與參考答案不一樣的正確答案
——由非獨立變量引發(fā)的問題

王美芳

(復旦大學附屬中學 上海 200433)

1 是我做錯了嗎

有個學生告訴我他做了今年的青浦物理二模卷最后一題的最后一小題，用了自己的方法，得到了一個跟參考答案完全不一樣的解，他自己找不出問題在哪里，希望我?guī)退匆豢?我看了他的解法，是利用牛頓第二定律，積分求解的.他提供的計算過程有些錯誤的地方，我?guī)退拚蟮玫降慕庖廊皇遣煌趨⒖即鸢傅?這個事情比較有意思，所以和大家分享一下.

【題目】如圖1(a)所示，在豎直平面內平行放置了兩根完全相同的金屬導軌，間距為L=0.2 m.其中a1b1段和a2b2段是豎直放置的足夠長的光滑直軌道；b1c1和b2c2段是半徑為R=0.25 m的光滑圓弧軌道，圓心角為127°，圓心O1和O2與b1和b2在同一高度；c1d1和c2d2段是粗糙的傾斜直軌道，與水平面成37°角放置，軌道長度足夠長.圖1(b)是其正面視圖.a1a2之間連接一阻值為R0=0.5 Ω的電阻.現(xiàn)有一質量為m=0.1 kg，電阻為r=0.5 Ω的金屬棒通過兩端的小環(huán)套在兩根軌道上，棒與軌道的c1d1和c2d2段之間的動摩擦因數為μ=0.25.棒從傾斜軌道上距離c1c2為s=2 m處由靜止釋放，在棒到達b1b2瞬間，在豎直軌道區(qū)域內出現(xiàn)水平向右的勻強磁場，磁感應強度為B=0.5 T，運動中棒始終與導軌垂直.(sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，g=10 m/s2)

(1)求棒在傾斜軌道上運動的時間t1；

(2)求棒到達b1b2處時R0的電功率P0；

(3)請分析說明棒在磁場區(qū)域運動的情況；

(4)若棒剛越過b1b2處時的速度設為v1，在磁場內運動的時間設為t2，求棒剛離開磁場區(qū)域時的速度v2.

圖1 題目題圖

其中第(4)小題獨立于前面3個小題，所以這里跳過前面3小題，直接討論第(4)小題.第(4)小題的參考答案是v2=gt2-v1,下面給出兩種不同的解法.

(1)微元累加解法

先給出常規(guī)的微元累加的解法：

以豎直向下為正，由牛頓第二定律得

經過一小段時間Δt

考慮在磁場中的整個運動過程，對時間分割，再微元累加得

整個過程，時間為t2，位移為零，速度的變化量為v2-(-v1)，注意：進入磁場的初速度為-v1(在本題中，已知條件中的v1是初速度的大小部分，實際滿足以上公式的初速度應為-v1)，所以有

∑Δt=t2

∑vΔt=0

∑aΔt=v2-(-v1)

聯(lián)立得

(2)積分解法

再來看另一種解法：

由牛頓第二定律得

mg+F安=ma

以豎直向下為正，則

兩邊分別積分

由此得t2時刻對應速度v2

(1)

于是，這里我們看到了兩種解，放在一起對比一下

這里積分求解得到的答案看著比較復雜，和參考答案形式上很不一樣，那么，它錯了嗎？

2 兩個答案等價性證明

對積分求解繼續(xù)深入，可得到s(t)，令s(t)=0，得到在磁場中的運動時間t2滿足的關系式，代回v2的積分求解表達式，可證明兩個答案的等價性.

(1)寫出s(t)

(2)給出磁場中運動的時間t2滿足的表達式

令s=0，對應的t有兩個解，t1=0，即剛進入磁場位移為零，另一解t2應對應出磁場時刻，所以t2滿足

整理得t2滿足

(2)

(3)證明兩種解的等價性

兩個解的等價性得證.所以，式(1)雖然形式與參考答案不同，也是本題的一個正確答案.

3 反思

為什么會有兩個看似不同的正確答案？問題的關鍵是本題中，在磁場中的運動時間t2不是一個獨立變量.從剛才的證明中可以看出，t2是可以根據已知條件求得.這就導致了本題v2的表達形式不唯一.

實際上，由于題目中給定的物理量不是獨立變量，造成答案不唯一情況并非只有這一個例.2008年江蘇物理高考最后一題類似于這種情況[1]，學生有可能會給出不用于參考答案的另一個正確答案，原因就是題目中給的已知量并非全部獨立變量.

對我們教師來說，由此得到的經驗應該是：在電磁感應計算題的命題過程中要做好設計探析[2]，其中就要注意考慮到獨立變量問題.如果題目中出現(xiàn)類似情況，對做出其他解而感覺迷惑的學生應加以鼓勵并對其解分析解釋.在注重物理核心素養(yǎng)培養(yǎng)的背景下，更應注意培養(yǎng)學生的質疑精神和發(fā)散性思維，不能因為和參考答案不一致而武斷地判定學生解答錯誤.