邊緣波研究進展

馮衛兵，張迪，張俞*，王崗，馮曦，楊佳巖，陶然

(1.河海大學 港口海岸與近海工程學院 海岸災害及防護教育部重點實驗室，江蘇 南京 210098；2.中國港灣工程有限責任公司，北京 100027)

1 引言

邊緣波是波浪在近岸傳播過程中，由于折射作用出現的一種特殊的、沿著岸線傳播的波浪。邊緣波平行于岸線傳播，其振幅在岸線處最大，在遠離岸線的方向，其振幅呈指數型減小，它們的能量基本被限制在離海岸一波長的距離之內。由于邊緣波的能量主要集中在近岸，且岸線處振幅最大，因此其對近岸水動力系統、岸灘地貌等有較大影響。

邊緣波常常會伴隨海嘯[1–2]或風暴潮[3]發生，對沿海地區造成淹沒威脅。González 等[4]分析了1992 年4 月25 日的門多西諾角地震引發的海嘯，發現部分海嘯波被困成為邊緣波。2021 年Koyano 等[2]分析了海嘯波的傳播過程，發現當傳播過程中產生邊緣波時，海嘯波的能量衰減速度極大降低，這對沿岸防災減災有著重要影響。

1971 年Bowen 和Inman[5]在對邊緣波進行現場觀測的同時也對邊緣波與岸灘上新月形地貌的關系進行了研究，隨后Guza 和Inman[6]也對邊緣波與灘嘴形成的關系進行了研究。他們發現邊緣波的空間形態和這些岸灘的形態有一定關系。2008 年Almar 等[7]觀測了新西蘭泰魯瓦海灘的海灘尖角，認為邊緣波在其形成中起到一定作用。

可見，邊緣波對近岸水動力系統的影響是不可忽視的，有關邊緣波的研究也越來越多。本文主要從不同的研究方法入手，闡述了已有的一些邊緣波研究成果。

2 邊緣波解析解

1847 年，Stokes[8]通過線性水波理論，首次發現了在均勻斜坡海灘上傳播的邊緣波，此時邊緣波還僅存在于理論解中。Stokes 解的表達式為

式中，?為速度勢函數；η為相對靜水面的波面高度x為離岸方向；y為沿岸方向；z為垂直水面向上的方；向；A為岸線處波幅；β為斜坡坡度；ω為波浪角頻率；ky為邊緣波在沿岸方向的波數。Stokes 解表明，邊緣波的速度場和波幅在岸線處都是最大的，并在向海方向呈指數型下降，且邊緣波沿岸傳播，其波峰垂直于海岸線。

之后的100 多年里，邊緣波并未被重視，直到1951 年，Eckart[9]根據線性淺水方程給出了均勻斜坡海灘上邊緣波的解析解，其解為

式中，n為非負整數（n=0,1,2,3,···），表示邊緣波的模態數；An為岸線處振幅；Ln(2knx)為n階拉蓋爾多項式，其展開形式為

此解包含了無限個模態的邊緣波，表明除了Stokes模態的邊緣波外，還存在其他模態的邊緣波。當β→0 時，Eckart 解中的0 模態解約等于Stokes 解，因此0 模態通常也被稱為Stokes 模態。

1952 年，Ursell[10]基于全水方程（Full Water-wave Equation）給出了斜坡上邊緣波的線性解析解。同樣的，Ursell 也證明了在均勻斜坡上存在Stokes 模態以外的邊緣波模態，并且其中0 模態邊緣波即為Stokes給出的解析解。但與Eckart 基于淺水理論的解不同，Ursell 給出的解析解中，邊緣波的模態數量為有限個，其個數取決于海灘坡度，

式（8）表明，隨著坡度的減小，斜坡上可能存在的模態數會增加。Ursell 的解表達式如下

以Ursell 的研究為代表的，基于全水方程的均勻斜坡上邊緣波的解析解相對Eckart 的解來說較為復雜，理論上可以適應水深較深、坡角較大的情況，并且對高模態的邊緣波也可以很好地描述。Eckart 解的優點是形式簡單，由于是由淺水方程而來，因此在水深較淺的區域能較好地反映實際情況。而實際上，邊緣波由于其自身的特點（沿岸傳播，在岸線處有最大的振幅，在離岸方向振幅衰減），主要也是出現在水深較淺的近岸區域，并且其頻率通常較低、波長較長，因此淺水方程基本可以較好地描述邊緣波的動力特性。

此后，隨著邊緣波在實測中被發現，越來越多的研究者對邊緣波進行了理論研究。考慮到實際海洋動力環境復雜，因此有必要進一步考慮非線性作用。非線性對邊緣波系統的一個重要影響是允許能量在系統之間傳遞[11]，比如在入射波和邊緣波之間轉移，或者在不同模態不同頻率的邊緣波之間轉移。1971年，Gallagher[12]認為，次重力邊緣波可以通過重力波間的非線性相互作用來激發。基于淺水近似，Guza 和Davis[13]以及Guza 和Bowen[14]研究了入射波群不穩定性對邊緣立波的激發及邊緣波的演化過程。發現邊緣波可以通過入射波以及兩個相反方向的推進波之間的弱非線性相互作用，從入射波中提取能量來增長，其振幅最終將達到一個平衡值。Guza 和Inman[6]重新研究了Guza 和Davis[13]的擾動方程，并提出同步邊緣波可能通過高階非線性相互作用來激發。Whitham[15]描述了斜坡上基于淺水方程和全水方程的小振幅近似中的非線性效應，之后Minzoni[16]將這項工作擴展到有限長的斜坡上。Rockliff[11]研究了基于淺水近似的同步邊緣波共振激發。1994 年Sch?uffer[17]研究了短波波群對于邊緣波的激發，發現只有當入射角較大的時候，邊緣波才會出現。1995 年，Blondeaux 和Vittori[18]基于三維全水波理論，闡述了一種同步邊緣波的激發機制，通過弱非線性分析，不僅考慮了各模態邊緣波與入射波的相互作用，還考慮了不同模態邊緣波之間的非線性相互作用。研究發現，當選擇了合適的橫向波長時，非線性效應可以將能量從次諧波模式傳遞到同步波模式，這種能量轉移會導致同步波和次諧波模式的增長。2010 年，Hong 和Zhang[19]基于全水方程，提出斜坡地形上邊緣波非線性相互作用的二階解析解，討論了兩個邊緣波之間的相互作用。2019 年Vittori 等[20]基于窄波帶隨機入射波的假設，通過弱非線性穩定性研究了入射波的隨機性對次諧邊緣波激發的影響。綜上，非線性效應對于邊緣波的演化及其激發機制的研究有著重要意義，尤其是對于由入射波（群）激發的邊緣波。

除了可以由入射波（群）激發以外，現有研究表明邊緣波也可以由大氣（風）擾動以及海底滑坡等因素激發。1956 年，Greenspan[21]基于線性淺水方程推導出了斜坡海岸上平行岸線移動的大氣壓力擾動激發的邊緣波波面表達式。該解較好地預測了由壓力擾動引起的邊緣波的準穩態特征，并且與實測數據在定性上一致，但此解不能預測邊緣波剛生成時的狀態。2002 年，Liu 等[22]給出了一種由環島附近大氣壓力產生的邊緣波的解析解。2014 年，Seo 和Liu[23]基于Greenspan[21]針對大氣壓力擾動引起的推進型邊緣波解，討論了Greenspan 解的局限性，推導了新的關于大氣壓力擾動引起的邊緣推進波解析解，并且同樣提出了邊緣波的激發條件。2013 年Seo 和Liu[24]基于淺水方程從理論上研究了任意形狀滑坡運動對于平直的均勻斜坡海岸上推進型邊緣波的激發，給出了解析解，并研究了由此生成的邊緣推進波的空間形態及發展過程。

上述研究均基于均勻斜坡海灘，但實際海底剖面可能會出現一些變化，從而改變邊緣波的特性。1967 年Ball[25]基于線性淺水方程，考慮了科氏力存在或不存在兩種條件，給出了大尺度凹指數剖面上邊緣波的解析解，并討論了波浪被捕獲的截止頻率和波數。1973 年Clarke[26]給出了岸線處水深為0 時的凸指數地形上的邊緣波解析解，其解表明，對于高頻波，任意模態的沿岸方向波數均無截斷點，這與Ball[25]的結果形成了鮮明對比。1984 年Evans 和Mciver[27]給出了矩形暗礁地形上邊緣波的解析解。1986 年Louis和Clarke[28]給出了由3 個參數表達的指數剖面上的邊緣波解析解。2011 年Wang 等[29]推導了均勻斜坡底床港灣中的振蕩的解析解，并指出港灣中的橫向振蕩即為邊緣立波。2016 年Shao 等[30]給出了拋物線形港池內邊緣波立波的解析解。2017 年Shao 等[31]給出了折坡地形港池內邊緣波立波的解析解。2022 年Zhang 等[32]給出了存在海堤的凸指數地形上邊緣波的解析解。以上研究均表明，不同地形上邊緣波的頻散關系不同，因此其運動特性也不同，可見地形對邊緣波的特性影響較為明顯。但目前不同地形上邊緣波的研究多針對邊緣波的空間分布和運動特性，不同地形對于邊緣波激發特性的影響有待進一步研究。

3 野外實測

隨著邊緣波在理論中被提出，也有越來越多的學者在實際中觀測到邊緣波。1954 年6 月26 日密歇根湖浪潮發生10 d 后，又出現了一場波動，Donn 和Ewing[33]將此次實際觀測到的波速與Stocks 理論解進行對比，結果吻合，因此判斷此次波動現象為邊緣波。1964 年Munk 等[34]在加利福尼亞州歐申賽德海岸也觀測到了邊緣波。根據現場數據進行能量分布分析，發現0、1 或2 模態的邊緣波占主導地位，其頻率分布主要在0.000 6～0.003 Hz 范圍內。Huntley 和Bowen[35]在英格蘭斯拉普頓海灘進行了觀測，發現除了頻率為0.2 Hz 的風浪外，還出現了一個頻率為0.1 Hz的次諧波峰值。次諧波的振幅在離岸方向的幅值變化與邊緣波理論趨勢比較一致。這一觀察結果支持Guza 和Davis[13]給出的理論預測，他們認為次諧Stocks邊緣立波是由入射波激發的。1981 年，Huntley 等[36]在加利福尼亞州托利松海灘進行了觀測，發現頻譜在0.07 Hz 處顯示出明顯的峰值，這與觀察到的入射涌浪頻率一致。此外，在碎波拍頻段（0.005～0.03 Hz）中也含有大量能量，其中大部分能量集中在0 模態和1 模態的漸進邊緣波中，其頻率主要分布在0.006～0.011 Hz 以及0.015～0.025 Hz 范圍內。進一步分析發現頻率為0.007 81 Hz 的0 模態邊緣波和0.015 63 Hz的1 模態的邊緣波，作者認為不同頻率范圍內主導的邊緣波模態不同，這一現象在后續Oltman-Shay 和Guza[37]的研究中給出了解釋。1987 年，Oltman-Shay和Guza[37]根據線性淺水方程的邊緣波解析解，提出沿岸方向波能隨著頻率的增加從低模態轉移到高模態，這一點也在實際觀測中得到了證實。總體上，實際觀測中低模態邊緣波占主導，隨著頻率的增加，波能從低模態轉移到高模態。

也有學者在觀測中發現邊緣波和某些特殊地形相關[5–7]。此外，也有研究者對一些極端條件下產生的波動進行了觀測。Aagaard[38]于1991 年觀測到了風暴引起的較為強烈的推進型邊緣波與邊緣立波，并分析了其對于岸灘地形的影響。2002 年Liu 等[22]分析了風暴過后巴利阿里群島附近閉鎖的邊緣波。2021年Koyano[2]分析了海嘯波的傳播過程，發現當傳播過程中產生邊緣波時，海嘯波的能量衰減速度極大降低。

總的來說，在過去的幾十年中，邊緣波在不同地區被廣泛地觀測到，通過對觀測結果的分析，人們大致了解了自然界中邊緣波的運動形式及特征（包括其波高、可能出現的頻率等等），從觀測結果中也發現了邊緣波動力特性與近岸區域地形地貌具有一定的關系。

4 物理模型試驗研究

物理模型試驗與現場觀測相比，需要的資金更少、可控性更好、數據更容易采集。因此，也有很多學者在實驗室開展了邊緣波的物理模型試驗研究。由于邊緣波沿岸線傳播，因此物模試驗中的造波環節尤為重要，以往試驗中常用的有垂直岸線入射及平行岸線入射兩種方式。

如圖1 所示，Ursell[10]構造了一個具有可變坡度的小型實驗室海灘，并在靜水線附近的側壁處使用推波板造波。Ursell 通過將水槽的斜坡部分整體沿岸線方向來回移動，來模擬邊緣波沿岸傳播的特性，并達到沿海向衰減的效果。但是限于當時的試驗條件，試驗中并未觀測比較完整的邊緣波形態，只是給出了對邊緣波線性理論的一些驗證。Yeh[39]使造波板圍繞一個固定的垂直軸在沿岸方向左右擺動，以制造沿岸方向的波動。試驗主要研究了0 模態邊緣波，同時也提到了在其試驗中觀察到其他模態邊緣波的存在性。1998 年Liu 等[40]在水槽中進行了物理模型試驗，通過平行于岸線的入射波激發邊緣波，試驗發現低頻范圍內，0 模態的邊緣波占主導。

圖1 Ursell[10]設計的試驗裝置Fig.1 The experimental device designed by Ursell[10]

1969 年，Bowen 和Inman[41]采用不同的試驗地形研究了實驗室中的邊緣波（主要是邊緣立波），認為斜坡海岸上產生的邊緣波可以由垂直岸線入射的波浪所引起。他們在港池中設計了正對造波板的均勻斜坡，并設置了兩側相隔一定距離的直墻（縱板），以便邊緣立波在兩側邊壁之間的空間中生成和發展。Bowen 和Inman[41]主要對邊緣波在岸線處爬高爬落的形態進行了研究，采用染料追蹤岸線的位置及伴隨邊緣波出現的流動現象，并且指出了受兩面直墻（縱板）約束時，可能產生的邊緣波的性質，包括其周期、占主導地位的模態等等。Guza 和Bowen[42]于1976 年進行了試驗。他們在長18 m，寬15 m 的港池中設置了坡度為7°的均勻斜坡，并用不同周期的波浪正向入射，將測得的邊緣波波形與理論解進行對比，對比結果良好。

2015 年，筆者及團隊在均勻斜坡上進行了邊緣波的物理模型試驗。試驗采用了兩種造波方式。如圖2a所示，第一種為Bowen 和Inman[41]提出的方法，即由正向入射的波浪激發邊緣波，并且在Bowen 和Inman[41]提出方法的基礎上增加了對波面的觀測，將邊緣立波的沿岸波長與理論進行了比較，試驗結果與理論基本相符。并且在兩塊直墻之間的區域內觀測到了穩定存在的邊緣立波和伴隨出現的裂流現象，裂流位置亦與理論預測相符。如圖2b 所示，第二種為筆者及團隊新提出的方法，即由橫向入射波浪產生邊緣波，闡述了這種生成邊緣波方法的原理，并對均勻斜坡上推進型邊緣波和邊緣立波的特性進行了研究。其中對均勻斜坡上邊緣立波的研究中，將新提出的波浪橫向入射的方法與Bowen 和Inman[41]提出的兩塊直墻（縱板）形成邊緣立波的附加邊界條件相結合，把入射波浪對橫向振動的影響，在所關心的區域內降到最低，同時又使入射波可以持續地給兩板之間的水體輸入能量，這樣可以使關心的區域內波形主要為形成的邊緣立波。

圖2 波浪正向入射Bowen 型地形平面布置圖[41]（a）和波浪橫向入射地形示意圖（b）Fig.2 The layout of the Bowen-type with the normal incidence of waves[41] (a) and the layout of wave transverse incident (b)

5 數值模擬研究

因為解析解難以計算較為復雜的情況，而實際觀測和物理模型試驗成本較高，且邊緣波不易分離，難以清晰地探索各個因素對邊緣波的影響以及邊緣波的演變過程。隨著計算機的發展，數值模擬逐漸成為一種有效的研究手段。

FUNWAVE-TVD[43]、MIKE21[44]等波浪模型均可用以邊緣波數值模擬。另外也有學者開發了針對邊緣波的數值模型。1999 年Sheremet 和Guza[45]推導了一個可以考慮弱頻散性的Boussinesq 型方程用以研究較緩的斜坡海岸上的邊緣波，并且可以考慮有沿岸流存在時的情況。這個弱頻散性的Boussinesq 型方程比不考慮頻散性的淺水方程能更精確地描述邊緣波的運動，同時又比完全頻散性的橢圓型緩坡方程具有更加簡單的形式。他們用無沿岸流情況下的均勻斜坡上的邊緣波解析解驗證模型，得到了較好的結果。2017 年，Wang 等[46]基于擴展的Boussinesq 方程和內波生成方法，建立了邊緣波數值模型，此方法可以產生高質量的邊緣波。并利用該數值模型研究了邊緣立波的非線性特性，數值結果與理論吻合較好。2017年Lu 等[47]基于緩坡方程和沿岸方向為周期性波浪的假設，得到二階常微分方程，用于邊緣波的數值模擬。

還有一些學者通過數值模擬的方法，研究了更為復雜的邊緣波產生及其演變過程。2016 年，Shao 等[44]研究了拋物線港池內水面擾動產生的邊緣立波。2009年Yankovsky[48]證明，颶風登陸可以產生大規模的邊緣波。2012 年An 等[49]基于線性淺水方程，對斜坡海岸上平行岸線移動的大氣壓力引發的邊緣波進行了數值求解，獲得了各種物理參數的數值解，包括風暴大小，風暴速度和海灘坡度。2020 年Niu[50]基于非線性淺水方程，針對斜坡海岸上平行岸線移動的大氣壓力激發的邊緣波進行了數值模擬，求出了水面高程，進一步探討了邊緣波產生的關鍵條件，其中包括擾動的空間尺度和平移速度、海灘坡度以及水面的瞬態響應，并主要考慮了產生顯著邊緣波包所需的增長時間。2005 年，Lynett 和Liu[51]基于Boussinesq 數值模型，給出了滑坡引起的水面高程分布圖以及波面過程線。結果表明邊緣波成為近岸主導的波浪形式，這些邊緣波也表現出了色散現象，其中波長較長的邊緣波迅速遠離源區，波長較短的邊緣波傳播更為緩慢。2008 年Sammarco 和Renzi[52]建立了求解海底滑坡體運動引起的波浪現象的數學模型，給出了由高斯形狀滑坡體運動產生的淺水邊緣波解。Wang 等[53]，Shao等[54]分別于2011 年和2017 年采用數值模擬的方法，研究了斜坡港池內滑坡產生的邊緣立波。

6 結論與展望

邊緣波作為一種常見的近岸波浪，是近岸水動力系統中不可忽視的因素。從邊緣波被發現以來，有許多學者采用不同的方法對邊緣波進行了研究，其主要關注點在：邊緣波的空間分布特性、邊緣波的運動特性、入射波（邊緣波）–邊緣波之間的能量傳遞、邊緣波的激發機制等方向。雖然關于邊緣波的研究已有不少，但仍有一些方面有待進一步研究：

（1）目前基于斜坡地形上的邊緣波研究眾多，但是近岸地形復雜，且地形對邊緣波特性影響較大，因此有必要進一步研究其他地形上邊緣波的特性。目前其他地形上邊緣波的研究多集中于邊緣波的空間部分特性及運動特性上，對于復雜地形上邊緣波的激發機制、能量傳遞等研究較少，因此后續在這方面有待進一步研究。

（2）近年來，海岸帶災害頻發，邊緣波經常伴隨海嘯、風暴潮等產生，由于其能量被限制在近岸，對沿岸人民的生命財產造成威脅，因此觀測、模擬極端條件下邊緣波的產生、傳播及其演變過程將有助于海岸帶防災減災。

（3）現有研究表明，邊緣波的激發機制主要為：入射波（群）激發、大氣（風）擾動激發、海底滑坡激發等。目前的研究多為單一擾動激發，但在實際中，大氣（風）擾動或者海底滑坡的同時，也伴隨著入射波等其他水動力影響，因此未來或許可以嘗試結合多種因素研究邊緣波的激發機制及其傳播特性。