基于能坡劃分原理的大比降山區河流阻力特性

楊奉廣，彭清娥

基于能坡劃分原理的大比降山區河流阻力特性

楊奉廣，彭清娥※

（1. 四川大學水力學與山區河流開發保護國家重點實驗室，成都 610065；2.四川大學水利水電學院，成都 610065）

在山區河流水沙災害河道修復中，河道阻力系數是一個非常重要的參數。普通天然河道的達西阻力系數是水深與泥沙粒徑比值的函數，而在山區大比降粗糙河道中，其值隨著坡降的改變而變化。為探究大比降河道達西阻力變化規律，該研究通過變坡水槽試驗設置3種坡度（10°、25°、35°）更大的河道，試驗時床面鋪設中值粒徑為0.5、1和1.85 mm的3種天然沙，流量設定為0.5～2.5 L/s，淹沒度范圍/為0.84～7.27，采取試驗數據和經典文獻數據共計48組，涵蓋河道坡度范圍0.97°～35°（對應比降范圍為17‰～573.6‰），進而建立能夠反映滾波影響的適用于山區大比降河流的達西阻力表達式。結果表明：1）大比降河道水流表面會產生滾波，使得達西阻力系數增大；2）大比降河流的能坡可劃分為兩部分：正常河道無滾波時的能坡以及河道水面滾波產生的額外能坡，前者及其對應的達西阻力系數可以利用傳統的對數公式進行求取，后者可以利用總能坡與無滾波時的能坡相減得到；3）將建立的比降達西阻力公式計算結果與實測數據比較，可以發現絕大部分數據落在±20%誤差線中，說明該研究提出的公式的計算精度較高。研究建立的大比降河流阻力計算模型可以揭示大比降河道水流能量消耗機理，為后續研究大比降河流問題提供理論基礎。

大比降河道；摩阻流速；達西阻力系數；淹沒度；滾波

0 引 言

大量滑坡、崩塌、泥石流、堰塞湖和不穩定斜坡等地質災害，易造成山區江河嚴重破壞，由此產生的山區河流的洪水漫灘、河道淤堵及清水沖刷等水沙災害問題極為突出[1-3]，其中，山區河流修復是治理山區河流水沙災害的重要任務之一[4-8]。作為河道修復中的重要參數，河道阻力系數的選擇往往是確定河道修復模型方案過程中的難題。因此，研究山區河道阻力系數對于山區河流的水沙災害、河道整治以及河流修復等是十分必要的。

中國是一個多山區的國家，與普通河流相比，西南山區河流較為明顯的特點是床面泥沙粒徑大，水深與泥沙粒徑比值/常常在10以下，此種情況下河流水流特性發生了變化。張紹培等[9]系統地研究了此種情況下的水流變化特性，發現不同/下的流速分布雖然符合對數補償公式，但是與普通河流流速比較，對數補償公式中系數與尾流系數都發生了變化。楊勝發等[10]利用乒乓球模擬山區大顆粒泥沙研究了山區卵石河道達西阻力變化規律，試驗結果表明當/<10時，由于泥沙顆粒影響到了主流區，達西阻力系數增大。Cheng[11]利用局部水頭損失原理，建立適用于整個/變化范圍的達西阻力計算表達式。楊奉廣等[12]借助修正的水力半徑，建立了適用于含有漂石床面和/<10的普通山區的達西阻力表達式。

山區河流的另一個特點是能坡大。Emmett[13]曾系統地研究了山區大比降達西阻力變化規律，設置3.3‰（對應河道坡度0.19°，下同）、17‰（0.97°）、34.2‰（1.96°）、55‰（3.15°）、77.5‰（4.44°）共5種比降的河道，試驗結果表明：在層流區與紊流光滑床區，達西阻力系數不僅僅是雷諾數的函數，能坡影響比較明顯，對于同一雷諾數，達西阻力系數隨著能坡的增大而增大。在紊流粗糙區，達西阻力系數也不僅僅是/的函數，對于同一/，達西阻力系數也是隨著能坡的增大而增大。Yang等[14]利用Emmett的實測數據，建立了適用于層流、紊流以及過渡區的大比降河道的達西阻力計算統一公式。

工程上，一般將河道比降超過5‰～10‰的河流稱為大比降河道。Emmett[13]在對比降超過17‰的大比降河道進行試驗時發現，與普通河流不同，大比降河流的水面滾波比較明顯，很難獲得普通河道達西阻力試驗所需要的均勻流，水流平均水深的確定也比較困難。趙春紅[15]在研究坡面流時，也觀察到了這種現象。山區河流主要是紊流，河床充滿泥沙，河流水面受滾波影響巨大，但目前針對大比降山區河流阻力的試驗研究只探索到能坡為77.5‰（4.44°）的河道，缺乏滾波對大比降河流阻力影響的相關研究。滾波阻力屬于海洋波浪研究的范疇，與普通河流達西阻力相似，可以表示為滾波高度與泥沙粒徑比值的函數[16-18]。因此，將滾波模型引入到大比降河流阻力研究領域，并且探討其對大比降河流阻力影響的物理機制，建立相關計算模型，具有重要的理論與實踐意義，可充實大比降山區的河流阻力研究。故本文研究目標為試驗研究更大比降的山區粗糙床面河流紊流阻力變化規律，結合滾波影響機制，引入能坡劃分原理，建立滾波影響下的適用于山區大比降河流的達西阻力表達式，為山區河道災害修復提供技術支持。

1 研究方法

1.1 公式推導

明渠水流阻力系數包括達西阻力系數[19-20]、謝才阻力系數[21-24]以及曼寧阻力系數[25-27]3種，工程中常用的是達西阻力系數，對于寬淺明渠其可以表示為

式中為達西阻力系數；為重力加速度，取9.8 m/s2；為水深，m；為能坡（也稱為河道坡降或者比降）；為斷面平均流速，m/s。在大比降河流阻力試驗中，水流表面常常產生滾波，這種現象在紊流條件下尤為明顯[9,11]。基于以上試驗研究和分析，本研究將能坡劃分為兩部分，即

式中1表示正常河道無滾波時的能坡；2表示河道水面滾波產生的額外能坡，對于普通能坡河道，2應為0。將式（2）代入式（1）可以得到

如果令

則式（3）可以表示為

從式（6）可以看出，大比降河道阻力系數被分成了兩部分，一部分是普通能坡下的達西阻力系數1，另一部分為滾波產生的達西阻力系數2。

對于普通河流，達西阻力系數1可以利用Colebrook-White公式[11]計算。其適用淹沒度范圍為/>0.1[7]，可以滿足山區大顆粒泥沙河床的應用，具體如下：

從式（2）、式（6）與式（7）可以看出，一旦確定滾波產生的額外能坡2或者阻力系數2，就可以計算大比降河道的阻力了。

1.2 大比降河道阻力試驗

試驗在四川大學水力學與山區河流開發保護國家重點實驗室大比降變坡水槽中進行。水力學中的能坡表示水流能量消耗的參數，在恒定均勻流中，其與河道坡降（也稱為比降）在數值上相等，因此也常常將能坡稱為河道的比降或坡降。鑒于以往研究人員大比降阻力試驗方面的研究設置的最大比降是77.5‰（對應河道坡度4.44°），本試驗供設置了3種更大坡度的河道，即：10°、25°和35°。試驗的供水裝置是固定于試驗水槽上方的降雨探頭，探頭下面是一個模擬山區集雨區，通過集雨區后水流進入水槽。本試驗裝置可以模擬區域降雨，鑒于本論文集中討論大比降河道阻力問題，所以只考慮水流進入大比降河道的狀況。

本試驗選取中值粒徑0.5、1和1.85 mm的3種天然沙，鋪設水槽床面。水槽中水流流量通過水槽尾端的三角堰測量確定，為了保證水流處于紊流區域同時又不沖刷床面，試驗設置的流量變化范圍為0.5～2.5 L/s。由于水深一般都在1.5 cm以下，試驗水流比較淺，無法使用激光流速測量儀，因此采用傳統的示蹤劑法測流速。試驗淹沒度（/）范圍為0.84～7.27。試驗時，先利用測針測量水槽沿程滾波波峰的位置，保證沿程波峰高度基本一致，進而確保水面與床面平行，床面坡降可以作為總坡降。1可以通過普通河流達西阻力公式（Colebrook-White公式）求得，試驗所得到的總坡降減去1即2。由于水面存在滾波，很難直接測量平均水深，因此平均水深利用流量除以平均流速和水槽寬度的乘積獲得。

2 參數確定

圖1顯示了大比降河道達西阻力系數隨著/的變化規律，圖中10°～35°范圍內的數據點為本研究試驗數據，其余為經典的Emmett大比降河道阻力試驗數據[13]（下文簡稱“Emmett數據”）。從圖中可以看出：在大比降河道中，達西阻力系數仍然隨著水深泥沙粒徑比值/的增大而減小，但是數據點比較離散，難以用固定的曲線關系來表示，因此推測，在大比降河道中達西阻力系數不僅僅是/的函數。分析數據規律可以發現，對于給定的/值，隨著河道能坡的增大，達西阻力系數呈現增大的趨勢。對于大比降河道，采取傳統河道達西阻力計算公式（Colebrook-White公式）得出的結果明顯偏小。因此需推導適用于大比降情況的達西阻力系數計算公式。

注：h為水深，m；d為床面泥沙粒徑，mm。下同。

滾波產生的阻力可以表示成指數的形式[16-18]：

式中表示滾波與水流相關的參數，通常擬合為滾波的波高與水深的函數。由于大比降河道水流表面會產生滾波，而在實際工程應用中，不會像處理海洋工程那樣去測量水面波，如果仍然將其表示成滾波波高函數的話，工程應用起來很不方便。考慮到滾波產生的根源是河道坡降過大，能坡2可以代表由于河道坡降過大滾波產生的能量消耗，因此可以假設

式中(2)表示2的未知函數。將式（9）代入式（8）可以得到

式中(2)=(2)-0.343，表示2的未知函數。從式（10）可以看出，一旦確定了2及函數(2)，就可以利用式（6）進行大比降河道阻力系數的計算了。

2.1 滾波產生的額外坡降S2的確定

2是由于河道床面過陡使得水面產生了滾波，進而產生的額外能坡。為了確定2，選取Emmett數據[13]中0.97°和3.15°兩種大比降河道數據（共計11組）和本試驗10°，25°以及35°大比降河道數據（共計25組），將滾波產生的能坡2隨著能坡的變化曲線繪制于圖2。從圖中可以看出，2隨著總能坡的增大而增大，說明水槽坡度越大，滾波的影響越大；但是增加幅度變化規律卻不相同，對于6°以下的河道（<0.1），2的增加幅度隨著能坡的增大變化比較小，當河道坡度大于18°（>0.3）以后，滾波產生的能坡2的增幅呈現明顯增大的趨勢。

圖2 滾波對應的能坡（S2）隨總能坡（S）變化曲線

當<0.1時，滾波產生的能坡（該段記為21）可以利用下式來擬合：

當>0.3時，滾波產生的能坡（該段記為22）的表達式如下：

式（11）與式（12）只能計算部分水流流區的2，對于整個流區的2可以利用比例法進行計算

其中是一個比例函數，當比較大時，趨近于0，式（13）自動轉化為式（12）；反之，當比較小時，趨近于1，式（10）自動轉化為式（11）。結合以上分析，可以表示成以下形式：

將式（11）～式（13）與實測數據比較，可以得出=71.4、=3。圖2顯示了式（13）的擬合效果，從圖中可以看出，式（13）與實測數據吻合度較好。

2.2 未知函數G(S2)的確定

圖3繪制了未知函數隨著2的變化曲線，從圖中可以看出隨著滾波影響的增大，(2)的值也相應增大，其變化趨勢可以利用經驗式（15）來擬合，從圖3的擬合曲線來看，其吻合程度較好。從物理機制上來講，當能坡比較小時，滾波會消失，從而滾波產生的額外能坡2也會消失，此時函數的數值趨近于0，2消失。式（15）符合該規律，說明其能夠良好地反映水流實際物理機制。

圖3 未知函數G(S2)隨S2變化曲線

Fig.3 Variation of unknown function G(S2) with S2

3 對本文推導式的驗證和討論

在工程中，測量河流的水深、能坡以及河床泥沙粒徑后，首先利用式（7）計算未產生滾波時的阻力系數1；然后利用式（11）～式（14）計算滾波對應的能坡2；接著利用式（15）求出未知函數，利用式（10）求解滾波對應的阻力系數2；最后，利用式（6）就可以求出大比降河道阻力系數了。

為了驗證本文推導式的計算精度，采用如下統計學中的誤差公式：

式中、分別表示第個計算值和測量值；表示所采用數據的數量。

為盡量交叉選取更多的實測數據，除了率定參數時采用的36組大比降實測數據外，新加入了Emmett數據[13]中1.96°和4.44°大比降河道試驗數據（共計12組），計算結果見圖4。從圖中可以看到，對于0.97°～35°范圍內的河道，本文計算數據點都聚集在最佳線附近。進一步分析，可以發現所有的數據點都在±30%誤差線以內，而絕大部分落在±20% 誤差線中，說明本文推導式的計算誤差最大不超過30%，大部分在20%以內，具有較高的計算精度，可以推廣應用到工程當中。

圖4 本文推導式計算結果與實測值的對比

為了進一步檢驗計算精度，表1列出了本文推導式、楊奉廣公式[14]以及傳統河道達西阻力計算公式（Colebrook-White公式）[11]的計算誤差。雖然前文已得出，對于大比降河道，采取Colebrook-White公式得出的河道阻力系數明顯偏小，但由于實際工程應用中多采取該公式，因此仍然將其加入進行精度測試。楊奉廣公式[14]在此基礎上進行改進，但建模數據的能坡上限為77.5‰（對應坡度為4.44°），對于更大能坡（比降）河道的計算效果未知。從表中可以看出：傳統的普通河道阻力Colebrook-White公式計算最大誤差高達85.641%，平均誤差達到50.881%，實際運用時誤差較大，精確度受限，造成這種狀況的原因是Colebrook-White公式是基于普通坡降床面（<5‰）建立的；楊奉廣公式計算平均誤差24.525%，最大誤差為72.923%，造成誤差偏大的原因是楊奉廣公式是基于Emmett[9]實測數據建立的，其在4.44°以下的河道計算效果較好，但是對于擁有更大能坡的河流，計算誤差較大；本文大比降河流阻力推導式計算最大誤差31.21%，平均誤差12.23%，計算精度相對較高，且適用于能坡較大河道的達西阻力系數計算。

表1 計算誤差統計表

工程上一般將河流比降大于5‰～10‰的河流稱為大比降河流。當然，坡降也不能太大，當河流比降過大時，在水流底面會產生空腔，形成類似于瀑布的射流[10]。鑒于本推導式對應的試驗比降小于573.6‰，因此使用本文公式時最好把河流比降控制在573.6‰以內。

筆者在大比降試驗中觀察到了水流表面滾波的存在，除了本文研究的大比降阻力計算問題外，滾波的臨界問題值得深入探討，即：當比降增大到什么程度時，滾波開始出現，目前尚無統一觀點。Emmett[13]在坡降=3.3‰（對應河道坡度0.19°）的試驗水槽中并沒有發現明顯的滾波，而當坡降增大到17‰（對應河道坡度0.97°）以后，滾波就比較明顯了；楊奉廣等[12]在探究<5‰的河道達西阻力變化規律時也沒有看到滾波的出現；Wang等[18]曾系統地研究大比降河道滾波的變化規律，設置的最小坡降是=52.3‰（對應河道坡度3°）。由此可見，對于滾波出現的臨界值問題，現有研究并不充分，是未來亟需深入系統探究的問題，其確定有助于工程中大比降河道的范圍劃定。另外，由于數據受限，本文推導式的使用效果有待進一步驗證。

4 結 論

本文在大比降河道能量消耗機理的基礎上，利用能坡劃分原理，建立了適用于大比降明渠河道水流的達西阻力計算模型。主要結論如下：

1）對于大比降河道（河道比降超過5‰～10‰），在水流表面會產生滾波，使得大比降河流的達西阻力系數增大。基于此，將能坡劃分為兩部分：無滾波時的能坡1以及河道水面滾波產生的額外能坡2，達西阻力系數也可以對應劃分為無滾波時的阻力系數1與滾波產生的阻力系數2。

2）能坡1及其對應的達西阻力系數1可以利用傳統的對數公式進行求取。試驗表明，滾波產生的能坡2隨著河道能坡的增大而增大，但增加幅度變化規律卻不相同，當河道坡度大于一定程度后，滾波產生的能坡2的增幅呈現明顯增大的趨勢。滾波產生的阻力2可以表示為淹沒度與2的未知函數(2)的乘積形式。隨著滾波影響的增大，(2)的值也相應增大，當能坡比較小時，滾波會消失，從而滾波產生的能坡2也會消失，此時函數(2)的數值趨近于0。最后，利用實測數據確定了2以及未知函數(2)的表達式。

3）根據能坡劃分原理，推導了適用于山區大比降河流的達西阻力表達式。將計算結果與實測數據比較，可以發現所有的計算數據點都在±30%誤差線以內，而絕大部分落在±20%誤差線中，說明本文推導式具有較高的計算精度。

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Friction factor of river channel flows in rough steep slope mountaineous areas using energy slope division

Yang Fengguang, Peng Qing’e

(1.,,610065,;2.,,610065,)

The corridor restoration of mountain river channels has been a considerable object over the past four decades. Among them, the friction factor of river channels can be one of the most important variables in the theory of stream corridor restoration. The Daycy friction factor is a function of the depth-to-sediment diameter (/) ratio for the traditional open channel flows. However, the friction factor formula is not applicable for the open channel flows on the rough steep slope mountain. The friction factor is dependent on both the/and energy slope. In this study, an impervious flume with the adjustable slope was designed to investigate the river resistance of the steep slope mountain in the laboratory. The flume bottom was covered with uniform sediment in the diameter of 0.5, 1, and 1.85 mm. The flow discharge varied from 0.5 to 2.5 L/s. The/(divergence) was within the range of 0.84-7.27. Three slopes with the degree of 10°, 25°, and 35° were used to test the effect of the slope on the resistance factor. Experimental results show that the Darcy friction factor was larger than that for the traditional open channels, due to the roll waves on the water surface of the mountain rivers channels. The variable roll waves modified the flow resistance, leading to the stage-discharge relationship of the channel conveyance. Assume that the energy slope in a steep slope mountain channel was divided into two major components, i.e., the energy slope1without the roll waves, and the other2related to the roll waves. The energy slope2was caused by the roll waves that were created on the water’s surface. The rolling wave occurred on the much larger slope of open channel. The Colebrook-White formula was used to calculated the energy slope without the roll waves1or related friction factor1. An indirect empirical treatment was carried out to measure the roll wave with the energy slope2. The formula of2and the related friction factor2were derived from the energy slope2using present experimental data. Among them, the energy slope2increased with the total slope. Finally, a semi-analytical model was developed to compute the Darcy friction factor for the steep slope open channels. The total Darcy friction factor was set as the sum of two friction components, corresponding to the traditional open channel and roll wave resistance:=1+2. A total of 48 datasets of measured flume data were selected to test the validity of the present energy division formula. Each data set included the complete records of flow discharge, channel width, water depth, energy slope, median sediment size, and specific gravity of sediment. The comprehensive database covered a wide range of slopes in the mountain river channels. A comparison was made between the present formula with the measured data. Nearly all the data lay within the ±20% error band, indicating excellent consistency. Furthermore, the present formula was also developed on the basis of the mechanism of steep slope mountain river energy dissipation. The finding can provide a fundamental theory for the mountain river.

steep slope open channel; shear velocity; Darcy friction factor; submergence; roll wave

10.11975/j.issn.1002-6819.2022.20.013

TV142.1

A

1002-6819(2022)-20-0113-06

楊奉廣，彭清娥. 基于能坡劃分原理的大比降山區河流阻力特性[J]. 農業工程學報，2022，38(20)：113-118.doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2022.20.013 http://www.tcsae.org

Yang Fengguang, Peng Qing’e. Friction factor of river channel flows in rough steep slope mountaineous areas using energy slope division[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2022, 38(20): 113-118. (in Chinese with English abstract) doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2022.20.013 http://www.tcsae.org

2022-09-05

2022-10-12

國家自然科學基金資助項目（51979180）

楊奉廣，博士，副研究員，研究方向為水力學及河流動力學。Email：yangfengguang@scu.edu.cn

彭清娥，博士, 副研究員, 研究方向為水力學及河流動力學。Email：654401288@qq.com