“恒定電流”能否通過理想變壓器*
——對一道變壓器調考題的深入研究

姜付錦 喻 聰

(武漢市黃陂區第一中學 湖北 武漢 430300)

黃亦斌

(江西師范大學物理與通信電子學院 江西 南昌 330022)

理想變壓器是高中物理中一個非常重要的物理模型，它是從普通變壓器抽象出來的，高中學段的學生對理想變壓器的規律非常熟悉，但是對普通變壓器的工作原理[1]，他們未必清楚，所以很有必要把理想變壓器與普通變壓器的區別與聯系搞清楚.

1 普通變壓器

首先假定兩線圈(包括內部的鐵芯)是線性元件(鐵芯無磁滯、渦流等鐵損)，于是可定義自感L1，L2和互感M.如圖1所示，建立各物理量的正方向，其中副線圈中的電流i2的正方向可由要求M>0(i2在鐵芯內產生的磁通方向與i1產生的一致)而確定.于是，根據法拉第電磁感應定律，兩線圈的感生電動勢(自感和互感之和)分別為

圖1 變壓器原理圖

(1)

其中，磁通匝鏈數(磁鏈)Ψ1,Ψ2分別為

Ψ1=L1i1+Mi2Ψ2=L2i2+Mi1

(2)

線圈本身由金屬導線制成，滿足部分電路歐姆定律.設兩線圈的內阻分別為R1和R2，則

u1=-e1+i1R1u2=e2-i2R2

(3)

若變壓器無漏磁，此時每匝線圈的磁通量Φ都相等，故原、副線圈的磁鏈可以寫成

Ψ1=N1ΦΨ2=N2Φ

(4)

無漏磁即是耦合達到最大，此時互感系數為[2，3]

(5)

將式(5)代入式(2)，可得

(6)

其中括號內的量平方的一半為

(7)

正是變壓器的磁能，它正常情況下應該是有限大小.

聯立式(4)和(7)得

(8)

在能量方面，聯立式(1)～(3)得

(9)

式(9)表明：輸入功率與輸出功率之差提供了線圈內阻和介質中磁能的變化.如果線圈內阻為零且無漏磁，則由式(1)、(3)、(7)聯立得

(10)

(11)

同時，式(9)可以變為

(12)

若已知u2(t)=i2(t)R，代入式(6)和(10)消去u2(t)和i2(t)得

(13)

若i1(t)已知，由式(13)可以求出u1(t)和u2(t).

2 理想變壓器

若是理想變壓器，則有

L1→∞L2→∞

(14)

則由式(13)得

(15)

再考慮到初始狀態

(16)

再結合式(6)和(16)，輸入電流和輸出電流總成正比且反相，與具體變化情況無關，即

(17)

式(17)是瞬時關系，與具體的時間變化情況無關，有一段過程是常數時也照樣成立.

3 一道調考題的分析

【調考題】一理想變壓器的原、副線圈的匝數比為2∶1，在副線圈的回路中接有伏特表和阻值R=10 Ω的定值電阻，如圖2(a)所示.原線圈一側接在如圖2(b)所示的交流電上，交流電的前半個周期為正弦交流電，后半個周期為恒定電流.伏特表的示數為

圖2 調考題題圖

3.1 參考答案

此題提供的參考答案為選項C，設原線圈中電流有效值為I1，由有效值定義得

(18)

解方程得

(19)

由電流比關系得

(20)

由歐姆定律得

U2=I2R

(21)

聯立式(19)～(21)求得

(22)

所以，答案應該選C.

3.2 可能存在的4點疑惑

對以上調考題答案，很多教師認為是選項A.爭議的焦點是圖2(b)中負半周內變壓器是否工作，畢竟直流電流是不能通過變壓器的.

(1)輸入電流為常數，就沒有電磁感應嗎？

錯，別忘了互感，而我們并不清楚輸出電流.只要副線圈中電流變化，那么原線圈和副線圈中都會有感應電動勢，即使原線圈中電流為常數.

(2)輸入電流和輸出電流均為常數，就沒有電磁感應嗎？

這只是L趨近無窮時的結果，實際上，原線圈和副線圈都可以有(至少一邊有)微弱變化，用電流變化率乘上無窮大的自感系數后，兩邊的電流和感應電動勢就都不為零了.

(3)如果電流為常數的那段過程很長呢？比如一天的時間.

此條件與自感系數趨近于無窮大條件是相互矛盾的.具體情形依賴于到底誰更大.在正弦電流情形，這相當于問ωL是什么情況.過程很長，周期趨近于無窮大，ω→0.同時L→∞.那么ωL是什么情況？這需要重新定義，如果ωL→∞，那就說電流為常數的過程還不夠長，L→∞為主要因素，變壓器仍可視為理想變壓器，上面的所有結論都成立，包括“直流變直流”(前提是整個周期中電流有變化的).如果ωL→0，那意味著L很大，但還不足夠大，周期趨近于無窮是主要因素，前面理想變壓器的結論不成立，需要重新考慮.(當然，考慮的結果就是無感應電動勢)

(4)如果原線圈中電流一直是常數呢？

如果是這樣的話，此時不能用L→∞，從而變壓器不能認為是理想變壓器.其處理方法是根據式(4)～(12)，式(12)在原線圈中電流一直為常數條件的解是變壓器中磁場能是一個常數(初始條件包含在衰減項中)，于是從長時間來看，原線圈和副線圈中電壓都為零，從而i2=0.

3.3 數學分析

一個非正弦周期函數，只要滿足狄里赫利條件[4]，都可以展開為傅里葉三角級數.方波是一種非正弦曲線的波形，滿足狄里赫利條件，可以展開為傅里葉三角級數

(23)

由方波的傅里葉三角級數展開可知:方波是由正弦基波和正弦奇次諧波的合成而成的.由此可知，變壓器完全可以在方波情形下工作.還可以用傅里葉三角級數展開定量分析空載勵磁電流：當輸入電壓為方波時，勵磁電流是三角波，即磁通量變化是三角波，產生的感應電動勢是方波.如圖3所示，原線圈中的電壓u1與空載電流i0有90°的相位差，電流表達式中分母的(2n+1)2是考慮到感抗與頻率成正比，對i0求導后可以發現感應電動勢正好是方波的傅里葉三角級數展開式.當副線圈接上負載后，輸入電流的增量與輸出電流在鐵芯內的磁通量時刻抵消，不會影響輸入電壓方波的波形.

圖3 方波電壓和方波電壓的勵磁電流

4 數值模擬與仿真

4.1 接線圖說明

如圖4所示，仿真平臺為Matlab2018a，在simulink中搭建電路圖.因電流波形周期為0.2 s，故仿真時間設置為0.2 s，即可看出規律.區域1用于產生題中所示電流源，區域2是電流表，區域3是理想變壓器，區域4是電阻，區域5是電壓表.

圖4 仿真電路圖

4.2 仿真結果

仿真結果如圖5和圖6所示.

圖5 電流源波形

圖6 電壓表波形

可以看出，輸入電流順利地通過了理想變壓器，電壓表上的波形與輸入端相同，所以輸入電流中的“直流部分”可通過理想變壓器.

4.3 補充說明

理想變壓器中有一個參數magnetization resistance and inductance，該項設置為inf(無窮大)則表示理想變壓器，但設置為inf后仿真失敗，無法計算.于是改為1019，仿真才得以順利進行.當設置為100或者1時(特性上比較接近于普通變壓器)，電流通過普通變壓器后有些失真.圖7和圖8為理想變壓器設置參數與普通變壓器的輸出電壓波形.

圖7 理想變壓器參數

圖8 普通變壓器的輸出電壓波形

5 結束語

通過以上分析，不難發現：理想變壓器是可以實現“直流變直流”(前提是整個周期中電流有變化)；變壓器的原、副線圈存在互感現象，當L→∞時，原、副線圈中的電流只要有微弱變化，用電流變化率乘上無窮大自感系數后，原、副線圈的電流和感應電動勢就都不為零了；當原線圈中的u1為方波信號時，u1與線圈中的空載電流i0有90°的相位差，對i0求導后，可以得出感應電動勢正好是方波的傅里葉展開式，當副線圈接上負載后，輸入電流的增量與輸出電流在鐵芯內的磁通量時刻抵消，不影響電壓波形，故交變電流中的“直流部分”可以通過理想變壓器.

致謝

本文中的數值模擬電路設計和仿真是由筆者的一個學生——李卓完成，他是華中科技大學光電與信息技術學院2017級研究生；在數學分析時也得到了重慶十一中學郎軍老師的精心指點，在此特別感謝李卓和郎軍老師對這個問題分析與解決所付出的努力.