平行4孔山嶺隧道滲流場解析解及影響參數分析

李鵬飛， 劉 江， 張素磊

(1. 北京工業大學 城市與工程安全減災教育部重點實驗室， 北京 100124； 2. 青島理工大學土木工程學院， 山東 青島 266033)

0 引言

近年來，隨著中國城市化進程的推進及經濟區域化趨勢的發展，出現了越來越多的平行4孔山嶺隧道工程[1-2]。在隧道修建過程中不可避免會遇到富水地層，而地下水滲流會給隧道施工帶來斷面涌水、滲透水壓過大等問題。因此，隧道滲流場一直是國內外學者的研究熱點[3-4]。

解析法具有物理概念清晰、計算簡捷等優點，備受學者們青睞。Harr[5]最早提出使用鏡像法，并運用該方法求得了適用于深埋高水頭圓形洞室的圍巖孔隙水壓力計算公式。應宏偉等[6]采用鏡像法將半無限滲流場轉化為2個虛擬無限滲流場的疊加，推導了考慮注漿圈作用的水下大埋深隧道滲流場的解析解。王建宇[7]將圓形隧道近似為軸對稱模型，根據達西定律和豎井理論推導了隧道孔壓分布和滲流量近似解。王秀英等[8]在軸對稱模型的基礎上進一步推導了山區高水位隧道襯砌、注漿圈外水壓力的表達式。Park等[9]利用復變函數保角變換，將半無限域滲流場轉換為圓環域滲流場進行求解，通過假設不同的邊界條件分別得到若干特定條件下的解析解。朱成偉等[10]基于穩態滲流控制方程，結合保角變換法，推導了適用于任意埋深的水下襯砌隧道滲流場的解析解。趙建平等[11]以復勢函數和地下水力學理論為基礎，引入雙極坐標描述等勢線，推導了作用在富水區隧道支護結構上的水頭、滲流量的計算公式。

對于多孔隧道，張丙強[12]以鏡像法和滲流力學理論為基礎，推導了考慮注漿圈與初期支護時，半無限平面雙孔近距離平行隧道穩定滲流場的解析解。Wang等[13]基于鏡像法與疊加原理,針對隧道洞周等水頭、等水壓2種不同的邊界條件，分別推導了對稱雙線隧道孔隙水壓力分布與滲流量解析解。朱成偉等[14]結合保角變換法與疊加法，對雙線隧道穩態滲流場進行了推導，得到了雙孔隧道滲流場解析解。王帥等[15]運用鏡像法在單孔隧道滲流的基礎上推導了平行3孔海底隧道滲流場解析解。

目前，隧道滲流場研究多數集中于單孔隧道，而對于多孔隧道尤其是隧洞數量較多的山嶺隧道滲流場，相關研究并不完善。本文基于穩態滲流理論，結合鏡像法推導平行4孔山嶺隧道滲流場解析解，結合前人研究與數值模擬對其進行對比驗證，并利用該解研究隧道間距、相對尺寸、初期支護參數等因素對隧道涌水量及初期支護后水壓力的影響規律。

1 滲流場解析解

1.1 計算模型

半無限平面內平行4孔圓形隧道簡化模型如圖1所示，模型介質包含圍巖、初期支護和二次襯砌3部分。圖中，隧道從左到右依次命名為隧道1、隧道2、隧道3、隧道4；ri、rli、rci分別為隧道凈空半徑、二次襯砌外徑、初期支護外徑，i=1、2、3、4，分別對應隧道1—4；b1、b2、b3分別為兩兩相鄰隧道間的水平間距；為方便后續計算表達，在圍巖中任取一點，d即為該點的埋深，d1、d2、d3、d4分別為隧道1、2、3、4圓心與該點的豎向間距；H為以該點起算的水頭。對計算模型作如下假設： 1)隧道縱向長度遠大于截面尺寸； 2)隧道圍巖和襯砌均為各向同性均勻連續介質，地下水以孔隙水的形式賦存于圍巖中，且在滲流過程中水面保持不變； 3)滲流方向以徑向為主，隧道排水通過襯砌均勻滲水實現，忽略隧道內側位置水頭的影響； 4)滲流場為穩態滲流，滲流符合達西定律及質量守恒定律。

圖1 平行4孔隧道滲流場計算模型Fig. 1 Seepage field calculation model of parallel four-tube tunnel

1.2 解析思路

針對半無限平面內4孔平行隧道滲流場的特點，本文考慮綜合采用鏡像法及疊加原理對該問題進行求解，具體求解過程如下：

1)根據鏡像法原則，對圖1所示的半無限平面4孔平行隧道滲流問題進行轉化，以水位線為等勢面對真實隧道進行映射，在對稱位置形成虛擬隧道，如圖2所示，兩側隧道流量大小相等，方向相反。

圖2 鏡像法示意圖Fig. 2 Schematic of image method

2)根據滲流理論，對無限平面內單孔隧道滲流問題進行求解，得到任意一點的水頭勢函數。

3)根據疊加原理，無限平面內任意一點的水頭勢可以相互疊加，據此將半無限平面內4孔平行隧道滲流場轉化為無限平面內8孔隧道滲流場的疊加，并根據邊界條件確定待求系數。

1.3 水頭勢函數

在均質各向同性介質中，根據達西定律和質量守恒定律，可得二維穩定滲流問題的控制方程為拉普拉斯方程：

(1)

根據滲流力學原理，可將式(1)轉化為極坐標下的表達形式[16]：

(2)

式(1)—(2)中：r為滲流半徑；φ為無限平面內滲流場水頭勢函數。

根據達西定律，流經圓形隧道每一斷面的流量Q可以表示為

(3)

式中k為介質滲透系數。

對式(3)進行積分，可以得到單孔隧道在無限平面滲流場內任意一點的水頭勢函數φ：

(4)

式中：Qi為隧道i的涌水量；C為待定系數。

根據疊加原理，無限平面8孔隧道圍巖內任意一點M的水頭勢函數為

(5)

式中：R1、R2、R3、R4、R5、R6、R7、R8分別為無限平面內任意點M至各隧道中心點的距離；kr為圍巖的滲透系數。

1.4 毛洞涌水量解析解

在毛洞狀態下，取各隧道凈空半徑為ri，根據圖2中各隧道幾何位置可求得R1—R8。當M點位于水位線平面時(R1=R5,R2=R6,R3=R7,R4=R8)，水頭為H，將此邊界條件代入式(5)中可得C=H。根據上述參數，平行4孔隧道中各隧道內邊界水頭分別為：

(6)

(7)

(8)

(9)

將式(6)—(9)聯立可解得半無限平面內4個平行隧道毛洞狀態下各自隧道的涌水量計算式分別為：

(10)

(11)

(12)

(13)

式(10)—(13)中：

Q0=A2F2+B2E2+C2D2-A2γη-B2βη-C2βγ-D2αη-E2αγ-F2αβ+2ABDη+2ACEγ+2BCFβ+2DEFα-2ABEF-2ACDF-2BCDE+αβγη；

其中，

1.5 考慮襯砌時涌水量解析解

根據本文假設，隧道施作襯砌完成后，襯砌內滲流依然符合滲流方程，故在初期支護區域內對式(3)進行積分可得

(14)

式中：Qci為隧道i圍巖與初期支護界面處涌水量；kc為初期支護的滲透系數；Hci、Hli分別為初期支護、二次襯砌外表面水頭。

根據滲流連續性準則，地下水流經各斷面的流量相等，即

Qci=Qi。

(15)

目前，為滿足防排水要求，山嶺隧道通常采用復合式襯砌，即在初期支護與二次襯砌間設置防水層與排水系統，地下水滲入初期支護后直接通過排水系統排出隧道外。本文假設復合式襯砌正常發揮作用，即隧道二次襯砌不透水，則二次襯砌外表面水頭Hli=0，且隧道內凈空水頭Hi=0。令式(6)—(9)中各隧道凈空半徑ri等于各隧道初期支護半徑rci，然后與式(10)—(15)聯立求解，可以得到考慮復合式襯砌影響時4條平行隧道的涌水量計算公式分別為：

(16)

(17)

(18)

(19)

式(16)—(19)中：

其中，

將式(16)—(19)代入式(14)可以求得Hci，進而得到初期支護后水壓力

(20)

式中γw為水的容重。

2 解析解驗證

2.1 退化為單孔隧道

若b1=b2=b3=∞，d1=d2=d3=d4=0，則可認為4條隧道分布于同一水平線且各自可視為單孔隧道。假設各隧道半徑均相同，且對應圍巖及初期支護滲透系數也相同，則此時可得到A=B=C=D=E=F=0，a=b=c=d，式(16)—(19)可簡化為：

(21)

退化為單孔隧道后，式(21)與文獻[6]僅考慮襯砌時單孔隧道解析解相同，從而初步驗證了本文解析解的正確性。

2.2 退化為雙孔隧道

當隧道2、隧道3、隧道4的水平間距趨向于無窮大時，隧道3、隧道4可分別近似視為單孔隧道，隧道1、2可共同視為半無限平面內的雙孔隧道。基于此，本節取b2=b3=2 500 m，此時可視為b2、b3趨向無窮大，其余參數與文獻[12]中參數一致，即隧道半徑為5 m，埋深為45 m，水位線高度為36 m，根據式(10)—(13)可求得4條平行隧道不施加支護時的涌水量分別為4.42、4.42、6.76、6.76 m3/(m·d)，隧道1、2涌水量結果與文獻[12]中解析解結果一致，隧道3、4涌水量結果與單孔隧道涌水量相同，說明本文解析解退化為雙孔隧道時計算正確，由此證明本解析解推導的正確性。

2.3 退化為3孔隧道

當隧道1與隧道2的水平間距b1趨于無窮大時，可將隧道1近似視為單孔隧道，剩余隧道可視為半無限平面內的平行3孔隧道。本節取b1=2 500 m，此時可視為b1近似無窮大，其余參數與文獻[15]中所取參數一致，即隧道半徑均為5 m，覆土厚度為40 m，海水深度為25 m，隧道間距均為20 m，同樣根據式(10)—(13)可求得4條平行隧道不施加支護時的涌水量分別為65.7、41.2、22.2、41.2 m3/(m·d)，隧道1涌水量與單孔隧道涌水量相同，其余隧道涌水量與文獻[15]中各隧道涌水量計算結果相同，該對比進一步說明了本文推導解析解的正確性。

2.4 數值驗證

本節以余姚市某4線公路隧道為背景，依據面積等效原則將隧道斷面形狀簡化為圓形，并采用FLAC3D建立如圖3所示數值模型，對理論推導得到的解析解結果進行驗證。該模型尺寸為200 m×1 m×100 m(長×寬×高)，模型中包含4條平行隧道，其中位于外側的隧道1、隧道4凈空半徑均為2 m，初期支護厚0.3 m，位于中部的隧道2、隧道3凈空半徑均為5 m，初期支護厚0.5 m，4條隧道埋深均為45 m，水平間距b1=b3=17 m，b2=25 m，圍巖邊界水位線高度為35 m。圍巖滲透系數為5×10-6m/s，初期支護滲透系數為5×10-8m/s。在采用位移邊界條件后，設置四周及底部邊界為不透水邊界，頂部邊界及隧道內邊界為透水邊界，并固定隧道內邊界孔隙水壓力為零。水位線下圍巖為飽水地層，水壓隨深度呈現梯度變化，通過FLAC3D內置Fish函數，取單位長度隧道外圍節點的不平衡流量之和，以此作為隧道的涌水量[17]。

圖3 數值計算模型Fig. 3 Numerical calculation model

對比本文解析解與數值解(見表1)可知，二者吻合較好，驗證了本文解析解的正確性。

表1 解析解與數值解對比Table 1 Comparison between analytical and numerical solutions

3 影響參數分析

不同于單孔隧道滲流場，在研究4孔隧道時需考慮隧道間的相互影響，故本節將對隧道間距、隧道相對大小、初期支護情況等參數進行影響分析。為了弱化研究某一參數對隧道滲流場的影響規律時其他參數的干擾作用，本節對2.4節算例中的某些參數進行適當修改： 在隧道埋深及地下水位不變的情況下，將4條隧道設置為相同半徑，即r1=r2=r3=r4=5 m，初期支護厚度均設置為0.5 m，隧道間水平間距b1=b2=b3=25 m，其余參數均與數值驗證一節中所采用參數一致。由于在本節所采用的大多數工況條件中4孔隧道均為對稱布置，故多數分析中僅取隧道1與隧道2為研究對象，一些特殊工況下才對全隧道進行分析，后期不再贅述。

3.1 隧道間距的影響

3.1.1 水平間距的影響

為明確隧道間水平間距的變化對4孔隧道中各隧道涌水量及初期支護后水壓力造成的影響，本節設置了3種工況進行討論。1)工況1： 保持b2數值不改變，b1與b3以相同的數值變化，即固定隧道2與隧道3相對位置不變，隧道1與隧道4分別沿水平方向與隧道2、3的距離逐漸增大。2)工況2： 保持b1與b3數值不變，僅b2大小發生改變，即隧道1與隧道2、隧道3與隧道4相對位置不發生改變，隧道2與隧道3的水平間距逐漸增大。3)工況3： 保持b1、b2數值不變，僅改變b3的大小，即固定隧道1、隧道2、隧道3的相對位置，隧道4沿水平方向逐漸遠離隧道1、2、3。各隧道涌水量及初期支護后水壓力隨水平間距的變化情況如圖4和圖5所示。

圖4 隧道涌水量與水平間距的關系Fig. 4 Relationship between tunnel water inflow and horizontal spacing

圖5 初期支護后水壓力與水平間距的關系Fig. 5 Relationship between horizontal spacing and water pressure after primary supporting

從圖5可以看出： 1)工況1中，隨著b1與b3的不斷增大，隧道1與隧道2的涌水量及初期支護后水壓力均逐漸增大，并且當水平間距小于100 m時，隨著水平間距的增大，隧道涌水量及初期支護后水壓力增長較快，當水平間距大于100 m后，增長趨勢開始變緩，相似的規律在工況2、工況3中也有所體現。故對于4孔隧道滲流場，隧道間的“分流”作用隨著隧道間距的增大而逐漸減小，并且在隧道尺寸相等的條件下，隧道水平間距的主要影響距離為20倍隧道半徑。2)工況1時，隨著隧道間距的增大，隧道1涌水量有較大的提升； 工況2時，在隧道1與隧道2間距不變的情況下，b2在相同變化范圍內，隧道1涌水量的提升減弱了很多； 而工況3時隧道1、2、3間的距離不變，該變化則更加不明顯。對于隧道2來說，工況1與工況2的區別在于工況1中隧道1與隧道4分屬兩側同時遠離隧道2，而工況2中隧道3與隧道4在同一側遠離隧道2，2種工況在相同間距變化范圍內，工況2時隧道2涌水量的變化要略大于工況1，隧道初期支護后水壓力也有相同的規律，本節不再贅述。由此可以看出，對于平行多孔隧道滲流場，其中某一隧道滲流場的變化更大程度上受兩側相鄰隧道的影響，且同側多孔隧道間距變化帶來的影響要比異側同等條件變化所帶來的影響顯著。

3.1.2 豎向間距的影響

本節通過改變不同隧道的埋深，設置了3種工況來研究隧道豎向間距帶來的影響： 1)工況1，保持隧道2、3位置不變，隧道1與隧道4同時移動； 2)工況2，保持隧道1、4位置不變，隧道2與隧道3同時移動；3)工況3，保持隧道3、4位置不變，隧道1與隧道2同時移動。根據計算模型中的假設，d1與d2向下移動時取正，向上移動時取負，d3、d4則相反。圖6與圖7分別給出了不同豎向間距條件下隧道涌水量及初期支護后水壓力的計算結果。從圖6—7中可以看出： 1)豎向間距變化導致隧道埋深變化，工況1、2中，隨著隧道埋深的逐漸增大，該隧道涌水量逐漸增大，而位置未發生改變的隧道涌水量則隨之先緩慢減小后快速增大；工況3中，隧道1、2、3涌水量變化情況與前述規律相似，隧道4涌水量隨隧道1、2埋深的增大變化較小。2)工況1條件下，當d1=-d4=-5 m時，隧道2涌水量及支護后水壓力最小；工況2條件下，當d2=-d3=-5 m時，隧道1涌水量及支護后水壓力最小；工況3條件下，當d1=d2=-5 m時，隧道3涌水量及支護后水壓力最小。若將位置發生變化的隧道視為排水隧道，在其與主隧道水平間距不變的條件下，當位于主隧道上方約0.5倍洞徑時，主隧道涌水量最小，排水效果最好。

(a) d1與d4同時變化(工況1)

(b) d2與d3同時變化(工況2)

(c) d1與d2同時變化(工況3)圖6 隧道涌水量與豎向間距的關系Fig. 6 Relationship between water inflow and vertical spacing in tunnel

(a) d1與d4同時變化(工況1)

(b) d2與d3同時變化(工況2)

(c) d1與d2同時變化(工況3)圖7 初期支護后水壓力與豎向間距的關系Fig. 7 Relationship between water pressure and vertical spacing after primary supporting

3.2 隧道相對大小的影響

通過對目前已有工程的調研，大多數平行4孔山嶺隧道均采用對稱的布置形式，即位于外側的2個隧道大小相同，位于內側的2個隧道大小相同，本節也采用相同的布置形式，設置隧道1與隧道4半徑相同，隧道2與隧道3半徑相同，設隧道1與隧道2的半徑比為n1，隧道2與隧道1的半徑比為n2。同時本節設置了2種工況來研究隧道相對尺寸對隧道涌水量及初期支護后水壓力的影響規律。1)工況1，保持隧道2、3的半徑不變，改變n1的大小； 2)工況2，保持隧道1、4的半徑不變，改變n2的大小。圖8與圖9分別給出了隧道1與隧道2涌水量及初期支護后水壓力隨半徑比變化的結果。從圖8—9中可以看出： 1)相同埋深與支護條件下，隨著隧道半徑的增大，隧道涌水量逐漸增大，同時，半徑不變的隧道涌水量隨之逐漸減小。2)當隧道半徑相同時，外側隧道涌水量及初期支護后水壓力大于內側隧道；當外側隧道半徑較大時，半徑較大的隧道涌水量較大，且初期支護后水壓力較大；當外側隧道半徑較小時，半徑較大的隧道涌水量較大但初期支護后水壓力較小。3)通過計算隧道1與隧道2涌水量的和可以看出，當半徑比小于1時，工況1的總涌水量要小于工況2;當半徑比大于1時，工況1的總涌水量則要大于工況2;當半徑比為0.5時，工況1(小半徑隧道位于外側)總涌水量為工況2(小半徑隧道位于內側)總涌水量的96%；當半徑比為1.5時，工況2(小半徑隧道位于外側)總涌水量為工況1(小半徑隧道位于內側)總涌水量的97.6%。故對4孔隧道來說，小半徑隧道布置于外側，大半徑隧道布置于內側時，總滲水量比較小。

圖8 隧道涌水量與隧道相對大小的關系Fig. 8 Relationship between water inflow and tunnel relative dimension

圖9 初期支護后水壓力與隧道相對大小的關系Fig. 9 Relationship between water pressure after primary supporting and tunnel relative dimension

3.3 初期支護參數的影響

設圍巖與初期支護的滲透系數之比為n3，且圍巖滲透系數保持不變，隧道涌水量、初期支護后水壓力與初期支護厚度及滲透系數的關系如圖10和圖11所示。圖中工況1、2、3分別代表初期支護厚度為0.5、1、1.5 m時的情況。

圖10 隧道涌水量與初期支護參數的關系Fig. 10 Relationship between tunnel water inflow and primary support parameters

圖11 初期支護后水壓力與初期支護參數的關系Fig. 11 Relationship between water pressure after primary supporting and primary support

從圖10和圖11中可以看出： 1)隨著初期支護厚度的增大、滲透系數的減小，隧道涌水量逐漸減小，初期支護后水壓力則逐漸增大。2)當n3<100時，隨著n3的增大，隧道涌水量與初期支護后水壓力均變化迅速，且初期支護厚度越大，變化越迅速；當n3>100時，涌水量與初期支護后水壓力隨n3的變化幅度較為平緩，且不同支護厚度條件下變化幅度相近，說明當n3<100時支護厚度的改變對多孔隧道滲流場影響較大，而當n3>100時，則影響不明顯。3)隧道涌水量和初期支護后水壓力與初期支護厚度為非線性相關，如隧道1，當n3=100時，初期支護厚度從0.5 m增加到1 m，隧道涌水量下降37.1%，初期支護后水壓力增加20.2%； 而當初期支護厚度從1 m增加到1.5 m時，隧道涌水量僅下降25.4%，初期支護后水壓力增加7.3%。4)隨著n3的逐漸增大，隧道1與隧道2的涌水量以及初期支護后水壓力逐漸接近，隧道間的相互作用逐漸減弱，并且在相同n3條件下，初期支護厚度越大，隧道間作用減弱越明顯。

4 結論與討論

1)本文建立了平行4孔隧道滲流場的計算模型，以鏡像法與滲流理論為基礎給出了該問題的解答，通過與前人研究及數值模擬的對比，驗證了本文所推導解析解的正確性，并分析了隧道參數和初期支護參數對隧道涌水量及初期支護后水壓力的影響規律。

2)平行多孔隧道滲流場中隧道間的相互影響更大程度體現在相鄰隧道間，主要影響距離為20倍隧道半徑，并且隨距離的增加影響逐漸減弱；同側多孔隧道間距變化帶來的影響要顯著于異側同等條件變化所帶來的影響。

3)當平行4孔隧道為對稱布置形式時，隧道間豎向間距接近1倍隧道半徑時，埋深較深的隧道涌水量及初期支護后水壓力最小，并隨隧道間距的增大而增大。

4)在埋深及支護條件不變的情況下，增大隧道的半徑，該隧道涌水量增大，其余隧道涌水量減小；小半徑隧道置于外側、大半徑隧道置于內側的布置形式有利于控制平行4孔隧道的總涌水量。

5)隨著初期支護滲透系數的減小及其厚度的增大，隧道涌水量逐漸減小，初期支護后水壓力逐漸增大，隧道間相互影響逐漸減弱；初期支護滲透系數與其厚度和隧道涌水量及支護后水壓力均為非線性關系，在施工中應協調兩者關系，以便經濟有效地控制隧道排水量及初期支護受力情況。

利用本文所推導的解析解重點針對隧道涌水量及初期支護后水壓力進行了分析，但對于具體某點的水頭及其分布情況研究較少，而且在假設中對于襯砌防排水性能的考慮較為理想，后續可在本文解析解基礎上進一步研究。同時，本文僅研究了不同工程參數對平行4孔隧道滲流場的影響，后續可深入研究各參數的影響程度，為類似工程防排水方案制定提供參考。