兩種不同形式的橢圓運動之規律初探

鄭 金

(凌源市職教中心 遼寧 朝陽 122500)

若質點在有心力的作用下沿橢圓軌道運動，則有兩種運動形式，一種是力心位于橢圓的一個焦點，運動具有單軸對稱性；另一種是力心位于橢圓的中心，運動具有雙軸對稱性，即中心對稱性.雖然運動軌跡形狀相同，但在各方面所遵循的規律卻不盡相同.下面從力心的位置和運動的周期這兩個方面進行論證.

1 規律論證

1.1 判斷力心在橢圓中的位置

如果力心位于橢圓的一個焦點，可知徑向運動有兩個轉折點；如果力心位于橢圓的中心，可知徑向運動有4個轉折點，因此可從徑向運動轉折點的個數來判斷力心所在的位置.對于質點在不同形式的有心力作用下的橢圓運動，力心的位置不同，下面分別進行論證.

在徑向運動的轉折點處，由于徑向速度為零，則徑向動能為零，此時有效勢能等于總能量，即

由此可得關于距離r的一元二次方程為

由于以無窮遠處為引力勢能的零點，則總能量E<0，利用求根公式可知該方程有兩個不同的正根，表明徑向運動的轉折點有兩個，因此力心位于橢圓的一個焦點，那么只有長軸的兩個端點是徑向運動的兩個轉折點.實際上，開普勒第一定律反映了行星在平方反比力作用下運動軌道的形狀以及力心所在的位置.

(2)如果物體在線性正比力的作用下繞力心做橢圓運動，那么有心力可表示為F(r)=kr.若以力心為勢能零點，則徑向有效勢能為

徑向運動轉折點的位置滿足方程

由此可得關于距離r的一元四次方程為

由于以力心為線性引力勢能的零點，則總能量E>0，利用求根公式可知該方程有4個根，是兩對互為相反數，考慮到橢圓的特殊對稱性，猜想徑向運動的轉折點有4個，由此推斷力心位于橢圓的中心.

總之，受力情況決定運動形式，若有心力為平方反比引力，則力心位于橢圓軌道的一個焦點；若有心力為線性正比引力，則力心位于橢圓軌道的中心.

1.2 推導橢圓運動的周期公式

正是由于質點在有心力作用下運動的角動量守恒，因此面積速率恒定.而開普勒第二定律只是角動量守恒定律的一種形式和體現，即只有在有心力作用下的曲線運動，矢徑在單位時間內掃過的面積才恒定.只要算出橢圓的面積和矢徑掃動的面積速率，即可求出橢圓運動的周期，這是最一般化的方法.對于質點在不同性質的有心力作用下的橢圓運動，計算周期還有特殊方法，下面分別推導兩種情況下的周期公式.

設橢圓的半長軸為a,半短軸為b,力心位于橢圓的焦點，設長軸的兩個端點到力心的距離分別為rA和rB，對于物體從橢圓長軸的一個端點運動到另一個端點的過程，由角動量守恒定律有

mvArA=mvBrB

以無窮遠處為勢能零點，由機械能守恒定律有

兩個方程聯立可得

則面積速率為

由于b2=rArB，因此

考慮到橢圓的面積為S=πab，可知質點沿橢圓運動的周期為

(2)如果物體在線性正比力的作用下繞力心做橢圓運動，則有心力可表示為F(r)=kr，因此力心位于橢圓的中心，則在長軸端點和短軸端點處對應的矢徑與瞬時速度方向垂直，而且矢徑的長度分別為半長軸a和半短軸b，對于質點從橢圓長軸端點運動到短軸端點的過程，由角動量守恒定律有

mvAa=mvBb

以橢圓中心為勢能零點，由機械能守恒定律有

兩個方程聯立可得

則面積速率為

考慮到橢圓的面積為S=πab，可知質點沿橢圓運動的周期為

這表明，質量為m的質點在線性力作用下做橢圓運動的周期等于該質點以線性力系數k為勁度系數的彈簧振子做簡諧運動的周期.簡諧運動的周期公式也可變形為類似于開普勒第三定律表達式的形式，由此可知，對于線性正比力作用下的周期性運動，周期只與質點的質量有關，而與橢圓的離心率無關(可以為1或0)，但要注意變量r是質點到力心的距離.

總之，質點在平方反比力作用下沿橢圓運動的周期遵循開普勒第三定律，在線性正比力作用下沿橢圓運動的周期等于質點以該力為回復力做簡諧運動的周期或以該力為向心力做圓周運動的周期.

2 規律應用

可直接利用上述規律來解答有關的物理問題.

【例1】在自由的空間中，半徑為R0的圓的內接正方形的頂點上各有一個質量為m的質點，其中兩個帶電荷量為+q，另外兩個帶電荷量為-q，如圖1所示.剛開始，這些質點沿著圓的切線以相同的速率順時針運動.已知在運動過程中，任何一個質點到圓心的最短距離都是R1(R1

圖1 例1題圖

解析：(1)設粒子在任意位置時到O點的距離為r，以指向圓心為正方向，每個粒子受到的庫侖力為

由于該值大于零，表明力的方向指向圓心，即每個粒子都受到有心力的作用，而且力跟距離的平方成反比，類似于萬有引力，又由于初速度與作用力方向垂直，并且粒子到圓心的距離存在最小值，因此粒子的運動類似于行星的運動，所以每個粒子的運動軌跡都是橢圓，如圖2所示.

圖2 粒子的運動軌跡

(2)由于有心力是平方反比力，而且力心的位置固定不動，因此力心位于橢圓的一個焦點，并且粒子沿橢圓運動的周期遵循開普勒第三定律.由此可知橢圓運動的周期等于以半長軸a為半徑的勻速圓周運動的周期，可根據牛頓第二定律列出方程

由此得

橢圓的長軸為2a=R0+R1，可知粒子運動的周期為

每個粒子從初位置運動到距離圓心為R1的位置經歷半個橢圓，因此所需的時間為半個周期，即

點評：解題關鍵是推導每個粒子受到的庫侖力的表達式，一方面可利用有心力的性質判斷粒子的運動軌跡為橢圓，而且力心位于橢圓的一個焦點；另一方面可作為勻速圓周運動的向心力列方程.

【例2】如圖3所示，在光滑的水平面上，勁度系數為k=3.0 N/m的輕彈簧一端固定于O點，另一端連接一個質量為m=2.0 kg的小球，假設彈簧在無作用力時的長度，可忽略不計.小球在彈簧作用下做勻速圓周運動，系統的機械能為E0=12 J.現沿小球運動的徑向給其突然打擊，使小球瞬間獲得一徑向速度vr0=1.0 m/s，求：(1)此后運動過程中小球到O點的最近距離和最遠距離；(2)運動的周期[1].

圖3 例2題圖

解析：(1)設小球受到打擊之前運動的速度為v0，軌道半徑為r0，由牛頓第二定律有

由機械能守恒定律有

聯立方程解得

小球受到打擊后系統的總機械能為

由于沿徑向打擊不影響小球的角動量，則小球的角動量為

L=mv0r0

(2)小球的運動軌跡為橢圓，由于彈簧在無作用力時的長度可忽略不計，則小球受到的有心力即彈簧彈力可表示為F=kr，是線性正比力，因此力心O位于橢圓的中心，可知橢圓的半長軸為a=r2，半短軸為b=r1，那么橢圓的面積為S=πab=4π.由于角動量L=mv0r0，可知小球運動的面積速率為

所以小球環繞力心運動的周期為

另一解法：由于小球在線性正比力的作用下沿橢圓運動，因此環繞運動的周期等于以k=3.0 N/m為勁度系數的彈簧振子做簡諧運動的周期，即

3 結束語

總之，由于質點受到有心力的特點不同，使得運動軌跡的形狀不同，若為橢圓，則力心在橢圓中的位置不同，那么徑向運動轉折點的個數不同，計算運動周期的方法和公式都不同.具體而言，在平方反比力作用下的橢圓運動的力心位于橢圓的一個焦點，運動周期遵循開普勒第三定律，即只與橢圓的半長軸有關，而與橢圓的離心率無關(可以取0或1)；在線性正比力作用下的橢圓運動的力心位于橢圓的中心，運動周期等于簡諧運動的周期，即等于以線性正比力系數為勁度系數的彈簧振子的周期.此外，這兩種不同形式的橢圓運動還遵循相同的規律，即在運動過程中的角動量守恒，面積速率恒定，這為計算橢圓運動的周期提供了更一般化的方法.