一類非線性拋物型方程的最優(yōu)系統(tǒng)和對(duì)稱破缺

付麗敏, 王麗真,閆璐

(1.寧波大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,浙江 寧波 315211;2.西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,陜西 西安 710127;3.西京學(xué)院理學(xué)院,陜西 西安 710123)

1 引言

本文討論如下的非線性拋物型方程

的對(duì)稱群,最優(yōu)系統(tǒng)及其對(duì)稱破缺.即基于最優(yōu)系統(tǒng)的子代數(shù)分類如下的方程

拋物型方程和橢圓型、雙曲型方程類似,也具有豐富的對(duì)稱群,如標(biāo)準(zhǔn)的熱方程

作為一類最簡(jiǎn)單的二階線性拋物方程,有豐富的對(duì)稱結(jié)構(gòu),它具有一個(gè)六維的李對(duì)稱群[1-2],其中熱方程的基本解可由它的t-x伸縮群或局部群來構(gòu)造.非線性拋物型方程不僅具有李對(duì)稱群,而且具有豐富的條件對(duì)稱[3]、非局部對(duì)稱[2]、非古典勢(shì)對(duì)稱[4]、廣義條件對(duì)稱群[5-8]、逼近勢(shì)對(duì)稱[9]和逼近條件對(duì)稱[10]等.這些對(duì)稱群可用于構(gòu)造方程的精確解,并與拋物型方程的不變子空間、變量分離解和解的幾何性質(zhì)密切相關(guān)[11-12].一個(gè)自然的問題是是否有二階的拋物型方程具有七維以上的李點(diǎn)對(duì)稱群.事實(shí)上,人們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)具有七維李對(duì)稱群的二階非線性拋物型方程.一個(gè)是仿射不變的熱方程[13-14]

另一個(gè)是方程(1).方程(4)是仿射幾何中的熱流方程,即等價(jià)于平面仿射幾何中的熱流[13-14]

其中γ(t,s)表示在時(shí)刻t曲線的位置向量,σ表示曲線γ的仿射弧長(zhǎng)參數(shù).

若γ=(x,u(t,x)),則u(t,x)滿足方程 (4).而在平面歐氏空間中的熱流γt=γss等價(jià)于如下的熱方程[15-16]

該方程又稱為曲線收縮方程,相對(duì)應(yīng)的歐氏空間中的熱流(5)又稱為曲線收縮流,關(guān)于平面歐氏和仿射幾何中的熱流在過去幾十年里有很多的研究,產(chǎn)生了很多有趣的結(jié)果[13-16].平面歐氏和仿射幾何中的熱流可以看成廣義曲線收縮流[17]γt=|κ|σ-1κn的特殊情形,其中n和κ分別是γ的單位法線和歐氏曲率.而對(duì)應(yīng)于局部圖的方程為一般的非線性拋物方程

注意方程(4)和方程(6)分別是方程(7)的特殊情形.

眾所周知,一個(gè)偏微分方程的李點(diǎn)對(duì)稱群刻畫了方程的不變性質(zhì)和其所描述的重要的物理現(xiàn)象,而且對(duì)求解偏微分方程的精確解和對(duì)稱約化有重要作用.由于偏微分方程的李對(duì)稱群滿足該方程的線性化方程,任何兩個(gè)李對(duì)稱的線性組合仍是一個(gè)李對(duì)稱.因此確定哪些子群會(huì)給出本質(zhì)上不同類型的解,對(duì)于完全理解方程的不變解是必要和重要的.李代數(shù)和李群中一個(gè)重要問題是給定一個(gè)有限維李群,如何分類不等價(jià)的子代數(shù)或子群.考慮到對(duì)應(yīng)的方程的群不變解,即分類不等價(jià)的群不變解.這就導(dǎo)致了李代數(shù)的最優(yōu)系統(tǒng)的概念[1,18].人們已經(jīng)發(fā)展了多種構(gòu)建最優(yōu)系統(tǒng)的方法.文獻(xiàn)[1]提出了構(gòu)造熱方程的李對(duì)稱代數(shù)的最優(yōu)系統(tǒng),并給出了證明最優(yōu)性的方法,其中李代數(shù)的Killing型,作為伴隨作用的不變量,起到了核心的作用.一些系統(tǒng)的對(duì)稱群的最優(yōu)系統(tǒng)得到了系統(tǒng)的構(gòu)造[19-21].文獻(xiàn)[22]發(fā)展了Olver的方法得到了仿射熱流的對(duì)稱群的最優(yōu)系統(tǒng),并通過構(gòu)造許多伴隨作用的局部不變量給出了證明.文獻(xiàn)[23-24]提出了把構(gòu)造一般伴隨作用的不變量歸結(jié)為求解不變量所滿足的一階非線性偏微分方程組.其中,李代數(shù)的Killing型是該一階偏微分方程組的特解.

給定一個(gè)具有豐富對(duì)稱群的物理系統(tǒng),一個(gè)自然的問題是在什么附加條件下,如外力場(chǎng)、磁場(chǎng)、電場(chǎng)和耗散等,該系統(tǒng)的對(duì)稱性不再保持,關(guān)于該問題已經(jīng)有許多研究.如文獻(xiàn)[25]研究了薛定諤方程的對(duì)稱破缺,文獻(xiàn)[22,26]研究了一維和二維拋物型方程的對(duì)稱破缺.本文將借助于方程(1)的最優(yōu)系統(tǒng)研究它的對(duì)稱破缺.

本文的結(jié)構(gòu)如下:在第二節(jié),構(gòu)造方程(1)的對(duì)稱代數(shù)的最優(yōu)系統(tǒng),通過尋找伴隨作用的不變量,給出其證明,并給出了高維子代數(shù)的最優(yōu)系統(tǒng)的構(gòu)造;第三節(jié)利用最優(yōu)系統(tǒng)得到了方程的對(duì)稱約化;在最后一節(jié),研究了方程(1)的對(duì)稱破缺,即對(duì)于任意的子群,將給出函數(shù)F(x,t,u,ux)的最一般的形式,使得二階非線性拋物方程

在任意的子群下保持不變.

2 最優(yōu)系統(tǒng)

在這一節(jié),構(gòu)造方程 (1)的對(duì)稱群的最優(yōu)系統(tǒng).利用李對(duì)稱群方法[1,27],易得方程(1)的七維李對(duì)稱群G由下列向量場(chǎng)生成[11]:

根據(jù)李的一般理論,李對(duì)稱群(8)在通常的李括號(hào)下形成一個(gè)李代數(shù)G,運(yùn)算關(guān)系如表1所示.為了構(gòu)造李對(duì)稱群 (8)的最優(yōu)系統(tǒng)及證明其最優(yōu)性,還需要計(jì)算李對(duì)稱群(8)的對(duì)偶作用.

表1 李括號(hào)運(yùn)算表,元素(i,j)表示李括號(hào)[Vi,Vj].

由表1和伴隨表達(dá)式

可以計(jì)算對(duì)稱群G在G上的伴隨作用,結(jié)果呈現(xiàn)在表2中.不變量對(duì)最優(yōu)系統(tǒng)的構(gòu)造和證明至關(guān)重要,因此,先回顧一下不變量的概念.G是由G生成的李群,定義在李代數(shù)G上的實(shí)函數(shù)φ,如果對(duì)于任意的V∈G,g∈G,都有φ(Ad(g)V)=φ(V),則稱 φ為不變量.接下來運(yùn)用文獻(xiàn)[23]中的方法計(jì)算方程(1)的李對(duì)稱代數(shù)G上的不變量φ.

表2 伴隨作用表,元素(i,j)表示伴隨作用Ad(exp(εVi))(Vj).

Ad(exp(εW))(V)

=(a1V1+ ···+a7V7)- ε[b1V1+ ···+b7V7,a1V1+ ···+a7V7]+O(ε2)

=(a1V1+ ···+a7V7)- ε(Θ1V1+ ···+ Θ7V7)+O(ε2),

其中

對(duì)于任意的 bi(i=1,···,7),都有

注意到如上方程對(duì)任意的bi成立,得到關(guān)于不變量φ(a1,a2,···,a7)的七個(gè)微分方程

解此偏微分方程組,可以得到兩個(gè)基本不變量 A≡φ(a1,a2,···,a7)=a24-4a2a7,B≡φ(a1,a2,···,a7)=2a6-a4.利用所求的不變量可以構(gòu)造最優(yōu)系統(tǒng),下面敘述本節(jié)的主要結(jié)果.

定理2.1李對(duì)稱代數(shù)G的一維最優(yōu)系統(tǒng)G1由下列一維子代數(shù)組成

其中

在前面已經(jīng)證得A=a24-4a2a7是一個(gè)不變量.為了約化V,需要分別考慮以下三種情況.

(i)若a4-2a6=0,取

(ii)若 a4-2a60,a6=0,取

(iii) 若 a4-2a60,a60 且 a4-a6=0,取

(iv) 若 a4-2a60,a60 且 a4-a60, 取 ε3=則=0,V 等價(jià)于 V4+αV6,α0,1.

情況2:A=0.在這種情況下,需要考慮兩種情況:

情況2.1:a2,a4和a7中至少有一個(gè)不為零.如果a7=0,那么a4=0,a20.如果 a70,可以選擇 ε2和 ε7使 1- ε2ε7=由方程組(12)可知,

為了進(jìn)一步簡(jiǎn)化 V,把 Ad(exp(ε5V5))Ad(exp(ε3V3))和 Ad(exp(ε1V1))作用到上,得到一個(gè)新的,其中系數(shù)變?yōu)?/p>

根據(jù)a6=0的取值是否為零,可以分以下兩種情況進(jìn)行討論.

(ii)若 a60,將

情況2.2:a2=a4=a7=0.此時(shí),V等價(jià)于a1V1+a3V3+a5V5+a6V6.

(i)若 a60,用 Ad(exp(ε5V5))Ad(exp(ε3V3))和 Ad(exp(ε1V1))消去 V1,V3,和 V5,則V等價(jià)于V6.

(ii)若 a6=a5=0,用 Ad(exp(ε4V4))和 Ad(exp(ε6V6))約化 V1和 V3的系數(shù),則V等價(jià)于V1,V3,V1+V3或V1-V3.

(iii)若 a6=0,a50,用 Ad(exp(ε2V2))消去 V3,用 Ad(exp(ε4V4)),Ad(exp(ε6V6))約化V1和V5的系數(shù),則V等價(jià)于V5,V1+V5或V1-V5.

(i)若 a6=0,利用 V1,V3和 V5生成的群的伴隨作用消去 V3和 V5,再用Ad(exp(ε6V6))約化V1的系數(shù),使得V等價(jià)于V2+V7,V2+V7+V1或V2+V7-V1.

(ii)若 a60,利用 V1,V3和 V5生成的群的伴隨作用消去 V1,V3和 V5,再用Ad(exp(ε4V4))約化 V6的系數(shù),使得V 等價(jià)于V2+V7+V6或V2+V7-V6.

綜上所述,已經(jīng)證明了G中任意的一維子代數(shù)都等價(jià)于{r1,···,r20}中的一個(gè).接下來需要去證明這些子代數(shù)之間的不等價(jià)性.要實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn),可以采用文獻(xiàn)[21]中的方法,構(gòu)造更多伴隨作用的局部不變量.

引理2.1C是一個(gè)不變量,其中

引理 2.2D,E,F,G都是不變量,其中

由表2易知,當(dāng)a4=a7=0時(shí),方程組(15)中sign a2不變,D是一個(gè)不變量.當(dāng)a2=a5=a6=0時(shí),方程組(16)中sign a3不變,E是一個(gè)不變量.當(dāng)a4=a6時(shí),在Ad(exp(ε5V5))的作用下,方程組(17)中5=a5+ε5(a4-a6)=a5,易見,F 是一個(gè)不變量.當(dāng)a2=a4=0時(shí),方程組(18)中sign a7不變,G也是一個(gè)不變量.最后,計(jì)算在每一個(gè)ri上所有不變量的取值,并把結(jié)果呈現(xiàn)在表3中,其中α0,,1.從這個(gè)表中能清晰的看到所有的ri之間是不等價(jià)的,因此它們構(gòu)成一個(gè)一維的最優(yōu)系統(tǒng),定理2.1證明結(jié)束.

表3 不變量的值.

接下來,構(gòu)建 G的一個(gè)二維最優(yōu)系統(tǒng),即確定李代數(shù) G的所有二維子代數(shù).令M=〈V,W〉表示由向量V和W 張成的子代數(shù).事實(shí)上,只需要找到〈V,Wi〉形式的所有子代數(shù),其中 Wi=ri,i=1,2,···,20,在定理 2.1中已經(jīng)給出,V∈NorG(Wi).通過復(fù)雜的計(jì)算和化簡(jiǎn),發(fā)現(xiàn)二維最優(yōu)系統(tǒng)G2由以下子代數(shù)生成:

根據(jù)文獻(xiàn)[18],可知任意一個(gè)三維子代數(shù)都包含一個(gè)二維子代數(shù)或者同構(gòu)于O(3).因此可以通過擴(kuò)充二維最優(yōu)系統(tǒng)構(gòu)建三維最優(yōu)系統(tǒng)G3.省略繁瑣的計(jì)算細(xì)節(jié),最后發(fā)現(xiàn)三維最優(yōu)系統(tǒng)G3由下面這些子代數(shù)生成:

3 對(duì)稱約化

在本節(jié)中,利用定理2.1中的一維最優(yōu)系統(tǒng),將難以處理的非線性拋物型方程(1)約化為更簡(jiǎn)單的常微分方程,約化后的方程有更少的變量也更容易求解.下面介紹幾種對(duì)稱約化和不變解,其它情況與之類似.

將方程(19)代入方程(1)可知,υ(y)滿足約化的常微分方程

令w=υy,方程(20)可進(jìn)一步約化為一階的常微分方程

其中t0是一個(gè)任意常數(shù).

因此,群不變解為

將方程(24)代入方程(1)可知,υ(y)滿足約化的常微分方程

令w=vy,則w滿足下面方程

4 對(duì)稱破缺

在本節(jié),主要研究方程(1)的對(duì)稱破缺.即對(duì)對(duì)稱群G的每一個(gè)子群g,給出函數(shù)F(x,t,u,ux)的最一般的形式,使得方程(2)在這些子群下保持不變.現(xiàn)在考慮G的一個(gè)一維子群g,對(duì)應(yīng)的無窮小生成元表示為V,

其中ξ,τ,η是關(guān)于x,t,u的可微函數(shù).根據(jù)偏微分方程的不變性的無窮小準(zhǔn)則[1,27],方程(2)在群g下是不變的當(dāng)且僅當(dāng)

其中ηx是關(guān)于x,t,u,ux的光滑函數(shù),b是關(guān)于x,t,u的任意函數(shù).為了確定函數(shù)F,求解特征方程

一般來說,由方程組(29)的前三個(gè)方程得到向量場(chǎng)V的三個(gè)不變量,F是已知函數(shù)和這些不變量的任意函數(shù)的乘積.對(duì)于G的r-維子群(r＞1),方程(27)變成由r個(gè)方程組成的方程組,通過解這個(gè)方程組的特征方程可以求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)F.

在定理2.1中已經(jīng)得到了所有的一維子代數(shù).

下面考慮其中一個(gè)子代數(shù)r18=V2+V7+?V6,并介紹其詳細(xì)的計(jì)算過程.

首先,求r18的二階延拓,注意到方程不含uxt項(xiàng),則

將這個(gè)結(jié)果代入到方程(28)中,可以得到如下的一個(gè)一階偏微分方程

方程(30)的特征方程為

解此特征方程的前三個(gè)等式可以得到三個(gè)不變量

進(jìn)一步,從方程組(31)的最后一個(gè)等式導(dǎo)出函數(shù)F的一般形式

表4 一維最優(yōu)系統(tǒng)下使得方程(2)保持不變的函數(shù)F.

結(jié)合一維子代數(shù)已得到的結(jié)果,可以求對(duì)應(yīng)于二維子代數(shù)的函數(shù)F.下面以二維子代數(shù)s36=〈r4,r6〉為例介紹其詳細(xì)的求解過程.余下的結(jié)果如表5所示.

表5 二維最優(yōu)系統(tǒng)下使得方程(2)保持不變的函數(shù)F.

在表4中,發(fā)現(xiàn)對(duì)應(yīng)于一維子代數(shù)r4的不變函數(shù)為

其中,φi,i=1,2,3表示φ(y1,y2,y3)對(duì)第i個(gè)變量求偏導(dǎo).方程(34)對(duì)應(yīng)的特征方程為

求解此特征方程的前兩個(gè)等式可以得到兩個(gè)不變量

再計(jì)算特征方程的第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)的等式,得到在s36下使得方程(2)保持不變的函數(shù)為

將表 4和表 5中的結(jié)果結(jié)合起來,得到了表6中所列的三維子代數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù) F.例如 m30=〈r3,r4,r6〉.方程 (2)在 r3下的不變性意味著函數(shù) F不顯含 u,即F=φ(x,t,ux).其次,由方程在r4下的不變性,可得

表6 三維最優(yōu)系統(tǒng)下使得方程(2)保持不變的函數(shù)F.

最后,再由它的不變性,易得