反例在近世代數教學中的作用

胡江勝，孫丹丹，朱海燕

(1.江蘇理工學院 a.數理學院； b.商學院，江蘇 常州 213001； 2.浙江工業大學 理學院，杭州 310023)

近世代數又稱為抽象代數，作為本科院校數學專業的一門專業必修課，它以研究代數系統的性質與結構為主，是代數幾何、代數數論等課程的基礎[1-2]。通常，在近世代數教學過程中可以通過兩種不同的思路去論證一個命題的成立與否：直接證明其成立性或者舉出合適的反例證明該命題不成立。有些命題的直接證明具有一定的難度，但若找出合適的反例則事半功倍。因此，構造合適的反例是近世代數課程教學中的一種重要教學手段和方法，它可以加深學生對抽象代數概念和命題的理解。

1 反例是鑒別假命題的有效方法

近世代數這個嚴密的系統主要由各種各樣的命題組成。命題結論成立的條件和范圍是關鍵所在，但這對學生來說是一大難點，教學過程中經常需要構造相關反例，讓學生明確某些概念的重點，澄清其對某些概念不正確的認知，加深對相關知識點的理解。例如，為了讓學生更好地理解循環群的性質，可以向學生提出問題：循環群是否在群同態作用下保持[2]。

例1：設群G與群H同態，問G是循環群能否推出H為循環群？反之是否成立。

分析：只需根據循環群的定義驗證即可。

(1)先由定義證明，若G為循環群，則H也為循環群。

設φ:G→H為群滿同態，群G的生成元為a，取b=φ(a)。容易驗證，對任意h∈H，均存在g∈G，使得h=φ(g)=φ(an)=φ(a)n=bn，其中n為整數，所以b=φ(a)為群H的生成元。

(2)再說明若H為循環群，則G不一定是循環群。

例如，令G為有理數域Q上所有n階可逆矩陣的全體構成的集合，代數運算為矩陣的乘法運算。取H={1}，代數運算為數的乘法運算。作映射φ(A)=1，?A∈G，則φ是G到H的同態滿射，從而G與H同態。但H是循環群，而G不是循環群 (因為G不是交換群)。

又如，為了讓學生理解子群之間的關系，可以向學生提出問題：同一個群G上的兩個子群的交與并是否仍為群G的子群。

例2：設G1與G2為群G的子群，問G1∩G2與G1∪G2是否為群G的子群？

分析：只需根據子群的定義驗證即可。

(1)先由定義證明G1∩G2是G的子群。

設G1,G2是G的兩個子群，則G1∩G2≠?(因為e∈G1∩G2)，顯然G1∩G2?G。任取a,b∈G1∩G2，因為G1,G2是G的兩個子群，所以ab-1∈G1∩G2，于是G1∩G2是G的子群。

(2)再說明G1∪G2不是G的子群。

例如，設G1={2k|k∈Z}，G2={3l|l∈Z}是整數加群Z的兩個子群，則G1∪G2={2k，3l|k,l∈Z}。取2,3∈G1∪G2，但2+3=5?G1∪G2，從而G1∪G2不是Z的子群。

2 反例有利于學生深刻理解抽象的代數概念

近世代數課程中許多概念具有一定的抽象性，脫離具體例子，學生較難真正理解這些概念。如何將抽象的問題具體化，將需要探討的未知問題轉化為學生已掌握的知識是教學重點，通過具體實例講解，學生更容易理解和接受，且記憶深刻。

例如，為了讓學生理解“群”這一抽象概念，只需驗證給定集合滿足“群”定義中的所有條件即可。

例3：有理數域Q上所有n階可逆矩陣的全體關于矩陣的加法不構成群。

分析：只需說明可逆矩陣對于矩陣的加法不封閉。

又如，在講授不變子群的概念時，可以舉正反方面的例子，加深學生對該概念的理解。

例4：設N是群G的一個子群，若對?a∈G，都有aN=Na，則稱N是群G的一個不變子群[2]。

正例：N={(1),(132),(123)}是對稱群S3的不變子群；反例：N={(1),(12)}不是對稱群S3的不變子群，因為N(13)={(13),(123)}≠{(13),(132)}=(13)N。

3 反例有利于學生區別相近的代數概念

近世代數課程中一些概念、性質較類似，初學者容易混淆，如同構映射與同態映射、群的同構與同態、群的階與元素的階、置換群與變換群、主理想與最大理想、單位與單位元、左(右)零因子與零因子、理想與子環、零理想與單位理想等容易混淆的概念，可以通過例子(反例)加以說明，使之區別開來[3-4]。

例5：一個集合A的若干個一一變換的乘法作成的群叫做A的一個變換群；一個有限集合A的若干個一一變換作成的群叫做置換群[1]。

從定義的條件上區別：變換群的定義中未必要求是有限集，而置換群一定是在有限集合上定義的；從兩者的關系上區別：置換群一定是變換群，而變換群未必是置換群。

反例：令A為整數集合，則A上所有一一變換可構成一個變換群，但卻不是置換群 (因為A不是有限集合)。

例6：設R為環，若是在環R中a≠0,b≠0,但ab=0,那么稱a是R的一個左零因子，b是R的一個右零因子。若一個元既是左零因子又是右零因子,則稱為R中的零因子[1]。

從定義的條件上區別：左零因子a是指用a左乘一個非零元為零元，右零因子b是指用b右乘一個非零元為零元，而零因子要求同時為左零因子和右零因子；從兩者的關系上區別：零因子既是左零因子，又是右零因子，而左零因子或者右零因子未必是零因子。

例7：環R中，滿足ae=ea=a(?a∈R)的元e叫做R的單位元。整環R中的一個元ε稱R的一個單位，假如ε是一個有逆元的元[2]。

從定義的條件上區別：單位元e可在任意環R上定義，而單位ε一般只在整環R上定義；從個數上區別：一個環如果有單位元則只有一個，而單位可能不止一個；從兩者的關系上區別：單位元必是單位，單位未必是單位元。

反例：整數環Z中，單位元為1，單位有±1。

整環Z7={[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6]}中，單位元為 [1]，而單位有[1], [2], [3], [4], [5], [6]。

4 結 語

為了透徹理解相關定義、定理及不同概念之間的聯系，教師在教學過程中應注重培養學生總結歸納和舉一反三的能力，有意識地引導學生重視反例的構造，幫助學生深入理解相關知識點，并在探尋反例的過程中，培養學生思維的邏輯性和嚴密性。