光的直線傳播在地球測量中的應用

祁灝昕 牛全福

(蘭州理工大學土木工程學院 甘肅 蘭州 730050)

1 引言

2002年，美國兩位學者根據在全美物理學家的調查結果，提出了有史以來最出色的十大物理實驗，結果刊登在了美國《物理世界》雜志上，埃拉托色尼測量地球圓周實驗位列第七.

古希臘的埃拉托色尼第一次比較準確地測出了地球的半徑，對人類認識地球產生了巨大影響.1037年比魯尼采用另外一種方法測量了地球的半徑.近代也有兩種方法測量地球半徑，一種是DannisRawling在大海上觀察兩次日落(或者日出)的方法；另一種是在大海上觀察遠處已知高度的橋梁的方法.這些方法都是建立在地球為一個球體，光的直線傳播等基礎之上的，與精準測量的地球半徑非常接近.

2 測量方法

2.1 埃拉托色尼方法

圖1 埃拉托色尼用來測量地球半徑的示意圖

圖2 百度地圖顯示的從阿斯旺到亞歷山大的

使用百度地圖來看，阿斯旺城位于北緯24.507 910°，東經32.987 997°，亞歷山大位于北緯31.215 227°，東經29.914 360°.路程約為1 000 km，而兩地的直線距離為838 km.埃拉托色尼的方法有3個誤差來源：(1)阿斯旺在北回歸線(23.6°)的北側24.5°，夏至日太陽光線與地面夾角不是90°.(2)阿斯旺和亞歷山大經度相差大約3°.(3)從阿斯旺到亞歷山大實際路程比直線距離大162 km.

對埃拉托色尼方法進行修正，即可減小誤差.任意在不同緯度上選兩個點，它們之間的距離用緯線大圓距離來代表.或者選兩個經度相差不多的兩個城市.在正午12點的時候由兩人分別測量太陽的天頂角，就可以得到兩地對地心的張角.然后像埃拉托色尼一樣計算地球的周長，進而得到地球的半徑.如圖3所示，在同一天的正午12點，測量兩地的天頂角α和β，則它們對地心的張角γ=α-β.用百度地圖量出兩地之間的直線距離(實際上就是兩個維度之間的弧長)，則可以計算出地球周長及半徑.

圖3 用任意天頂角測量地球的半徑

可用細線吊著合適的重物做成一個簡單的重錘，待細線停止擺動，則細線垂直于水平面，在地面標出垂點.中午12點，在地面標出細線頂端的投影，量出此時投影的長度，與細線之長相比得到天頂角的正切，進而可以計算出該處的天頂角.

例如，成都和蘭州的經緯度分別為：成都為北緯30.570 314°，東經104.067 363°；蘭州為北緯36.081 793°，東經103.836 419°;經度相差0.23°，直線距離相差609 km.如果更精確一些，可在地圖上找到兩個位置，它們的經度幾乎一樣，比如蘭州大學榆中校區的位置為北緯35.947 098°，東經104.157 694°;成都北湖公園的位置為北緯30.722 985°，東經104.153 240°,兩地經度相差0.004 45°，直線距離相差580 km.精確確定兩地距離后，再利用埃托拉尼方法測量地球半徑和周長即可減小誤差.

2.2 比魯尼方法

比魯尼(Al-Biruni)于1037年利用觀察遠處大海水平面傾角的辦法，也測出了地球的直徑[2]，如圖4所示.在山頂A處觀察海平面，相對于當地水平面的傾角為α，因為視線AC和地球相切于C點，所以AC⊥OC,OC=OB=r，r是地球的半徑.山高AB=h，根據三角函數的定義

圖4 比魯尼用來測量地球半徑的方法

用三角法來測量難以直接測量的長度，如圖5所示，山高AB可通過下面的方法測量求得.欲知山高AB，在遠處Q點和P點觀察山頂A的仰角，分別得θ和φ，PQ長度可直接測量.由三角關系得

圖5 三角法測量山高示意圖

傾斜角θ可以通過一個長方形水槽來測量.如圖6所示，首先在水槽中裝滿水，調節水槽的角度使得水槽上邊緣和水面齊平.然后，通過在水槽底部墊入紙張的辦法逐漸傾斜水槽，部分水從水槽中流出.同時沿著水槽上面邊緣觀察遠處的海平面，當海平面和水槽上邊緣的延長線相交時，保持水槽不動，標出一段水面下降的位置，計算出水槽的傾角θ.

圖6 水槽法測量海平面的傾斜角

2.3 Dennis Rawling方法

1979年，Dennis用一只秒表，在海邊測量站著和躺下觀察兩次日落(日出)的時間差，就可以計算出地球的直徑[3]，具體做法如圖7所示.將眼睛貼近地面的F點，觀察到太陽的上緣剛好沒入海平面的時候站立起來，同時按下秒表開關；此時眼睛的位置為E，離地面的距離為h.當再一次觀察到太陽沒入水面時，停止計時，這段時間差記為Δt.從幾何學知，兩次觀察到太陽沒入水面時的視線夾角θ和從地心O引到兩個切點H和F的夾角相等.地球自轉一圈用時86 400 s，所以Δt時間內地球轉過的角度

三角形HEO是一個直角三角形，根據三角函數的定義

(h+r)cosθ=r

觀察點緯度越高，誤差越大；空氣折射也會產生誤差.

1978年，Dennis在加利福尼亞海岸，北緯32°51′的位置，趴在地上和站在7.2 m高的臺階觀察了兩次日落的時間差是(19.6±0.2) s.，根據上述公式計算出地球半徑為4 760 km，比準確值小25%.

圖7 用秒表測量兩次日落時間差確定地球轉過的角度

2.4 Bob Kibble方法

Bob Kibble在2011年用觀察遠處鐵橋被水面遮擋住的高度計算出了地球的半徑[4]，方法如圖8所示.人眼置于高度h1，觀察位于D=D1+D2處的物體，被觀察物體下部高度為h2的部分因為位于水平面以下而不可見，O是地球的球心.根據

同理得到

兩式相加得到

從而給出計算地球半徑R的公式

圖8 通過觀察隱沒在水平線以下的物體高度來測量地球半徑

h1可以直接測量，D可通過船只行駛的距離得到，他使用了地圖給出的數據30 km.橋的高度h2利用一根長繩來測量.他用望遠鏡來觀察鐵橋以彌補裸眼看不清楚的不足.最后他的測量結果為：地球半徑約為6 200 km，比準確值小了不到3%[5].

3 結論

以上幾種物理測量方法，可以分為兩類，一類是埃拉托色尼的方法，他利用了太陽和地球之間巨大的距離，這樣照射到地球上的太陽光可以被認為是平行光.另一類的3種方法都利用了海平面，海水形成一個較完美的球面.他們巧妙地利用光的直線傳播，簡潔的幾何光學計算即可得到地球半徑.