況下，次生液滴從上升速度更快的液柱分離后，會向上運動一段距離后才落回液面，且數量更多。對比圖3（a）和（b）可以看出，h0=10 mm時產生的次生液滴數目（9 個）比h0=5 mm 時更多，這可能是因為液滴撞擊更淺的液池時，液池底部的影響更為顯著，運動形態更為混亂，更多能量被耗散，導致可用于推動液坑擴張和收縮的動能減少。

圖3 液滴撞擊淺液池后的運動過程Fig.3 Process of droplet impact on shallow liquid pool

3 實驗結果分析

從上節實驗現象可知，由于液池底部的作用，在液坑、液柱和次生液滴等的發展過程和形態方面，液滴撞擊較淺液池與較深液池的情況差異顯著。作為液滴撞擊較淺液池問題的初步探索，后文重點討論此情況下的液坑形態特征及其與We的關系，并嘗試對液坑發展過程中的能量轉化規律進行分析。

3.1 液坑形態特征分析

圖4給出了液坑相關特征幾何量的定義。L為液坑最大水平長度，即液坑體積最大時的水平長度。H為液坑最大深度：當液坑不觸底時（完整液坑），H對應于液坑體積最大時的垂直深度；當液坑觸底時（非完整液坑），H為液池深度h0。RC為液坑最大半徑，即液坑體積最大時的半徑。

圖4 液坑形狀示意圖Fig.4 Schematic diagram of crater shape

對于液池較深、液坑未接觸液池底部的情況（完整液坑），液坑近似半球狀。圖5（a）給出了本文實驗中完整液坑L和H的關系。可以看出，L和H基本呈線性關系，H/L的平均值約為0.65。圖5（b）給出了非完整液坑L和H的關系，可明顯看出：液池較淺時，由于底部限制，H只能達到h0；但液坑沿水平方向依然能夠擴展，h0相同時，L隨d增大而增大。

圖5 L 與H 的關系Fig.5 Relationship between L and H

3.2 液坑最大水平長度L、最大深度H 與We的關系

已有研究表明，對于液池較深的情況（完整液坑），液滴撞擊液池后的運動形態與基于液滴參數定義的We（見式（1））密切相關[12]。對于液池較淺的情況（非完整液坑），We、d和h0的作用尚不明確。下文對不同We（由d和v確定）下、不同h0的液池中的L和H變化規律進行分析。

圖6和7 分別給出了液池較深時完整液坑的無量綱最大水平長度L/d和無量綱最大深度H/d與We之間的關系。可以看出：1）L/d和H/d均隨We增大而增大，且在We較小時增大較快，而當We較大時，L/d和H/d的增大趨勢變緩；2）在We和h0相同的情況下，L/d和H/d隨初始液滴直徑d的增大而減小，如圖6（a）～（d）和圖7（a）～（d）所示；3）在We和d相同的情況下，當h0從40 mm 減小至15 mm 時，L/d和H/d均增大，但當h0從15 mm 減小至10 mm 時，L/d和H/d反而減小，如圖6（e）～（g）和圖7（e）～（g）所示。

圖6 完整液坑L/d 與We 的關系（a～d：不同液滴直徑；e～g：不同液池深度）Fig.6 Relationship between L/d and We for complete crater (a-d:different droplet diameters；e-g:different pool depths)

圖7 完整液坑H/d 與We 的關系（a～d：液滴直徑對比；e～g：液池深度對比）Fig.7 Relationship between H/d and We for complete crater (a-d:different droplet diameters；e-g:different pool depths)

對于非完整液坑，圖8顯示L/d隨We增大而增大，這與完整液坑情況下的變化趨勢是一致的。受實驗條件限制，本研究僅在h0為5 和10 mm 的部分實驗組次中捕捉到非完整液坑，但從圖8（a）可以看出，當We和h0都相同、We小于約640 時，L/d隨d增大而減小，但當We大于800 以后這一趨勢不復存在。從圖8（b）可以看出，當We和d都相同時，L/d依然隨h0增大而減小，與完整液坑情況下的變化趨勢一致。對于非完整液坑的情況，由于液坑已經觸底，故其H與h0一致。總體來看，對于非完整液坑，雖然液池底部限制了液坑在深度方向的發展，但其在水平方向依然能自由發展，故L/d隨We、d和h0的變化趨勢與完整液坑基本一致。但是，當h0相同而We較大時，L/d隨d的變化規律與完整液坑顯著不同。

圖8 非完整液坑L/d 與We 的關系Fig.8 Relationship between L/d and We for incomplete crater

以上分析表明：在液池深度h0較深（40、20 和15 mm）、We相同的情況下，對于完整液坑，H/d和L/d均隨d增大而減小；對于非完整液坑，當We小于640 時L/d也大致體現出這一規律。下面從能量轉化角度定性分析產生這一規律的原因。首先將無量綱液坑最大深度表達為如下形式：

液滴接觸液池表面瞬間的初始動能E可表示為：

從式（3）可知，We相同時，液滴初始動能和液滴直徑的平方d2成正比。假設當液坑達到最大時，液滴初始動能按一定比例轉化為液坑重力勢能[23]，再考慮到液坑重力勢能與H4成正比，則在We不變時，H4與d2成正比。

由式（2）可知，H/d隨d增大而減小。完整液坑達到最大時接近半球形，故H與L之比約為1/2，因此L/d也隨d增大而減小。液池較淺（10 和5 mm）時，即使液坑沒有觸底，受底部影響，液體運動更加劇烈，液滴撞擊損失能量更多，導致重力勢能占液滴初始動能的比例也有所減少，L/d和H/d的變化與液池較深的情況差異顯著。下面將通過估算定量分析液坑重力勢能。

3.3 液坑重力勢能分析

液滴撞擊液面后，液坑形成及發展過程伴隨著重力勢能、動能、表面能及熱能等多種能量形式之間的轉化；這些能量轉化過程對于液滴撞擊液面后產生的各種復雜現象有著重要影響，得到了廣泛關注和持續研究。已有研究表明，在完整液坑的發展過程中，液坑重力勢能和表面能是撞擊后液滴初始動能的能量轉化過程中的重要組成部分[20-24]。根據馬慧敏等[22]的數值模擬結果，重力勢能和表面能量級相當：從撞擊開始，重力勢能和表面能逐漸增大；液坑最大時，重力勢能和表面能都達到峰值；隨著液坑收縮，重力勢能和表面能開始降低。根據Hasegawa等[23]的研究成果，約28%的撞擊能量轉化為最大液坑的重力勢能。基于相關成果，本文重點定量分析液坑重力勢能，并嘗試將其推廣至非完整液坑的情況。

3.3.1 完整液坑（液坑未觸底）

液滴和液池中液體組成的系統總能量等于液滴撞擊液面時的初始動能E，由液滴直徑和速度決定，如式（3）所示。液坑從產生至體積最大的過程中，系統動能逐漸減小，重力勢能和表面能逐漸增大。液坑體積達到最大時，令系統重力勢能為U。根據Engel[20]的幾何模型，液坑可分為3 個部分：液面以下的液坑、液面上圍成一圈的冠部以及冠部之上的一層很薄的液膜，如圖4（a）所示。忽略液膜體積以及撞擊時飛濺的液滴體積，根據質量守恒定律可知，冠部體積與液坑體積相等。根據實驗觀察到的現象，液坑近似為半球形，則液坑的重力勢能U1為：

由于冠部體積和液坑體積相等，可得：

其中，h為冠部頂點與液面的距離。冠部表面軸對稱剖面的曲線方程為[20]：

積分可得冠部的重力勢能U2：

因此，當液坑體積達到最大時系統的重力勢能U為：

其中，RC=H。

對于完整液坑，圖9給出了由式（3）和（8）計算的系統總能量E與液坑最大時的系統重力勢能U的關系。U隨E增大而增大，近似線性變化，即U占E的比例相對固定。可以看出：E較小時，d對這一比例影響較小；E增大時，影響變大。從圖9（a）～（d）可以看出，d對U占E的比例有所影響，d越大，U占E的比例越高。從圖9（e）～（g）可以看出，U占E的比例與h0和d有關。h0從40 mm 到15 mm，U占E的比例增大，但h0降至10 mm 時，比例明顯減小。

圖9 完整液坑系統重力勢能與總能量的關系（a～d：不同液滴直徑；e～g：不同液池深度）Fig.9 Relationship between gravitational potential energy and total energy of complete crater (a-d:different droplet diameters; e-g:different liquid pool depths)

3.3.2 非完整液坑（液坑觸底）

對于非完整液坑的重力勢能，尚未見文獻分析。根據本文實驗觀察到的現象，可將非完整液坑簡化為一個底部被切掉一部分的半球，如圖4（b）所示。與完整液坑相同，系統的總能量E仍等于液滴的初始動能。液坑的重力勢能U1為：

由于冠部體積和液坑體積相等，可得：

式（10）和（5）的左端積分項相同，借鑒求解式（5）的方法[20]，可設滿足式（10）的解為：

積分可得冠部的重力勢能U2：

非完整液坑體積達到最大時系統的重力勢能U為：

對于非完整液坑，圖10給出了由式（3）和（13）計算的重力勢能U與總能量E的關系。h0=5 mm 時，U隨E增大而增大，d對其稍有影響，d越大，U越大。h0=10 mm 時，U比h0=5 mm 時明顯更高。

圖10 非完整液坑系統重力勢能與總能量的關系Fig.10 Relationship between gravitational potential energy and total energy of incomplete crater

4 結 論

本文對液滴撞擊液面的運動過程進行了實驗研究，重點探討了液滴直徑d和液池深度h0對液坑最大水平長度L和最大深度H的影響，對已有的液坑重力勢能模型進行了擴展。主要結論如下：

1）液滴撞擊液池會產生液坑和液柱。液池較深時，液坑近似半球形；液池較淺時，液坑不能充分發展，形狀近似橫切掉底部的半球。液池較深時，液柱較粗且低，分離出的次生液滴較少（1～2 個），向上運動速度較小；液池較淺時，液柱較高且細，分離出的次生液滴更多（可多至9 個），向上運動速度較大。

2）液坑無量綱最大水平長度L/d和無量綱最大深度H/d均隨We增大而增大，d越大，L/d和H/d越小；液池較深時（40、20 和15 mm），L/d和H/d隨h0減小而增大，h0達到10 mm 時，L/d和H/d明顯減小。

3）液坑的重力勢能U隨總能量E增大而增大，液滴直徑d越大，U占E的比例越高。液池較深時（40、20 和15 mm），液坑重力勢能隨h0減小而增大；液池較淺時（10 和5 mm），液坑重力勢能與液滴的初始動能比值更低。