液晶光波導中本征模內(nèi)場分量間的關(guān)系

查正桃，張謙述

(1.西華師范大學 物理與天文學院，四川 南充 637009;2.西華師范大學 電子信息工程學院，四川 南充 637009)

1 引 言

向列相液晶的大雙折射[1]和易被低電壓調(diào)節(jié)[2]特性，有助于改善光波導的光學性能。因此，近年來向列相液晶光波導的研究引起了國內(nèi)外研究人員的興趣。例如，向列相液晶光波導在光開關(guān)[3-5]、光衰減器[6]、光學濾波器[7]、可調(diào)光分束器[8]、偏振旋轉(zhuǎn)器[9-10]等器件中的應用研究被廣泛開展。

在以上研究中，液晶光波導的模場分析是最基本、最重要的步驟。自20世紀80年代以來，大量數(shù)值方法被相繼提出，主要包括變分法[11-12]、有限差分法[13]、矢量偽譜法[14]、有限元法[15-16]等，但這些數(shù)值方法僅適用于均勻各向異性光波導。然而，一般情況下液晶光波導都具有錨定層，根據(jù)Freedericksz轉(zhuǎn)變[17]，當外加電壓使液晶分子指向矢旋轉(zhuǎn)時，其旋轉(zhuǎn)角是沿外加電場方向漸變的，因此并不能通過上述數(shù)值方法分析液晶光波導的模場分布。至今，橫向各向異性液晶光波導中的場分量間關(guān)系仍不清晰。此外，參考文獻[14]推測出液晶光波導中本征模場的模內(nèi)場分量間存在相關(guān)性，但并未給出相應的定量關(guān)系。因此，為了得到液晶光波導中的模內(nèi)場分量間的定量關(guān)系，本文首先從麥克斯韋方程組推導出向列相液晶的各向異性電磁場耦合方程，并得出非尋常光本征模式的場分量間比值與指向矢旋轉(zhuǎn)角間的定量變化規(guī)律。考慮到液晶指向矢旋轉(zhuǎn)角由外加電壓確定，因此，可進一步得出本征模內(nèi)場分量之間的振幅、相位的定量關(guān)系受外加電壓調(diào)控的規(guī)律，并使用光學軟件OptiBPM13.1進行數(shù)值仿真驗證。

2 模內(nèi)場分量間關(guān)系的理論分析

圖1 (a)液晶光波導橫截面示意圖；(b)液晶分子旋轉(zhuǎn)示意圖。

(1)

(2)

式中，

(3)

其中：ε‖、ε⊥分別表示光學頻率下平行和垂直液晶分子長軸的相對介電常數(shù)。聯(lián)合式(1)～(3)即可得到任意外加電壓下的液晶介電張量分布。

另一方面，根據(jù)麥克斯韋方程組，非磁各向異性電介質(zhì)的磁場矢量波動方程為[21]

(4)

(5)

(6)

將式(6)乘tanα(y)后與式(5)相加并整理可得：

(7)

根據(jù)本征模場理論[22]可將式(7)改寫為：

(8)

(9)

成立。將式(9)代入式(8)可得:

Hxe=-tanα(y)Hye，

(10)

式(10)表明在液晶光波導的芯區(qū)，非尋常光波所激勵的本征模場的橫向磁場分量之間存在如下關(guān)系：

(1)模場振幅的比值為當前液晶分子旋轉(zhuǎn)角的正切函數(shù)；

(2)當液晶分子旋轉(zhuǎn)角的正切函數(shù)不恒等于零時，模場之間的相位差恒為π。

而根據(jù)式(1)可知，液晶分子旋轉(zhuǎn)角由外加電壓確定，因此，非尋常光波本征模式的橫向磁場分量的場間關(guān)系可被外加電壓定量調(diào)控。

3 仿真實驗

以液晶5CB(4′-n-pentyl-4-cyano-biphenyl)為例，真空波長λ0設(shè)為1.5 μm，在室溫25.1 ℃下5CB為單軸、正性液晶，其Frank彈性常數(shù)K11、K33分別為6.4 pN、10 pN[17]，根據(jù)雙系數(shù)柯西模型[17]可知，液晶分子的主軸介電常數(shù)為ε‖=2.829 1,ε⊥=2.309 2，包層折射率選擇nc=1.48，液晶芯區(qū)的尺寸w、h均為6 μm。根據(jù)式(1)可得不同外加電壓下液晶分子旋轉(zhuǎn)角漸變曲線如圖2所示。

圖2 液晶分子旋轉(zhuǎn)角在不同外加電壓下的分布曲線

從圖2可見，當外加電壓超過閾值以后，液晶分子指向矢的旋轉(zhuǎn)在y方向是漸變的，為了能夠使用軟件OptiBPM13.1中適用于均勻各向異性光波導的算法進行求解，將漸變的液晶芯區(qū)用多層均勻的液晶層近似代替，等效模型如圖3所示。

圖3中，第i層均勻液晶層的位置yi由式(11)確定。

圖3 液晶芯區(qū)的多層近似模型示意圖

yi=-h/2+(2i-1)Δh/2,i=1,2,…N，

(11)

式中，Δh=h/N為每一層的厚度，N為層數(shù)。考慮到對稱性，N應為奇數(shù)。顯然，N取值越大，這種等效模型的準確度越高。只要液晶芯區(qū)的厚度和層數(shù)確定，即可通過式(11)和上述各式得到每一層液晶分子的介電張量。這里選擇液晶層數(shù)N=301，計算窗口為9 μm的正方形區(qū)域。當外加電壓分別為閾值電壓的1.2倍和2倍時，波導橫截面的介電張量分布如圖4所示。

從圖4(a)～(c)和圖4(e)～(g)可見，液晶介電張量在y方向是漸變的，但在x方向卻是均勻的。對于正性液晶，非尋常光所激勵的本征模式為低階模式，利用OptiBPM13.1軟件求解這兩個外加電壓下液晶光波導中的本征模場，圖5和圖6展示了外加電壓分別為閾值電壓的1.2倍和2倍時，非尋常光波所激勵的前4個模式的Hx,tanα(y)Hy的振幅以及橫向磁場分量的相位在液晶光波導芯區(qū)的分布情況。

圖4 (a)～(d)外加電壓為1.2倍閾值時液晶介電張量的橫截面分布；(e)～(h)外加電壓為2倍閾值時液晶介電張量的橫截面分布。

圖5 外加電壓為1.2倍閾值時，前4個模式橫向磁場分量在液晶光波導芯區(qū)的分布情況。(a)～(h)振幅分布；(i)～(p)相位分布。

圖6 外加電壓為2倍閾值時，前4個模式橫向磁場分量在液晶光波導芯區(qū)的分布情況。(a)～(h)振幅分布；(i)～(p)相位分布。

從圖5(a)～(h)和圖6(a)～(h)可以看到，對于非尋常光波所激勵本征模場，|Hx|與|tanα(y)Hy|的圖案形狀幾乎是完全相同的，而且根據(jù)彩色條注的數(shù)值可以看到它們的數(shù)值也非常接近，考慮到數(shù)值算法以及液晶芯的多層劃分存在一定的誤差，因此二者并不是完美地相等。而且從圖5(i)～(p)和圖6(i)～(p)可見，各階模式的橫向磁場分量在整個波導芯區(qū)上的任意一個位置上相位差幾乎都為π。因此，式(10)所表征的橫向磁場分量場間關(guān)系受液晶分子旋轉(zhuǎn)角(或外加電壓)調(diào)控的定量關(guān)系式是成立的。應當指出的是，盡管這里僅展示了前4個模式，但根據(jù)仿真實驗結(jié)果發(fā)現(xiàn)，非尋常光波所激勵的更高階模仍然滿足該規(guī)律。通過改變波導的寬厚比、入射波長以及材料的折射率等參數(shù)進行多次仿真實驗，發(fā)現(xiàn)非尋常光波激勵的本征模場的模內(nèi)橫向磁場分量之間仍然滿足式(10)。

此外，將圖5(a),(c),(e),(g)和圖6中與之對應的子圖進行比較還可以看到當外加電壓更大時，Hx的振幅也更大。這是因為隨著外加電壓增加，液晶分子的旋轉(zhuǎn)角也增加(圖2)，根據(jù)式(10)可知Hx相對于Hy的振幅也隨之增加。當外加電壓非常接近于閾值電壓或者更小的情況，Hx相對于Hy的振幅非常小，此時非尋常光波所激勵的本征模非常接近準橫電(Transverse Electric, TE)模；隨著外加電壓的增加，Hx相對于Hy的振幅逐漸增加，非尋常光波所激勵的本征模式逐漸接近于準橫磁(Transverse Magnetic, TM)模。因此，可以通過改變外加電壓來實現(xiàn)非尋常光波所激勵的偏振模式的轉(zhuǎn)換，即根據(jù)式(10)所示的調(diào)控規(guī)律能夠?qū)崿F(xiàn)基于液晶光波導的電控偏振旋轉(zhuǎn)器以及模式轉(zhuǎn)換器。

從式(10)還可以看到當外加電壓超過閾值以后，非尋常光波所激勵的橫向磁場分量之間的比值不僅與當前外加電壓有關(guān)，而且該比值與空間變量y也有關(guān)系，這將導致橫向磁場分量在y方向上的模場直徑并不相等。這一現(xiàn)象與文獻[14]中橫向磁場分量間模場直徑相等的結(jié)論有所不同，這是因為文獻[14]中是假設(shè)所有液晶分子的場致重新取向是一致的，即并未考慮液晶指向矢的旋轉(zhuǎn)是一維漸變的(本文中漸變方向為y方向)。

總之，在外加電壓下，液晶指向矢的漸變旋轉(zhuǎn)對液晶光波導的模場分布有較大的影響，適用于常規(guī)均勻各向異性光波導的數(shù)值算法并不能直接有效地分析液晶光波導中的模場分布和場間關(guān)系。

4 結(jié) 論

針對橫向各向異性液晶光波導中模內(nèi)場間關(guān)系并不清晰以及傳統(tǒng)數(shù)值算法并不能直接分析具有錨定層的液晶光波導模場的情況，本文從解析上根據(jù)麥克斯韋方程組推導出液晶各向異性磁場耦合本征方程，并得出非尋常光的本征模場分量間關(guān)系受外加電壓調(diào)控的定量關(guān)系式,并使用光學軟件OptiBPM13.1進行仿真驗證。結(jié)果表明，本文得出的可通過改變外加電壓來定量調(diào)控液晶光波導中非尋常光波激勵的偏振模式的物理規(guī)律是有效的，這一規(guī)律有助于推動基于液晶光波導的偏振旋轉(zhuǎn)器和模式轉(zhuǎn)換器的研究。