閉合電路中的圖像問題探析

張金龍 賀明霞

在學習“閉合電路的歐姆定律”這部分內容時，我們很容易發現，閉合電路中的許多規律都可以通過圖像描述，如導體的伏安特性曲線，以及電源的各功率與外電阻、電流的關系等。圖像的類型也是多種多樣，既有正比函數圖像、反比函數圖像，也有二次函數圖像，甚至有些是比較復雜的非單調關系圖像。

在面對上述圖像問題時，有些同學是依據圖像的函數關系來做定性理解，這種方法比較抽象，不夠直觀。在本文中，筆者運用數學作圖軟件根據函數關系式作圖（設定電源電動勢E=1.5V，電源內阻r=1Ω），期望能給同學們呈現出真實的變化規律，幫助同學們深入理解閉合電路中的圖像問題。

一、電壓與電流之間的圖像問題

對于如圖1所示的電路圖，設電源電動勢為E，內阻為r，下面針對圖1進行分析。

1.定值電阻R1（設R1=2Ω）兩端電壓U1與流過電流I間的函數關系式為U1=IR1，函數圖像如圖2所示，圖像的斜率表示定值電阻的阻值。在同一幅圖中如果畫出多個定值電阻的圖像，則圖像越陡表示電阻越大。

2.路端電壓U與干路中的電流I間的函數關系式為U=E-Ir，函數圖像如圖3所示，此圖像對應兩個特殊情況：①圖像在縱軸上的交點表示電路斷路，此時R=∞，I=0，U=E，縱軸的截距表示電源電動勢;②圖像在橫軸上的交點表示電源短路，此時R=0，I=，U=0，截距表示短路電流。圖像斜率的絕對值表示電源內阻r。

特別注意：實際考試題目中所呈現的圖像縱軸起點經常不為零，所以圖像與橫軸的截距并非短路電流，通過斜率求電阻時應注意坐標的變化量?？忌诖颂幦菀壮鲥e。

3.滑動變阻器R2兩端電壓U2與流過電流I之間的函數關系式為U2=E-I（R1+r），圖像如圖4所示，此圖像縱軸交點表示電源電動勢，橫軸交點表示滑動變器阻值R2=0時回路中的電流I=，斜率的絕對值表示電源內阻r與定值電阻R1串聯之和，此圖像也可理解為將定值電阻R1等效為電源內阻之后的路端電壓與電流間的圖像。

【例1】如圖所示，直線A為電源a的路端電壓與電流的關系圖像，直線B為電源b的路端電壓與電流的關系圖像，直線C為一個電阻R兩端電壓與電流的關系圖像。將這個電阻分別接到a和b兩電源上，下列說法中正確的是（ ）

A. R接到a電源上，電源的效率較高

B. R接到b電源上，電源的輸出功率較大

C. R接到a電源上，電源的輸出功率較大，但電源效率較低

D. R接到b電源上，電阻R的發熱功率和電源的效率都較高

【思路點撥】本題考查對電源和電阻伏安特性曲線的理解，要求考生從交點、斜率等數學角度來理解圖像的物理意義?？忌筛鶕娫吹腢-I圖像，讀出短路電流和電阻R接在電源上時的工作狀態，分析電源效率的大小。電源的U-I圖像與電阻的U-I圖像的交點表示電阻R接在該電源上的工作狀態，考生可以讀出電壓和電流，分析電源的輸出功率大小。

【答案】C

【解析】電源的效率η==，由圖看出，電阻R接在電源a上時電路中電流為，短路電流為I0，根據閉合電路歐姆定律I=得R=r，則電源a的效率為50%;電阻R接到b電源上，>50%，則電源b的效率大于50%，故選項A錯誤。電阻R的U-I圖像與電源的U-I圖像的交點表示工作狀態，由圖讀出R接在電源a上的電壓和電流較大，電源a的輸出功率較大，故選項B錯誤。由以上分析可知，R接到a電源上，電源的輸出功率較大，電源的效率較低，故選項C正確，選項D錯誤。

二、電源的各功率與電流I之間的圖像問題

電源的總功率P總=E，電源內部消耗的功率P內=I2r，電源的輸出功率P出=E-I2r，各自圖像在同一個坐標系中如圖6所示，交點M表示P出=P內，此時R=r，電源輸出功率達到最大值Pm。圖像KM段表示P總-P內=P出，KM段與ML段長度相等，N點表示P出=0，E點表示P總=P內，由此可知圖像N點和E點相對應，表示電路處于同一狀態（即短路），坐標原點表示電路處于斷路狀態。

【例2】某同學將一直流電源的總功率PE、輸出功率PR和電源內部的發熱功率Pr隨電流I變化的圖像畫在同一坐標系內，如圖7所示，根據圖像可知下列說法正確的是（ ）

A.反映Pr變化的圖像是b

B.電源電動勢為8 V

C.電源內阻為2 Ω

D.當電流為0.5 A時，外電路的電阻為6 Ω

【思路點撥】電源的總功率與電流之間圖像的斜率表示電源電動勢，正確解答本題的關鍵是根據各功率與電流之間的函數關系，確定出a、b、c三個圖像對應什么功率，同時要清楚圖像之間的交點所表示的含義，然后根據閉合電路的歐姆定律對特殊點解方程即可。

【答案】CD

【解析】直流電源的總功率PE=EI，總功率隨電流變化的圖像是一條傾斜的直線，斜率表示電動勢E，結合圖像可知傾斜直線a符合，根據圖像可判斷E==4V，選項B錯誤。電源內部的發熱功率Pr=I2r，圖像是一條曲線，開口向上，圖像c符合，選項A錯誤。當Pr=PE=8W時，輸出功率為零，此時可得內阻r=2Ω，當外電阻等于內阻，即R=2Ω時，電源輸出功率最大，選項C正確。當電流為I=0.5A時，總電阻R總=R+2Ω===8Ω，此時外電阻R=6 Ω，選項D正確。

（本文系甘肅省教育科學“十三五”規劃2020年度一般課題，課題名稱：基于數學核心素養的中學數學建模單元化教學的實踐研究，課題立項號：GS〔2020〕GHB3056。）