廣義連續(xù)框架的參數(shù)型不等式

相中啟，陳裕先

(新余學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，江西 新余 338004 )

1952年，Duffin和Schaeffer[1]在深入研究非調(diào)和Fourier級(jí)數(shù)時(shí)引入(經(jīng)典)框架的概念，他們借鑒了Gabor關(guān)于信號(hào)處理的基本思想。1986年，Daubechies等[2]重新引入并進(jìn)一步發(fā)展了框架理論，他們的突破性研究開(kāi)啟了小波飛速發(fā)展的新時(shí)代。自此，框架作為一個(gè)重要工具已被工程師和應(yīng)用數(shù)學(xué)家廣泛應(yīng)用于信號(hào)處理、圖像處理和抽樣理論等方面[3-6]。

受量子光學(xué)理論中的一個(gè)重要分支—相干態(tài)理論的啟發(fā)，Kaiser[7]、Ali等[8]分別獨(dú)立地利用測(cè)度空間將框架概念進(jìn)行推廣，由此產(chǎn)生了連續(xù)框架的概念。目前連續(xù)框架已被廣泛用于短時(shí)Fourier變換和連續(xù)小波變換等方面[9-12]。

基于算子理論的觀(guān)點(diǎn)，孫文昌教授將框架進(jìn)行離散推廣，提出了廣義框架(或簡(jiǎn)稱(chēng)為g-框架)的概念，他將Hilbert空間中的幾種已知框架的推廣形式做統(tǒng)一討論，得到了一些重要成果[13-14]。廣義連續(xù)框架(或簡(jiǎn)稱(chēng)為g-連續(xù)框架)的概念由Dehghan和HasankhaniFard[15]引入，它是廣義框架和連續(xù)框架的自然拓廣。

在研究信號(hào)重構(gòu)的有效算法時(shí)，Balan等[16]建立了Parseval框架的新等式，在進(jìn)一步討論此等式時(shí)他們發(fā)現(xiàn)了Parseval框架的一個(gè)有趣的不等式，隨后Gavruta[17]將其推廣到一般框架的情形。最近，Xiao等[18]證明了前述Parseval框架和一般框架的不等式對(duì)廣義連續(xù)框架依然成立。本文利用算子理論方法構(gòu)建了廣義連續(xù)框架的包含參數(shù)λ∈[0,1]的新型不等式，該結(jié)果包含了文[18]中的相應(yīng)結(jié)果，另外得到了廣義連續(xù)框架的在結(jié)構(gòu)上不同于已有不等式的參數(shù)型雙向不等式。

1 準(zhǔn)備工作

為了方便起見(jiàn)，先約定一些記號(hào)。本文中H和K是復(fù)的Hilbert空間，(Ω,μ)是賦有正測(cè)度μ的測(cè)度空間，{Kω}ω∈Ω是K的閉子空間族。任意ω∈Ω，用記號(hào)L(H,Kω)表示由H到Kω的有界算子的全體。記號(hào)L表示復(fù)數(shù)集，IdH表示H上的恒等算子。

定義1[15]算子族Γ={Λω∈L(H,Kω)}ω∈Ω稱(chēng)為H關(guān)于(Ω,μ)的廣義連續(xù)框架，如果下面兩個(gè)條件滿(mǎn)足：

(1)Γ是弱可測(cè)的，即任意f∈H,ω→Λω(f)是Ω上的可測(cè)函數(shù)；

(2) 存在常數(shù)0

如果C=D=1，則稱(chēng){Λω}ω∈Ω是H關(guān)于(Ω,μ)的Parseval廣義連續(xù)框架。

注1如果Ω是可數(shù)集，μ是計(jì)數(shù)測(cè)度，則廣義連續(xù)框架即為文[13]中的廣義框架。任意Λ∈L(H,)，由Riesz表示定理知存在g∈H使得任意f∈H，Λ(f)=〈f,g〉。所以，如果任意ω∈Ω，取Kω=，則廣義連續(xù)框架等價(jià)于連續(xù)框架。

設(shè){Λω∈L(H,Kω)}ω∈Ω是H關(guān)于(Ω,μ)的廣義連續(xù)框架，其框架算子定義為：

(1)

(2)

2 主要結(jié)果及其證明

(3)

(4)

所以

〈S-1SΩ1f,Sf〉+〈S-1SΩ1f,SΩ1f〉+〈SΩ1f,f〉=〈S-1SΩ1f,SΩ1f〉+〈f,Sf〉-〈f,SΩ1f〉=

(5)

注意到

所以由(5)式可得

設(shè){Λω∈L(H,Kω)}ω∈Ω是H關(guān)于(Ω,μ)的Parseval廣義連續(xù)框架，則其框架算子S=IdH。于是任意Ω1?Ω，f∈H有

(6)

類(lèi)似地有

(7)

于是由定理1立即可得：

推論1設(shè){Λω∈L(H,Kω)}ω∈Ω是H關(guān)于(Ω,μ)的Parseval廣義連續(xù)框架，則對(duì)任意的Ω1?Ω，λ∈[0,1]以及f∈H有

下面給出在結(jié)構(gòu)上不同于文[18]中和定理2.1中的不等式的廣義連續(xù)框架的新型參數(shù)不等式。

(8)

和

(9)

由此可知SΩ1-SΩ1S-1SΩ1≥0。于是任意f∈H可知

0≤〈SΩ1f,f〉-〈SΩ1S-1SΩ1f,f〉=〈SΩ1f,f〉-〈S-1SΩ1f,SΩ1f〉=

(10)

另一方面，任意f∈H，由(4)式可得

(11)

聯(lián)合(10)和(11)就證明了不等式(8)。下面證明不等式(9)。任意f∈H，由(5)式得

(12)

(13)

聯(lián)合(12)和(13)即得(9)。

由(6)，(7)和定理2立即可得：

推論2設(shè){Λω∈L(H,Kω)}ω∈Ω是H關(guān)于(Ω,μ)的Parseval廣義連續(xù)框架，則對(duì)任意的Ω1?Ω，λ∈[0,1]以及f∈H有

和

3 結(jié)語(yǔ)

本文從算子理論的視角建立了廣義連續(xù)框架的與參數(shù)λ∈[0,1]相關(guān)的新的不等式，事實(shí)表明，當(dāng)選擇合適的λ時(shí)，已有的一些結(jié)果可以作為其特例而得到。此外，借助參數(shù)λ∈[0,1]構(gòu)建了廣義連續(xù)框架的雙向不等式，其在結(jié)構(gòu)上不同于已有的不等式。