移動(dòng)終端上利用Phyphox數(shù)值模擬求解拋體極值問題*

陳麒任 馮秀梅

(華中師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 湖北 武漢 430079)

隨著信息技術(shù)與物理教學(xué)的不斷融合，計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬在物理學(xué)習(xí)過程中得到廣泛應(yīng)用.數(shù)值模擬往往可以將物理學(xué)中一些復(fù)雜、抽象的內(nèi)容以圖像形式具體、形象地呈現(xiàn)在學(xué)生面前，從而活躍學(xué)生思維，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，加深學(xué)生對(duì)物理知識(shí)的理解.常見的數(shù)值模擬軟件有Excel,Matlab,Mathcad等，這些軟件普及率高且功能強(qiáng)大，但這些軟件只能在個(gè)人電腦環(huán)境下運(yùn)行，大大制約了數(shù)值模擬的有效利用.而將數(shù)值模擬與移動(dòng)學(xué)習(xí)進(jìn)行有效結(jié)合，可以充分利用移動(dòng)終端的便攜性和普及性，構(gòu)建更為高效的開放型教學(xué)形式，提高物理教和學(xué)的效果.

Phyphox就是一款可以在移動(dòng)終端便捷開發(fā)數(shù)值模擬功能的軟件.目前，結(jié)合手機(jī)內(nèi)部各種傳感器，利用Phyphox開發(fā)各類物理實(shí)驗(yàn)，已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)[1～4].但是Phyphox的數(shù)值模擬功能卻較少被物理教育工作者關(guān)注到.可以通過Phyphox官網(wǎng)進(jìn)入編輯器頁面(https://phyphox.org/editor/)，該編輯器包含各種常見的函數(shù)，功能強(qiáng)大，并且采用模塊化的編程，零基礎(chǔ)的學(xué)習(xí)者也可快速上手，通過簡(jiǎn)單編程即可實(shí)現(xiàn)數(shù)值模擬.程序編寫完畢后，可以生成二維碼，任何已下載Phyphox的移動(dòng)終端都可通過掃二維碼下載使用該程序.本文以數(shù)值模擬求解拋體射程的極值為例，展示如何在移動(dòng)終端利用Phyphox進(jìn)行簡(jiǎn)單編程，實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)化展現(xiàn)求解過程，提升學(xué)生交互學(xué)習(xí)的體驗(yàn).

1 問題與分析

問題：某人以初速度v0投擲鉛球，若鉛球出手高度為h，空氣阻力不計(jì)，那么此人如何投擲可使鉛球的射程最大？

分析：已知拋射點(diǎn)距離地面高度為h，出手速度為v0，設(shè)拋射角為θ，重力加速度為g.投擲鉛球后，鉛球出手后的運(yùn)動(dòng)為斜拋運(yùn)動(dòng).由運(yùn)動(dòng)的合成與分解可知，鉛球的水平方向的軌跡方程為

x=v0tcosθ

(1)

鉛球的豎直方向的軌跡方程為

(2)

設(shè)鉛球的射程為s，飛行時(shí)間為τ，那么根據(jù)斜拋的運(yùn)動(dòng)規(guī)律可以列出下列方程

(3)

s=v0τcosθ

(4)

由式(3)解得(舍去負(fù)值解)

(5)

將式(5)帶入式(4)可以得到斜拋射程的表達(dá)式

(6)

以我國(guó)優(yōu)秀運(yùn)動(dòng)員鞏立姣在十一屆全運(yùn)會(huì)女子鉛球項(xiàng)目中取得冠軍的投擲情況為例來進(jìn)行分析.她投擲鉛球的出手速度v0=13.841 m/s，出手角度θ=33.875°，出手高度h=2.01 m[5]，她的投擲成績(jī)?yōu)?0.35 m.由式(6)可知，當(dāng)鉛球出手速度、高度為定值時(shí)，鉛球的射程與出手角度唯一相關(guān).那么這個(gè)射程有沒有對(duì)應(yīng)的極大值呢？她的投擲角度是否對(duì)應(yīng)著射程的最大值？接下來我們利用Phyphox的數(shù)值模擬功能來解決這個(gè)問題.

2 利用Phyphox求解拋體極值

2.1 人機(jī)交互 展現(xiàn)全參數(shù)θ角拋體的運(yùn)動(dòng)軌跡

利用Phyphox編輯器設(shè)計(jì)人機(jī)交互界面，學(xué)生在對(duì)話框中輸入任意角度(0～90°)均可得該角度的拋體運(yùn)動(dòng)軌跡圖案，并且可以同時(shí)展示多條運(yùn)動(dòng)軌跡曲線，使用不同顏色進(jìn)行區(qū)分，這樣一來學(xué)生便可以直觀地感受不同拋射角度下拋體運(yùn)動(dòng)軌跡間的差異，形成對(duì)拋體問題的初步認(rèn)識(shí).

圖1 拋體運(yùn)動(dòng)軌跡程序設(shè)計(jì)與二維碼

具體程序代碼如圖1(a)所示，圖2(b)是該程序的二維碼.該程序的設(shè)計(jì)思路是，首先調(diào)用sensor模塊的t作為時(shí)間，edit模塊是一個(gè)輸入框，學(xué)習(xí)者可以在里面輸入任意角度，將edit和t分別輸入至第一個(gè)formula模塊的1和2入口，并在其中填寫公式[參照式(1)]：

13.841*cos([1]*3.141 592 6/180)*[2_]，第一個(gè)formula輸出為graph模塊的x，表示拋體在x方向的位移.然后，將edit和t分別輸入至第二個(gè)formula模塊的1和2入口，并在其中填寫公式：2.01+13.841*sin([1]*3.141 592 6/180)*[2_]-0.5*9.8*[2_]*[2_]，第二個(gè)formula輸出為graph的y，表示拋體在y方向的位移.最后，重復(fù)上述操作兩次，實(shí)現(xiàn)3條拋體曲線共同顯示.(注：由于Phyohox軟件本身的問題，本實(shí)驗(yàn)程序通過掃碼加載只能顯示3條黃色曲線，若想要3條不同顏色曲線需要將生成的后綴名為.phyphox文件中的線條顏色代碼進(jìn)行修改，隨后傳輸至移動(dòng)設(shè)備中打開即可)

加載完實(shí)驗(yàn)程序后，在操作界面的edit對(duì)話框中分別輸入30，40，50，得到如圖2(a)所示的3條拋體運(yùn)動(dòng)軌跡圖像，顏色分別為綠、紅、藍(lán).如圖2(b)所示，從拋物線與y=0.00相交點(diǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)距離的遠(yuǎn)近可以看出，紅色所代表的40°角的射程是最遠(yuǎn)的，似乎存在一個(gè)中間角度為最佳拋射角.學(xué)生形成了這樣的初步認(rèn)識(shí)后，為進(jìn)一步分析拋體極值問題奠定了基礎(chǔ).

圖2 拋體運(yùn)動(dòng)軌跡

2.2 繪制θ-s圖像 利用max函數(shù)自動(dòng)定位最大值

當(dāng)拋體的出手速度和高度一定時(shí)，射程與拋射角度的關(guān)系如式(6)所示.本文利用phyphox編輯器實(shí)現(xiàn)射程的數(shù)值求解，并動(dòng)態(tài)展示0～90°范圍內(nèi)的拋射角與射程的關(guān)系曲線，讓學(xué)生直觀體會(huì)最大射程確實(shí)存在.

具體程序代碼如圖3(a)所示，圖3(b)是該程序的二維碼.該程序的設(shè)計(jì)思路是，首先調(diào)用sensor模塊的t作為自變量，自變量t即為式(7)中的拋射角θ，將其輸入到formula模塊.然后，在formula模塊中填寫公式：

(13.841*13.841/2/9.8)*(sin(2*[1_]*

3.1415926/180)+((sin(2*[1_]*3.1415926/180))＾2+

(8*9.8*2.01/13.841/13.841)*(cos([1_]*

3.1415926/180))＾2)＾0.5).自變量t經(jīng)過該公式計(jì)算后，輸出給graph模塊的y作為圖像的縱坐標(biāo)，graph的x橫坐標(biāo)由sensor模塊的t輸入，將sensor模塊的t和formula的輸出分別輸入至max模塊的x和y，max模塊的作用是自動(dòng)尋找縱坐標(biāo)為最大值時(shí)的橫、縱坐標(biāo).最后將max找到的橫、縱坐標(biāo)輸入至兩個(gè)value模塊，在軟件交互界面中顯示出來.

圖3 θ-s圖像程序設(shè)計(jì)與二維碼

圖4 求解極值問題的模擬過程圖

鞏立姣在十一屆全運(yùn)會(huì)上奪得冠軍時(shí)的出手角度為33.875°，這比我們得到的理論最佳拋射角要小，說明鞏立姣要想取得更好的成績(jī)，需要提高鉛球的出手角度.該結(jié)論與文獻(xiàn)[5]中的結(jié)論一致.

3 總結(jié)

本文利用Phyphox軟件在移動(dòng)終端上對(duì)拋體極值問題進(jìn)行了數(shù)值模擬，不僅精準(zhǔn)、快速地得到了極值的具體解，而且設(shè)置了人機(jī)交互，利用全參數(shù)、動(dòng)態(tài)化的圖形展現(xiàn)了拋體的具體軌跡，使得該內(nèi)容變得生動(dòng)、直觀、有趣，不僅方便學(xué)生隨時(shí)學(xué)習(xí)，而且有利于加深其對(duì)該問題的理解，提高物理學(xué)習(xí)的興趣.