美英早期代數(shù)教科書中的一元二次不等式

狄 邁 (華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院 200062)

1 引言

高考綜合改革制度下《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(下稱《標(biāo)準(zhǔn)》)將原課標(biāo)位于“必修五”的“不等式”置于必修模塊“主題一：預(yù)備知識(shí)”，要求幫助學(xué)生通過(guò)類比理解等式與不等式的異同，更進(jìn)一步地從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次不等式[1]．在“雙新”背景之下，“一元二次不等式”作為初升高“預(yù)備知識(shí)”，正處于學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)銜接的核心地位，這時(shí)要幫助學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的抽象性以及思維方式從感性到理性的躍遷，使學(xué)生順利地跨越斷層，完成初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)渡．[2]

另一方面，《標(biāo)準(zhǔn)》重視數(shù)學(xué)文化的作用，提出“通過(guò)高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和審美價(jià)值”[1]，數(shù)學(xué)不僅是一些知識(shí)，而且是一種素質(zhì)；當(dāng)然數(shù)學(xué)也不僅是一門科學(xué)，更是一種文化；在“課程結(jié)構(gòu)”中指出，“把數(shù)學(xué)文化融入課程內(nèi)容中”．?dāng)?shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)文化的重要組成部分．實(shí)踐表明，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)史可以揭示知識(shí)之諧，呈現(xiàn)方法之美，營(yíng)造探究之樂(lè)，達(dá)成能力之助，展示文化之魅，實(shí)現(xiàn)德育之效[3]．

研究表明，對(duì)于剛學(xué)習(xí)不等式知識(shí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，有較為明顯的歷史相似性[4]．學(xué)生在求解一元二次不等式過(guò)程中常出現(xiàn)將解方程代替解不等式、將解方程方法遷移到不等式等錯(cuò)誤[5]．考慮到學(xué)生的先驗(yàn)知識(shí)，教師必須遵循教材編排順序進(jìn)行教學(xué)，但是新入學(xué)的學(xué)生常會(huì)產(chǎn)生如下疑惑：等式與不等式在求解上有何異同？為何要用函數(shù)的方法對(duì)不等式進(jìn)行求解？不等式的各種求解方式有何聯(lián)系？為了回答這些問(wèn)題，我們對(duì)美英早期教科書中有關(guān)一元二次不等式的內(nèi)容進(jìn)行考察，以期從中獲取思想的啟迪，為教學(xué)提供有益的參考．

2 早期文獻(xiàn)中的不等式性質(zhì)

公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得(Euclid)在《幾何原本》中提出公理——“整體大于部分”，在此基礎(chǔ)上，借助不等式的基本性質(zhì)證明了許多涉及不等關(guān)系的命題．

如卷一命題17：“任意一個(gè)三角形，其兩內(nèi)角的和總小于兩個(gè)直角．”歐幾里得的證明如下：如圖1，因∠ACD>∠ABC，故∠ACD+∠ACB>∠ABC+∠ACB，因此，∠ABC+∠ACB小于二直角．這里，歐幾里得運(yùn)用了不等式的性質(zhì)：若x>y，則x+z>y+z．

圖1

19世紀(jì)30年代，美英代數(shù)教科書中已經(jīng)出現(xiàn)了不等式(Inequality)及其簡(jiǎn)單的運(yùn)算規(guī)則．Davies總結(jié)了不等式的以下性質(zhì)[7]：

(1)在不等式兩端增加或減去相同的數(shù)量，所得到的不等關(guān)系不變．

(2)將相同意義(不等號(hào)相同)的兩個(gè)不等式兩端分別相加，所得到的不等關(guān)系不變．如，若a>b,c>d,e>f，則a+c+e>b+d+f；但兩端分別相減時(shí)，結(jié)果不一定成立，如9>10，8>6，但9-8<10-6．

(3)不等式兩端同乘一個(gè)正數(shù)，所得到的不等關(guān)系不變．如，由a>b可得3a>3b；不等式兩端同乘一個(gè)負(fù)數(shù)，所得到的不等關(guān)系反向，如，由8>7，兩端同乘-3，得-24<-21．

(4)正數(shù)之間的不等式兩端各取平方值，不等關(guān)系不變．

(5)當(dāng)不等式兩端有一負(fù)數(shù)時(shí)，無(wú)法在執(zhí)行運(yùn)算之前知道結(jié)果是什么．

該書對(duì)不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行了介紹，指出不等式的變形與等式變形是類似的．

Edgerton等人敘述了不等式變形的七條法則，指出：若不等式兩端的值均為正，則兩端取相同次冪或相同次方根，不等關(guān)系不變，并且可以像等式那樣對(duì)不等式進(jìn)行變形[8]．

我們看到，古希臘時(shí)期數(shù)學(xué)家借助幾何圖形得到不等式的基本性質(zhì)．到后來(lái)，數(shù)學(xué)家們均提出“像等式變形那樣，對(duì)不等式進(jìn)行變形”，所提出的變形規(guī)則也依據(jù)等式的變形規(guī)則而來(lái)再加以完善．換句話說(shuō)，一切依賴于不等式變形的不等式求解，與其相應(yīng)的等式變形與求解過(guò)程是一體同心的．

3 一元二次不等式的求解

直到19世紀(jì)末，代數(shù)教科書中終于出現(xiàn)了一元二次不等式及其解法，其解法一定程度上借鑒了一元二次方程的求解方式．

3.1 配方法

與一元二次方程的情形類似，對(duì)于一元二次不等式，人們最先想到的解法也是配方法．但與方程情形不同的是，在求解不等式時(shí)，人們并沒有借助于幾何圖形．

Smith給出了一元二次不等式的第一種解法——配方法[9]．例如，對(duì)于不等式x2-4x+3>-1，將不等式左邊進(jìn)行配方，得x2-4x+3=(x-2)2-4+3．因此，不等式變?yōu)?x-2)2-1>-1，故得不等式的解集為{x|x∈R,且x≠2}．

Rouse也運(yùn)用配方法對(duì)一元二次不等式進(jìn)行求解[10]．對(duì)于不等式k2-8k>0，不等式兩端分別加16，得到k2-8k+16>16，(k-4)2>16，由此可得k-4<-4，或k-4>4，于是得k>8或k<0．因此，不等式的解集為{k|k>8或k<0}．

Smith的例子較為特殊，經(jīng)移項(xiàng)，不等號(hào)左邊原本就是完全平方，并且運(yùn)算大多涉及不等號(hào)左邊的恒等變形，并未脫離等式的配方法．Rouse運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)，通過(guò)不等號(hào)兩邊加上同一常數(shù)進(jìn)行配方，將等式的某些結(jié)論遷移至不等式，展現(xiàn)了不等式配方法本身的特點(diǎn)．

3.2 因式分解法

歐拉(L. Euler, 1707-1783)在其《無(wú)窮分析引論》中指出，將整式函數(shù)分解成因式，其性質(zhì)就變得很明顯，一眼就可以看出變量取何值時(shí)函數(shù)值為零[11]．通過(guò)因式分解，一元二次不等式也可以更直接地看出滿足要求的x的取值范圍．

Fisher 等人利用因式分解法來(lái)解一元二次不等式．例如，對(duì)于不等式x2+5x>-6，將-6移至左邊，得x2+5x+6>0，進(jìn)而得(x+2)(x+3)>0．為了使得(x+2)與(x+3)乘積為正，則兩個(gè)乘數(shù)需同時(shí)為正或同時(shí)為負(fù)．當(dāng)x>-2時(shí)，(x+2)與(x+3)同時(shí)為正；當(dāng)x<-3時(shí)，兩者同時(shí)為負(fù)．因此，滿足該不等式的x的取值范圍為x>-2或x<-3．[12]

可見，早期人們用因式分解法來(lái)解一元二次不等式時(shí)，大多借助于代數(shù)運(yùn)算法則，通過(guò)因子相乘后的符號(hào)來(lái)推斷每一個(gè)因子的符號(hào)，進(jìn)而得出x的取值范圍，是一種以代數(shù)為導(dǎo)向的求解方式．

Miller等人對(duì)于一元二次不等式的求解提出了三種不同方式，其中包括因式分解法[13]．以不等式x2+x+6>0為例，將其寫成(x-2)(x+3)>0，根據(jù)乘積正負(fù)與因子正負(fù)的關(guān)系，得表1．

表1 (x-2)(x+3)正負(fù)與各因子正負(fù)的關(guān)系

20世紀(jì)初，教科書開始采用因式分解法來(lái)解一元二次不等式，通過(guò)乘積正負(fù)與因子正負(fù)的關(guān)系，判斷未知數(shù)x的取值范圍，隨后代入特殊數(shù)值加以檢驗(yàn)．顯然，此時(shí)人們尚未將不等式與函數(shù)聯(lián)系在一起，而只局限于代數(shù)算法規(guī)則本身，自然不會(huì)出現(xiàn)利用圖象“穿針引線”的直觀方法．

3.3 求根法

求根法是指運(yùn)用一元二次方程的求根公式，先考察判別式Δ=b2-4ac的正負(fù)情況，若滿足Δ≥0，則求出對(duì)應(yīng)一元二次方程的根，再根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)a的正負(fù)性確定x的取值．

Hawkes在《高等代數(shù)》中首次借助一元二次方程，對(duì)一般的一元二次不等式解的情況進(jìn)行了討論．

當(dāng)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有相同實(shí)根或虛根的時(shí)候，相對(duì)應(yīng)的一元二次不等式的符號(hào)取決于二次項(xiàng)系數(shù)a的符號(hào)；如果方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，x的取值介于兩根之間還是兩側(cè)，也取決于系數(shù)a的符號(hào)．具體如表2所示：

表2 Hawkes對(duì)一元二次不等式解的判斷[14]

明確將一元二次方程的根與一元二次不等式的解集聯(lián)系在一起，是這個(gè)時(shí)期教科書所實(shí)現(xiàn)的巨大飛躍，它與上文中的因式分解法的區(qū)別在于更加直接地肯定了求方程根的重要作用．可以說(shuō)，求根法充分利用了一元二次方程本身的性質(zhì)，從等式出發(fā)探索不等關(guān)系，將等式的相關(guān)知識(shí)與結(jié)論運(yùn)用于不等式．但是，教科書并未解釋清楚系數(shù)a的正負(fù)與x取值介于兩根之間抑或是兩側(cè)的關(guān)系，只是將它們之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)行了簡(jiǎn)單的概括．

3.4 函數(shù)圖象法

函數(shù)思想在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占有重要地位．今日教科書中，解一元二次不等式的主流方法就是函數(shù)法．簡(jiǎn)單地說(shuō)，函數(shù)法是指將原有一元二次不等式化為一元二次函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)繪制相應(yīng)的函數(shù)圖象，通過(guò)數(shù)形結(jié)合得到未知數(shù)取值范圍的方法．

Hedrick首次借助函數(shù)圖象解決不等式問(wèn)題，總結(jié)出一元二次方程的根、其代表的函數(shù)圖象與不等式解集之間的關(guān)系．

以不等式x2+2x-8>0為例，求解滿足該不等式的未知數(shù)x的取值范圍．首先，令l(x)=x2+2x-8>0，繪制其圖象(圖2)．可以得出，l>0等價(jià)于函數(shù)圖象位于x軸上方，當(dāng)x取值位于x= -4左側(cè)或x=2右側(cè)時(shí)成立．x=-4與x=2兩個(gè)實(shí)數(shù)點(diǎn)可以通過(guò)解方程l(x)=0，即x2+2x-8=0得到．類似地，方程x2+2x-8=0的兩個(gè)根分別為x1=-4,x2=2，由圖得出，滿足不等式x2+2x-8<0的x的值介于兩根x1=-4,x2=2之間，即-4

圖2 l(x)的圖象

Hedrick指出：類似地，在任何情況下，我們都可以用圖象表示不等號(hào)的左右兩側(cè)，看看何時(shí)一方超過(guò)另一方．從圖上可以明顯地看出，我們首先應(yīng)該找出當(dāng)兩邊相等時(shí)，使得其成立的點(diǎn)就是兩個(gè)圖象的交點(diǎn)[15]．

Hedrick的方法點(diǎn)明了不等式中“相等”的重要性，“相等”是“不等”的邊界．另外，此種借助圖象來(lái)求解一元二次不等式的方式不局限于一元二次不等式，還可以推廣到任何不等式的求解．通過(guò)移項(xiàng)，繪制不等式兩側(cè)代數(shù)式所代表的函數(shù)的圖象，觀察比較兩側(cè)函數(shù)值的大小，得到對(duì)應(yīng)的自變量x的取值范圍就是不等式的解集．在該書中，作者雖用函數(shù)的圖象來(lái)求解不等式，也沒有明確提及用函數(shù)來(lái)解決不等式的問(wèn)題，但是其中蘊(yùn)含了今日的函數(shù)思想．

Edgerton等人明確提出用函數(shù)來(lái)解不等式：將不等式進(jìn)行移項(xiàng)，左邊的代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)，繪制函數(shù)圖象，當(dāng)函數(shù)圖象位于x軸上方時(shí)，函數(shù)值為正，即滿足不等式f(x)>0[8]．

Davis給出了一般一元二次不等式的函數(shù)解法．對(duì)于一般一元二次不等式ax2+bx+c>0 (其中a,b,c均為常數(shù)，若不等號(hào)為“<”則兩端同乘-1，得到“>”)，我們繪制以x為自變量的函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象．如果函數(shù)圖象全部位于x軸上方，那么不等式ax2+bx+c>0對(duì)于一切x均成立；相反地，如果函數(shù)圖象全部位于x軸下方，那么不等式對(duì)于任何x都不成立，即無(wú)解．如果介于中間的情況，有部分值滿足y>0這一條件．顯而易見的是，滿足條件的x的值介于一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根之間，或小于較小的根、大于較大的根[16]．

至此，一元二次不等式與函數(shù)終于難舍難分，此后幾乎所有有關(guān)一元二次不等式的求解均會(huì)提到“函數(shù)圖象解法”．

Hart將函數(shù)解法稱為“不等式的圖象解法”，將求解的重點(diǎn)放于對(duì)函數(shù)圖象的觀察與解釋．他指出：一元不等式可以通過(guò)變形化為f(x)>0或f(x)<0的形式．對(duì)變形后的不等式的求解步驟為：(1)畫出函數(shù)f(x)的圖象；(2)使得f(x)圖象位于x軸上方的x的取值，即為滿足不等式f(x)>0的x的取值；使得f(x)圖象位于x軸下方的x的取值，即為滿足不等式f(x)<0的x的取值[17]．

4 一元二次不等式求解方法的演變

根據(jù)早期代數(shù)教科書中相關(guān)敘述，以20年為一單位，呈現(xiàn)了“一元二次不等式”求解方法的演進(jìn)過(guò)程(圖3)．

圖3 求解方法演進(jìn)過(guò)程

早期一元二次不等式的求解方式呈現(xiàn)出由單一走向多樣，最后回歸單一的趨勢(shì)．

20世紀(jì)前，人們單純將等式求解遷移到不等式，“配方法”是求解一元二次不等式的主流．20世紀(jì)初，“函數(shù)圖象法”出現(xiàn)，在后續(xù)的幾十年中迅速占據(jù)重要地位，究其原因，其一，分析理論的逐漸完善促進(jìn)了“函數(shù)思想”的發(fā)展；其二，20世紀(jì)初，F(xiàn).克萊因(F.C. Klein, 1849—1925)提出了“米蘭大綱”，發(fā)表自己對(duì)數(shù)學(xué)教育的看法，主張“函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)教育的基石”，加強(qiáng)函數(shù)思想的教學(xué)，使得函數(shù)在數(shù)學(xué)課程之中地位提高．

5 教學(xué)啟示

綜上所述，歷史上出現(xiàn)了一元二次不等式的多種求解方法，為今日不等式教學(xué)提供了諸多啟示．

其一，注重知識(shí)之間的普遍聯(lián)系．在早期教科書對(duì)于“一元二次不等式”的求解過(guò)程中，表現(xiàn)出對(duì)“方程思想”“函數(shù)思想”的運(yùn)用；某些教科書習(xí)題[18]中也將行列式的計(jì)算與不等式的求解聯(lián)系在一起，溝通不等式與其他數(shù)學(xué)知識(shí)．因此，在復(fù)習(xí)課中，可以基于“一元二次不等式”設(shè)計(jì)問(wèn)題串，使用“1+X”教學(xué)模式，將不等式與方程、函數(shù)、解析幾何等知識(shí)聯(lián)系在一起，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，構(gòu)建知識(shí)之諧，展現(xiàn)方法之美．

其二，嘗試跨學(xué)科教學(xué)．跨學(xué)科學(xué)習(xí)可以幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)某一學(xué)科知識(shí)時(shí)，從促進(jìn)知識(shí)的理解起步，再到對(duì)知識(shí)或?qū)W科內(nèi)容的個(gè)性化建構(gòu)，然后能結(jié)合實(shí)際中的生活問(wèn)題進(jìn)行創(chuàng)新或創(chuàng)造[19]．Rouse基于物理中的“上拋運(yùn)動(dòng)”[10]設(shè)計(jì)了“一元二次不等式”的相關(guān)問(wèn)題，將其與物理、實(shí)際生活聯(lián)系在一起．在教學(xué)過(guò)程中，教師可以基于該知識(shí)設(shè)計(jì)項(xiàng)目式學(xué)習(xí)活動(dòng)，尋找生活中的“一元二次不等式”，溝通數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)，打破學(xué)科之間的壁壘，使數(shù)學(xué)真正地服務(wù)于生活，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)文化．

其三，通過(guò)技術(shù)實(shí)現(xiàn)由靜到動(dòng)的轉(zhuǎn)變．中國(guó)教育信息化已步入了融合創(chuàng)新、智能引領(lǐng)的新時(shí)代——教育信息化2.0 時(shí)代[20]．當(dāng)下需要實(shí)施能有效變革課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)的創(chuàng)新教學(xué)模式[21]，發(fā)展與深入研究適合學(xué)科的信息技術(shù)，促進(jìn)學(xué)生的認(rèn)知與交流．高一學(xué)生對(duì)“函數(shù)”的認(rèn)識(shí)多停留于靜態(tài)，其與“不等式”的聯(lián)系重點(diǎn)是“動(dòng)態(tài)”的實(shí)現(xiàn)．因此，教師可通過(guò)幾何畫板的動(dòng)態(tài)展示，引導(dǎo)學(xué)生自主地將二次函數(shù)與方程、不等式的解聯(lián)系在一起，從具體的動(dòng)畫中抽象出數(shù)學(xué)概念，實(shí)現(xiàn)能力之助．

其四，比較方程與不等式的異同．學(xué)生由初中到高中，解不等式的過(guò)程中常常會(huì)“生搬硬套”，產(chǎn)生負(fù)遷移．早期教科書中所說(shuō)的“像求解等式那樣求解不等式”[7]，或許也是造成某些錯(cuò)誤的一部分原因．現(xiàn)行教學(xué)中也多出現(xiàn)方程與等式對(duì)等的情況，這常常使得學(xué)生將等式(方程)求解過(guò)程直接遷移至不等式，因此在教學(xué)過(guò)程中，教師有必要強(qiáng)調(diào)方程與不等式的異同．