量綱分析法的6個應用案例

盧 婷

(湖州市吳興高級中學 浙江 湖州 313000)

彭紅亮

(浙江省湖州中學 浙江 湖州 313000)

邱為鋼

(湖州學院公共教研部 浙江 湖州 313000)

量綱法是分析物理現象很重要的一個方法，在文獻[1]的序言中提到“一位成熟的物理學家進行探究性的科學研究時，常常從定性的或半定量的方法著手.這包括對稱性的考慮和守恒量的利用，量綱分析，數量級估計，極限情形和特例的討論，簡化模型的選取，以至概念和方法的類比……”在物理教學中，也嘗試引入量綱分析法.文獻[2]和[3]討論了物理教材上常見物理量的量綱;文獻[4]給出了物理競賽題目中微重力環境下液滴本征振動頻率的表示;文獻[5]給出了雙黑洞引力波輻射功率的估算;文獻[6]給出了物理學史上著名的原子彈爆炸當量估算問題.不過，這些文獻量綱分析印證舉例，生活中很難發現，不能直接驗證.所用的方法是待定系數法，不夠直接明顯.

為了拓展量綱分析的案例，我們額外給出了生活中常見的6個物理現象，便于操作和驗證.這些物理現象中存在多個物理量，由物理定律可以組合出兩個量綱一樣的物理量，譬如能量和力矩，得到特征長度，時間和角速度.這些物理現象的真實數據，則從量級上驗證了量綱分析的正確性.

1 彩虹圈下落速度

把彩虹圈拉停在空中，然后釋放，你會看到一個很神奇的現象.底端懸空不動，上端下落，如圖1所示.

圖1 彩虹圈下落

實驗和理論都表明[7]，這段時間內彩虹圈的上端是勻速下落的.設彩虹圈原長為l0，在重力作用下拉伸后的總長度是lg.利用中學里最常見的自由落體運動速度公式，猜測上端下落速率為

(1)

非常巧合的是，這個猜測公式與文獻[7]理論物理模型給出的表達式是一樣的.以這個速率勻速下落的時間是

(2)

由文獻[8]中的數據，圖1中彩虹圈的原長是6.6 cm，重力作用下總長度是114 cm，理論下落時間是2.3 s，實際下落時間是2.7 s.理論和實際下落時間量級上是一致的.

2 肥皂膜破裂速度

把一個圓環浸沒在肥皂水中，再小心提出，會形成一個圓形的肥皂膜.用針尖在圓環中心刺一下，高速攝像機拍攝到了這個圓形肥皂膜的破裂過程，如圖2所示[9].

圖2 肥皂膜破裂

實驗和理論都發現，圓環形破裂孔的半徑與時間是成正比的，即徑向破裂速度是恒定的，文獻上稱為Taylor-Culick定律.從能量角度看，肥皂膜“消失”圓環部分的表面張力勢能，轉化為這部分的動能，即

其中σ是表面張力系數，A是圓環部分的面積，h是肥皂膜的厚度，ρ是肥皂膜的質量密度.由此得到肥皂膜的破裂速度為

(3)

肥皂膜的表面張力系數σ約為2.5×10-2N·m-1，厚度h約為10 μm，質量密度ρ近似取為水的密度，理論上肥皂膜破裂速度是2.2 m·s-1.由圖1中的數據(背景標尺為10 cm)，計算得到實際破裂速度是4 m·s-1，量級上是一致的.

3 玻璃破碎速度

互聯網上的優質科普視頻博主The Slow Mo Guys，擅長用高速攝像機拍攝有趣的物理現象.這次，他們把一塊長的玻璃片，每隔一英尺區域噴上不同的顏色，記錄裂紋穿越每個區域的時間，如圖3所示[10].

圖3 玻璃裂紋傳播

可以看出，楊氏模量E和壓強具有相同的量綱，單位也是Pa.從量綱上看，壓強乘以體積是能量，與動能的量綱一致，得到

EV=ρVu2

從量綱上計算得到縱向壓縮波的波速為

(4)

4 光纖極限高度

公園里的光纖掛燈，從側面看，大部分光纖是彎的，如圖4所示.

圖4 光纖掛燈

從能量角度看，光纖完全直立，重力勢能最高，彎曲彈性勢能最低.光纖彎下去，重力勢能低，彎曲彈性勢能高.真實的彎曲光纖，使得重力勢能和彎曲彈性勢能加起來極小.從物理上看，是相對最穩定的位形.取下一根光纖，上部剪掉一段，看看能不能完全直立.如果不行，再剪一小段.直到一個極限長度，超過這個長度一點點，豎起來是彎的；低于這個長度一點點，豎起來是直的.那么，這個極限長度與光纖的哪些物理量有關？

物理學史上，是歐拉和伯努利首先提出單位長度上的彎曲彈性勢能與桿曲率平方成正比，比例系數是彎矩B.對于特征長度為l0的光纖，曲率反比于l0.單位長度上的彎曲彈性勢能和重力勢能，量綱都是能量的量綱，量級上可以等起來，得到

其中ρ是光纖的線質量密度.由此計算得到特征長度為

(5)

嚴格的理論分析發現，臨界長度近似為這個特征長度的2倍.實驗測量到的光纖長度為15 cm，質量是0.02 g.極限長度是13 cm，特征長度是6.5 cm，由此得到光纖彎矩實驗值約為360 g·cm2·s-2.塑料光纖的楊氏模量E約為0.01 GPa，光纖半徑r約為0.5 mm.由彈性理論，彎矩B正比于楊氏模量E和半徑r的4次方，約為625 g·cm2·s-2，與實驗值量級一致.

5 鋼尺聲音頻率

河南焦作市第十一中學的張懷華老師，實驗發現鋼尺一端固定振動發出聲音的頻率(主頻)與鋼尺的長度平方成反比[11]，實驗裝置如圖5所示.

圖5 鋼尺發聲

(6)

6 氣泡塌縮時間

點燃小鞭炮后馬上扔進水里，你會看到水里火光一閃，水面上濺起水花.整個過程很快，一般在10 ms左右，人眼根本看不清楚.視頻科普博主The Slow Mo Guys，用每秒可以拍攝28萬張圖片的高速攝像機，看到了鞭炮在水中爆炸，形成的氣泡膨脹到最大半徑然后收縮的過程，如圖6所示.

圖6 水中小鞭炮爆炸產生的氣泡隨時間的演化

理想球形氣泡在水中塌縮過程，最早由英國物理學家瑞利所研究.從能量考慮，氣泡完全塌縮后，液體內部壓強壓縮氣泡做的功，量級上等于同等體積液體獲得的動能，即

pV=ρVu2

其中u是氣泡塌縮速度，這個速度與液體中的聲速量級一致.氣泡最大半徑R0除以這個速度，就是氣泡塌縮時間

(9)

已知水中聲音速度約為1 500 m·s-1，圖6中氣泡最大半徑估計為10 cm，那么塌縮時間約為66 μs.每秒28萬幀圖片的時間間隔是3.5 μs，氣泡塌縮過程圖片接近20幀，約為70 μs.這兩個時間接近，說明估算在量級上，還是合理的.

7 結束語

物理學習時期(中學和大學)，最多只有4年.在此之后，估計絕大多數的人，再也不會和物理見面.我們希望給學生帶來物理真正的精髓，物理不僅是有趣的，也是有用的.就像文獻[12]中藍可回憶她導師于敏先生在探索氫彈爆炸機制時，所展現的物理能力之三“抓住關鍵物理量，進行理論初估算”.相比于敏先生“太陽般”光輝的量綱分析和量級計算，本文只能算“螢火之光”，抓住生活中6個有趣的物理現象，來展現常規物理考試中不會考到的物理知識.