計及多重不確定因素的柔性互聯配電網極限線損計算方法

張真，歐陽森，楊墨緣，吳晗

（華南理工大學電力學院， 廣州 510640）

0 引言

柔性互聯配電網能提高新能源消納率、降低線損以及提高可靠性，是配電網發展的主要形態［1-4］。柔性互聯配電網發生故障時其網架呈現多變性，柔性軟開關（soft open point， SOP）所產生的諧波因負載率變化而呈現不確定性，此外，新能源、負荷的隨機性比傳統配電網更強烈，這些不確定性因素影響柔性互聯配電網極限線損的準確性。

柔性互聯配電網可實現合環運行［5］，使得配電網故障時的網架結構具有多變性［6］，且各支路故障率與支路元件類型和運行時限相關呈現時變性。文獻［7］討論了系統支路發生斷線故障會造成電壓越限和支路過載，各支路故障率恒定且相同。文獻［8］分析出支路故障對系統概率潮流影響較大，計及支路故障才能貼合實際，其各支路的故障率不同但仍為定值。文獻［9-10］考慮了支路元件故障的概率隨運行時間而變化，但其應用于配電網可靠性評估方向。綜上，現有柔性互聯配電網極限線損研究缺乏對支路元件類別以及支路元件故障率時變性的考慮。本文著重考慮斷線故障導致的網絡結構的多變性對系統損耗的影響，后續故障均為斷線故障。

SOP加重了系統諧波電流的畸變程度，其注入諧波電流含量隨直流側負荷功率變化而呈現隨動性［11］。文獻［12］討論了網架結構變化使得系統諧波電壓畸變率增大，同時認為諧波含量恒定且僅與諧波源類別有關。文獻［13-14］考慮了分布式電源（distribution generation， DG）出力的波動性使其注入的諧波電流幅值等具有不確定性，未涉及SOP的功率波動對諧波電流的影響。文獻［15］采用半不變量分析各次諧波電流幅值不確定性的影響，但諧波含有量設為定值且主觀性過強。綜上現有研究未考慮網架變化時SOP傳輸功率波動與注入諧波電流含量的關系，及其對損耗計算的影響。

針對新能源及負荷波動問題，現有文獻已針對兩者相關性展開討論。文獻［16］探究出不同風電場風速相關系數會影響概率潮流的計算誤差；文獻［17］分析隨機變量相關性對可靠性評估的影響，當未考慮相關性時其計算結果與實際偏差較大；文獻［18］考慮了分布式電源及波動負荷的隨機性與相關性在不同場景下對概率無功優化的影響。上述文獻未涉及配電網柔性互聯前后隨機變量相關性變化對極限線損的影響。

現有極限線損計算方法［19-22］均無法處理上述多重不確定因素的情況，且不能適用于柔性互聯配電網。本文采用改進Weibull分布擬合元件故障率，進而建立反映支路故障率時變性的概率分布模型，利用靈敏度法簡化支路故障率變化后的線損計算過程。為表征網架變化后諧波含量的波動，建立諧波電流含有率與換流器直流側負荷功率的關聯模型。為處理變量相關性引入Nataf逆變換對三點估計法（three-point estimate method， 3PEM）進行改進，并結合故障率概率模型和諧波含有量模型構建適用于多重因素下柔性互聯配電網極限線損計算方法，以改進IEEE33節點系統為例，結果驗證了所提計算方法的準確性。

1 支路故障率的概率分布模型

柔性互聯裝置的接入提高了系統的可靠性，當系統某一支路發生故障時，各換流站可快速協調相應的策略為失電的區域供電。為分析網架多變性對系統損耗的影響，本文作以下假設：1）支路故障集中任意一條或多條支路發生斷線故障時，不會導致系統解裂；2）所有支路發生斷線故障的概率均相互獨立；3）多條支路同時故障的概率極低，本文注重單條支路故障對線損的影響。

采用Weibull分布對全生命周期內各元件的故障率進行建模，元件故障率的表達式為［10］：

式中：μ、ν分別為元件特征壽命和形狀參數。本文采用分段式構造法將故障率分為3段，分別表示故障率前期迅速下降、中期穩定、后期上升的趨勢。考慮到形狀參數ν＞ 2時，故障率上升過快［11］；而ν在［1，2］內曲線呈現“上凸”趨勢與元件老化后故障率加速上升的事實不符，故本文對故障率分段模型進行改進如式（2）所示。

式中：K1、K2、K3分別為修正系數；T1、T2、T3分別為元件投入運行到“磨合期”、“平穩期”以及“老化期”結束的時間周期；ν1、ν3分別為元件不同時間周期對應的形狀參數。

各支路故障率與元件類別和運行時限有關，支路元件可分為變壓器、線路以及SOP 3類，采用改進的分段Weibull分布構造這3類元件的故障率浴盆曲線，元件的故障率分布如圖1所示。

圖1 支路故障率分布Fig.1 Probability distribution of branch failure rate

由圖1可知，元件在全生命周期內的故障率具有時變性，尤其在“磨合期”與“老化期”期間變化迅速。為描述支路元件故障率的時變性，本文采用簡單隨機抽樣法（simple random sampling， SRS）建立元件故障率的概率分布模型，將支路元件故障率分布作為采樣的穩定分布，對運行年限進行關聯抽樣，并將元件故障率波動范圍進行N等分，各等分區間故障率均值的概率為采樣點落在該區間的概率。如圖2所示，概率分布模型融入了元件故障率時變的不確定性信息。

圖2 全壽命周期元件故障率的概率分布Fig.2 Probability distribution of component failure rate in life cycle

依據元件的故障率概率分布曲線特性，為提高精度本文采用兩指數分布疊加構建元件故障率的概率分布模型，在95%置信度下，可表示為：

式中：f(λ)為元件故障率的概率分布函數；a1～a5分別為擬合參數；λ為元件故障率。

依據各支路類型選擇故障率概率分布函數，對其進行抽樣得支路故障率向量為R=[rl1，rl2，…，rlN]，假設系統存在N種故障運行拓撲，則損耗概率分布floss可表示為：

式中：rli(i=1，…，N)為支路li的抽樣故障概率；fli，loss為支路li故障后系統損耗概率分布。

2 不確定性諧波含量的計算模型

為計算網架結構發生變化時系統諧波損耗的概率分布，本文將DG并網換流器和SOP內的換流器作為主要的諧波源。換流器產生的諧波與其運行工況相關，諧波含有率隨網架的變化而變化。

諧波源的諧波含量可通過其注入的諧波電流比例來表征，當系統和換流器均三相對稱時，換流器的h次諧波電流與基波電流之間的關系為［22］：

式中：I1m、Ihm分別為基波和h次諧波電流幅值；γ0為換相角。當電網中換流器均為六脈波，且DG并網變壓器均采用Y/△聯結方式，此時電網只包含6k±1（k=1，2，3，…）次特征諧波，且高頻諧波含量低，因此諧波損耗主要取決于低頻諧波（h=5，7，11，13）。

由式（4）可知注入的諧波電流大小隨γ0的增大而減小。考慮變壓器漏感時換相角可由控制角表示：

式中：α為控制角；Iload為直流側電流；Uac為交流側相電壓；XS為交流側變壓器漏電抗。

由式（6）可知，控制角一定時，漏感的存在以及直流負荷電流的增加均會使換流角減小，即特征諧波含有率減小。直流電壓恒定時，特征諧波含有率與換流器的傳輸功率呈現反比關系。當柔性互聯配電網的網架結構發生變化時，對DG并網換流器的并網功率影響較小，但網架結構的變化會導致系統潮流發生顯著改變，同時SOP內換流器的轉供功率也將變化，其注入到電網的諧波電流隨之變化。

考慮到諧波含有率與諸多因素有關，對于DG產生的諧波可通過換流器的諧波電流波譜確定［23］，具體公式為：

而對于SOP內換流器所產生的諧波電流注入量應考慮其因網架結構變化而導致的功率波動，結合式（5）—（6）分析可得SOP內換流器產生的諧波電流注入量為：

式中：Pload為直流負荷功率；Udc為直流電壓；Uac為換流器交流側電壓幅值；α為控制角。由式（8）可知，一定條件下換流器注入系統的諧波電流含量隨著其負載功率增大而減小。如圖3所示，通過仿真獲得換流器功率與諧波電流含有率的關聯曲線，隨著直流負荷功率的增加，諧波電流含有率呈現先快速下降，后趨于平滑的趨勢。

圖3 換流器諧波電流含有量曲線Fig.3 Harmonic current content curves of converter

通過采用傅里葉級數分析，利用三角函數構建各次諧波電流含有率與負載率的關聯模型為：

式中：fh（·）為h次諧波電流含有率分布函數；βSOP為SOP內換流器的負載率；bhi（i=1， 2， 3）為h次諧波電流含有率波形的展開系數；ωh為振蕩頻率。

對于第ζi種網架拓撲，通過基波確定SOP內換流器的負載率，依據式（7）、（9）可確定拓撲ζi中諧波源h次諧波電流注入向量，節點諧波電壓為：

式中：Uζi，h、Yζi，h、Iζi，h、Zζi，h分別為第ζi種網架拓撲中h次諧波電壓向量、諧波導納矩陣、諧波電流向量和諧波阻抗矩陣。

系統所產生的諧波損耗可計算得：

式中：Pζi，lossh為h次諧波損耗；Ω為系統支路集；Pζi，lij，lossh為支路lij產生的h次諧波損耗；M為節點數量；Uζi，h，i為節點i的h次諧波電壓有效值；Zζi，h，ij為支路lij的h次諧波阻抗。

3 基于Nataf逆變換的三點估計法

鑒于采用蒙特卡洛模擬法和交替迭代法計算交直流概率潮流時計算量大且計算效率低；而采用半不變量法難以應對交替迭代過程中多系統同時包含隨機變量的情況，因此本文基于3PEM建立柔性互聯配電網極限線損計算方法。

為滿足點估計法輸入變量需相互獨立的需求，本文用Nataf逆變換處理變量的相關性［24］。已知m個原始隨機輸入變量X=［x1，x2，…，xm］的累積分布函數為Fi（xi），依據等概率原則的求得對應標準正態分布的隨機變量Y=［y1，y2，…，ym］，各元素計算如式（12）所示。

式中Φ-1(·)為標準正態累積分布函數的逆函數。

同時依據變量X的相關系數矩陣ρx求解變量Y的相關系數矩陣ρy，該矩陣中的量為：

式中：ρx，ij為變量xi與xj的相關系數；ρy，ij為變量yi與yj的相關系數；φ2(·)為二維標準正態聯合概率密度函數；μi、σi分別為變量xi的期望值與標準差；μj、σj分別為變量xj的期望值與標準差。

對ρy進行Cholesky分解求得下三角矩陣B。

依據矩陣B和標準正態隨機變量Y求得獨立的標準正態分布變量Z=［z1，z2，···，zm］如式（15）所示。

上述Nataf正變換可將任意分布的隨機變量轉化為獨立的標準正態分布隨機變量。本文考慮基于Nataf逆變換構造服從任意分布的相關隨機變量樣本點，原始隨機變量通過式求（16）得。

基于Nataf逆變換的三點估計法計算步驟如下。

1）確定輸入隨機變量X=［x1，x2，···，xm］及相關系數矩陣ρx，通過式（13）求解標準正態隨機變量Y的相關系數矩陣ρy，通過Cholesky分解得矩陣B。

2）依據三點估計法原理確定獨立標準空間下估計點的位置系數和權重系數。同時標準正態分布下變量Zi的估計值為所對應權重系數分別為 1/6、1/6、（1/m-1/3）。以向量Zi，k=［0， 0，zi，k， 0，0］T形式組成點估計矩陣Zr=［z1，1，z1，2，···，zm，1，zm，2，z2m+1］。

3）根據式（16），進行Nataf逆變換求得Zr所對應的原始變量空間下點估計矩陣Xr=［x1，1，x1，2，···，xm，1，xm，2，x2m+1］。

4）Xr的每一列代表1個所有隨機變量確定的狀態，因此可提供2m+1個極限線損計算樣本。

4 計及多重不確定因素的柔性互聯配電網極限線損計算流程

為考慮隨機變量相關性、諧波含有率不確定性以及支路故障率變化對線損的影響，本文結合支路故障率概率模型和諧波關聯模型對基于Nataf逆變換的3PEM進行改進，計算步驟如下。

1）初始化。針對含有b條支路的柔性互聯配電網，遵循系統不解裂的原則可確定包含n條故障支路的集合L=｛l1，l2，···，ln｝，加上系統正常運行情況，獲得網架故障集合Θ= ｛ζ1，ζ2，···，ζn，ζn+1｝，初始化系統元件參數。依次對第k種拓撲進行分析，且當k=1時，拓撲為系統正常運行的拓撲結構。

2）更新拓撲ζk的系統參數。包括節點負荷的增減以及節點編號修正，DG、支路參數更新等。

3）隨機變量相關性處理。依據原始變量Xζk的相關系數矩陣ρx和累積分布函數計算標準隨機變量Yζk的相關系數矩陣ρy，并通過Cholesky分解獲得B。基于3PEM原理計算估計點值和相應權重系數，并形成樣本矩陣Zζk，r，依據Nataf逆變換求得原始變量空間的計算樣本矩陣Xζk，r。

4）基波損耗計算。選取Xζk，r第i列樣本點進行確定性的交直流基波潮流計算，本文采用交替迭代法［25］進行求解，其中SOP內換流器損耗模型為：

式中：Pclossv為第v臺換流器有功損耗；I˙cv為流過第v臺換流器的交流電流向量；d1cv、d2cv、d3cv分別為換流器損耗系數，本文取0.001、0.004、0.002。

計算系統總損耗并保存相關計算結果。

若系統為故障運行狀態，本文采用靈敏度法分析支路斷線情況，在故障支路ij兩端分別虛擬注入ΔPi+ΔQi和 ΔPj+ΔQj的功率增量來模擬支路開斷，模擬斷開而注入的功率增量與故障前線路功率Pij+Qij和Pji+Qji需滿足靈敏度方程為［26］：

式中：I4×4為單位矩陣；T′4×4為支路功率與節點負荷的靈敏度矩陣子矩陣；元素參考文獻［7］。

5）諧波損耗計算。依據基波功率和電流通過式（7）和式（9）確定各諧波源的諧波含有率，同時本文采用諾頓等效的解耦法求解諧波損耗，保存該樣本點下系統諧波損耗計算結果。

6）求解綜合損耗概率分布。當滿足i＞2m+1時，依據2m+1次的計算結果和相應權重求得基波和諧波損耗期望值和方差，否則返回步驟4），且i=i+1。然后通過疊加獲得綜合損耗的樣本點，采用Cornish-Fisher級數求得基波、諧波以及綜合損耗的概率分布分別為fζk，loss、fζk，lossh、fζk，Tloss。

7）穩定性判斷。判斷拓撲ζk下節點電壓的越限概率及支路過載程度是否滿足穩定運行條件，如果是則保存fζk，Tloss至集合Λ；否則返回步驟2），且k=k+1。

8）極限線損求解。當k＞n+1時，即遍歷完集合Θ中所有拓撲，獲得N個有效的綜合線損概率分布，即集合Λ={fζΛ1，Tloss，fζΛ2，Tloss，…，fζΛN，Tloss}。結合式（3）并采用蒙特卡洛法對支路的故障率進行有限次q次抽樣，第j次支路故障率抽樣向量Rj=[rlΛ1，j，rlΛ2，j，…，rlΛN，j]，結合全概率公式求得為計支路故障率變化、諧波以及變量相關性因素下系統的綜合線損概率分布fsys，loss，公式如式（19）所示。

本文置信度取95%，計及多重不確定因素的柔性互聯配電網極限線損計算流程如圖4所示。

圖4 基于3PEM的柔性互聯配電網極限線損計算流程Fig.4 Calculation process of limit line loss of flexible interconnected distribution network based on 3PEM

5 算例分析

在主頻2.7 GHz、內存8 GB的計算機上采用MATLAB 2018A對改進的IEEE 33節點配電系統進行仿真分析。如圖5所示，系統包含34條支路，SOP1、SOP2分別將節點12、22，節點25、29進行互聯，背靠背型換流器采用文獻［23］的控制方式3和4相結合，可作無功功率支撐，系統分別接入一個風電場和一個光伏組件。系統用戶負荷采用正態分布描述，期望值為原負荷值，波動系數為0.2，互相關系數為0.8；光伏有功出力服從Beta分布，α=0.68、β=6.78；風電風速模型服從雙參數Weibull分布，k=20.14、c=11；無功功率可通過恒功率因數0.95確定，風光相關系數為-0.5，并將SOP和DG接入點設為諧波源，諧波電流含有率擬合參數如表1所示。

圖5 基于改進IEEE 33節點系統的柔性互聯配電網Fig.5 Improved flexible interconnected distribution network based on IEEE 33-bus distributed system

表1 SOP諧波電流含有率分布參數Tab.1 SOP harmonic current content distribution

5.1 系統正常運行時潮流分布

柔性互聯配電網拓撲機構未發生故障時，DG接入前后節點電壓和支路有功分布曲線如圖6所示。節點電壓的期望值隨著潮流流向而逐漸減小，波動性隨之增大；電網首端輸出有功功率最大且不確定性也最大。DG接入后節點18、33后的電壓期望值和方差均增大，支路17、32出現反向潮流且方差顯著增加，DG接入后線損期望值減小，方差增大。

圖6 DG接入前后對電壓和有功功率分布的影響Fig.6 Influence on voltage and active power distribution before and after DG connection

5.2 隨機變量相關性對線損的影響

系統正常運行情況下，對比交流系統和柔性互聯系統，考慮相關性前后的計算結果如表2所示。考慮相關性后節點電壓期望值會減小，損耗期望值和所有狀態變量的標準差會增大；這說明變量相關性會增強系統內的能量波動程度。此外交流系統引入柔性互聯裝置后，改善了電壓水平并降低了損耗，同時狀態變量的標準差顯著減小，說明柔性互聯降低損耗的同時提高系統的穩定程度。其中原PQ節點12、29柔性互聯后轉換為PV節點。

表2 計及相關性和柔性互聯前后的狀態變量Tab.2 State variables before and after considering correlation and flexible interconnection

如圖7所示，當負荷間相關系數從0逐步增加至1.0，風光之間相關系數不變時，交流系統與柔性互聯系統的損耗均值分別從167.68 kW、117.61 kW增大到176.21 kW、131.21 kW，分別增大了5.09%、11.56%，這是因為隨著負荷相關性的增強，負荷的相關性出力使得系統出現輕載和重載的概率增加，經濟運行的概率降低，導致損耗增加。同時負荷相關系數的變大，使得損耗標準差均增大了4倍左右，說明負荷相關性增大了系統內部能量的波動，增加了系統損耗的不確定性程度。在配電網極限線損計算過程中，若不考慮相關性，分析結果將嚴重偏離實際情況。

圖7 負荷間相關系數對損耗均值與標準差的影響Fig.7 Influence of correlation coefficient between loads on loss mean and standard deviation

5.3 諧波含量不確定對線損的影響分析

系統正常運行且考慮變量間相關性時，求解各次諧波損耗的概率分布曲線如圖8所示。圖8（a）為計及不確定性諧波時各次諧波損耗的概率密度曲線，諧波損耗的期望值和方差隨著諧波次數的增加而減小，因存在相關性使得諧波損耗向增大方向波動。對比基波、確定諧波以及不確定諧波3種情況下總線損的概率分布，如8（b）圖所示，確定諧波含有率情況下總損耗的期望值增大，但對標準差的影響不大，然而考慮不確定性諧波含有率后不僅總損耗的期望值會增大，還會增大其波動標準差，使得系統損耗曲線發生畸變。

圖8 各次諧波損耗及不同情況下總損耗的概率分布圖Fig.8 Probability distribution diagram of each harmonic loss and total loss under different conditions

如表3所示，計及確定諧波后總損耗期望值增大了2.10%，標準差不變；計及不確定諧波后損耗期望值增大了3.94%，標準差顯著增大14.95%。這是由于負荷波動引發SOP負載率變化，通過式（9）求得諧波含有率隨之變化，其所產生的諧波進一步增大了系統內的能量波動程度。

表3 計及諧波后線損的概率分布Tab.3 Probability distribution considering harmonic line loss

5.4 支路故障率變化對線損的影響分析

依據系統不解裂的原則確定了網架故障集合Θ，考慮相關性和諧波情況下，采用靈敏度法求得總損耗的期望值和標準差如表4所示，故障支路前傳輸功率越大，故障后系統線損增大越顯著。

表4 網架變化下總損耗的概率分布Tab.4 Probability distribution of comprehensive loss under different grid structures

如圖9所示，對比正常、網架變化以及支路故障率變化3種運行狀態下，總損耗的累積概率分布。相較于正常運行，網架變化后使得總損耗向增大的方向顯著波動，且該波動變化程度大于進一步考慮支路故障率變化后總損耗的波動變化程度，一方面由于網架變化考慮了各種支路故障導致線損增大的情況，增大了總損耗的期望值和標準差，另一方面支路故障率處于“平穩期”的概率相對較大，且處于非平穩期的概率較小，即故障率處于增大情況的比率較小，因此故障率變化對總損耗波動的影響較為有限。

圖9 計及故障率變化綜合損耗的累積概率分布Fig.9 Probability distribution of comprehensive loss considering the change of failure rate

設極限線損的置信區間為95%，上述3種運行情況下的計算結果如表5所示，網架變化使得線損極小值、極大值分別增大1.82%、12.88%，支路故障率變化后使得線損極小值、極大值分別增大2.69%、20.78%。考慮支路故障率變化對柔性互聯配電網的極小值影響較小，對極大值影響較大。

表5 考慮支路故障變化下柔性互聯配電網的極限線損Tab.5 Probability distribution of comprehensive loss under different grid structures MW

以10 000次Monte-Carlo計算結果為基準，對比傳統3PEM和本文方法，計及多重因素下3種方法求解的總損耗概率分布如圖10所示。如表6所示，傳統3PEM求得狀態變量的期望值和標準差誤差大，而本文方法所求結果的誤差均低于2%，計算速度顯著快于Monte-Carlo法，但稍慢于傳統方法，這是因為傳統方法省略了相關性和諧波損耗等計算過程。綜上本文方法更適用于柔性互聯配電網考慮多種因素下極限線損的計算。

表6 計及多重因素下算法計算結果對比分析Tab.6 Comparison and analysis of calculation results error

圖10 計及故障率變化綜合損耗的概率密度分布Fig.10 Probability distribution of comprehensive loss considering the change of failure rate

在柔性互聯配電網計及網架變化和諧波的極限線損計算過程中，有助于實現線損異常網架以及故障線路的快速排查，推動線損管理時網絡薄弱環節的巡查工作，也為供電企業制定線損考核指標提供參考。

6 結論

本文考慮變量相關性、諧波的不確定性以及支路故障率對柔性互聯配電網極限線損的影響，建立了適用于考慮多重因素下柔性互聯配電網極限線損的計算方法，通過算例分析得到如下結論。

1）負荷相關性會增大了系統內部能量的波動，系統損耗的期望值和標準差隨相關系數呈現線性遞增的趨勢，標準差增加更為顯著。

2）諧波損耗的期望值與方差隨諧波次數增高而降低。確定性諧波僅改變線損期望值，而諧波的不確定性會使損耗的期望值與標準差增大。

3）網架變化后使得總損耗向增大的方向顯著波動，波動標準差顯著增大，且該波動增大的程度高于進一步考慮支路故障率變化對總損耗所增加的波動程度。同時在上述3種因素中支路故障率變化對總損耗的影響最大。

4）通過誤差對比分析可知，本文方法計算精度高、計算速度快，較好的適用于考慮多重因素下柔性互聯配電網極限線損的計算。