Gorenstein FCn-投射模

張文匯，高華云

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

0 引言

文中提到的環(huán)均指有單位元的結(jié)合環(huán)，模均指酉模．20世紀(jì)90年代，Enochs等[1-2]引入了Gorenstein投射模(Gorenstein內(nèi)射模， Gorenstein平坦模)及模的Gorenstein投射維數(shù)(Gorenstein內(nèi)射維數(shù)， Gorenstein平坦維數(shù))，這是Gorenstein同調(diào)理論的核心．近年來，Gorenstein同調(diào)代數(shù)的研究已經(jīng)取得了很多重要成果，研究范圍也從模范疇擴(kuò)充到Abel范疇(例如模的復(fù)形范疇)以及非Abel范疇(例如三角范疇， E-三角范疇等)．2012年，Gao等[3]引入了Gorenstein FP-內(nèi)射模．稱左R-模M是Gorenstein FP-內(nèi)射模，如果存在FP-內(nèi)射左R-模的正合列

E: …→E1→E0→E0→E1→…,

P: …→P1→P0→P0→P1→…,

使得M?Ker(P0→P1)，并且對(duì)任意內(nèi)射維數(shù)有限的有限余表示右R-模Q，序列HomR(P,Q)正合.受以上文獻(xiàn)的啟發(fā)，本文引入FCn-投射模和Gorenstein FCn-投射模，并討論這兩類模的同調(diào)性質(zhì)．

以下除非特別說明，模均指左R-模．我們用id(M)表示R-模M的內(nèi)射維數(shù)，P(R)表示所有投射R-模構(gòu)成的類，N表示自然數(shù)集，Z表示整數(shù)集．文中沒有介紹的符號(hào)和術(shù)語請(qǐng)參考文獻(xiàn)[6]．

設(shè)n是一非負(fù)整數(shù)．稱R-模M是有限n-余表示模[7]，如果存在R-模的正合列

0→M→E0→…→En-1→En,

其中Ei(i=0,1,2,…,n)是有限余生成內(nèi)射模；稱上述正合序列為模M的有限n-余表示．記FCn為有限n-余表示模類．特別地，F(xiàn)C0是有限余生成模類，F(xiàn)C1是有限余表示模類．稱環(huán)R是左n-余凝聚環(huán)[7]，如果任意有限n-余表示左R模是有限(n+1)-余表示的．特別地，左0-余凝聚環(huán)就是余Notherian環(huán)[8]；左1-余凝聚環(huán)就是余凝聚環(huán)．稱R-模類X是投射可解類[9]，如果P(R)?X，并且在任意短正合序列0→A→B→C→0中，若C∈X，則A∈X當(dāng)且僅當(dāng)B∈X．

1 FCn-投射模

作為FC-投射模的推廣，我們引入FCn-投射模，并在左n-余凝聚環(huán)上討論這類模的同調(diào)性質(zhì)．以下總假定n是正整數(shù)．

特別地，F(xiàn)C1-投射模就是FC-投射模．

注1由定義1可知，投射模和FC-投射模都是FCn-投射模；FCn-投射模關(guān)于擴(kuò)張、直和及直和項(xiàng)都封閉．

引理1設(shè)R是左n-余凝聚環(huán)，則以下結(jié)論成立：

(2)在R-模的任意短正合序列

0→A→B→C→0

0→G→E0→…→En-1→En→…,

(2)對(duì)任意有限n-余表示模G，由長正合列引理可知存在正合列

推論1設(shè)R是左n-余凝聚環(huán)，則FCn-投射模類是投射可解類．

2 Gorenstein FCn-投射模

定義2稱R-模M是Gorenstein FCn-投射模，如果存在FCn-投射模的正合列

P:…→P-2→P-1→P0→P1→…,

使得M?Ker(P0→P1)，并且對(duì)任意內(nèi)射維數(shù)有限的有限n-余表示模G，序列HomR(P,G)正合．

注2( i )由對(duì)稱性，若M是Gorenstein FCn-投射模，則序列P中各同態(tài)的像、核和余核都是Gorenstein FCn-投射模；

( ii )投射模、FC-投射模、FCn-投射模都是Gorenstein FCn-投射模；

例1任意Gorenstein投射模是Gorenstein FCn-投射模．

證明若M是Gorenstein投射模，則存在投射模的正合列

P: …→P-2→P-1→P0→P1→…,

并且M?Ker(P0→P1)．因此只需證對(duì)任意內(nèi)射維數(shù)有限的有限n-余表示模G，序列HomR(P,G)正合，但這由模G的內(nèi)射維數(shù)有限可得．故M是Gorenstein FCn-投射模． 】

命題1設(shè)R是左n-余凝聚環(huán)，M是R-模，則M是Gorenstein FCn-投射模當(dāng)且僅當(dāng)以下條件成立：

(1)存在FCn-投射模的正合列

P: …→P-2→P-1→P0→P1→…,

使得M?Ker(P0→P1)；

證明必要性.設(shè)M是Gorenstein FCn-投射模，則存在R-模的正合列

P: …→P-2→P-1→P0→P1→…,

定理1設(shè)R是左n-余凝聚環(huán)，M是R-模，則M是Gorenstein FCn-投射模當(dāng)且僅當(dāng)存在FCn-投射模的正合列

P: …→P-2→P-1→P0→P1→…,

使得M?Ker(P0→P1).

證明只需證明充分性．由定義2只需證明對(duì)任意內(nèi)射維數(shù)有限的有限n-余表示模G，序列HomR(P,G)正合．設(shè)id(G)=m<∞，我們對(duì)m進(jìn)行數(shù)學(xué)歸納．

當(dāng)m=0時(shí)，結(jié)論自然成立．

現(xiàn)設(shè)m≥1，由R是左n-余凝聚環(huán)知G∈FC∞，故存在正合列0→G→N→L→0，其中N是有限余生成內(nèi)射模，L是有限n-余表示模并且id(L)≤m-1．在復(fù)形的短正合列

中，序列HomR(P,N)正合，且由歸納假設(shè)知序列HomR(P,L)正合，所以由文獻(xiàn)[10]定理6.3知，序列HomR(P,G)正合，故M是Gorenstein FCn-投射模． 】

推論2設(shè)R是左n-余凝聚環(huán)，M是R-模，則以下結(jié)論等價(jià)：

(1)M是Gorenstein FCn-投射模；

(2)存在FCn-投射模的正合列

P: …→P-2→P-1→P0→P1→…,

(3)存在R-模的正合0→M→P→K→0，其中P是FCn-投射模，K是Gorenstein FCn-投射模；

(4)存在R-模的正合列

0→M→P0→P1→…,

其Pj(j∈N)是FCn-投射模．

證明(1)?(2),(1)?(3)?(4)易見．

(4)?(1).設(shè)…→P-2→P-1→M→0是M的投射分解，與(4)中正合列首尾相接可得正合列…→P-2→P-1→P0→P1→…，其中Pj(j∈Z)是FCn-投射模，且M?Ker(P0→P1)．由定理1可知M是Gorenstein FCn-投射模． 】

命題2設(shè)R是左n-余凝聚環(huán)，0→M→N→L→0是R-模的正合列，則以下結(jié)論成立：

(1)若N是FCn-投射模，L是Gorenstein FCn-投射模，則M是Gorenstein FCn-投射模；

(2)若L是FCn-投射模，M是Gorenstein FCn-投射模，則N是Gorenstein FCn-投射模．

證明(1)由推論2可得．

(2)由M是Gorenstein FCn-投射模知,存在正合列0→M→P→K→0，其中P是FCn-投射模，K是Gorenstein FCn-投射模．考慮推出圖

其中P，L是FCn-投射模，故Q是FCn-投射模．利用中間列由(1)可知，N是Gorenstein FCn-投射模． 】

定義3稱環(huán)R是左GFCnP-閉環(huán)，如果Gorenstein FCn-投射左R-模類關(guān)于擴(kuò)張封閉．

定理2設(shè)R是左n-余凝聚環(huán)，則R是左GFCnP-閉環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)Gorenstein FCn-投射模類是投射可解類．

證明充分性易見．

必要性.設(shè)R是左GFCnP-閉環(huán)，只需證明在R-模的任意正合列0→M→N→L→0中，若N,L是Gorenstein FCn-投射模，則M是Gorenstein FCn-投射模．

因?yàn)镹是Gorenstein FCn-投射模，所以存在R-模的正合列0→N→F→Q→0，其中F是FCn-投射模，Q是Gorenstein FCn-投射模．考慮推出圖

因?yàn)長和Q都是Gorenstein FCn-投射模且R是左GFCnP-閉環(huán)，所以E是Gorenstein FCn-投射模．對(duì)中間行應(yīng)用推論2可知,M是Gorenstein FCn-投射模． 】

由定理2和文獻(xiàn)[2]命題1.4易得如下推論．

推論3設(shè)R是左n-余凝聚的左GFCnP-閉環(huán)，則Gorenstein FCn-投射模類關(guān)于直和項(xiàng)封閉．

以下討論FCn-投射模、Gorenstein FCn-投射模和其他模類間的關(guān)系．

定理3設(shè)R是左n-余凝聚環(huán)，且任意有限n-余表示R-模的內(nèi)射維數(shù)有限，則以下結(jié)論等價(jià)：

(1)任意R-模是Gorenstein FCn-投射模；

(2)任意內(nèi)射R-模是FCn-投射模；

(3)任意Gorenstein內(nèi)射R-模是Gorenstein FCn-投射模；

(4)任意內(nèi)射R模是Gorenstein FCn-投射模；

(5)任意有限生成R-模是Gorenstein FCn-投射模；

(6)任意循環(huán)R-模是Gorenstein FCn-投射模；

(7)任意有限n-余表示R-模是內(nèi)射模；

(8)任意R-模是FCn-投射模．

證明(1)?(3)?(4),(8)?(1)?(5)?(6)易見．

(4)?(2).任取內(nèi)射模E，由(4)知E是Gorenstein FCn-投射模，故存在可裂的短正合列

0→E→P→L→0，

其中P是FCn-投射模，L是Gorenstein FCn-投射模．因?yàn)镕Cn-投射模類關(guān)于直和項(xiàng)封閉，所以E是FCn-投射模.

(2)?(1).對(duì)任意R-模M，設(shè)其投射分解和內(nèi)射分解分別為

首尾相接可得正合列

P: …→P1→P0→E0→E1→…,

其中Pj(j∈N)是投射模，Ei(i∈N)是內(nèi)射模，且M?Im(P0→E0)．由條件(2)知，Ei(i∈N)是FCn-投射模，故序列P是FCn-投射模的正合列．由定理1即知M是Gorenstein FCn-投射模．

3 Gorenstein FCn-投射維數(shù)

定義4定義R-模M的Gorenstein FCn-投射維數(shù)GFCn-pd(RM)為：GFCn-pd(RM)=inf{m∈N|存在正合列0→Qm→Qm-1→…→Q0→M→0，其中Qi(i=0,1,2,…,m)是Gorenstein FCn-投射模}．若上述集合為空，則規(guī)定GFCn-pd(RM)=∞．

注意到，投射模是Gorenstein FCn-投射模，于是由注記2(iii)和推論3易得如下結(jié)論．

引理2設(shè)R是左n-余凝聚的左GFCnP-閉環(huán)，M是R-模，考慮R-模的正合列

其中Qi，Pi(i=0,1,2,…,m-1)是Gorenstein FCn-投射模，則K是Gorenstein FCn-投射模當(dāng)且僅當(dāng)K′是Gorenstein FCn-投射模．

定理4設(shè)m是一非負(fù)整數(shù)，R是左n-余凝聚的左GFCn-P閉環(huán)，則以下結(jié)論等價(jià)：

(1)GFCn-pd(RM)≤m;

(2)存在R-模的正合列

0→Qm→Qm-1→…→Q0→M→0,

其中Qi(i=0,1,2,…,m)是Gorenstein FCn-投射模；

(3)在R-模的任意正合列

0→K→Qm-1→…→Q0→M→0

中，若Qi(i=0,1,2,…,m-1)是Gorenstein FCn-投射模，則K是Gorenstein FCn-投射模．

證明(1)?(2).設(shè)GFCn-pd(RM)=t≤m，則存在R-模的正合列

0→Qt→Qt-1→…→Q0→M→0,

其中Qi(i=0,1,2,…,t)是Gorenstein FCn-投射模．由于Qt是Gorenstein FCn-投射模，故存在正合列

0→Km→Pm-1→…→Pt→Qt→0,

其中Pm-1,…,Pt是FCn-投射模．因?yàn)镚orenstein FCn-投射模類是投射可解類，故Km是Gorenstein FCn-投射模，將上述兩序列首尾相接即可得所需正合列．

(2)?(3),(3)?(1)由引理2及定義5即得． 】

命題3設(shè)R是左n-余凝聚環(huán)，在R-模的任意正合列0→N→Q→M→0中，若Q是Gorenstein FCn-投射模，則GFCn-pd(RM)≤GFCn-pd(RN)+1．進(jìn)而，當(dāng)R是GFCnP-閉環(huán)時(shí)，等號(hào)成立．

證明當(dāng)GFCn-pd(RN)=∞時(shí)，結(jié)論自然成立．現(xiàn)設(shè)GFCn-pd(RN)=m<∞，則存在R-模的正合列0→Qm→…→Q0→N→0，其中Qi(i=0,1,2,…,m)是Gorenstein FCn-投射模．因此有正合列

0→Qm→…→Q0→Q→M→0,

其中Q，Qi(i=0,1,2,…,m)是Gorenstein FCn-投射模．故

GFCn-pd(RM)≤m+1=GFCn-pd(RN)+1.

進(jìn)一步，若R是GFCn-P-閉環(huán)，要使等號(hào)成立只需證明GFCn-pd(RN)≤GFCn-pd(RM)-1．當(dāng)GFCn-pd(RM)=∞時(shí)，結(jié)論自然成立．現(xiàn)設(shè)GFCn-pd(RM)=m<∞，且

0→K→Pm-2→…→P0→N→0

是模N的部分FCn-投射分解．將此正合列與已知短正合列首尾相接可得正合列

0→K→Pm-2→…→P0→Q→N→0,

其中Q,Pi(i=0,1,2,…,m-2)是Gorenstein FCn-投射模．由定理4可知K是Gorenstein FCn-投射模,因此GFCn-pd(RN)≤m-1． 】