海上風電單樁基礎直線度測量最小二乘空間圓擬合法

吳 昊

(1.交通運輸部天津水運工程科學研究所，天津 300456；2.天津水運工程勘察設計院有限公司，天津 300456；3.天津市水運工程測繪技術企業重點實驗室，天津 300456)

風力發電是當今發展最快的綠色能源之一。中國海上風能資源豐富，可開發風能資源約7.5億kW，是陸上風能資源的3倍。與陸上風電場相比，海上風電場的優點主要是不占用土地資源，基本不受地形地貌影響，風速更高，風能資源更豐富，風電機組單機容量更大(3～5 MW)，年利用小時數更高。就資源稟賦來看，我國經濟重心在東南沿海地區，人口稠密、經濟發達、電網結構較強，但卻存在明顯的電力配給不足。而我國傳統的天然氣、煤炭、石化能源供應主要分布在西北內陸，長距離的運輸無法有效緩解東部的電力短缺問題。海上風電的大力開發則有利于彌補這種能源供應與經濟重心逆向分布不足。

海上風電基礎施工有重力式基礎、單樁基礎、導管架基礎、吸力桶基礎、漂浮式風機基礎等多種工藝。其中單樁基礎因為造價低廉、施工簡便，是目前基礎施工的主要類型。因為塔筒、風機、扇葉等上部組件均要安裝于單樁基礎之上，所以單樁基礎的安裝垂直度一般要求為3‰～5‰。受制造工藝、場地存放環境、海上運輸條件等因素影響，在海上打樁施工期間往往發現鋼管樁并非筆直，而是出現了撓度變化，導致打樁垂直度無法控制。因此，通常需要在建造場地，對出廠前鋼管樁的直線度進行復核，確保鋼管樁沒有撓度變化，或變化在限差范圍內，才允許其投入現場作業。

1 測量方法

鋼管樁出廠時周身裸露，沒有標注任何標尺或刻度線，且一般都存在直徑較大的變徑問題，所以無法直接通過母線法進行直線度測量。而鋼管樁為圓形結構，按照目前的海上風電單樁基礎設計標準，以及工廠鋼結構建造工藝水平，鋼管樁的橫切截面為標準圓形，圓度差精度設計要求一般小于3 cm，相較于5 m直徑，尺度比小于6‰。所以，可以利用鋼管樁橫截面為圓形這一特性，測量其圓形截面的邊緣點，擬合出該橫截面的空間圓曲線，擬合計算圓曲線的圓度差和擬合圓平面的平整度，最后計算出擬合圓曲線的圓心坐標。如圖1所示，通過對鋼管樁不同分段的多個橫切截面的圓曲線擬合，獲得多組擬合圓心坐標，然后將各截面圓心點擬合為空間直線，最后計算出各擬合圓心點距擬合直線的距離和方向，即為該鋼管樁的直線度指標。

圖1 鋼管樁截面Fig.1 Section of steel pipe pile

按照目前的制造工藝，鋼管樁由各分段拼接而成。制造商首先將整塊方形鋼板用卷軋機卷制成圓形分段，然后再將分段拼合后焊接成鋼管樁。通過現場實地查看，卷制前的方形鋼板為標準矩形，且各分段的拼接焊縫平整而細致，是橫切截面圓形天然的觀測標志。因為出廠前鋼管樁均橫臥于建造場地，所以圍繞鋼管樁四周布設控制點，建立控制網。如圖2所示，采用支導線測量方式，將控制點引入鋼管樁內部，作為設站點，以各分段拼接焊縫作為觀測點，即可在統一坐標系下測得各截面圓觀測點。然后擬合各截面圓心，再將各圓心擬合直線，繼而可以計算出整個鋼管樁的直線度變化。

因為鋼管樁長度一般為100～150 m，則在此小范圍內控制點測量精度可以達到毫米量級，滿足工程精度要求。

圖2 鋼管樁內部圓截面觀測Fig.2 Observation of inner circular section of steel pipe pile

2 算法公式

目前常用的空間圓形擬合方法多是基于球體數學模型和平面方程的空間幾何關系。在參考文獻[1-2]中，利用平面圓擬合的簡易性，首先將空間三維坐標轉移至平面，擬合得出圓心坐標和半徑后，再將擬合得出的圓心和半徑反向轉移至空間原坐標系，從而得到空間圓的圓心坐標和半徑。此種方法數學原理復雜，空間關系繁瑣，計算難度大，不易實現，并且難免加入人為誤差，降低了空間圓擬合的精度。在參考文獻[3-4]中，將空間圓形認為是空間球體和空間平面相交而形成的一個大圓，即為平面切開球體所得到的切割線，雖然空間關系簡單，但計算步驟繁瑣，沒有充分利用空間圓的基本特性，方法不夠直接有效。

在平面圓上，任意兩點連線的中垂線都會通過圓心，則不同弦長中垂線的交點有且只有一個，即是圓心。同理，對于空間圓，任意兩點連線對應的中垂面都會通過圓心，則不同弦長對應的中垂面交點也有且只有一個，即是圓心。所以，可以利用此空間幾何原理進行空間圓的擬合。首先，理論上所有測量點都應位于同一個平面內，需要先進行空間平面擬合；其次，空間圓上任意兩個點連線可以得到一條弦邊，通過這條弦邊的直線方程可以計算出對應的中垂面方程，則N(N>3)個測量點，可以得到N-1條線性不相關的弦邊，從而得到N-1個線性不相關的中垂面方程；然后，根據空間圓的幾何特性，擬合平面與所有中垂面相交有且只有一個交點，這個交點即為擬合圓的圓心；最后，將擬合的空間平面作為限制條件，中垂面作為觀測方程，利用帶有限制條件的間接平差作為基本函數模型，推導出空間圓曲線的圓心計算方程，再根據觀測點到圓心的代數距離計算出圓的半徑。

因為常規單樁的直徑通常為5～10 m，橫臥于建造場地，所以在樁筒內較難搭設爬梯或利用升降機械，對整個圓截面進行觀測，只能在有棱鏡布設和無棱鏡反射的有效范圍內測量盡量多的截面點。因為不同的弦長交會出的圓心精度不同，理論上來講兩點連線越長，測量誤差的影響也就越小，則對擬合圓心的精度影響也就越小。所以首先，對觀測點按照對向距離遠的原則交叉組合，形成直線方程，從而推導出中垂面方程；其次，因為圓心應位于圓截面觀測點所在的平面，可以以此特性作為限制條件；最后，根據所有中垂面相交于圓心的特性，以中垂面作為觀測方程，以觀測點平面作為限制條件，根據帶有限制條件的間接平差函數模型[5]擬合計算出圓心坐標和半徑[6]。

圖3 觀測點對向交叉組成弦長Fig.3 The chord length is formed by intersecting the observation points in opposite directions

(XA1-XAn，YA1-YAn，ZA1-ZAn)·((XA1+XAn)/2-Xc，(YA1+YAn)/2-Yc，(ZA1+ZAn)/2-Zc)=0

(1)

展開有

模型中，i和t分別表示不同省份和年份；C1、C2、C4分別表示投資、技術創新和人口對產業結構升級的作用效應；C3表示非老齡人口比例對產業結構升級的影響，當C3＞0時，表示老齡化程度越高，越不利于產業結構升級；C5表示分配給勞動人口的資源比例對產業結構升級的影響，當C5＜0時，表示分配給老齡人口的資源越多，越能促進產業結構升級。

(XA1-XAn)×Xc+(YA1-YAn)×Yc+(ZA1-ZAn)×Zc-(XA1×XA1
+YA1×YA1+ZA1×ZA1-XAn×XAn-YAn×YAn-ZAn×ZAn)/2=0

(2)

n個觀測點坐標大約可以列出n-1個線性無關的中垂面方程，可得誤差方程

V=B·X-L

(3)

B為對向交叉點坐標對應差值矩陣

(4)

L為對向交叉點點坐標平方和之差的半值矩陣

(5)

X為圓心坐標

(6)

得到第一個條件方程如下[9]

B·X-L=0

(7)

下面進一步擬合出觀測點所在的平面方程：

aX+bY+cZ+d=0

(8)

改寫為誤差方程為

A·X′-L′=0

(9)

其中，A為圓截面觀測點坐標矩陣

(10)

X′為平面方程法向量：X′=(a,b,c)T，L′為平面方程常數向量：L′=(d1，d2，…，dn)T。因為平面方程a、b、c、d四個參數具有比例關系，所以需要固定d值，然后根據最小二乘法VT·P·V=min，即可求得[11]

X′=(a,b,c)T=(AT·A)-1·(AT·L′)

(11)

解算出平面方程后，再進一步求解圓心，過程如下：

因為圓心必定位于觀測點擬合平面上，根據平面方程則有：aXc+bYc+cZc+d=0，將方程改寫為

C·X-Wx=0

(12)

其中：C=(a,b,c)，X=(Xc，Yc，Zc)T，Wx=-d。則按照附有限制條件的間接平差，聯合式(7)，可組成方程

(13)

式中：Ks為限制條件的聯系數向量，公式變換形式為

(14)

即可求出圓心坐標X=(Xc，Yc，Zc)，然后再根據圓截面觀測點至圓心的距離求均值，即為圓心半徑[12]

(15)

各觀測點至圓心的距離與擬合半徑之差為圓度差[13]

(16)

各觀測點至擬合平面的距離為平整度[14]

(17)

至此，每一個截面的圓心擬合完成后，將各圓心連線形成空間直線(折線)，即可檢驗鋼樁的直線度，必要時還可以繼續采用最小二乘法擬合出空間直線，整體描述鋼樁的撓度變化。

表1 擬合圓心比對Tab.1 Fit center of circle comparison

3 工程實例

在廣東揭陽某風電場項目中，對出廠前的單樁基礎采用本文算法進行了實地測量擬合計算。

首先驗證本文算法的可靠性。選取加工廠內正在建造但尚未拼接的鋼管樁一個分段的邊沿圓截面觀測數據作為算例，按照0.5 m間距測量邊沿點的精確X、Y、Z三維坐標。然后，分別使用本文空間圓擬合算法，與MATLAB數學分析計算軟件中的空間幾何工具包中的圓擬合算法[15]，進行擬合計算，最后將計算結果進行了比對。由下述表1和表2可見，本文算法的計算結果與MATLAB軟件內置工具包的計算結果非常接近，計算精度的數量等級基本一致。

表2 觀測點圓度差和平整度比對Tab.2 Comparison of roundness difference and flatness of observation points

表3 各分段直線度Tab.3 Straightness of each segment

然后對整根單樁基礎進行實地測量計算。選取廠區內已經拼接完好的某根單樁基礎，按照文中上述的局部坐標系建立方法布設局部測量控制網，然后對已觀測平面和高程控制網數據進行平差計算，獲取各控制點的精確平面坐標和高程[16]。根據單樁基礎的變徑情況，按一定間距選取特征截面，進行截面圓觀測擬合測量，共測得14個擬合圓截面。在鋼結構三維設計軟件中，將各截面圓觀測點和擬合計算得到的空間圓曲線，進行三維空間顯示和直線度計算，分段計算得到直線度如表3所示。

鋼結構三維顯示軟件中的觀測點顯示，以及直線度的擬合顯示，如圖4所示。

圖4 直線度擬合顯示Fig.4 Display of straightness

因為鋼管樁長約100 m，自重約1 500 t，當其橫臥于墊塊之上時，受自身重力作用，鋼結構會出現彈性延展撓度變化，且存放場地并非絕對平整或水平，這些因素都會造成自身彎曲干擾，影響測量數據和計算結果的準確性。所以施工方對鋼管樁直線度的技術要求為：(1)管節軸線彎曲矢高不大于1‰管節長；(2)樁總軸線彎曲矢高不大于1‰樁長，多管節拼接時以整根質量要求為準。由表3可見，14個截面擬合半徑與設計半徑差值，直線度數值均滿足施工方要求。

4 結論

本文根據平面圓弦長中垂線相交于圓心的特性，引申出空間圓弦長中垂面相交于圓心的特性，又根據圓心必定位于擬合平面上的特點，作為限制條件，利用附有限制條件的間接平差方法，結合最小二乘法原理，提出了一種空間圓擬合的新方法。本方法摒棄了常用方法空間邏輯繁瑣、公式計算復雜等缺點，通過簡單的幾何關系，推導出便于計算的公式，方便計算機編程實現。本算法成功應用于工程實際，得到了有效的檢驗，并可延伸應用于傾斜樁測量、隧道測量、管渠測量等多個領域。