分級循環加卸載作用下煤巖損傷本構模型研究

經來旺，李學帥，嚴 悅，彭紹馳，李樹文，經 緯

（1.安徽理工大學 力學與光電物理學院，安徽 淮南 232001；2.安徽理工大學 土木建筑學院，安徽 淮南 232001）

在煤礦工程領域，煤巖體經常受到反復加卸載作用，如煤巷掘進過程掘進機對前方煤巖體的擾動、工作面回采期間頂板巖層周期來壓、地震等構造應力使煤巖體受到周期荷載作用[1]，在循環荷載作用下煤巖體力學性質逐漸劣化，承載能力逐漸降低，對采煤工作面的安全性產生較大影響[2]。因此，研究不同應力等級循環加卸載作用下煤巖體的損傷力學特性具有重要的實際意義和工程價值。

巖石受到循環加卸載的歷程就是損傷逐漸積累的過程。為了準確地反映巖石損傷的本構關系，基于有效應力概念和應變等價原理，引入損傷變量建立損傷本構模型是研究巖石損傷本構關系的重要方法[3]。張慧梅等[4]將連續損傷理論與非平衡統計方法相結合，建立了等圍壓作用下巖石的損傷本構模型；汪杰等[5]利用損傷力學理論，綜合考慮巖體結構效應與荷載耦合作用，建立了不同傾角單一貫通節理巖體損傷演化模型及損傷本構模型；魯會軍等[6]通過砂巖在平行層理方向、垂直層理方向的單軸循環加卸載試驗以及聲發射裝置研究了不同方向頻繁擾動對節理巖體力學特性及損傷規律的影響；許江等[7]采用加軸壓、卸圍壓的應力控制方式開展煤巖加卸載試驗，分析加卸載條件下煤巖變形特性和滲透特征的演化規律；周家文等[8]結合巖石內部微裂紋的細觀力學分析，對脆性巖石單軸循環加卸載的應力-應變曲線特征、峰值強度及斷裂損傷力學特性等進行了詳細研究；EBERHARDT[9-10]在單軸壓縮循環加卸載試驗基礎上，對脆性巖石單軸循環加卸載過程中的斷裂損傷力學特性進行了分析；李江騰等[11]對紅砂巖試件開展低頻率單軸循環加卸載試驗，研究該條件下紅砂巖的疲勞變形、損傷特性及能量演化規律，發現紅砂巖軸向變形呈現3個階段，疲勞壽命隨應力上限增加而急劇減少；孫夢成等[12]在連續損傷理論框架下引入最小耗能原理，將巖石統一能量屈服準則作為耗能約束條件，基于各向同性基本假定構建了1種新型損傷本構模型；劉之喜[13]基于裂紋數服從Weibull分布以及裂紋擴展服從Griffith準則，建立了高圍壓下巖石循環加-卸載統計損傷本構模型，明確了模型參數的物理意義和演化規律；張慧梅等[14]以巖石的初始損傷狀態為基準狀態，運用損傷力學理論及推廣后的應變等價原理，建立了凍融受荷巖石損傷本構模型，來描述巖石材料細觀結構的損傷演化及其宏觀損傷行為，研究結果表明凍融與荷載的共同作用使巖石總損傷加劇，并表現出明顯的非線性特征，而其耦合效應使總損傷有所弱化；石崇等[15]基于Hoek-Brown準則，結合Weibull分布下損傷參量的解法，推導了在三維應力狀態下各向同性巖石受壓損傷本構模型，并在考慮殘余強度的基礎上對損傷參量做了修正，引進了修正系數η，探討了模型參數對應力-應變曲線的影響。這些學者主要從事巖石損傷本構模型及損傷規律的研究，很少對煤巖進行循環加卸載損傷分析，且建立的本構模型復雜、參數較多。為此，以煤巖為試驗材料，進行單軸分級循環加卸載試驗，基于Mises屈服準則構建了煤巖損傷本構模型[16]，通過非線性擬合驗證了模型的準確性，并分析了模型參數m和F0的實際物理意義。

1 煤巖損傷本構模型

1.1 損傷變量和應變等價原理

1）損傷變量。煤巖在荷載的反復作用下其內部微裂隙逐漸增多，所能承受的極限荷載逐漸減弱，損傷越來越大。定義損傷變量D為：

式中：Aw為試件橫截面積上出現孔隙的總面積；A為試件產生損傷后的瞬時表觀面積。

2）應變等價原理。由于測定受損傷材料的孔隙面積比較困難，為了能間接地測定材料損傷，Lemaitre提出了應變等價原理[17]。

式中：ε為應變張量；E*為有效彈性模量；E為完整材料的彈性模量；σ*為有效應力張量；σ為名義應力張量。

1.2 煤巖微元體強度

把煤巖分成若干個含有不同缺陷的微元體，微元體被劃分得比較小，可以對微元體做這樣的假設：微元體符合廣義虎克定律；微元體破壞符合Mises屈服準則。由于每個微元體所含的缺陷不同，煤巖微元體的強度也就各不相同。為了表示每個微元體強度特性，在此引用Weibull統計分布函數[18]：

式中：m、F0為Weibull分布標度和形態參數；F為煤巖微元體強度；P（F）為煤巖強度為F時微元體的破壞概率。

由Misses屈服準則，煤巖微元體強度F為:

式中：σ1*、σ2*、σ3*為3個方向的有效主應力。

1.3 三軸作用下和單軸作用下損傷本構模型

根據式（3），損傷變量D可以表示為：

式中：P（x）為煤巖強度為x時微元體破壞概率。

由廣義虎克定律得：

式中：E為完整煤巖彈性模量；μ為煤巖泊松比；ε1為σ1方向的主應變。

當σ2=σ3時：

由式（2）、式（7）可得：

由式（4）、式（8）可得：

式中：σ1、σ2、σ3分別為3個方向主應力，且σ1≥σ2≥σ3。

可得煤巖三軸作用下損傷本構模型：

當煤巖僅受單軸循環荷載作用時，將σ3=0代入式（10）可得單軸作用下損傷本構模型：

1.4 模型適用條件及其在數值計算中的應用

結合工程背景，地下工程巖體經常受到復雜的循環加卸載作用，該損傷本構模型主要適用于煤巖的分等級循環加卸載試驗條件，煤巖微元體強度符合Mises屈服準則，因為Mises屈服準則能夠完整地描述復雜結構或復雜應力狀態下的巖石破壞特征。在ABAQUS、LS-DYNA等軟件中可得到Mises應力云圖，基于損傷本構模型，運用數值模擬軟件可以分析受荷損傷巖體的應力、變形云圖，從而來預測巖體結構的穩定性和可靠性，給工程實踐加以指導。

2 試件制備及試驗開展

將煤巖取心、切割、打磨，制成尺寸為50mm×100mm的標準圓柱體試件。試件兩端面平行誤差和試件垂直誤差均控制在0.02mm范圍。試件制備嚴格按照國際巖石力學學會建議方法進行[19]。

試驗方法為分等級單軸循環加卸載，試驗儀器采用型號為DDL200型電子蠕變持久試驗機。首先取用3個煤巖試件進行單軸壓縮試驗，測定煤巖的平均單軸抗壓強度為34.33MPa。根據煤巖的單軸抗壓強度將加卸載等級分為5級，分別為10、15、20、25、30MPa。加卸載速率為0.2MPa/s，每個等級加載至上限應力后進行卸載，卸載至0后第1等級加卸載結束，繼續進行第2等級加卸載，按照此加卸載方式依次進行到第5等級直至試件破壞。具體加卸載方式如圖1。

圖1 循環加卸載方式Fig.1 Cyclic loading and unloading mode

3 試驗數據分析

煤巖在循環加卸載下變形的發展過程分為4個階段：微裂隙壓密階段、彈性變形階段、穩定破裂階段、不穩定破裂階段。在逐級加卸載作用下，煤巖體內裂紋充分地發展、貫通，在第5加載等級應力為30.13MPa時煤巖承載力迅速降低，同時煤巖突然破壞并伴有崩裂的響聲，且無明顯預兆，說明了煤巖破壞屬于脆性破壞。煤巖的循環加卸載應力-應變關系曲線如圖2。

圖2 循環加卸載應力-應變關系曲線Fig.2 Stress-strain curves of cyclic loading and unloading

3.1 彈性模量及殘余應變變化分析

由圖2可以看出，煤巖后一等級加載曲線會沿著前一等級的卸載曲線發展，這就是煤巖的“記憶效應”[20]。由于加載曲線會受到“記憶效應”的影響，加載階段的彈性模量也因此會受到影響，所以采用卸載階段的彈性模量來分析煤巖在加卸載作用下彈性模量的變化是比較合適的。煤巖各循環等級的彈性模量和殘余應變如圖3。

圖3 不同等級循環加卸載下煤巖的殘余應變和彈性模量Fig.3 Residual strain and elastic modulus of coal under different levels of cyclic loading and unloading

循環加卸載作用下煤巖彈性模量變化趨勢是先增大后減小。彈性模量先增大是因為在第1等級加載作用下，煤巖逐漸被壓密實，內部初始微裂隙閉合，煤巖強度提高，彈性模量逐漸增大。隨著加載等級提高，煤巖所受應力逐漸增大，內部微裂隙也逐漸擴展，損傷程度越來越高，導致其彈性模量逐漸降低。

在循環加卸載過程中，加載階段的應變包括塑性和彈性應變，而卸載階段僅恢復彈性應變，不可恢復的應變為殘余應變。隨著加卸載等級的提高，煤巖內部損傷程度加大，其殘余應變也逐漸增大。其中第1等級循環下的殘余應變最大，占總殘余應變的77.04 %。因為煤巖本身存在微孔隙，在第1等級循環荷載作用下煤巖被壓密實，應變量較大，可恢復的彈性變形較小，導致殘余應變量最大。

3.2 滯回環變化分析

由于加卸載曲線的不重合，各等級循環加卸載曲線會形成1個滯回環。滯回環的形成伴隨著能量的耗散，隨著加卸載等級的提高，煤巖體原生裂隙由受壓閉合到逐漸張開，次生裂隙也逐漸增多，應變越來越大，隨著殘余應變的逐漸積累，滯回環也不斷變化。不同循環等級的煤巖滯回環如圖4。

圖4 不同循環等級的煤巖滯回環Fig.4 Coal hysteresis loops with different cycle grades

根據能量原理，在循環加卸載應力-應變曲線中，由加載曲線和坐標軸圍成的面積是輸入能密度；卸載曲線和坐標軸圍成的面積是彈性能密度；加、卸載曲線中間的面積則是耗散能密度；所以滯回環的面積就是耗散能密度[21]。由曲線積分計算可知4個等級的耗散能密度分別為4.2×10-3、2.8×10-3、4.4×10-3、7.1×10-3MJ/m3。

隨著循環加卸載等級的提高，滯回環形狀變化可以描述為“胖”-“瘦”-“胖”的過程，第1循環等級是煤巖壓密階段，除第1循環等級外，滯回環面積逐漸增大，耗散能密度逐漸增大。由于在第1等級加卸載作用下煤巖體內部原始微裂隙發生閉合，導致殘余應變較大，用于塑性變形的耗散能較多；第2、第3等級加卸載對應的滯回環處于穩定發展階段，由于煤巖已經壓密，在應力作用下煤巖體內部初始裂隙逐漸開展；第4等級加卸載對應的滯回環最大，由于加卸載等級的進一步提高，煤巖體所受應力越來越大其原始裂紋進一步發展，新生裂隙也逐漸增多，表現為塑性應變越來越大，損傷逐漸積累。

4 損傷本構模型驗證及參數分析

4.1 煤巖損傷本構模型驗證

采用單軸分等級循環加卸載的試驗方法來驗證基于Mises屈服準則的煤巖損傷本構模型。首先，將實驗數據進行整理分析得到各等級的循環加卸載應力-應變曲線；利用Matlab數學計算軟件中的曲線擬合功能，將帶有未知參數m、F0的損傷本構模型函數擬合各加卸載等級的應力-應變關系曲線，得到相應的擬合參數m、F0。各循環等級加卸載試驗曲線和擬合曲線如圖5和圖6。各加卸載等級擬合得到的模型參數見表1。

由圖5、圖6和表1可知，損傷本構模型能夠很好地擬合煤巖循環加、卸載試驗曲線，擬合校正系數均在0.997 以上。擬合參數m隨著加、卸載等級提高而逐漸減小，且同等級荷載作用下卸載階段擬合參數m比加載階段小；擬合參數F0隨著加卸載等級的提高而逐漸增大，且同等級荷載作用下卸載階段擬合參數F0比加載階段大，卸載階段整體擬合效果比加載階段擬合效果好。第1等級加載初始階段不能較好地擬合是因為煤巖體原始孔隙較多，在應力作用下孔隙壓密需要消耗較多的耗散能。

表1 各加卸載等級擬合參數Table1 Fitting parameters of loading and unloading stages

圖5 各等級加載階段曲線擬合Fig.5 Curves fitting of various loading stages

圖6 各等級卸載階段曲線擬合Fig.6 Curves fitting of various unloading stages

4.2 加卸載參數敏感性分析

為了分析統計參數m和F0實際物理意義和循環加卸載條件下對煤巖強度損傷的影響，采用控制變量的方法分析煤巖循環加卸載損傷應力-應變曲線而變化特點。參數m、F0的敏感性分析如圖7。

圖7 參數m、F0的敏感性分析Fig.7 Sensitivity analysis of parameters m and F0

對分等級循環加卸載曲線參數m的敏感性進行分析。參數F0取為10，m分別取-0.5 、-1.0 、-1.5 、-2.0 。由圖7（a）可知：m小于0的損傷應力-應變曲線是循環加載階段或卸載階段，主要處于彈性階段和應變硬化階段，當應力小于4.33MPa時，m越小，煤巖初始強度上升越慢；當應力大于4.33MPa時，參數m越小，應力增長速率越大，煤巖強度增長越快，脆性也越來越大。所以，參數m與煤巖微元體強度分布的集中程度有關，參數m越小，煤巖微元體強度分布集中程度越高。

同理，為了分析參數F0的敏感性。參數m取為-1.5 ，參數F0分別取為10、15、20、25。由圖7（b）可知：參數F0越大，煤巖體應力增長越慢，強度越低，延性越大。所以，參數F0與煤巖的宏觀平均強度有關，參數F0越大煤巖體宏觀平均強度越低。

通過調整加卸載擬合參數m、F0的取值可以分析其全應力-應變曲線隨擬合參數m、F0的變化情況。全應力-應變曲線中參數m、F0的敏感性分析如圖8。

圖8 全應力-應變曲線的參數敏感性分析Fig.8 Parameters sensitivity analysis of total stress-strain curves

參數F0固定、參數m改變，分析參數m的敏感性：取參數F0為35，參數m分別取為5、10、15、20，由圖8（a）可知，m大于0是加載全過程煤巖的損傷全應力-應變曲線，包含煤巖從開始受力到最終破壞的整個生命周期，隨著參數m增大，峰前彈性模量基本相等，峰后彈性模量逐漸增大，煤巖體強度越高，脆性越大，也可反映參數m和煤巖微元體強度分布集中程度有關。同理分析參數F0所代表的物理意義，取參數m=4，參數F0分別等于30、35、40、45，由圖8（b）可知，隨著參數F0的增大，煤巖體峰值應力和峰值應變越來越大，煤巖體宏觀平均強度越大。

由以上分析可知：m值的正負決定煤巖損傷應力-應變曲線的加載階段，參數m與煤巖微元體強度分布集中程度有關，且參數m的絕對值越大，煤巖微元體強度分布集中程度越高，煤巖體強度越大，脆性越大；參數F0與煤巖體的宏觀平均強度有關，且當m小于0時，F0越大，煤巖體宏觀平均強度越低，當m大于0時，F0越大，煤巖體宏觀平均強度越高。

5 結 論

1）建立了基于Weibull分布的分級循環加卸載煤巖損傷本構模型。該模型和各循環等級加卸載曲線擬合程度很高，能夠準確反映煤巖在循環加卸載條件下的應力-應變關系。

2）隨著加卸載等級的提高，煤巖彈性模量先增大后減小；殘余應變逐漸累積，第1循環等級殘余應變最大，占累積殘余應變的77.04 %，之后增長速率趨于穩定。

3）隨著循環加卸載等級的提高，滯回環形狀表現為“胖”-“瘦”-“胖”的特點，除第1循環等級外，滯回環面積越來越大，耗散能也越來越大。

4）參數m與煤巖微元體強度分布集中程度有關，參數F0與煤巖體的宏觀平均強度有關。參數m絕對值越大，煤巖微元體強度分布集中程度越高，煤巖體強度越高且脆性越大；參數m小于0時，參數F0越大，煤巖體宏觀平均強度越低，當參數m大于0時，參數F0越大，煤巖體宏觀平均強度越高。